Инфоурок Математика СтатьиИсследовательская работа на тему "Изопериметрические задачи"

Исследовательская работа на тему "Изопереметрические задачи"

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Изопереметрические задачи.pptx

Скачать материал "Исследовательская работа на тему "Изопериметрические задачи""

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Хранитель музейных предметов

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Изопериметрические задачиИсследовательская работа Будько Сергея Денисовича...

    1 слайд

    Изопериметрические
    задачи
    Исследовательская работа
    Будько Сергея Денисовича
    учащейся 8 «Б» класса
    ГУО «Средняя школа № 9 г.Борисова»

    Руководитель:
    Артемова С.В.
    учитель математики


  • Цель работы: изучение актуальности применения в жизни изопериметрических зада...

    2 слайд

    Цель работы: изучение актуальности применения в жизни изопериметрических задач с точки зрения экономической выгоды.
    Задачи исследования:
    1.Определить математические средства для решения данной задачи.
    2.Сделать расчёт площадей фигур с одинаковым периметром.
    3.Выяснить, есть ли преимущество в установке прямоугольных люков.
    4.Сделать вывод, оформить результат исследования
    5.Показать актуальность этих задач в современном мире.
    Объект исследования: изопериметрическая задача.
    Предмет исследования: приемы решений изопериметрической задачи.
    Гипотеза: круглая форма люка экономически выгоднее для производства.
    Выбранную тему считаю актуальной, потому что изопериметрические задачи важны не только в математике, но и в экономике и технике.

  • Некоторые явления в природе также показывают, что решение задачи – это круг и...

    3 слайд

    Некоторые явления в природе также показывают, что решение задачи – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри имеют форму шара.
    Изопериметрические задачи — это задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения по заданной величине. Относительно плоскости, она состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь при условии, что периметр у них одинаков.

  • Столько земли, сколько можно окружить «воловьей шкурой»

    4 слайд

    Столько земли, сколько можно окружить «воловьей шкурой»

  • Сравнение площадей треугольников с периметром 120 см 
.Вывод: равносторонний...

    5 слайд

    Сравнение площадей треугольников с периметром 120 см
    .
    Вывод: равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь при сравнении треугольников с одинаковым периметром

  • Сравнение площадей трапеций с периметром равным 120 см.Вывод: равнобокая трап...

    6 слайд

    Сравнение площадей трапеций с периметром равным 120 см.
    Вывод: равнобокая трапеция имеет наибольшую площадь при сравнении трапеций с одинаковыми периметрами.

  • Сравнение площадей параллелограммов с периметром равным 120 см.Вывод: квадрат...

    7 слайд

    Сравнение площадей параллелограммов с периметром равным 120 см.
    Вывод: квадрат имеет наибольшую площадь среди всех четырехугольников с одинаковым периметром.

  • Сравнение площади правильного 6-угольника, 8-угольника с периметром 120см и к...

    8 слайд

    Сравнение площади правильного 6-угольника, 8-угольника с периметром 120см и круга, длина окружности которого 120 см.
    .
    Вывод: при сравнении данных фигур наибольшую площадь имеет круг.

  • Построим диаграмму по результатам исследования: Выводы:
1. Наибольшую площадь...

    9 слайд

    Построим диаграмму по результатам исследования:
    Выводы:
    1. Наибольшую площадь имеют правильные фигуры. Чем больше количество сторон у фигуры (т.е. чем ближе она к кругу), тем больше ее площадь;
    2. Самую большую площадь имеет круг, что и требовалось доказать.

  • ПОЧЕМУ КАНАЛИЗАЦИОННЫЙ ЛЮК КРУГЛЫЙ? 

-при квадратной форме 𝑃=4∙0,6= 2,4 м,
-...

    10 слайд

    ПОЧЕМУ КАНАЛИЗАЦИОННЫЙ ЛЮК КРУГЛЫЙ?


    -при квадратной форме 𝑃=4∙0,6= 2,4 м,
    -площадь крышки круглой формы 𝑆=𝜋𝑟^2= 0,28 м²,
    -площадь крышки квадратной формы 𝑆=𝑎^(2= ) 0,36м².
    Перерасход материалов на производство люка при переходе от круглой к квадратной его форме составит 0,36/0,28 = 28 %
    Диаметр люка в действующих стандартах близкий к 600 мм.
    -при круглой форме длина окружности корпуса
    С= 2𝜋𝑟=2∙3,14∙0,3= 1,88 м, [1]
    По данным из интернет-ресурсов, масса крышки люка 120 кг. [5]
    Находим массу крышки люка квадратной формы
    (120 ∙0.36)/0,28 = 154, 28 кг
    То есть на 1 люке мы экономим 34,28 кг чугуна.

  • От магазина «Алми» (район ОАО «Борисовский завод агрегатов») до средней школы...

    11 слайд

    От магазина «Алми» (район ОАО «Борисовский завод агрегатов») до средней школы № 9 г.Борисова таких люков 42.
    Это означает, что только на небольшом участке улицы Нормандия Неман город экономит 34,28 ∙ 42 = 6479, 76 кг чугуна.
    В денежном эквиваленте это сумма 6479, 76 ∙ 0,36 = 2332 руб 71 коп

  • КАКУЮ ТЕРРИТОРИЮ ЗАНЯЛА ДИДОНА?
приблизительную площадь бычьей шкуры-35800 см...

    12 слайд

    КАКУЮ ТЕРРИТОРИЮ ЗАНЯЛА ДИДОНА?
    приблизительную площадь бычьей шкуры-35800 см².
    Бычью шкуру условно принимаем прямоугольной формы с шириной 150 см. тогда ее длина будет: 35800:150≈238,7 см.
    Разрежем ее на полоски шириной 0,3 см и получим 150:0,3=500 шт. Так как Бирса располагалась на берегу моря, то рассчитываем не площадь круга, а полукруга. Длина этого полукруга равна будет 119350 см или 1193,5 м.
    С=2πR, 𝐶 2 = πR, [2]
    R=1193, 5:3,14 ≈ 380,1(м)
    S круга=πR², [2]
    S круга =3,14∙380,1² ≈ 453654,67(м²) [2]
    S полукруга = S круга: 2 = 226827,33(м²)
    Вывод: На площади 226827,33 м² (это приблизительно 0,2 км2) действительно можно построить крепость.

  • АКТУАЛЬНОСТЬ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В XXI ВЕКЕ
на сколько процентов увеличи...

    13 слайд

    АКТУАЛЬНОСТЬ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В XXI ВЕКЕ
    на сколько процентов увеличится или уменьшится расход газа при различных формах горелок.
    Решение.
    1.Горелка круглой формы диаметром 6 см:
    С=2 πr =2∙3,14∙3=18,84 см [1]
    S=πr2 = 3,14∙9 = 28,26см2 [1]
    2. Горелка квадратной формы диаметром 6 см:
    a=√S ≈5,32см, следовательно P= 5,32∙4= 21,28 см;
    Перерасход составит : 28,26−21,28 21,28 =32,8(%)
    3.Горелка формы правильного треугольника диаметром 6 см:
    𝑆= 𝑎 2 3 4 . 𝑎= 4𝑆 3 =8,08 см, [1]
    P = 8,08·3 = 24, 24 см;

    Перерасход составит : 28,5−24,24 24,24 =17,57(%)
    Вывод: В целях экономии, гораздо выгодней производить газовые плиты с круглыми газовыми горелками.

  • Задачи исследования:
1.Определить математические средства для решения данной...

    14 слайд

    Задачи исследования:
    1.Определить математические средства для решения данной задачи.
    Для решения данной задачи я использовал формулы нахождения площадей различных геометрических фигур.
    2.Сделать расчёт площадей фигур с одинаковым периметром.
    Мною были проведены сравнения различных геометрических фигур с одинаковым периметром и сделан вывод, что среди геометрических фигур на плоскости с равными периметрами наибольшую площадь имеет круг.
    3.Выяснить, есть ли преимущество в установке прямоугольных люков.
    Расчетным путем мне удалось доказать, что круглая форма люка наиболее экономически выгодна. Это позволило городу сэкономить 2332 рубля 71 копейку на небольшом участке улицы Нормандия- Неман.
    4.Сделать вывод, оформить результат исследования
    Я считаю, что цель исследовательской задачи была достигнута. Изопериметрические задачи - это не только пример старинной задачи, но и задачи, которые встречаются каждому из нас в реальной жизни.
    5.Показать актуальность этих задач в современном мире.
    В современном мире, где первоначальной задачей является сохранение планеты, каждый член общества может внести свою лепту в решение этой задачи путем экономии потребляемых ресурсов.

  • 
Спасибо за внимание!
Желаю успехов участникам НПК!

    15 слайд


    Спасибо за внимание!
    Желаю успехов участникам НПК!

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Исследовательская работа .docx

 

Изопериметрические задачи ,Автор
Будько Сергей Денисович, учащийся 7 «Б» класса
Руководитель 
Артёмова Светлана Васильевна, учитель математики
,Управление по образованию Борисовского райисполкома
Государственное учреждение образования 
«Средняя школа №9 г.Борисова»
 
,Борисов 2020,%D0%BD%D0%B0%D1%83%D1%87-%D0%B4%D0%B5%D1%8F%D1%82 


 


ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................

 

3

ГЛАВА 1. Изопериметрические задачи в древние времена.......................

4

1.1.Понятие изопериметрической задачи....................................................

4

1.2. Миф о царице Дидоне..............................................................................

4

ГЛАВА 2. Исследовательская деятельность...................................................

6

2.1. Сравнение площадей треугольников с периметром 120 сантиметров...

6

2.2.Сравнение площадей трапеций с периметром, равным 120 сантиметров.........................................................................................................

 

6

2.3. Сравнение площадей параллелограммов с периметром, равным 120 сантиметров..........................................................................................................

 

6

2.4. Сравнение площади правильного 6-угольника, 8-угольника с периметром 120см и круга, длина окружности которого 120 сантиметров........................................................................................................

 

 

6

ГЛАВА 3. Решение задач..................................................................................

8

3.1. Почему канализационный люк круглый?................................................

8

3.2. Какую территорию заняла Дидона?...........................................................

8

3.3.. Актуальность изопериметрических задач в XXI веке.............................

9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................

10

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................................

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

         В этом году наш город стал чудесным образом преображаться: строится мост, ремонтируются дороги, укладывается тротуарная плитка. И вот, гуляя по городу, мне бросилась в глаза одна несуразность: плитка на тротуаре прямоугольная, а крышки люков – круглые. «Некрасиво», - подумал я. А почему так? Неужели нельзя было выпускать квадратные крышки, чтобы всё было красиво и гармонично. Но ведь не может быть, чтобы эта идея пришла в голову только мне! Значит, здесь что-то есть! Возможно, затронуты какие-то экономические моменты.

С вопросом о круге и прямоугольнике я обратился к учителю математики, и она мне рассказала об изопериметрических задачах. Оказалось, что связь периметра и площади является одной из самых древних задач математики.

Её я и выбрал в качестве темы моей научно-исследовательской работы.

Выбранную тему считаю актуальной, потому что изопериметрические задачи  важны не только в математике, но и в  экономике и технике.

Цель работы: изучение актуальности применения в жизни изопериметрических задач с точки зрения экономической выгоды.

Задачи исследования:

1.Определить математические средства для решения данной задачи.

2.Сделать расчёт площадей фигур с одинаковым периметром.

3.Выяснить, есть ли преимущество в установке прямоугольных люков.

4.Сделать вывод, оформить результат исследования

5.Показать актуальность этих задач в современном мире.

Объект исследования: изопериметрическая задача.

Предмет исследования: приемы решений изопериметрической задачи.

Гипотеза: круглая форма люка экономически выгоднее для производства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

ГЛАВА 1. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДРЕВНИЕ ВРЕМЕНА

 

1.1.ПОНЯТИЕ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Изопериметрические задачи — это задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения по заданной величине. Относительно плоскости, она состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь при условии, что периметр у них одинаков.

Попытки решения таких задач предпринимались ещё в древние времена.

Вот что писал Николай Коперник в  своей книге «О вращениях небесных сфер» «Прежде всего, мы должны заметить, что мир является шарообразным или потому, что эта форма совершеннейшая из всех и не нуждается ни в каких скрепах и вся представляет цельность, или потому, что эта форма среди всех других обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно охватить и сохранить всё». [7]

Если шар вмещает в себя весь мир, то он, конечно, имеет максимальный объём!

Некоторые явления в природе также показывают, что решение задачи – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри имеют форму шара.

В древней Греции считали круг идеальной фигурой, потому что такую форму имеют небесные тела и их орбиты. Именно этот факт подтверждал их уверенность в том, что только круг и шар должны быть решением изопериметрической задачи. Жаль, но греки доказать этого не смогли.

Древнегреческий математик Зенодор, написал целый трактат «Об изопериметрических фигурах». К сожалению, трактат Зенодора не сохранился, но некоторые его результаты дошли до нас в трудах математиков Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.). Это такие теоремы:

1.   При одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного; [3]

2.   Из двух правильных многоугольников с равными периметрами больше площадь того, у которого больше сторон [3]

Таким образом, чем больше многоугольник имеет сторон и напоминает круг, тем больше его площадь при постоянном периметре.

 

1.2. МИФ О ЦАРИЦЕ ДИДОНЕ

В римской мифологии есть легенда. Согласно преданию, Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса. Брат Дидоны - Пигмалион,- позарившись на богатства Геракла, убил его, а Дидона была вынуждена бежать. Она в сопровождении многочисленных спутников покинула город Тир и отправились на запад по Средиземному морю. Ей понравилось удобное для поселения место на африканском побережье, в нынешнем Тунисском заливе. Купив у местного короля нумидийцев Ярба маленький, по мнению самого Ярба, участок земли, "в пределах воловьей шкуры". Тогда Дидона разрезала эту шкуру на тонкие ремни, связав их воедино, и окружила изрядный кусок земли. На этом месте была основана цитадель Карфагена Бирсу. (По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».) [4]

За этой женщиной придется признать крупный геометрический талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в девятнадцатом веке.


 

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

 

Для решения актуальности выбора круглой формы люка я провел исследование плоских фигур, которые изучал. Для удобства вычислений периметр приму 120 см.  

 

3.1 Сравнение площадей треугольников с периметром 120 см

[Приложение 2]

 

Разносторонний треугольник

Прямоугольный

треугольник

Равнобедренный

треугольник

Равносторонний

треугольник

а, см

40

30

30

40

в, см

55

40

30

40

с, см

25

50

60

40

S, см2

458

600

636

693

Вывод: равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь при сравнении треугольников с одинаковым периметром.

 

3.2 Сравнение площадей трапеций с периметром равным 120 см.

[Приложение 3]

 

Произвольная трапеция

Прямоугольная трапеция

Равнобокая трапеция

а, см

13

20

26

в, см

20

30

26

с, см

33

20

24

d, см

54

50

44

S, см2

522

700

816

Вывод: равнобокая трапеция имеет наибольшую площадь при сравнении трапеций с одинаковыми периметрами.

 

3.3 Сравнение площадей параллелограммов с периметром равным 120 см.

[Приложение 4]

 

Параллелограмм с углом 30

Ромб с углом 30

Прямоугольник

Квадрат

а, см

15

30

20

30

в, см

45

30

40

30

S, см2

337,5

450

800

900

Вывод: квадрат имеет наибольшую площадь среди всех четырехугольников с одинаковым периметром.

 

3.4. Сравнение площади правильного 6-угольника, 8-угольника с периметром 120см и круга, длина окружности  которого 120 см.

[Приложение 5]

 

 

6-угольник

8-угольник

круг

а, см

20

15

20

S, см2

1020

1080

1133

 

Вывод: при сравнении данных фигур наибольшую площадь имеет круг.

 

Построим диаграмму по результатам исследования:

 

Исходя из результатов сравнения можно сделать следующие выводы:

1. Наибольшую площадь имеют правильные фигуры. Чем больше количество сторон у фигуры (т.е. чем ближе она к кругу), тем больше ее площадь;

2. Самую большую площадь имеет круг, что и требовалось доказать.


 

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

 

3.1.          ПОЧЕМУ КАНАЛИЗАЦИОННЫЙ ЛЮК КРУГЛЫЙ?

Все люки в городе накрыты крышками круглой формы. Проверим, как влияет форма люка на его стоимость.

      Диаметр люка в действующих стандартах близкий к 600 мм.

-при круглой форме длина окружности корпуса С=  1,88 м, [1]

-при квадратной форме 2,4 м,

-площадь крышки круглой формы  0,28 м²,

-площадь крышки квадратной формы  0,36 м².

Перерасход материалов на производство люка при переходе от круглой к квадратной его форме составит = 28 %

По данным из интернет-ресурсов, масса крышки люка 120 кг. [5]

Находим массу крышки люка квадратной формы  = 154, 28 кг

То есть на 1 люке мы экономим 34,28 кг чугуна.

От магазина «Алми» (район ОАО «Борисовский завод агрегатов») до средней школы № 9 г.Борисова таких люков 42.

Это означает, что только на небольшом участке улицы Нормандия Неман город экономит 34,28  42 = 6479, 76 кг чугуна.

В денежном эквиваленте это сумма 6479, 76  0,36 = 2332 руб 71 коп  [6]

Вывод: Крышка люка круглой формы экономически наиболее выгодна. На 1 канализационном люке круглой формы экономится 34,28 кг чугуна, что в денежном эквиваленте составляет 12 руб 34 коп. На участке улицы Нормандия Неман экономия составляет 6479, 76 кг чугуна. В денежном эквиваленте это 2332 руб. 71 коп. сэкономленных денежных средств.

 

3.2.          КАКУЮ ТЕРРИТОРИЮ ЗАНЯЛА ДИДОНА?

В интернете я нашел приблизительную площадь бычьей шкуры-35800 см². Бычью шкуру условно принимаем прямоугольной формы с шириной 150 см. тогда ее длина будет: 35800:150≈238,7 см. Разрежем ее на полоски шириной 0,3 см и получим 150:0,3=500 шт. Так как Бирса располагалась на берегу моря, то рассчитываем не площадь круга, а полукруга. Длина этого полукруга равна будет 119350 см или 1193,5 м.

С=2πR,   = πR, [2]

R=1193, 5:3,14 ≈ 380,1(м)

S круга=πR², [2]

S круга =3,14∙380,1² ≈ 453654,67(м²) [2]

S полукруга = S круга: 2 = 226827,33(м²)

Вывод: На площади 226827,33 м² (это приблизительно 0,2 км2) действительно можно построить крепость.

 

3.3.  АКТУАЛЬНОСТЬ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В XXI ВЕКЕ

 

На сегодняшний день актуальной является тема экономии природных ресурсов и бережного отношения к окружающей среде. Вычислим расход газа в различных случаях.

Газовая горелка в моей квартире имеет форму круга диаметром 6 см. Заменим форму горелки квадратной и треугольной с таким же периметром. Затем вычислим, на сколько процентов увеличится или уменьшится расход газа при различных формах горелок.

Решение.

1.Горелка круглой формы диаметром 6 см:

С=2 πr =2∙3,14∙3=18,84 см [1]
S=πr2 = 3,14∙9 = 28,26см2  [1]
2. Горелка квадратной формы диаметром 6 см:
a=√S ≈5,32см,  следовательно
P= 5,32∙4= 21,28 см; 

 

3.Горелка формы правильного треугольника диаметром 6 см:

   , [1]

P = 8,08·3 = 24, 24 см;

Вывод: если форму газовой горелки сделать квадратной, то расход газа увеличится на 32,8%. Если ее сделать формы правильного треугольника - расход газа увеличится на 17,57%. Следовательно, в целях экономии, гораздо выгодней производить газовые плиты с круглыми газовыми горелками.

 


 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью моей работы было доказательство того, что среди геометрических фигур с равными периметрами круг имеет наибольшую площадь и применение изопериметрической задачи в повседневной жизни остаётся актуальным.

Для  достижения цели мною были проведены сравнения различных геометрических фигур с одинаковым периметром, решены задачи и обоснована изопериметрическая проблема. Мною сделан вывод, что среди геометрических фигур  на плоскости с равными периметрами наибольшую площадь имеет круг. На основании проведенных расчетов, мною доказана экономическая выгода газовой горелки круглой формы, которая дает возможность экономить потребление природного газа на 32,8% и 17,57% по сравнению с квадратной и треугольной формой горелки соответственно.

Также расчетным путем мне удалось доказать, что круглая форма люка наиболее экономически выгодна. Это позволило городу сэкономить 2332 рубля 71 копейку на небольшом участке улицы Нормандия- Неман.

Я считаю, что цель исследовательской задачи была достигнута. Изопериметрические задачи - это не только пример старинной задачи, но и задачи, которые встречаются каждому из нас в реальной жизни. В современном мире, где первоначальной задачей является сохранение планеты, каждый член общества может внести свою лепту в решение этой задачи путем экономии потребляемых ресурсов.

В старших классах я могу продолжить изучение данной задачи, исследовать пространственные фигуры и с помощью вычислений и сравнения показать, что   из всех тел, ограниченных поверхностью данной величины, наибольший объем у шара.   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.     Казаков, В.В. Геометрия учебное пособие для 8 класса/ В.В.Казаков. – Минск: Народная асвета, 2018.

2.     Казаков, В.В. Геометрия учебное пособие для 6 класса/ В.В.Казаков. – Минск: Народная асвета, 2018.

3.     Спивак, А.В. Тысяча и одна задача по математике: Кн. для учащихся 5–7   кл./ А.В.Спивак. – Москва: Просвещение, 2002.

4.     Шарыгин, Д.Н. Миф о Дидоне и изопериметрическая задача/ Д.Н.Шарыгин// «Квант». – 1997. -  №1. – С.42-44.


Интернет-ресурсы:

5.     https://vivoz-gbo.ru/avtonomnaya-kanalizaciya/ves-kanalizacionnogo-lyuka

6.     http://www.minskkoopvtorresursy.by/fiz      

7.     https://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Science/kopern/index.php

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Исследовательская работа на тему "Изопериметрические задачи""

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 375 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 18.03.2021 584
    • RAR 3.7 мбайт
    • 15 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Артёмова Светлана Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Артёмова Светлана Васильевна
    Артёмова Светлана Васильевна
    • На сайте: 6 лет и 1 месяц
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 33990
    • Всего материалов: 23

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Интернет-маркетолог

Интернет-маркетолог

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение математических знаний в повседневной жизни

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 24 регионов

Курс повышения квалификации

Психолого-педагогические аспекты развития мотивации учебной деятельности на уроках математики у младших школьников в рамках реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психология и педагогика в работе с детьми: эмоциональные и зависимые расстройства

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 30 человек из 17 регионов

Мини-курс

Переходные моменты в карьере

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Стратегии брендинга и лояльности потребителей: изучение современных тенденций и подходов

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе