Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа на тему "Методы построения сечений многогранников"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Исследовательская работа на тему "Методы построения сечений многогранников"

библиотека
материалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК «ИСКАТЕЛЬ»


Отделение: математика

Секция: математика



МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ


Работу выполнил:

_______________

ученик класса


Научный руководитель:















Тезисы

Методы построения сечений многогранников

Отделение: математика

Секция: математика

Автор:


Научный руководитель:



В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.

Целью исследования является изучение различных методов построения сечений многогранников. Для этого изучен теоретический материал по данной теме, систематизированы методы решения задач на построение сечений, приведены примеры задач на применение каждого метода, рассмотрены примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.








СОДЕРЖАНИЕ



ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

РАЗДЕЛ 1. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ………………………………………4

РАЗДЕЛ 2. МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………10

РАЗДЕЛ 3. МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………14

РАЗДЕЛ 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ

МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………17

РАЗДЕЛ 5. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………………………………………….19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………26















ВВЕДЕНИЕ


Выпускникам предстоит сдавать экзамен по математике, а знание и умение решать стереометрические задачи необходимо для того, чтобы написать данный экзамен на максимальное количество баллов. Актуальность данной работы состоит в необходимости самостоятельно готовиться к экзамену, а рассматриваемая тема является одной из важнейших.

Анализ демонстрационных, диагностических и тренировочных вариантов ЕГЭ с 2009-2014 гг. показал, что 70% геометрических задач составляют задачи на построение сечений и вычисление их элементов углов, площадей.

В учебном плане задачам на построение сечений многогранников отводится 2 академических часа, что недостаточно для изучения данной темы. В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.

Объект исследования: методы построения сечений многогранников.

Цель исследования: изучить различные методы построения сечений многогранников.

Задачи исследования:

1) Изучить теоретический материал по данной теме.

2) Систематизировать методы решения задач на построение сечений.

3) Привести примеры задач на применение каждого метода.

4) Рассмотреть примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.


РАЗДЕЛ 1

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ


Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер - отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки.

Секущая плоскость α может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и не принадлежащей ей точкой; другими условиями, определяющими ее положение относительно данного многогранника. Например, на рис.1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ;

hello_html_m2b876ecc.jpgРис.1

Задача. В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 постройте сечение плоскостью, проходящей через вершины C и D1 и точку K отрезка B1C1 (рис.2, а).

Решение. 1.Т.к. СDD1C1, D1DD1C1, то по аксиоме (через две точки, принадлежащие плоскости, проходит прямая, притом только одна) построим след CD1 в плоскости DD1C1 (рис.2, б).

2. Аналогично в плоскости А1В1С1 построим след DK, в плоскости BB1C1 построим след CK.

3. D1KC – искомое сечение (рис.2, в)

hello_html_m6024be2c.gifhello_html_3cf152f1.gifhello_html_m34d93cfd.gif

а) б) в)

Рис.2

Задача. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н — внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 3, а).

Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК — одна из сторон искомого сечения (рис.3, б).

2-й шаг. Аналогично, отрезок КН — другая сторона искомого сечения (рис.3, в).

3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР (рис. 3, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость АРС пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 3, д).

4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанавливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение — четырехугольник MKHR (рис.3,е).

hello_html_39069dcb.jpgРис.3

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью

α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 4, а).

Решение. Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плоскости) и пересекаются в некоторой точке T1, (рис. 4,б), при этом T1 є α, так как QК є α .

Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F (рис.4, в), которая является точкой пересечения плоскости АРR и стороны DE основания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т2 (рис. 4, г), при этом Т2 є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т1 Т2 лежит в секущей плоскости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом прямая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 4, д), которые являются точками пересечения плоскости α с ребрами DE и АЕ пирамиды и служат вершинами искомого сечения.

Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н — еще одной вершине искомого сечения (рис.4, е).

Далее, построим точку Т3 - Т1Т∩ АВ (рис. 4, ж), которая, как точка прямой Т1Т2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т3К — прямая пересечения этих плоскостей. Прямая Т3К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 4, з), которая служит очередной вершиной искомого сечения.

Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1. Т1 = QK ∩АС; 2. F = PR ∩ DE;

3. Т2 = KR ∩ AF; 4. М = Т1Т2 ∩ DE;

5. N = Т1Т2 ∩ АЕ; 6. Н = MR ∩ PD;

7. T3 = Т1ТАВ; 8. L = T3K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение.


hello_html_3bcf76e0.jpghello_html_m16e89ddd.jpg

Рис.4


Сечение многогранника, имеющего параллельные грани (призма, куб параллелепипед), можно строить, используя свойства параллельных плоскостей.

Задача. Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда. Пользуясь свойствами параллельных прямых и плоскостей, построить сечение данного параллелепипеда плоскостью MPR.

Решение. Пусть точки M, P и R расположены на ребрах соответственно DD1, ВВ1 и СС параллелепипеда АВСВА1В1С1В1 (рис. 5, а).

Обозначим: (MPR) = α - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 5, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС1D1D и ВВ1С1С данного параллелепипеда. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.

Так как грань АА1В1В параллельна грани СС1D1D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА1В1В должна быть параллельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 5, в); отрезок РQ - следующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА1D1D параллельна грани СС1В1В, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА1D1D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 5, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD грани АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH и получаем пятиугольник MRPQH - искомое сечение параллелепипеда.


hello_html_de9690c.jpghello_html_m29f31f0c.pnghello_html_m5ef94703.png
а) б) в)

Рис. 5

РАЗДЕЛ 2

МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ


Определение. Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. При этом в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды).

Задача. Построить сечение призмы АВСВЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD1 (рис.7,а).

Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 6). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) — точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС1, ВB1, АА1, ЕЕ1 данной призмы.

Е1  D1

hello_html_m36a92358.jpg

Рис. 6

Для построения точки N = α ∩ СС1  достаточно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD1C1. Для этого, в свою очередь, достаточно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD1C1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD1) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD1) принадлежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ ССдостаточно построить точку X = l ∩ СD. Аналогично, для построения точек Р = α ∩ ВВ1, Q = α ∩ АА1 и R = α ∩ ЕЕдостаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и Т = l ∩ АЕ. Отсюда

Построение. 

  1. X = l ∩ СD (рис. 7, б);

  2. N = МХ ∩ СС1 (рис. 7, б);

  3. У = l ∩ ВС (рис. 7, в);

  4. Р = NY ∩ ВВ1 (рис. 7, в);

  5. Z = l ∩ АВ (рис. 7, в);

  6. Q= РZ ∩ АА1 (рис. 7, г);

  1. T= l ∩ АЕ (рис. 6);

  2. R= QT ∩ ЕЕ1 (рис. 6).

Пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 6).

Доказательство. Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем:

М є α , X є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС1 = N є α , значит, N = α ∩ СС1;

N є α, Y є α => NY є α, тогда NY ∩ ВВ1= Р є α, значит, Р = α ∩ ВВ1;

Р є α, Z є α => РZ є α, тогда PZ ∩ AА1 = Q є α, значит, Q = α ∩ АA1;

Q є α, T є α => QТ є α, тогда QТ ∩ EЕ1 =R є α, значит, R = α ∩ ЕЕ1.

Следовательно, MNPQR - искомое сечение.




hello_html_2fde68fc.jpghello_html_5fc02ee5.jpg

а) б)

hello_html_173ff4c3.jpghello_html_7b247a50.png

в) г)

Рис. 7

Исследование. След l секущей плоскости α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD1 призмы. Поэтому секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет единственное решение.

Задача. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и внутренней точкой К ребра РЕ.

Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис.8): T1 → Q → Т2 → R → Т3 → М → Т4 → N.

Пятиугольник MNKQR — искомое сечение.

«Цепочка» последовательности построения вершин сечения такова:

1. Т1= l ∩ АЕ; 2. Q = Т1К ∩ РА;

3. Т2 = l ∩ АВ; 4. R = Т2Q ∩ РВ;

5. Т3 = l ∩ ВС; 6. М = T3R ∩ РС;

7. Т4 = l ∩ СD; 8. N = Т4М ∩ РD.

hello_html_m57807cf1.jpg

Рис. 8

Секущая плоскость часто задается тремя точками, принадлежащими многограннику. В таком случае для построения искомого сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости основания данного многогранника.









РАЗДЕЛ 3

МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ


Метод внутреннего проектирования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

Задача. Построить сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 9, а).

Решение. Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 9, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К1: К1 = РК ∩ FR (рис. 9, г), при этом Кє α. Тогда: М є α, К1 є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК1 ∩ РD (рис. 9, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q— вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 9, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н1 (рис. 9, ж). Тогда прямая RН1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ — вершине сечения (рис. 9, з).

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

1. К = АD ∩ ЕС; 2. К1 = РК ∩ RF;

3. Q = МК1 ∩ РD; 4. H = BE ∩ АD;

5. Н1 = РН ∩ МQ; 6. N = RН1 ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR — искомое сечение (рис. 9, и).

hello_html_6a86c2ff.jpghello_html_m444363f6.jpghello_html_32bc3b84.jpg

а) б) в)

hello_html_m7b14cb95.jpghello_html_m3043920b.jpghello_html_7b381326.jpg

г) д) е)

hello_html_1a89b325.jpghello_html_m74b59c80.jpghello_html_370c230d.jpg

ж) з) и)

Рис. 9

Задача. Постройте сечение призмы АВСDEА1В1С1D1Е1, плоскостью α, заданной точками М є ВВ1, Р є DD1, Q є ЕЕ(рис.10).

Решение. Обозначим: β — плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы.

Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА1.

Плоскости А1АD и ВЕЕ1 пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Так как плоскости А1АD и ВЕЕ1 проходят через параллельные ребра АА1 и ВВ1 призмы и имеют общую точку К, то прямая КК1 их пересечения проходит через точку К и параллельна ребру ВВ1. Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К1= КК1 ∩ QМ, КК1 ║ ВВ1. Так как QM є α, то Кє α.

Е1

hello_html_2a2bc0a5.jpg

Рис. 10

Получили: Р є α , К1 є α => прямая РК1 є α, при этом РК1 ∩ АА1 = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА1(R = α ∩ АА1), поэтому является вершиной искомого сечения. Аналогично строим точку N = α ∩ СС1.

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

  1. К = АD ∩ ВЕ; 2. К1 = КК1 ∩ MQ, КК1 || ВВ1;

  1. R = РК1 ∩ АА1; 4. Н = ЕС ∩АD;

  1. H1 – HH1 ∩ РR, НН1 || СС1; 6.N = QН1 ∩ СС1.

Пятиугольник MNPQR— искомое сечение.



РАЗДЕЛ 4

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ

МНОГОГРАННИКОВ


Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендикулярности прямых и плоскостей.

Задача. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью α, заданной точками Р, Q и R, если точка Р лежит на диагонали А1C1, точка Q - на ребре ВВ1 и точка R - на ребре DD1 (рис. 11).

Решение. а) Решим эту задачу с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей.

hello_html_4d851ed2.jpg

Рис. 11

Построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоскости АВС Для этого строим точки Т1 = РQ ∩ Р1В, где PP1║AA1, P1 є AC, и T2 = RQ ∩ ВD. Построив след Т1Т2, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А1B1C1, которая параллельна плоскости АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость А1B1Cпо прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой Т1Т2. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А1B1 и А1D1. Получаем: М = α ∩ А1B1, Е =α∩ А1D1. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения.

Далее, так как плоскость ВСС1 параллельна плоскости грани ADD1A1, то плоскость α пересекает грань ВСC1B1 по от резку QF (F= α ∩ СС1), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. Точку F можно получить, проведя RF║ MQ.

б) Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей.

hello_html_6c8adcd0.jpg

Рис. 12

Пусть Н=АС ∩ ВD (рис. 12). Проведя прямую НН1 параллельно ребру ВВ1 є RQ), построим точку F: F=РН1 ∩ CC1.Tочка F является точкой пересечения плоскости α с ребром СС1, так как РНє α. Тогда отрезки RF и QF, по которым плоскость α пересекает соответственно грани CС1D1D и ВСС1В1 данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения.

Так как плоскость АВВ1 параллельна плоскости CDD1, то пересечением плоскости α и грани АВВ1А1 является отрезок QМ (М є А1В1), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее, точка Е = МР ∩ А1D1 является точкой пересечения плоскости α и ребра А1D1, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. Точку Е можно построить, проведя прямую RЕ ║ FQ. Тогда М = РЕ ∩ А1B1.




РАЗДЕЛ 5

КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ


Любую плоскость можно задать уравнением первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0 (общее уравнение плоскости),

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Если плоскость (рис.13) пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то можно записать уравнение плоскости в отрезках

 

y

 

z

 = 1

a

b

c


hello_html_914f398.jpg

Рис. 13


Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0, y0, z0), перпендикулярно вектору нормали n (A; B; C) имеет вид:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Если заданы координаты трех точек A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), лежащих на плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой можно найти по следующей формуле:

hello_html_5a204f57.png


Задача. Дано: точка на плоскости P(2,6,-3) и вектор нормали N(9,5,2).

Решение. Уравнение плоскости записывается так:

9(x - 2) + 5(y - 6) + 2(z + 3) = 0

9x -18 + 5y - 30 + 2z + 6 = 0

9x + 5y + 2z - 42 = 0


 Задача. Вершина B прямоугольного параллелепипеда ABCDABCD с отношением рёбер AB : AD : AA = 1 : 2 : 3 принята за начало прямоугольной системы координат, а векторы hello_html_m1c34d767.gifhello_html_m1c34d767.gif, hello_html_m4714d127.gifhello_html_m4714d127.gif hello_html_m13ecd07b.gifhello_html_m13ecd07b.gif и hello_html_2a653bd3.gifhello_html_2a653bd3.gif hello_html_26590f34.gifhello_html_26590f34.gif приняты соответственно за единичные векторы hello_html_m362b6f70.gifhello_html_m362b6f70.gif Построить сечения параллелепипеда плоскостями α, α, α, заданными в этой системе координат соответственно следующими уравнениями: а) 4x+y-2z-2=0; б) 4x+y-2z=0; в) 2x-z-1=0.

Решение. а). Для построения заданного сечения найдём три точки, принадлежащие плоскости α, но, естественно, не лежащие на одной прямой, например точки пересечения плоскости α с осями координат. Так, если плоскость α пересекает ось Bx в точке К, то точка К имеет координаты (k; 0; 0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α, получим k = hello_html_m4714d127.gifhello_html_m4714d127.gif. Таким образом, плоскость α пересекает ось Вх в точке K (hello_html_m4714d127.gifhello_html_m4714d127.gif; 0; 0). Построим эту точку. Аналогично, если плоскость α пересекает ось By в точке L, то точка L имеет координаты (0; ɭ; 0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α, найдём, что L (0; 2; 0). Построим точку L (она совпала с точкой С). Точно так же находим, что плоскость α пересекает ось Bz в точке М (0; 0; -1). Построим эту точку и затем построим сечение призмы плоскостью α, проходящей через точки K, L и М. Получаем четырёхугольник KCDA (рис.14).

hello_html_3d2e0a76.png

Рис. 14

б). Так как в уравнении плоскости α нет свободного члена, то ясно, что плоскость α проходит через точку В – начало заданной системы координат, т.е. все координатные оси плоскость α пересекает в точке В. Тогда для построения сечения параллелепипеда плоскостью α найдём точки пересечения плоскости α с какими-нибудь другими прямыми.

Если, например, плоскость α пересекает прямую АА в точке F, то точка F имеет координаты (1; 0; f). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α, получим f=2. Таким образом, плоскость α пересекает прямую АА в точке F (1; 0; 2). Построим эту точку.

Если, далее, плоскость α пересекает прямую DD в точке Е, то точка Е имеет координаты (1; 2; e). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α, находим Е (1; 2; 3). Построим эту точку. Ясно, что точка Е совпадает с точкой D. Тремя точками B , F и D сечение параллелепипеда плоскостью α определено. Строим это сечение. Получаем четырёхугольник BFDV (рис. 15).

Замечание. Нетрудно заметить, что плоскости α и α параллельны. Поэтому если одна из этих плоскостей уже построена, то вторую можно построить как параллельную первой, т.е. не подсчитывая координат точек пересечения её с какими-нибудь прямыми.

hello_html_ce4db5.png

Рис. 15

в) Через начало системы координат плоскость α не проходит. Будем поэтому искать точки пересечения её с осями координат. Если плоскость α пересекает ось Вх в точке Т, то координаты (t; 0; 0) точки Т подставляем в уравнение плоскости α и находим, что плоскость α пересекает ось Вх в точке T (hello_html_m4714d127.gifhello_html_m4714d127.gif; 0; 0). Построим эту точку.

Пусть, далее, плоскость α пересекает ось By в точке U (0; Y; 0). Подставляя координаты точки U в уравнение плоскости α, приходим к противоречию (-1 = 0). Это значит, что предположение о наличии точки пересечения плоскости α с осью By ложно.

Итак, плоскость α параллельна оси By . Пологая, что плоскость α пересекает ось Bz в точке W (0 ;0 ;w ), находим, что W (0; 0; -1). Точками T и W сечение параллелепипеда плоскостью α, параллельной прямой By определяется. Строим это сечение. Получаем четырёхугольник TPQR (рис. 16).

hello_html_5af6060.png

Рис. 16


Задача. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1  все ребра которой равны, точка  К — середина В1С1.  Найти угол между плоскостью АВС и плоскостью В1КР,  где Р — середина АА1 (рис. 17).

Решение.

hello_html_7c7636a.png

Рис. 17

Пусть ребро заданной призмы равно 2. Введем декартову систему координат. Выберем начало координат в точке О — середине ребра АВ. Ось hello_html_277729cd.png направим по ОС,  ось у — по ОВ,  ось hello_html_m18ec4efe.png — по ОО1; О1 — середина А1В1.  При выбранной системе координат и длине ребра призмы найдем координаты нужных точек:

hello_html_m138e53e7.png

Ясно, что уравнение плоскости АВС будет иметь вид: hello_html_481eab97.png , а плоскость В1КР пройдет через точку С1 , т.е. совпадет с плоскостью В1С1Р.

Уравнение плоскости В1С1Р будем искать в виде  hello_html_m75336ed.png Пусть hello_html_m40e6e010.png Найдем значения hello_html_53575ad2.png и hello_html_m72ce8c2.png методом неопределенных коэффициентов.

 hello_html_7c42ad2e.png hello_html_4fdb23e0.png hello_html_34da71a9.png hello_html_4fdb23e0.png hello_html_m5c8a9e78.png

 

Искомое уравнение имеет вид: hello_html_m4344287b.png или hello_html_m2a878ce0.png

Угол между плоскостями АВС  и  В1С1Р  равен углу между их нормальными векторами hello_html_m5bf2773f.png и hello_html_mac877df.png соответственно hello_html_m4144a10e.png hello_html_m68c780b7.png  Для отыскания угла hello_html_m67cac62e.png (так обозначим искомый угол) воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов:

hello_html_269bb91e.png

hello_html_m761f74d8.png

Ответ: 30º.






ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.

Целью исследования было изучение различных методов построения сечений многогранников. Для этого изучен теоретический материал по данной теме, систематизированы методы решения задач на построение сечений, приведены примеры задач на применение каждого метода, рассмотрены примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.

Данная работа может быть использована учащимися старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах.













СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

  2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

  3. Потоскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости. Построение сечений многогранников. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педвуза. — Тольятти: ТГУ, 2004.

  4. Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,-2009,№2/№3,1-64.

  5. Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия: пособ. для подготовки к ЕГЭ / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2009. — 272 с. 

  6. http://reshuege.ru/test?theme=230

  7. http://5klass.net

  8. http://www.mathprofi.ru/poverhnosti.html

  9. http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-058*page.htm










Общая информация

Номер материала: ДБ-266173

Похожие материалы