Исследовательская работа на тему "Методы построения сечений многогранников"

        МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК «ИСКАТЕЛЬ»

                                                                           Отделение: математика

                                                                                 Секция: математика

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Работу выполнил:

_______________

ученик         класса

Научный руководитель:

Тезисы

Методы построения сечений многогранников

      Отделение: математика

      Секция: математика

      Автор: 

      Научный руководитель:

В школе  плоские сечения многогран­ников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие  методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффек­тивными яв­ляются метод следов,  метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.

Целью исследования является изучение различных методов построения сечений многогранников. Для этого изучен теоретический материал по данной теме, систематизированы методы решения задач на построение сечений, приведены примеры задач на применение каждого метода,  рассмотрены примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление  их элементов.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

РАЗДЕЛ 1. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ………………………………………4

РАЗДЕЛ 2. МЕТОД СЛЕДОВ  В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………10

РАЗДЕЛ 3. МЕТОД  ВНУТРЕННЕГО  ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………14

РАЗДЕЛ 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ  МЕТОД  ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ

МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………17

РАЗДЕЛ 5. КООРДИНАТНЫЙ  МЕТОД  ПОСТРОЕНИЯ  СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………………………………………….19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………26

ВВЕДЕНИЕ

Выпускникам  предстоит сдавать экзамен  по математике, а знание и умение решать стереометрические задачи необходимо для того, чтобы написать данный экзамен на максимальное количество баллов. Актуальность данной работы состоит в необходимости самостоятельно готовиться к экзамену, а рассматриваемая тема является одной из важнейших.

Анализ демонстрационных, диагностических и тренировочных вариантов ЕГЭ с 2009-2014 гг. показал, что 70% геометрических  задач  составляют задачи на построение сечений и вычисление  их элементов – углов,  площадей.

В учебном плане задачам на построение сечений многогранников отводится 2 академических часа, что недостаточно для изучения данной темы. В школе  плоские сечения многогран­ников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие  методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффек­тивными яв­ляются метод следов,  метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.

Объект исследования: методы построения сечений многогранников.

Цель исследования: изучить различные методы построения сечений многогранников.

Задачи исследования:

1) Изучить теоретический материал по данной теме.

2) Систематизировать методы решения задач на построение сечений.

3) Привести примеры задач на применение каждого метода.

4) Рассмотреть примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление  их элементов.

РАЗДЕЛ 1

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ

     Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер - отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точ­ке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольни­ка служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрез­ки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомо­го сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с реб­рами многогранника. Затем последовательно со­единить отрезками эти точки.

      Секущая плоскость α может быть задана: тре­мя точками, не лежащими на одной прямой; пря­мой и не принадлежащей ей точкой; другими ус­ловиями, определяющими ее положение относи­тельно данного многогранника. Например, на рис.1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ;

Рис.1

    Задача.  В параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ постройте сечение плоскостью, проходящей через вершины C и D₁ и точку K отрезка B₁C₁ (рис.2, а).

      Решение. 1.Т.к. С∈DD₁C₁, D₁∈DD₁C₁, то по аксиоме (через две точки, принадлежащие плоскости, проходит прямая, притом только одна) построим след CD₁ в плоскости   DD₁C₁ (рис.2, б).

2. Аналогично в плоскости А₁В₁С₁ построим след DK, в плоскости BB₁C₁ построим след CK.

3. D₁KC – искомое сечение (рис.2, в)

  

       а)                                              б)                                            в)

Рис.2

Задача. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н — внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 3, а).

Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плос­кость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК — одна из сто­рон искомого сечения (рис.3, б).

2-й шаг. Аналогично, отрезок КН — другая сто­рона искомого сечения (рис.3, в).

3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновремен­но ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэто­му отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плос­кости грани АВР и пересекаются. Построим точ­ку T= КН ∩АР (рис. 3, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пе­ресечения двух плоскостей плоскость α и плос­кость АРС пересекаются по прямой МТ, кото­рая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 3, д).

4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанав­ливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение — четырехуголь­ник MKHR (рис.3,е).

   Рис.3

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью

 α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 4, а).

Решение. Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плос­кости) и пересекаются в некоторой точке T₁, (рис. 4,б), при этом T₁ є α, так как QК є α .

Прямая РR пересекает DE в некоторой точ­ке F (рис.4, в), которая является точкой пере­сечения плоскости АРR и стороны DE осно­вания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в неко­торой точке Т₂ (рис. 4, г), при этом Т₂ є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т₁ Т₂ лежит в секущей плос­кости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом пря­мая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 4, д), которые являются точками пересе­чения плоскости α с ребрами DE и АЕ пира­миды и служат вершинами искомого сечения.

Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме пря­мой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н — еще одной вершине ис­комого сечения (рис.4, е).

Далее, построим точку Т₃ - Т₁Т₂ ∩ АВ (рис. 4, ж), которая, как точка прямой Т₁Т₂ є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т₃ и К секущей плоскости α, значит, прямая Т₃К — прямая пересечения этих плоско­стей. Прямая Т₃К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 4, з), которая служит очередной верши­ной искомого сечения.

Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1. Т₁ = QK ∩АС;     2. F = PR ∩ DE;

3. Т₂ = KR ∩ AF;     4. М = Т₁Т₂ ∩ DE;

5. N = Т₁Т₂ ∩ АЕ;    6. Н = MR ∩ PD;

7. T₃ = Т₁Т₂ ∩ АВ;    8. L = T₃K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сече­ние.

   

Рис.4

Сечение многогранника, имеюще­го параллельные грани  (призма, куб параллелепипед),  можно строить, используя свойства парал­лельных плоскостей.

Задача. Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда.  Пользуясь свой­ствами параллельных прямых и плоскостей, по­строить сечение данного параллелепипеда плоско­стью MPR.

Решение. Пусть точки M, P и R располо­жены на ребрах соответственно DD₁, ВВ₁ и СС₁  параллелепипеда АВСВА₁В₁С₁В₁ (рис. 5, а).

Обозначим: (MPR) = α - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 5, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС₁D₁D и ВВ₁С₁С данного параллелепипе­да. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересече­нии двух параллельных плоскостей третьей.

Так как грань АА₁В₁В параллельна грани СС₁D₁D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА₁В₁В должна быть парал­лельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 5, в); отрезок РQ - сле­дующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА₁D₁D параллельна грани СС₁В₁В, то прямая пересечения плоскости α с плоско­стью грани АА₁D₁D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 5, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD гра­ни АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH и получаем пя­тиугольник MRPQH - искомое сечение паралле­лепипеда.

  
             а)                                            б)                                             в)

Рис. 5

РАЗДЕЛ 2

МЕТОД СЛЕДОВ  В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Определение. Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каж­дой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Имен­но это свойство следа используют при по­строении плоских сечений многогранников методом следов. При этом в секущей плоскости  удобно использовать такие прямые, ко­торые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей по­верхности призмы (пирамиды).

Задача. Построить сечение призмы АВСВЕА₁В₁С₁D₁Е₁ плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основа­ния призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD₁ (рис.7,а).

Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 6). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) — точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС₁, ВB₁, АА₁, ЕЕ₁ данной призмы.

                                                                    Е₁         D₁

 

Рис. 6

Для построения точки N = α ∩ СС₁  до­статочно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD₁C₁. Для этого, в свою очередь, доста­точно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости осно­вания призмы, то она может пересекать пло­скость грани СDD₁C₁ лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD₁) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD₁) принад­лежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС₁ достаточно построить точку X = l ∩ СD.  Аналогично,  для построения точек   Р = α ∩ ВВ₁,    Q = α ∩ АА₁ и R = α ∩ ЕЕ₁ достаточно построить соответственно точ­ки:                У = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и Т = l ∩ АЕ. Отсюда

Построение. 

1.     X = l ∩ СD (рис. 7, б);

2.     N = МХ ∩ СС₁ (рис. 7, б);

3.     У = l ∩ ВС (рис. 7, в);

4.     Р = NY ∩ ВВ₁ (рис. 7,  в);

5.     Z = l ∩ АВ (рис. 7, в);

6.     Q= РZ ∩ АА₁ (рис. 7, г);

7.     T= l ∩ АЕ (рис. 6);

8.     R= QT ∩ ЕЕ₁ (рис. 6).

Пятиугольник MNPQR — искомое сече­ние (рис. 6).

Доказательство. Так как прямая  l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем:

М є α , X є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС₁ = N є α , значит, N = α ∩ СС₁;

N є α, Y є α => NY є α, тогда NY ∩ ВВ₁= Р є α, значит, Р = α ∩ ВВ₁;

Р є α, Z є α => РZ є α, тогда PZ ∩ AА₁ = Q є α, значит, Q = α ∩ АA₁;

Q є α, T є α => QТ є α, тогда QТ ∩ EЕ₁ =R є α, значит, R = α ∩ ЕЕ₁.

Следовательно, MNPQR - искомое се­чение.

       

                            а)                                                                    б)

              

                              в)                                                                  г)

Рис. 7

Исследование. След l секущей плоско­сти α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадле­жит боковому ребру DD₁ призмы. Поэто­му секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не при­надлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет единственное ре­шение.

Задача. Построить сечение пятиуголь­ной пирамиды PABCDE плоскостью, ко­торая задана следом l и внутренней точ­кой К ребра РЕ.

Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис.8): T₁ → Q → Т₂ → R → Т₃ → М → Т₄ → N.

Пятиугольник MNKQR — искомое се­чение.

«Цепочка» последовательности построе­ния вершин сечения такова:

1. Т₁= l ∩ АЕ;             2. Q = Т₁К ∩ РА;

3. Т₂ = l ∩ АВ;            4. R = Т₂Q ∩ РВ;

5. Т₃ = l ∩ ВС;            6. М = T₃R ∩ РС;

7. Т₄ = l ∩ СD;            8. N = Т₄М ∩ РD.

Рис. 8

Секущая плоскость часто за­дается тремя точками, принадлежащими многограннику. В таком случае для построения искомо­го сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости осно­вания данного многогранника.

РАЗДЕЛ 3

МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Метод  внутреннего проекти­рования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется  на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

Задача. Построить сечение пирами­ды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 9, а).

Решение. Плоскость основания пирами­ды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секу­щей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пира­миды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 9, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К₁: К₁ = РК ∩ FR (рис. 9, г), при этом К₁ є α. Тогда: М є α, К₁ є α => прямая МK є а. Поэ­тому точка Q = МК₁ ∩ РD (рис. 9, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q— вер­шина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по пря­мым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 9, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н₁ (рис. 9, ж). Тогда прямая RН₁ пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ — вершине сечения (рис. 9, з).

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения та­кова:

1. К = АD ∩ ЕС;       2. К₁ = РК ∩ RF;

3. Q = МК₁ ∩ РD;      4. H = BE ∩ АD;

5. Н₁ = РН ∩ МQ;      6. N = RН₁ ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR — искомое се­чение (рис. 9, и).

                  

                  а)                                б)                                   в)

                         

                      г)                                      д)                              е)

              

           ж)                                             з)                                       и)

Рис. 9

Задача. Постройте сечение призмы АВСDEА₁В₁С₁D₁Е₁, плоскостью α, задан­ной точками М є ВВ₁, Р є DD₁, Q є ЕЕ₁ (рис.10).

Решение. Обозначим: β — плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересече­ния плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы.

Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА₁.

Плоскости А₁АD и ВЕЕ₁ пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в неко­торой точке К. Так как плоскости А₁АD и ВЕЕ₁ проходят через параллельные ре­бра АА₁ и ВВ₁ призмы и имеют общую точку К, то прямая КК₁ их пересечения проходит через точку К и параллельна ре­бру ВВ₁. Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К₁= КК₁ ∩ QМ, КК₁ ║ ВВ₁. Так как QM є α, то К₁ є α.

Е₁

Рис. 10

Получили: Р є α , К₁ є α => прямая РК₁ є α, при этом РК₁ ∩ АА₁ = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА₁(R = α ∩ АА₁), поэтому является вершиной искомого сечения.   Аналогично строим точку N = α ∩ СС₁.

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения та­кова:

1.     К = АD ∩ ВЕ;                          2. К₁ = КК₁ ∩ MQ, КК₁ || ВВ₁;

2.     R = РК₁ ∩ АА₁;                       4. Н = ЕС ∩АD;

4.     H₁ – HH₁ ∩ РR, НН₁ || СС₁;    6.N = QН₁ ∩ СС₁.

     Пятиугольник MNPQR— искомое сечение.

РАЗДЕЛ 4

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ

МНОГОГРАННИКОВ

Сущность комбинированного метода по­строения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах по­строения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проекти­рования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендику­лярности прямых и плоскостей.

Задача. Построить сечение паралле­лепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ плоскостью α, заданной точками Р, Q и R, если точка Р лежит на диагонали А₁C₁, точка Q  -  на ребре ВВ₁ и точка R - на ребре DD₁ (рис. 11).

Решение. а) Решим эту задачу с при­менением метода следов и теорем о парал­лельности прямых и плоскостей.

Рис. 11

Построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоскости АВС Для этого строим точки Т₁ = РQ ∩ Р₁В, где PP₁║AA₁, P₁ є AC,  и T₂ = RQ ∩ ВD. По­строив след Т₁Т₂, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А₁B₁C₁, которая парал­лельна плоскости АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость А₁B₁C₁ по прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой Т₁Т₂. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А₁B₁ и А₁D₁. Получаем: М = α ∩ А₁B₁, Е =α∩ А₁D₁. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения.

Далее, так как плоскость ВСС₁ парал­лельна плоскости грани ADD₁A₁, то пло­скость α пересекает грань ВСC₁B₁ по от резку QF (F= α ∩ СС₁), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиуголь­ник ERFQM - искомое сечение. Точку F можно получить, проведя RF║ MQ.

б) Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей.

Рис. 12

Пусть Н=АС ∩ ВD (рис. 12). Прове­дя прямую НН₁ параллельно ребру ВВ₁ (Н₁ є RQ), построим точку F: F=РН₁ ∩ CC₁.Tочка F является точкой пересечения пло­скости α с ребром СС₁, так как РН₁ є α. Тогда отрезки RF и QF, по которым пло­скость α пересекает соответственно грани CС₁D₁D и ВСС₁В₁ данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения.

Так как плоскость АВВ₁ параллельна плоскости CDD₁, то пересечением плоско­сти α и грани АВВ₁А₁ является отрезок QМ (М є А₁В₁), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее, точка Е = МР ∩ А₁D₁ является точкой пересечения плоскости α и ребра А₁D₁, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. Точку Е можно по­строить, проведя прямую RЕ ║ FQ.  Тогда М = РЕ ∩ А₁B₁.

РАЗДЕЛ 5

КООРДИНАТНЫЙ  МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Любую плоскость можно задать уравнением первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0  (общее уравнение плоскости),

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

          Если плоскость (рис.13) пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами  (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то можно записать уравнение  плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c

Рис. 13

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x₀, y₀, z₀), перпендикулярно вектору нормали n (A; B; C) имеет вид:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

Если заданы координаты трех точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃), лежащих на плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой можно найти по следующей формуле:

Задача. Дано: точка на плоскости  P(2,6,-3) и вектор нормали N(9,5,2).

Решение. Уравнение плоскости записывается так:

9(x - 2) + 5(y - 6) + 2(z + 3) = 0

9x -18 +  5y - 30 +  2z + 6   = 0

9x + 5y + 2z - 42 = 0

        Задача. Вершина B прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ с отношением рёбер AB : AD : AA₁ = 1 : 2 : 3 принята за начало прямоугольной системы координат, а векторы  ,   и     приняты соответственно за единичные векторы  Построить сечения параллелепипеда плоскостями α₁, α₂, α₃, заданными в этой системе координат соответственно следующими уравнениями:  а) 4x+y-2z-2=0;  б) 4x+y-2z=0;  в) 2x-z-1=0.

       Решение. а). Для построения заданного сечения найдём три точки, принадлежащие плоскости α₁, но, естественно, не лежащие на одной прямой, например точки пересечения плоскости α₁ с осями координат. Так, если плоскость α₁ пересекает ось Bx в точке К, то точка К имеет координаты  (k; 0; 0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α₁, получим k = . Таким образом, плоскость α₁ пересекает ось Вх в точке K (; 0; 0). Построим эту точку.                                                                                                                                Аналогично, если плоскость α₁ пересекает ось By в точке L, то точка L имеет координаты     (0; ɭ; 0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α₁, найдём, что L (0; 2; 0). Построим точку L (она совпала с точкой С).                                                                                                     Точно так же находим, что плоскость α₁ пересекает ось Bz в точке М (0; 0; -1). Построим эту точку и затем построим сечение призмы плоскостью α₁, проходящей через точки K, L и М. Получаем четырёхугольник KCD₂A₂ (рис.14).

Рис. 14

               б). Так как в уравнении плоскости α₂ нет свободного члена, то ясно, что плоскость α₂ проходит через точку В – начало заданной системы координат, т.е. все координатные оси плоскость α₂ пересекает в точке В. Тогда для построения сечения параллелепипеда плоскостью α₂ найдём точки пересечения плоскости α₂ с какими-нибудь другими прямыми.

              Если, например, плоскость α₂ пересекает прямую АА₁ в точке F, то точка F имеет координаты (1; 0; f). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α₂, получим f=2. Таким образом, плоскость α₂ пересекает прямую АА₁ в точке     F (1; 0; 2). Построим эту точку.

                Если, далее, плоскость α₂ пересекает прямую DD₁ в точке Е, то точка Е имеет координаты (1; 2; e). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α₂, находим Е (1; 2; 3). Построим эту точку.  Ясно, что точка Е совпадает с точкой D₁. Тремя точками  B , F и D₁  сечение параллелепипеда плоскостью α₂  определено. Строим это сечение. Получаем четырёхугольник BFD₁V (рис. 15).

Замечание. Нетрудно заметить, что плоскости α₁ и α₂ параллельны. Поэтому если одна из этих плоскостей уже построена, то вторую можно построить как параллельную первой, т.е. не подсчитывая координат точек пересечения её с какими-нибудь прямыми.

Рис. 15

                в) Через начало системы координат плоскость α₃ не проходит. Будем поэтому искать точки пересечения её с осями координат.                                                                                                         Если плоскость α₃  пересекает ось Вх в точке Т, то координаты (t; 0; 0) точки Т подставляем в уравнение плоскости α₃ и находим, что плоскость α₃ пересекает ось Вх в точке T (; 0; 0). Построим эту точку.

            Пусть, далее, плоскость α₃ пересекает ось By в точке U (0; Y; 0). Подставляя координаты точки U в уравнение плоскости α₃, приходим к противоречию (-1 = 0). Это значит, что предположение о наличии точки пересечения плоскости α₃ с осью By ложно.    

           Итак, плоскость α₃ параллельна оси  By . Пологая, что плоскость α₃ пересекает ось Bz в точке W (0 ;0 ;w ), находим,  что  W (0; 0; -1). Точками T и W сечение параллелепипеда плоскостью α₃, параллельной прямой By определяется. Строим это сечение. Получаем четырёхугольник TPQR (рис. 16).

Рис. 16

За­да­ча. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА₁В₁С₁  все ребра ко­то­рой равны, точка  К — се­ре­ди­на В₁С₁.  Най­­ти угол между плос­ко­стью АВС и плос­ко­стью В₁КР,  где Р — се­ре­ди­на АА₁ (рис. 17).

Ре­ше­ние.

Рис. 17

Пусть ребро за­дан­ной приз­мы равно 2. Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат. Вы­бе­рем на­ча­ло ко­ор­ди­нат в точке О — се­ре­ди­не ребра АВ. Ось  на­пра­вим по ОС,  ось у — по ОВ,  ось  — по ОО₁; О₁ — се­ре­ди­на А₁В₁.  При  вы­бран­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат и длине ребра приз­мы най­дем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек:

Ясно, что урав­не­ние плос­ко­сти АВС будет иметь вид:  , а плос­кость В₁КР прой­дет через точку С₁ , т.е. сов­па­дет с плос­ко­стью В₁С₁Р.

Урав­не­ние плос­ко­сти В₁С₁Р будем ис­кать в виде   Пусть  Най­дем зна­че­ния  и  ме­то­дом не­опре­де­лен­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов.

     

Ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид:  или 

Угол между плос­ко­стя­ми АВС  и  В₁С₁Р  равен  углу между их нор­маль­ны­ми век­то­ра­ми  и  со­от­вет­ствен­но    Для отыс­ка­ния угла  (так обо­зна­чим ис­ко­мый угол) вос­поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния двух век­то­ров:

Ответ: 30º.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В школе  плоские сечения многогран­ников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие  методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффек­тивными яв­ляются метод следов,  метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.

Целью исследования было изучение различных методов построения сечений многогранников. Для этого изучен теоретический материал по данной теме, систематизированы методы решения задач на построение сечений, приведены примеры задач на применение каждого метода,  рассмотрены примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление  их элементов.

Данная работа может быть использована учащимися старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

2.     Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

3.     Потоскуев Е.В. Изображение простран­ственных фигур на плоскости. Построение се­чений многогранников. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педвуза. — Тольятти: ТГУ, 2004.

4.     Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,-2009,№2/№3,1-64.

5.     Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия: пособ. для подготовки к ЕГЭ / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2009. — 272 с. 

6.     http://reshuege.ru/test?theme=230

7.     http://5klass.net

8.     http://www.mathprofi.ru/poverhnosti.html

9.     http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-058*page.htm