Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа на тему "Путешествие в мир фракталов"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа на тему "Путешествие в мир фракталов"

библиотека
материалов

Цель исследования: 

  • познакомиться с новой ветвью математики -- фракталами.

  • Выявить способы построения фракталов и их виды.

  • Выяснить, как в жизни могут помочь знания по данной теме.



Задачи работы: 

  • Описать геометрический смысл фрактала.

  • Узнать о применении фракталов в науке;

  • Увидеть единство в строении человека, растительного мира и неживой природы с точки зрения фрактальной геометрии. 

Новизна исследования: 

  • Открытие фракталов в окружающей нас действительности. 































Оглавление.

  1. Введение. Кто придумал фрактал с. 4 – 7

  2. Типы фракталов с. 7 – 24

    1. Геометрические фракталы с. 7 – 20

    2. Алгебраические фракталы с. 20 – 22

    3. Стохастические фракталы с. 22 – 24

  3. Применение фракталов. с. 24 – 26

  4. Заключение. с. 26 – 27

  5. Список использованной литературы. с. 28







































  1. Введение.

Математика, 
если на нее правильно посмотреть,
 
отражает не только истину,
 
но и несравненную красоту.
 
Бертранд Рассел.

Что, скажите, привнес компьютер в нашу жизнь нового, неведомого до него? Рискуя навлечь гнев фанатиков бесчисленных вариантов применения компьютеров, хочется сказать: главное - он позволил нам увидеть фракталы. Это модное понятие взрывообразно шагает по планете, завораживая своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории. Если мы зададим слово «фрактал» в любом поисковике, то придем к мысли, что Рунет создавался для фракталов.

Всегда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?

Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Фракталы и математический хаос – подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос – термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды --- вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Вы, конечно же, слышали о фракталах. Вы, конечно же, видели эти захватывающие картинки, которые более реальны, чем сама реальность. Горы, облака, кора дерева - все это выходит за рамки привычной евклидовой геометрии. Мы не можем описать камень или границы острова с помощью прямых, кружков и треугольников. И здесь нам приходят на помощь фракталы. Что же это за знакомые незнакомцы? Когда они появились?

  • Кто придумал "фрактал"?

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии

Рис.1 Рис.2 http://rusproject.narod.ru/article/fractals/ris1.gif

(рисунок №1). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.
На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Вплоть до ХХ века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Р. Мандельброт (Benoit Mandelbrot), математик из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM - отец современной фрактальной геометрии, который и предложил термин
"фрактал" для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам.. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

  • Красота фракталов

Почему же фракталы так красивы? Так сказочно, обворожительно, волнующе красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature"

"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."

  • Определение фрактала

Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу. Так, в одном из примеров Мандельброт предлагает рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и в увеличительное стекло. Во всех случаях получим одни и те же узоры, но только меньшего масштаба. Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.

Фрактал - это математическое понятие многолокального и многоуровнего подобия самому себе. В частности, для геометрических фигур, понятие фрактал означает бесконечное подобное повторение исходной фигуры как равного размера, так и постройка подобных фигур меньших и больших масштабов из исходного геометрического элемента через наращивание подобными же элементами. Матрёшка - всем доступный вариант геометрического фрактала. 

Сейчас многие учёные Вселенную воспринимают в качестве комплекса бесконечных фракталов. Даже все виды атомов представляют варианты фрактала атома водорода. Все виды волн есть фракталы. Все звуки речи есть акустическо-мнемонические фракталы. Все музыкальные произведения, есть фракталы, особенно гармоничны фракталы мелодической музыки. Любой научный, или литературный, или финансовый и т. п. тексты есть фракталы. Ведь все тексты, в качестве системы понятий, построены из отдельных слов-понятий. Стихи есть наиболее наглядные примеры фрактальности текстов! 
Общество людей есть фрактал из элементов-людей, из элементов-семей, из элементов-государств...


  1. Типы фракталов.


Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

  • геометрические фракталы

  • алгебраические фракталы

  • системы итерируемых функций

  • стохастические фракталы


2.1 Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

  1. Снежинка Коха.

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала (т.е. заменяла близким) движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую.

Так появилась очень интересная и довольно знаменитая – снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника, каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длиной в 1/3 исходной . Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длины. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.


Снежинка Коха



Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Первые этапы построения кривой Коха


Первые этапы построения кривой Коха.

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3)n–1. Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

http://elementy.ru/images/posters/koch_fig2_300.gif









  1. Треугольник Серпинского.

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д.



Построение треугольника Серпинского

Построение треугольника Серпинского



Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.



Построение треугольника Серпинского «в обратном направлении»

Построение треугольника Серпинского «в обратном направлении»



Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.



Еще один способ получить треугольник Серпинского

Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос».

Игра Хаос

С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы. Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A1A2A3. Отмечают любую начальную точку B0. Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B1 — середину отрезка с концами в этой вершине и в B0(на рисунке справа случайно выбралась вершина A1). То же самое повторяют с точкой B1, чтобы получить B2. Потом получают точки B3B4, и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности Bi, то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского.

Ниже изображено, что пол учается, когда отмечено 100, 500 и 2500 точек.

Игра Хаос: 100, 500 и 2500 точек


Некоторые свойства

  • Фрактальная размерность . Треугольник Серпинского состоит из трех копий самого себя, каждая в два раза меньше. Взаимное расположение их таково, что если уменьшить клеточки сетки в два раза, то число квадратиков, пересекающихся с фракталом, утроится.

  • Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Это означает, что в фрактал не влезет ни один, даже очень маленький, кружок. То есть, если отталкиваться от построения первым способом, из треугольника «вынули» всю внутренность: после каждой итерации площадь того, что остается, умножается на 3/4, то есть становится всё меньше и стремится к 0. Это не строгое доказательство, но другие способы построения могут только усилить уверенность, что это свойство всё-таки верно.

  • Неожиданная связь с комбинаторикой. Если в треугольнике Паскаля с 2n строками покрасить все четные числа белым, а нечетные — черным, то видимые числа образуют треугольник Серпинского (в некотором приближении).

Варианты

Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского. Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д. Как и у треугольника, у квадрата нулевая площадь.

Ковер Серпинского, первые 5 итераций


Пирамида Серпинского. Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.


http://elementy.ru/images/posters/sierpinski_fig7_600.jpg


Губка Менгера. Обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27), но при этом бесконечно большая площадь.

http://elementy.ru/images/posters/sierpinski_fig8_600.jpg

  1. Кривые Пеано и Гильберта.

Еще несколько примеров линий, заполняющих часть плоскости . Впервые такой объект появился в статье итальянского математика Джузеппе Пеано в 1890 году. Пеано пытался найти хоть сколько-нибудь наглядное объяснение того, что отрезок и квадрат равномощны (если рассматривать их как множества точек), то есть в них «одинаковое» количество точек. Эта теорема была ранее доказана Георгом Кантором в рамках придуманной им теории множеств. Однако подобные противоречащие интуиции результаты вызывали большой скепсис по отношению к новой теории. Пример Пеано — построение непрерывного отображения из отрезка на квадрат — стал хорошим подтверждением правоты Кантора.

Любопытно, что в статье Пеано не было ни одной иллюстрации. Иногда выражение кривая Пеано относят не к конкретному примеру, а к любой кривой, которая заполняет часть плоскости или пространства.


Кривая Пеано, первые три итерации



Эта кривая (кривая Гильберта) была описана Давидом Гильбертом в 1891 году. Мы можем увидеть лишь конечные приближения к тому математическому объекту, который имеется в виду, — сам он получится в пределе только после бесконечного числа операций.

Вариант кривой Пеано — кривая Гильберта, первые шесть итераций


А есть еще и трехмерные аналоги таких линий. Например трехмерная кривая Гильберта, или куб Гильберта:

Элегантная металлическая версия трехмерной кривой Гильберта (третья итерация), созданная профессором компьютерных наук Калифорнийского университета в Беркли Карло Секином (Carlo H. Séquin). Изображение с сайта www.cs.berkeley.edu

Элегантная металлическая версия трехмерной кривой Гильберта (третья итерация), созданная профессором компьютерных наук Калифорнийского университета в Беркли Карло Секином.

Такую модель можно построить самому из 64 пластмассовых сантехнических уголков:


Пластмассовый куб Гильберта (вторая итерация). Изображение с сайта momath.org


Пластмассовый куб Гильберта (вторая итерация).


  1. Дерево Пифагора.

Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (18911961) во время Второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку.

Дерево Пифагора


Называется так потому, что каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора, «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Хорошо видно, что всё дерево ограничено. Если самый большой квадрат единичный, то дерево поместится в прямоугольник 6 × 4. Значит, его площадь не превосходит 24. Но с другой стороны, каждый раз добавляется в два раза больше троек квадратиков, чем в предыдущий, а их линейные размеры в √2 раз меньше. Поэтому на каждом шаге добавляется одна и та же площадь, которая равна площади начальной конфигурации, то есть 2. Казалось бы, тогда площадь дерева должна быть бесконечна! Но на самом деле противоречия здесь нет, потому что довольно быстро квадратики начинают перекрываться, и площадь прирастает не так быстро. Она всё-таки конечна, но, по всей видимости, до сих пор точное значение неизвестно, и это открытая проблема.

Если менять углы при основании треугольника, то будут получаться немного другие формы дерева. А при угле 60° все три квадрата окажутся равными, а дерево превратится в периодический узор на плоскости:


http://elementy.ru/images/posters/pythagoras_fig1_600.gif

Можно даже заменять квадраты на прямоугольники. Тогда дерево будет больше похоже на настоящие деревья. А при некоторой художественной обработке получаются довольно реалистичные изображения:

http://elementy.ru/images/posters/pythagoras_fig2_1024.jpg


    1. Алгебраические фракталы.

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Алгебраические фракталы могут быть линейными и нелинейными. Линейные фракталы - это фракталы, определяемые линейными функциями, то есть уравнениями первого порядка. Значительно богаче и разнообразнее нелинейные фракталы - это фракталы, определяемые нелинейными функциями. Примерами алгебраических фракталов  являются Множество Мальдеьброта, Множество Жюлиа

Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

  • с течением времени стремится к бесконечности;

  • стремится к 0;

  • принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;

  • поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Алгебраические фракталы получают с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. На сегодняшний момент наиболее изученными являются двухмерные процессы. Как известно, нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние или аттрактор обладает определенной областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Из этого следует, что фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Таким образом, если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы. Изменение алгоритма выбора цвета, позволяет получать сложные фрактальные узоры с невероятными многоцветными узорами. Самой большой неожиданностью для математиков стало открытие возможности с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта.

Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i - называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х - это действительная часть a, а Y - это коэффициент при мнимой части b.

Если на рисунке, изображающем множество Мандельброта, взять небольшой участок и увеличить его до размеров всего экрана (как в микроскоп), то можно увидеть проявление самоподобности. Не точной самоподобности, но близкой и с ней мы будем сталкиваться постоянно, увеличивая части нашего фрактала больше и больше. До каких же пор мы можем увеличивать наше множество? Так вот если мы увеличим его до предела вычислительной мощности компьютеров, то покроем площадь равную площади солнечной системы вплоть до Сатурна. Этот фрактал напоминает чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями


http://rusproject.narod.ru/article/fractals/mandelbrot.gif


Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. А самое интересное это границы множества. Они то и являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо - хаотично.


    1. . Стохастические фракталы.


Многие природные системы настолько сложны, что использование знакомых объектов Евклидовой геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта, кроны дерева, береговой линии. Здесь используется стохастический фрактал - "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры и текстуры.


128341hello_html_303e4aed.gif

Термин “стохастичность” происходит от греческого слова, обозначающего “предположение”.

Стохастическим природным процессом является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие на природные, — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задается более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.

Рассмотрим его на примере ветки. Всего лишь несколько шагов в компьютерном алгоритме… и мы видим, как образуется ветка-фрактал (рис. 4а–в).

http://inf.1september.ru/2008/23/39-0.gif


  1. Применение фракталов.


Геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т. д. Алгебраические и стохастические - при построении ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски, моделей биологических объектов и др.

http://im7-tub-ru.yandex.net/i?id=52236211-41-72&n=21


http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQhW7Cxa2yy--wjhBs-AwU-P8mpjjOC_Doj9FitLowUZAwMjG8G


Механика жидкостей. Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов: динамика и турбулентность сложных потоков; моделирование пламени; изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии.

Биология: Моделирование популяций; биосенсорные взаимодействия; процессы внутри организма, например, биение сердца.

Фрактальные антенны. Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Масштабирование. Масштабирование - уникальная особенность, присущая фракталам. Со временем ее, видимо, будут активно использовать как в специальных алгоритмах масштабирования, так и во многих приложениях. Действительно, этого требует концепция "приложение в окне". Было бы неплохо, если бы изображение, показываемое в окне 100х100, хорошо смотрелось при увеличении на полный экран - 1024х768.

Сочинение музыки на основе фрактальных объектах. Программы, моделируют сочинение музыки на основе фрактальных объектов. Одну из наиболее известных подобных программ – MusiNum – разработал Ларс Киндерман. Модули программы позволяют делать выбор голосов, устанавливать темп композиции, задавать сценарий, который позволяет изменять параметры синтеза музыки в процессе исполнения композиции. Можно выбрать характер звучания, панораму и громкость голоса.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д.
С помощью этого метода создаются реалистичные изображения природных объектов, таких, например, как листья папоротника, деревья, при этом неоднократно применяются преобразования, которые двигают, изменяют в размере и вращают части изображения. 


http://im2-tub-ru.yandex.net/i?id=86887404-21-72&n=21


Литература . Среди литературных произведений находят такие, которые обладают фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста: неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)

неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)

«рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе») и т.п.


  1. Заключение.


Хотелось бы только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование, и очень жаль, что в последнее время она как-то забылась и осталась уделом избранным. При подготовке данной работы нам было очень интересно находить применения теории на практике. Потому что очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в стороне от жизненной реальности.

Важным помощником при изучении фракталов является компьютер.
Компьютер - это новое средство познания. Он позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. В истории открытия фракталов это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. При этом стимулируются новые идеи, новые ассоциации, и у каждого, кто мыслит в образах, пробуждается творческий потенциал. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Компьютеры становятся все мощнее, и все более тонкие эффекты они позволяют нам наблюдать на экране дисплея. Нас ждет еще много интереснейших и необычайных находок.


































Список использованной литературы:

  1. Мандельброт Б.Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. – М., НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2009.

  2. Бенуа Мандельброт Фрактальная геометрия природы. 

  3. А. Морозов Введение в теорию фракталов. 

  4. Пайтген Х.О. Рихтер П.Х. Красота фракталов. 

  5. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. 

  6. Божокин С.В. Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. 

  7. Федер Е. Фракталы. — С. 254, МИР, 1991. ISBN 5-03-001712-7. 

  8. http://www.bsu.burnet.ru/library/berson/index.html

  9. http://robots.ural.net/fractals/

  10. http://fract.narod.ru

  11. http://sakva.narod.ru/fractals.htm#History

  12. http://www.ghcube.com/fractals

  13. http://www.fractalus.com/galleries/

  14. Емельяненко Е. Исследование особенностей фрактальных моделей для практического применения . Презентация. Сочи. 2009г.

27



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 25.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров654
Номер материала ДВ-009464
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх