Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа на тему "Решение неравенств с модулем"

Исследовательская работа на тему "Решение неравенств с модулем"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


РАССМОТРЕНО

Педагогическим советом МОУ

«Зашижемская СОШ»

Протокол № 1

от « 14 » августа 2015г.

СОГЛАСОВАНО

Заместитель директора по УВР

_______ /Сидоркина Р.Л./

« 14 » августа 2015 г.

УТВЕРЖДАЮ

Директор школы:

________ А.П.Конаков

Приказ №63

от « 01» сентября 2015 г.






Решение уравнений и неравенств с модулем

Исследовательская работа




Программу составила:

учитель математики высшей

категории МОУ «Зашижемская СОШ»

Сидоркина Р.Л.













с.Зашижемье, 2014 г.

Оглавление


  1. Введение…………………………………………………………………3

  2. Простейшие уравнения и неравенства с модулем……………………5

  3. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем………….8

  4. Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем……......10

  5. Заключение ……………………………………………………………..16

  6. Список литературы………………………………………………………18


  1. Введение


Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. И поэтому для нас стало важно изучить некоторые аспекты этой темы.

Главной целью в нашей работе является изучение различных методов решения уравнений и неравенств с модулями.

Данная цель должна быть достигнута при решении следующих задач:

  • Изучить определение и некоторые свойства модуля.

  • Освоить решение простейших уравнений и неравенств с модулем через равносильные переходы

  • Рассмотреть различные методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Объектом исследования являются некоторые типы уравнений и неравенств с модулем.

Предмет исследования – различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, а именно: графический способ, метод геометрической интерпретации, использование тождества hello_html_4465e10.gif, применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель ,метод раскрытия модулей.

В ходе исследования применялись такие методы, как изучение литературы по данному вопросу и практический метод.

В ходе работы мы исследовал такие источники, как:

1. «Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;

  1. Математика. ЕГЭ – 2011-2012. Типовые экзаменационные варианты. / Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.

  2. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике

  3. «Новейший справочник школьника»;

  4. Энциклопедия «Я познаю мир» Математика;

  5. http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница;

















    1. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

К простейшим уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов: hello_html_5c0ff408.gif

Примеры решения простейших уравнений.

Пример 1 Решим уравнение hello_html_m670328e2.gif.

Решение.

hello_html_14870cb.gif

Ответ. hello_html_5418920d.gif.

Пример 2 Решим уравнение hello_html_m604b264c.gif.

Решение.

hello_html_7a7aa338.gif

Ответ. hello_html_m22112045.gif.

Пример 3 Решим уравнение hello_html_m57597770.gif.

Решение.

hello_html_m41b557c0.gif

Ответ. hello_html_m6459f39b.gif.

Ряд уравнений решается с использованием следующей теоремы.

Теорема.4 Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример 5 Решить уравнение

hello_html_c118854.gif

Решение. Так как hello_html_m486615b8.gif, то мы имеем равенство вида hello_html_m210277be.gif, где hello_html_m152a70ab.gif, hello_html_m418e8d7f.gif. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

hello_html_50936d5e.gif

hello_html_m3838c59.gif

Ответ. hello_html_m2ea0685d.gif.

Примеры решения простейших неравенств.


Пример 6 Решим неравенство hello_html_1f88f6d1.gif.

Решение.

hello_html_m706bdfe9.gif.

Ответ. hello_html_m3cc0a06e.gif.


Пример 7 Решим неравенство hello_html_2cfff9ed.gif.

Решение.

hello_html_4e8d66f1.gif

Ответ. hello_html_52e213a5.gif.

Как ни странно, но hello_html_2f388ea1.gif достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.

Пример 8 Решить неравенство

hello_html_2a6bc4bc.gif

Решение.

hello_html_6847176c.gif

hello_html_53c1b439.gif

hello_html_796d0d80.gif

Ответ. hello_html_55b2bfbc.gif.









3. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).

Пример 9 (С5, ЕГЭ - 2010)

C5. Для каждого значения a укажите число решений уравнения hello_html_m1079dc7d.gif

Решение. Построим график функции hello_html_m1079dc7d.gif . Для этого выделим полный квадрат : hello_html_2c016ee8.gif

Число точек пересечения графика функции у = hello_html_5d6c4497.gif с горизонтальными прямыми у = а равно числу решений уравнения.

Оhello_html_46a5ec9.jpgтвет: если hello_html_e1c33a8.gif< 0, то решений нет; если а= 0, то два решения, если hello_html_m53d4ecad.gif0 < а < 4, то четыре решения; если а=4, то три решения; если а > 4, то два решения.












Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем

  • Метод раскрытия модулей

Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:

Пример 10 Решить уравнение

hello_html_m2b83bbfd.gif

Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.

Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: hello_html_37a077bc.gif, hello_html_m63fc6921.gif; hello_html_m398f89bc.gif, hello_html_m485be1cb.gif; hello_html_m3d45b6cd.gif, hello_html_2dde4281.gif.

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.

1) При hello_html_m6619569.gif или hello_html_54f8b8f1.gif. Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение hello_html_mdf1436c.gif из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех hello_html_mdf1436c.gif из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях hello_html_mdf1436c.gif из этого промежутка выражение будет положительным.

Возьмем значение hello_html_6efae937.gif из промежутка hello_html_m5230ae7a.gif и подставим его значение в выражение hello_html_e0357fe.gif, получаем hello_html_212c7c45.gif, значит на этом промежутке hello_html_e0357fe.gif отрицательно, а следовательно ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'', получим: hello_html_5a26dc1f.gif.

При этом значении hello_html_mdf1436c.gif, выражение hello_html_m54e025a5.gif получит значение hello_html_m4ec0ad5a.gif, значит, оно на промежутке hello_html_m5230ae7a.gif также принимает отрицательные значения и ``выйдет'' из модуля со знаком ``минус'', получим: hello_html_31b4eb3f.gif.

Выражение hello_html_m404ec7e0.gif получит значение hello_html_12236960.gif и «выйдет» из под модуля со знаком ``минус'': hello_html_efbf4e1.gif.

Уравнение на этом промежутке получится таким: hello_html_m396ca66b.gif, решая его, находим: hello_html_1372ae53.gif.

Выясняем, входит ли это значение в промежуток hello_html_m5230ae7a.gif. Оказывается входит, значит hello_html_1372ae53.gif является корнем уравнения.

2) При hello_html_m5c50c1c8.gif. Выбираем любое значение hello_html_mdf1436c.gif из этого промежутка. Пусть hello_html_m648a8a42.gif. Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении hello_html_mdf1436c.gif. Оказывается, что выражение hello_html_e0357fe.gif положительно, а два других отрицательны.

Уравнение на этом промежутке примет вид: hello_html_m5680e241.gif. Решая его, находим hello_html_6efae937.gif. Это значение не входит в промежуток hello_html_m6c95af67.gif, а значит, не является корнем уравнения.

3) При hello_html_6e47a87e.gif. Выбираем произвольное значение hello_html_mdf1436c.gif из этого промежутка, скажем, hello_html_m41da9d26.gif и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения hello_html_e0357fe.gif и hello_html_m54e025a5.gif положительны, а hello_html_m404ec7e0.gif - отрицательно. Получим следующее уравнение: hello_html_251486d8.gif.

После преобразования, получим: hello_html_m53492ca0.gif, а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.

4) При hello_html_m1948ba3c.gif. Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: hello_html_m5d7e5532.gif, hello_html_3cc6324e.gif, hello_html_783f8f0f.gif которое входит в промежуток и является корнем уравнения.

Ответ. hello_html_1372ae53.gif, hello_html_783f8f0f.gif.

  • Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Пример 11 Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения

hello_html_36f7c9d1.gif

Решение. Рассмотрим выражение

hello_html_m5936cca5.gifи преобразуем его к виду hello_html_m7b136da0.gif

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если hello_html_362ef1da.gif (т.к. hello_html_m661bc371.gif). Преобразуем полученное выражение, при условии hello_html_m5d5168dd.gif. Получим уравнение, равносильное исходному:

hello_html_m7f080c4a.gif

hello_html_100473b7.gif

Ответ. hello_html_m23c5f147.gif.

Пример 12 Решить уравнение

hello_html_m1a1585e7.gif

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие hello_html_m7c180c1d.gif, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение hello_html_m4284fe47.gif. Решая его и учитывая ограничение hello_html_m7c180c1d.gif, получаем

Ответ. hello_html_1372ae53.gif.

  • Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Геометрический смысл выражения hello_html_1397fcb9.gif - длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами hello_html_mdf1436c.gif и hello_html_7088b2c5.gif. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.

Пример 13 Решим уравнение hello_html_m9a7c3bc.gif.

Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой hello_html_mdf1436c.gif до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка hello_html_be3f989.gif обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка, - нет.

Ответ. hello_html_be3f989.gif.



Пример 14 Решить неравенство hello_html_73b8179a.gif.

Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек hello_html_m4fdb3b01.gif и hello_html_4621259b.gif в точности равна hello_html_3b1c3d22.gif. Это все точки отрезка hello_html_1e30b755.gif. Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ. hello_html_m369b7c87.gif.

  • Решение уравнений с использованием тождества hello_html_4465e10.gif

Пример (С3, ЕГЭ - 2010)15 Решить уравнение

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_28186735.gif

Решение. Дважды применяя тождество hello_html_m28eb4553.gif, получим уравнение

hello_html_7eb5c2bc.gif

решением которого является интервал hello_html_2a77f125.gif.

Ответ. hello_html_2a77f125.gif.

Пример (С3, ЕГЭ - 2011)16 17 Решить уравнение

hello_html_7fe2d5fc.gif

Решение. hello_html_m92369f.gif.

Ответ. hello_html_4f619f65.gif.


  • Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:

Теорема 18 Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Пример 19 Решить неравенство

hello_html_m42991a47.gif


Решение. Воспользуемся теоремой:

hello_html_m68469b67.gif

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

hello_html_m7fa2194a.gif

Ответ. hello_html_15fc0474.gif


  • Решение уравнений переходом к следствию

Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.

Пример 20 Решим уравнение

hello_html_4a28000.gif

Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:

hello_html_m35db4537.gif

hello_html_416ca30f.gif

hello_html_m7e831847.gif


hello_html_m6b8ac97d.gif

Нетрудно убедиться, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. нет решения.


  • Решение неравенств методом интервалов

Применение метода интервалов основано на следующей теореме.

Теорема 21 Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.

Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.

Пример 22 Решим неравенство

hello_html_346cf190.gif

Пусть hello_html_m11bd55b2.gif. Областью определения данной функции есть hello_html_30f91582.gif. Решая уравнение получим, что функция hello_html_m19bd5aa0.gif не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, hello_html_m47ca936d.gif, получаем, что функция принимает только положительные значения.

Ответ. hello_html_30f91582.gif.

Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).


  • Решение уравнений домножением на положительный множитель

Пример 23 Решить неравенство

hello_html_5d12280d.gif

Решение. ``Ловушка'' заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые - значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:

hello_html_m4c5475ce.gif

hello_html_72938e04.gif

hello_html_m5e8f7808.gif

Ответ. hello_html_m4d1cc05d.gif.













Заключение.

Подводя итог нашей работы, можно сказать следующее.

Целью работы было изучение различных методов решения уравнений и неравенств с модулями.

Рассмотрены некоторые разновидности простейших уравнений и неравенств с модулем, решаемых с помощью равносильных переходов,а также теоремы о сумме модулей; графический способ решения уравнений. Нужно сказать, что в школьном курсе математики именно эти методы решения наиболее часто используются. Графический метод особо актуален при решении задач C5 из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ.

Далее мы изучили на нескольких примерах иные способы решения уравнений и неравенств с модулями, а именно: метод раскрытия модулей; решение уравнений, содержащих модули неотрицательных выражений; решение уравнений с использованием геометрической интерпретации; с использованием тождества hello_html_5d46fcec.gif; применение теоремы о знаках; решение уравнений переходом к следствию, домножением на положительный множитель,а также решение неравенств методом интервалов.

Таким образом, в ходе исследования мы пришли к следующим выводам.

Наиболее универсальными и применимыми к наибольшему количеству задач мы считаем метод раскрытия модулей, графический метод и метод интервалов. Это убеждение возникло в результате решения большого числа задач из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ, предметных чемпионатов, олимпиадных задач, а также изучение литературы по данному вопросу. Также очень важным мы считаем знание и применение тождества hello_html_5d46fcec.gif, так как оно используется не только при решении уравнений и неравенств, но и для преобразования многих выражений с радикалами. Остальные методы решения, которые мы рассмотрели, безусловно, представляют большой интерес в плане расширения математического кругозора и общего математического развития. Поэтому мы планируем использовать их для подготовки к государственной итоговой аттестации в форме ЕГЭ и подготовке к обучению в высшем учебном заведении.





























Список используемой литературы.

  1. «Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;

  2. Математика. ЕГЭ – 2011, 2012. Типовые экзаменационные варианты. / Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.

  3. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике

  4. «Новейший справочник школьника»;

  5. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика»;

  6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница;



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 13.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров950
Номер материала ДВ-153948
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх