Исследовательская работа на тему: "Софизмы"

Софизмы

         Думаю, многие хотя бы раз в жизни слышали подобные высказывания: «Все числа равны» или «два равно трём». Таких примеров может быть очень много, но что же это значит? Кто это придумал? Можно-ли как-то объяснить эти высказывания или всё это – вымысел? На эти вопросы мы  попытались  ответить в своей  исследовательской работе.

ПОНЯТИЕ «СОФИЗМ» 
Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

        Создателями софизмов считают группу древнегреческих философов V-IV вв. до н.э., так называемых софистов. Софисты позиционировали себя в качестве учителей мудрости (Sophia – греч."мудрость"), деятельность которых заключалась в обучении всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Одной из главных целей софистов было привить человеку навыки мастерства ведения споров: научить доказывать (подтверждать или опровергать) любую мысль, не заботясь об объективной истинности утверждения, выходить из интеллектуального состязания победителем.

        Софизм, основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Рассмотрим пример софизма.     Докажем, что   5=1

Вычтем из каждой части равенства 3, получим:   5-3=2 ,    1-3=-2

Возведём обе части в квадрат, получим результат:  2²=4  ,        (-2)²=4

Так как равны правые части , следовательно равны и левые части:    5=1  

 Ясно, что заключение в проведённом рассуждении ложно. Но где допущена ошибка?

Проанализируем  проведенное рассуждение.

         Оно состоит их трёх шагов, причем воспроизведенных в сокращенном виде. Восстановим обе посылки каждого шага.
1-й шаг( вычитание из 5 и 1 целого числа 3).
 Общая посылка: «Разность любых целых чисел существует».
Частная посылка: « 5, 1 и 3  целые»
Заключение: « Разность 5-3, 1-3 существует, и 5-3=2, 1-3=-2»
Рассуждение велось по правилу заключения.
2-й шаг (возведение чисел 2и -2 в квадрат)
 Общая посылка: « Квадраты любых целых чисел существуют и являются неотрицательными числами»
Частная посылка: « Числа 2и -2 целые»
Заключение: « Квадраты чисел 2и -2 существуют,   2²=4 ,  (-2)²=4»
 Рассуждение велось по правилу заключения.
3-й шаг(заключение о равенстве чисел 5и 1)
 Общая посылка: «Если числа равны, то равны их квадраты».
Частная посылка: « Квадраты чисел равны(4=4)»
Заключение: « Равны и сами числа 5-3 и 1-3, или5=1»
Рассуждение велось по схеме (на слайде)
 а она не гарантирует истинности заключения.

Рассмотрим еще некоторые софизмы:

(слайд) «Меньшее  число  больше, чем большее»

 Очевидно,что7>5

Тогда:7-8>5-8 или -1>-3

Умножим обе части последнего неравенства на (-4).

Получим (-1)∙ (-4)>(-3)∙(-4)

или 4>12

Где ошибка?

Разбор софизма:

При умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный(!).

Спичка длиннее телеграфного столба вдвое

Длину спички обозначим а, длину столба  b. Разность между этими величинами  c.

 Получим :b - a = c,   b = a + c. Перемножим данные равенства, получим следующее:            b²-ab = ca+c²

Из обеих частей выведенного вычтем bc. Получится следующее:

                            b²-ab-bc=ca+c²-bc

        или        b (b - a - c) = - c (b - a - c).

Откуда b = - c, но c = b - a,   поэтому b = a - b, или a = 2b. То есть спичка и правда вдвое длиннее столба.

Разбор софизма:

Выражение   b-a-c=0,  следовательно, на него делить нельзя.

При разборе  математических   софизмов выделяются основные ошибки:

•         Деление на 0;

•         Неправильные выводы из равенства дробей;

•         Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

•         Нарушения правил действия с величинами;

•         Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

•         Неравносильный переход от одного неравенства к другому;

•         Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам.

 Кроме математических софизмов, существует множество других, о них расскажет ....

       Кроме математических софизмов, существует множество других,  например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными.

Софизмы: «Полупустое и полуполное» «Девушка не человек», « Куча», «Песенка английских студентов»

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления.  Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.

     История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Все это нужно и важно  при изучении математики!

 В заключение отметим, что софизмы есть смесь философии и математики, которая  помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка.

    Некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми.

    Развитая логика мышления помогает не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Мы поняли, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.

Я хочу предложить задание.

 Найдите ошибку в софизмах: (слайд)

1. «Дважды два – пять!» Очевидно что: 4:4=5:5,

 вынесем общий множитель: 4(1:1)=5(1:1) ,

 сократим общие множители:     4=5   или   2х2=5.

Разбор софизма:

Ошибка допущена при вынесении общего множителя, где получается заведомо ложное равентво.

2. "Пять равно шести"

    Возьмем тождество  : 35+10-45=42+12-54.

В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель: 

5·(7+2-9)=6·(7+2-9).

Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель (7+2-9), получим, что 5=6.

Разбор софизма:

Выражение (7+2-9)=0, а следовательно, на 0 делить нельзя.

Исследовать софизмы действительно очень интересно. Порой, сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.