Исследовательская работа на тему "Удивительные палиндромы"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №4 Г. РОСТОВА

Исследовательская работа по теме:

«Удивительные палиндромы»

Работу выполнил:

Куваев Илья

ученик 8в класса

Руководитель:

Обморышева Ирина Александровна

учитель математики

Ростов, 2020 год

Оглавление.

			Стр.
1	Введение. (Актуальность, цели и задачи работы).		3
2	Основная часть. «Удивительные палиндромы».		4
	2.1	Что такое палиндромы?	4
	2.2	Из истории появления палиндромов.	5
	2.3	В каких науках встречаются палиндромы.	7
	2.4	Числа палиндромы.	9
	2.5	Практическое применение палиндромов.	10
	2.6	Интересные факты о палиндромах.	12
3.	Заключение		16
4.	Список литературы		17

У каждого ученика есть любимые предметы в школе. Мне нравятся уроки математики. На одном из уроков математики, нам  сказали придумать палиндромы. Сначала было непонятно, что это такое? Но когда мы стали выполнять это задание, оказалось очень интересно и занимательно. Я люблю узнавать что-то новое. Мне информация стала интересной, и я решил изучить её.

Актуальность работы заключается в возможности получения интересной информации о  палиндромах. Тема палиндромов актуальна и интересна с давних времен. Палиндромы  обладают необычной историей, удивительными свойствами. В древности к ним относились даже с опаской, считая их заклинаньями. Составлять палиндромы - весьма сложное и кропотливое занятие, но очень интересное. Не каждому под силу и по душе такое занятие.

           В настоящее время тема палиндромов также интересна, подтверждением этому являются статьи, различные публикации, сайты в Интернете.

Цель: разобраться в магическом свойстве мира букв  и чисел –  превращаться наоборот, сохраняя смысл. Научиться составлять числа палиндромы.

Задачи: 

1.  Изучить литературу по теме исследования: найти историю возникновения перевёртышей.

1. Выяснить, что такое палиндром.
2.  Изучить числа-палиндромы.
3. Рассмотреть палиндромы в других науках.
4. Составить свои перевёртыши (палиндромы), игры.

5.      Предложить одноклассникам придумать свои перевёртыши (палиндромы),

Объект исследования – палиндромы.

При выполнении работы были использованы следующие 

приемы и методы: опрос, анализ (статистическая обработка данных),

работа с источниками информации, исследование.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что многие одноклассники и не только, возможно обратят внимание на мое исследование.

Практическая значимость заключается в возможности применения итогов исследования на уроках и во внеурочной деятельности.

Гипотеза: Нас окружают иногда очень интересные слова и числа , но мы редко задумываемся об  их происхождении и предназначении. Мир сложно прекрасен и загадочно прост.

Основная часть. «Удивительные палиндромы».    

2.1.Что такое палиндромы?

Для того чтобы выяснить, знают ли мои одноклассники  про палиндромы я провел опрос.

Задавал такие вопросы:

1.Знаете ли вы, что такое палиндромы?

2. Где встречаются палиндромы?

3. Хотели бы узнать о палиндромах?

В опросе приняли участие  44  человека. У нас получились следующие результаты. На вопрос знаете ли вы, что такое палиндромы?

Да - ответили 4 человека, нет - 40 человек.

На вопрос:  где встречаются палиндромы?  Знаю ответили - 0 человек, не знаю -ответили  9 человек, не знаю, но хочу узнать – 34 человека.

Результаты опроса таковы, что одноклассники не знают что такое палиндромы, где они встречаются  и пожелали узнать о них.

Я сделал вывод, что необходимо сделать для  одноклассников презентацию о  палиндромах  и на внеурочном занятии познакомить их с  ними.

Что такое палиндромы? Я посмотрел в нескольких источниках.

Значение слова палиндром в новом словаре иностранных слов:

Палиндром - (палиндромон) ( гр. palindromeo бегу назад) перевертень - слово, фраза или стих, одинаково читающиеся слева направо и справа налево, напр, кабак , чин зван мечем навзничь (Хлебников).

Значение слова палиндром в Большом энциклопедическом словаре: палиндром то же, что перевертень.

2.2.  Из истории появления палиндромов.

Краткая историческая справка

            Первые палиндромы появились в Древней Греции, более двух тысяч лет тому назад. Ими украшали амфоры, чаши, вазы и другие предметы округлой формы. Такие палиндромные надписи можно было читать в обе стороны, поворачивая сосуд в руках.

А самый известный из древних палиндромов придумали римляне, которые упаковали его в словесный магический квадрат:

Появление этого палиндрома датируется 79 годом нашей эры, а переводится он так: Сеятель Арепо держит колёса в деле.

   Этот палиндром одинаково читается не только по горизонтали, но и по вертикали. Необыкновенные свойства квадратного палиндрома так поразили людей того времени, что они считали его магическим и наносили на стены жилищ и монастырей, писали на амулетах. Из-за удивительных свойств этот палиндром считался оберегом от болезней и злых духов.

Много тысячелетий спустя он послужил образцом для самой популярной современной головоломки со словами - кроссворда.

Особенно популярны стали палиндромы в средние века, из коих и дошли до нас такие палиндромные фразы:   Otto tenet mappam, madidam mappam tenet Otto.  Отто держит карту, мокрый Отто держит карту.

Многими исследователями отмечаются и заговорно-молитвенные свойства палиндромов, которые позволяли использовать их в качестве заклятий. Так, считалось, что при произнесении «оборачиваемой» фразы УВЕДИ У ВОРА КОРОВУ И ДЕВУ должна была восторжествовать справедливость.

Фраза: «На в лоб, болван» использовалась русскими скоморохами как потешка.

Из глубины веков до нас дошли не только латинские, но и греческие палиндромы. В «Поэтическом словаре» А.Квятковского сказано: «В византийском храме Софии в Константинопо­ле на мраморной купели было вырезано следующее палиндромное изречение: «nisponanomimatamimonanopsin», означающее: «Омывайте не только лицо, но и ваши грехи».

Уже к Х-ХI вв. палиндромы распространились сначала в Ита­лии, а затем и в Западной Европе. С ХII-ХIII вв. сведения о них, хотя и редкие, появляются в учебниках поэтики и трактатах по стихосложению. Это связано с открытием первых университетов и формированием единой европейской систе­мы образования, включающей «семь свободных искусств». Рито­рика, куда входила и поэтика, была важной частью учебного кур­са.

К XIV веку относится первое появление в музыке самостоятель­ной палиндромной формы. Не случайно, что это открытие при­надлежит Гийому де Машо (1300-1377) - известному поэту и му­зыканту, реализовавшему свой замысел в 14-м рондо с символи­ческим для музыкального ряда текстом «Мой конец - моё начало, моё начало - мой конец».

С той поры кто только не интересовался у нас палиндромами – поэты Валерий Брюсов и Андрей Вознесенский (у последнего даже один из сборников стихов и прозы имеет палиндромное название "Аксиома самоиска"), пианист Владимир Софроницкий, актер Владимир Высоцкий, бард Сергей Никитин и многие другие. В частности, среди палиндроманов – так называют себя любители палиндромов – немало ученых. Так или иначе, можно смело сказать, что придумывание симметричных, «двояковыпуклых», как говорил Хлебников, текстов, стало одной из интереснейших словесных забав.

Но наивысшего расцвета палиндром достиг у нас именно в последние годы. Достаточно сказать, что за это время появилось уже свыше сотни газетных и журнальных публикаций на эту тему и даже вышло несколько книг, целиком составленных из палиндромов, проводились фестиваль и конференция по этому вопросу, выходит специальное издание «Амфирифма» клуба палиндроманов.

2.3. В каких науках встречаются палиндромы

Литература

Большой популярностью пользовались палиндромы-фразы, или «афоризмы». Некоторые из них могли даже вызывать улыбку (ввиду своих художественных особенностей). Во многих случаях сочетание внутри перевертыша привлекало внимание не только своей нестандартной формой, но и определенным юмористическим содержанием. Отдельные строки можно даже собирать в стихотворное произведение. Однако если сочетания претендуют на поэзию все-таки, то в них не должно допускаться никаких скидок на необычность форм. Другими словами, все должно сохраняться - ритм, рифма, размеры – как в стандартных, обычных стихотворных произведениях. «Симметричность» в таких случаях добавляла лишь ритмическую и звуковую игру. У многих поэтов получалось находить «почти палиндромные» формы. У разных авторов такие обороты создавали красоту звучания. Говоря о том, что такое палиндром, нельзя не рассмотреть лирические поэтические произведения, созданные с применением данных художественных форм. Многие из них содержат долю юмора, но, несмотря на это, могут быть восприняты достаточно серьезно. Некоторые симметричные выражения хорошо ложатся на музыку. В ряде случаев стихотворное произведение может состоять из одного «перевертыша», разделенного на строки.

Поэзия

Особый интерес на фоне исследования палиндромов представляет творчество Блока. Являясь поэтом-символистом, он достаточно большое внимание уделял ритмической и звуковой организации произведений.

Симметрия в цифрах

 Существуют, кроме буквосочетаний, выражений и целых произведений и числа-палиндромы. Данное определение используется при видимой симметрии в записи. Натуральные числа в этом случае будут читаться слева направо и наоборот одинаково. Симметрично может располагаться как нечетное, так и четное количество знаков. Числовые палиндромы встречаются в разных системах, имеющих свои собственные названия. Так, есть категория «фигурных» знаков: 1001, 676 и прочие. Мартин Гарднер, автор книги «Есть идея!», являясь достаточно известным популяризатором науки, выдвигает определенную гипотезу. Если взять натуральное число (любое) и прибавить к нему обращенное (состоящее из тех же цифр, но в обратном порядке), затем повторить действие, но уже с полученной суммой, то на одном из шагов получится палиндром. В некоторых случаях достаточно осуществить сложение единожды: 213 + 312 = 525. Но обычно необходимо не меньше двух операций. Так, например, если взять число 96, то, совершив последовательное сложение, палиндром можно получить только на четвертом уровне: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884

Суть гипотезы состоит в том, что если брать любое число, после определенного количества действий будет обязательно получен палиндром. Примеры можно найти не только в сложении, но и в возведении в степени, извлечении корней и прочих операциях.

Биология

Структура нуклеиновых кислот предусматривает наличие относительно коротких взаимно комплементарных участков. Они имеют так называемые «зеркальные последовательности» из нуклеотидов, способные формировать дуплексы. Палиндромы в биологическом смысле обладают способностью обеспечивать увеличение объема информации без повышения количества нуклеотидов. Особое значение «симметричные формы» имеют при образовании некоторых видов нуклеиновых кислот – транспортных РНК.

Музыка

Палиндромные  музыкальные произведения играются «как обычно», в соответствии с правилами. После завершения пьесы ноты переворачиваются. Затем произведение играют снова, но мелодия при этом не будет меняться. Интерпретаций может присутствовать сколько угодно, неизвестно при этом, что является низом, а что – верхом. Данные музыкальные произведения можно сыграть вдвоем, при этом читая ноты с обеих сторон одновременно. В качестве примеров таких палиндромических произведений можно привести «Путь мира», написанный Мошелесом, и «Застольную мелодию для двоих», сочиненную Моцартом .

Кроме буквенных, словесных  и числовых палиндромов существуют и другие виды не менее интересных палиндромов. В подтверждение этому, я хочу  привести некоторые из них в качестве примеров, но уже из  других наук

Например, в английском  языке: «Madam, I’m Adam» («Мадам, я— Адам,— представился первый человек первой женщине)

В изобразительном искусстве: картинки-перевёртыши.

В химии – НООССООН – формула щавелевой кислоты

2.4.            Числа палиндромы.

Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.

Например:    121;  676;  1331;  4884;  94949;  1177711;  1178711  и т. д.

Изучая палиндромы, я задался вопросом: «Как из других чисел можно получить палиндромы?»

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Для этого воспользуемся известным алгоритмом.

1. Алгоритм получения палиндрома

-        Возьми любое двузначное число

-        Переверни его (переставь цифры справа налево)

-        Найди их сумму

-        Переверни полученное число

-        Найди их сумму

-        Повторяй аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром

Пример: 

1.   96

2.   96 + 69 = 165

3.   165 + 561 = 726

4.   726 + 627 = 1353

5.   1353 + 3531 = 4884

В результате проделанной работы я пришел к выводу, что, используя составленный алгоритм, из любого двузначного числа можно получить число-палиндром.

2. Свойства палиндромов

Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходится на первую тысячу, из них четыре числа однозначные – 2;  3;  5;  7 и всего одно двузначное – 11. С такими числами связано немало интересных закономерностей:

Ø  Существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр – 11.

Ø  Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1;  3;  7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (кроме 19), можно разбить на пары.

Например:  13 и 31;  17 и 71;  37 и 73;  79 и 97.

Ø  Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1.

Например:  181 и 191;  373 и 383;  787 и 797;  919 и 929.

Ø  Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел.

Например:  94849 и 94949;  1177711 и 1178711.

Ø  Все однозначные числа являются палиндромами.

Ø  26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром

Например:  26² = 676

Ø  А вот пары чисел - «перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр,  оказались,  связаны хитрым образом:

(1 + 3)² = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3)² = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Ø  Из простых чисел - палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

 

3. Формулы – палиндромы

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности, произведения или частного чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Например:

42 + 35 = 53 + 24

41 – 32 = 23 – 14

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

2.5. Практическое применение

Исследование №1

Я  придумал слова  и записал их в алфавитном порядке. У меня получилось 39 слов!

Вот они: Алла, Анна, боб, дед, довод, доход, еле, заказ, иди, или, кабак, казак, как, кок, колок, комок, летел, лил, мадам, мим, наган, око, оно, поп, потоп, пуп, радар, ротор, течет, Тит, топот, тот, тут, ушу, цыц, шабаш, шалаш, шиш.

Среди них 4 глагола (иди, летел, лил, течет), 26 имен существительных

Исследование №2

Существуют целые фразы – палиндромы. Например, одна из таких фраз звучит в известной сказке А. Толстого «Приключения Буратино»:

 В сказке девочка  Мальвина учила Буратино писать. Она велела написать такую фразу: “А роза упала на лапу Азора” и велела прочитать “наоборот”. Эта фраза одинаково  читается слева направо и справа налево. Это фраза-палиндром.

Таких фраз очень много:

Около Мити молоко.

И пиши, и шипи.

На доме чемодан.

Он ест сено.

Лёша на полке клопа нашёл.

Изучая литературу, я натолкнулся на интересный рассказ из готовых палиндромов.

Ел ёж желе. Лещ овощ ел. Кабак. -Лука ешь не меньше акул! На баке кабан. Нажал кабан на баклажан. - Ешь немытого ты меньше! - Я ем змея! - Я ел млея! Коту тащат уток. И леопард, и гидра поели. - Ещё бы рыб, ещё! Оно, лосося мясо, солоно. А картина манит рака. Арбуз – у зубра. Зубр: ам-ам арбуз! Икру милее не ели Мурки. Тут хорош сырок к еде, крыс шорох тут. - Сырку! – заказ у крыс. А лис – он умён : крыса сыр к нему носила!

Около Мити молоко. Даст еду деду детсад.  - А щи – пища? - Пустите! – Летит супу миска Максиму. – Пустите, летит суп! Что к супу? Скотч? - Ася, молоко около мяса. - Ты, Саша, сыт? - Ем, увы, в уме! - Знамо, даже у ежа дома НЗ. - Лазил Дёма, мёд лизал. - Икни, в студию идут свинки… - Мёд жаждем!!! А клубень – не булка. Пчела звала: - В зале ЧП! - УРА! – вопите, дети, повару. Гори, пламя, – мал пирог. Конец сценок!

Исследование №3

     Но вернемся к нашим словам – палиндромам. Попробуем закодировать их с помощью цифр. Вместо гласной будем писать цифру – 1, а вместо согласной – 2.

 Например:  закодируем слово шалаш. Получится -21212

 Палиндромические числа давно заинтересовали ученых – математиков. Эти числа не просто красивы, но ещё и обладают рядом замечательных свойств.

1)Например, возьмем число 38. Запишем его в обратном порядке 83. А теперь попробуем их сложить.

38 + 83 = 121 – палиндром.

 Мы сделали один шаг и получили палиндром. 

 2)Иногда, чтобы получить палиндром, требуется больше шагов.

  Например: число 67          

67+76 = 143

143+341 =484 (палиндром) - два шага

3) А если возьмём число 96 , то палиндром можно получить, сделав  четыре шага.

 96 + 69 = 165,

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884

Я  попробовал найти палиндромы для различных чисел и обнаружил, что:

 - в двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков (например: 11; 99)

 – в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц (535; 676) .

- в четырехзначных числах – палиндромах (4224; 3113) число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

2.6. Интересные факты о палиндромах

1. Теоретики и практики палиндрома выделили многочисленные пограничные с палиндромом формы: например, оборотень — текст, читающийся слева направо иначе, чем справа налево: «Мир удобен» - «Небо дурим»(Сергей Федин).

2. На русском языке наиболее длинным буквенным палиндромом на сегодняшний день является произведение Р. Адрианова «ЦЕН ОКНО», в которой свыше 6 000 букв.

3. Существуют палиндромы не только в русском, но и других языках

русский язык

А в Енисее — синева.

А лама мала.

А лис, он умён — крыса сыр к нему носила. (И. Бабицкий)

Аргентина манит негра.

английский язык

Race fast, safe car (Гони быстро, безопасная машина)

Do geese see God? (Видят ли гуси бога?)

арабский язык: حوت فمه مفتوح (Кит с открытым ртом)

болгарский язык: Кирил е лирик (Кирилл — лирик)

испанский язык: Anita lava la tina (Анита моет корыто)

итальянский язык: Autore, ero tua (Автор, я твоя)

латинский язык: Sum summus mus (Я — сильнейшая мышь)

немецкий язык: Reit nie tot ein Tier (Никогда не гони животное до смерти)

польский язык: Kobyła ma mały bok (У кобылы маленький бок)

португальский язык: Socorram-me, subi no ônibus em Marrocos (Помогите мне, я попал в автобус в Марокко)

татарский язык: Ata qadaq ata (Отец кидает гвоздь)

турецкий язык: Anastas kazak satsana (Анастас, продай свитер)

украинский язык: Кому дикі ріки думок? (Кому дикие реки мыслей?)

чешский язык: Fešná paní volá: Má málo vína pan šéf? (Шикарная пани спрашивает: У пана шефа мало вина?)

финский язык: saippuakauppias (продавец мыла) — самое длинное употребительное слово-палиндром в мире

4.      Просто факты

Российский герб               Двуликий Янус

«Палиндромное дело» в Пенькове (Художественный фильм «Дело было в Пенькове»)

Сказочная зверушка Тяни – Толкай

«Свинский» палиндром

Липовый палиндром

5.      Случаются палиндромные имена:

ADA, ANNA, BOB, EVE, HANNAH, OTTO, АННА, АЛЛА, НАТАН, ТИТ

и фамилии:

Нилин, Аникина.

А вот палиндромные имена-фамилии:

Лон Нол (1913–1985) - бывший премьер-министр Камбоджи.

Нисио Исин (Nisio Isin, NisiOisin, настоящее имя Nishio Ishin) – японский писатель и автор манга-книг.

Некоторые литературные деятели умудряются писать палиндромные стихи и рассказы. В этой связи хорошо известны два рассказа на английском языке - Dr Awkward & Olson in Oslo (Доктор Оквард и Олсон в Осло), который Л.Левин (Lawrence Levin) написал в 1986 году, состоит из 31 954 слов, и Veritas (1980), принадлежащий перу Дэвида Стивенса (David Stephens), - 58795 слов. На французском языке написан рассказ Grand Palindrome (1969), в котором 5556 букв.

6.      Зеркальная дата.

Такая дата считается зеркальной из-за уникального повторения цифр (если читать цифры наоборот, получите то же самое число). И эта зеркальность придает ей магию и удачу. Важно еще, что в сумме эта дата дает цифру 8, что означает символ бесконечности и денег, поэтому день 02022020 особенно может помочь в денежных делах.

 Примеры других зеркальных дат: 12.02.2021, 22.02.2022, 23.02.2032 и т.д.

3. Заключение.

Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, я понял, если бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного. Я познакомился с удивительными натуральными числами: палиндромами. Данная тема интересна одноклассникам, ее изучение можно продолжить в других предметах: ИЗО, окружающий мир, русский язык и другие.

В мире так много тайн и загадок, которые его украшают, и чудо палиндрома — это тоже одно из неповторимых таинств. Математики связывают с ним множество любопытных фактов и закономерностей: палиндромы делятся на пары и семейства, образуют числовые квадраты и целые симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр. В своей работе я показала, что нас окружают очень интересные вещи, но мы редко задумываемся об их происхождении и предназначении. Пусть эти числа еще не до конца изучены, и не ясно их применение, но может быть в результате таких опытов с числами, и откроется их истинная суть. А пока будем наслаждаться красотой чисел.

Перевёртыши на самом деле очень увлекательны, они помогают развивать интерес к познавательной деятельности. Я узнал, что палиндромы, это не только интересные картинки в изобразительном искусстве и окружающем мире, но и числа в математике, слова и фразы в русском языке. Мой кругозор стал шире, я узнал много интересной и полезной информации.

Я думаю, что моё исследование поможет улучшить память, мышление, воображение.

Думаю, что представленная мной работа будет весьма интересна и полезна ученикам, учителям и всем увлекающимся математикой людям.

Если Вас моя работа заинтересовала, её можно продолжить, найдя новые объекты исследования.

Результаты: Гипотеза подтвердилась.

• Изучили литературу по теме исследования: нашли историю возникновения перевёртышей
• Рассмотрели свойства палиндромов.
• Выбрали предмет и продемонстрировать перевёртыши в математике.
• Составили свои перевёртыши (палиндромы), игры.
• Предложили одноклассникам придумать свои перевёртыши (палиндромы), решили несколько задач олимпиадного типа по теме.

4. Список литературы

1. http://www.nkj.ru/archive/articles/17984/ (Наука и жизнь№5,2010г).
2. Кацюба Е.А.Первый палиндромический словарь.— Москва, 1999.
3. Е.А.Новый палиндромический словарь.— Москва, 2002.
4. Федин С.Н. Палиндроматика // Математика для школьников. – 2005. - № 1, с. 54.
5. Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995.
6. Кордемский Б. А.  На часок к семейке репьюнитов // Квант. -1997. - № 5. - с. 28-29.
7. Перельман Я.И. Занимательная математика // издательство «Тезис». – 1994
8. http://arbuz.uz/t_numbers.html
9. Журнал квант