Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Тесты / Исследовательская работа на тему "Замечательные точки треугольника"

Исследовательская работа на тему "Замечательные точки треугольника"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m702b3661.gifhello_html_m528f0151.gifhello_html_m14aec57c.gifhello_html_4bd49615.gifhello_html_m2ce2e57a.gifhello_html_c7c0b96.gifhello_html_1330e2b2.gifhello_html_4bd49615.gifhello_html_6ce1a386.gifhello_html_56580033.gifhello_html_m1033004a.gifhello_html_2d5eed0d.gifhello_html_m526f808a.gifhello_html_2e2ad6fc.gifhello_html_m8383fa0.gifhello_html_m3c7ede33.gifhello_html_7397b476.gifhello_html_6855507f.gifhello_html_5e62b29a.gifhello_html_m138093ae.gifhello_html_107d7300.gifhello_html_m460ec226.gifhello_html_m51379678.gifhello_html_m44df9b6a.gifhello_html_1e73f227.gifhello_html_733690dc.gifhello_html_740682c7.gifhello_html_m475539d4.gifhello_html_m2f187062.gifhello_html_47c533de.gifhello_html_80a6072.gifhello_html_3336796b.gifhello_html_m2226eef7.gifhello_html_350bdd5f.gifhello_html_m445543ba.gifhello_html_56580033.gifhello_html_7a6d5b44.gifhello_html_7a6d5b44.gifhello_html_m6b1eab5d.gifhello_html_m3f8a3bb9.gifhello_html_547dbfa3.gifhello_html_m18e41b2e.gifhello_html_3692288f.gifhello_html_3235b790.gifhello_html_m18e41b2e.gifhello_html_7a6d5b44.gifhello_html_7a6d5b44.gifhello_html_58ea93ee.gifhello_html_45490e34.gifhello_html_m1b385cf6.gifhello_html_m6f558708.gifhello_html_m6f558708.gifhello_html_m18e41b2e.gifhello_html_m5b2a5c96.gifhello_html_2d3ce908.gifhello_html_m40fb0cda.gifhello_html_503e699c.gifhello_html_15d1039b.gifhello_html_4bd49615.gifhello_html_fe9b7f7.gifhello_html_6eea89e6.gifhello_html_m2f5b0cf0.gifhello_html_m3a241ac1.gifhello_html_708b5631.gifhello_html_49579d74.gifhello_html_2aeb9f27.gifhello_html_3c3cf188.gifhello_html_5031def1.gifhello_html_6ba42647.gifhello_html_10a0c04b.gifhello_html_9b070ab.gifhello_html_m88b3169.gifhello_html_m63808cf4.gifhello_html_8a6fb9d.gifhello_html_6ec4c32.gifhello_html_m26d9464a.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_35777c59.gifhello_html_m61434711.gifhello_html_4a5a7ca2.gifhello_html_689e9cf1.gifhello_html_41aaae35.gifhello_html_m54702250.gifhello_html_29a8ee2c.gifhello_html_m62492995.gifhello_html_m2a49055e.gifhello_html_722e510f.gifhello_html_m71713799.gifhello_html_6ace42e6.gifhello_html_m16f49ccf.gifhello_html_m39d5243a.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_m7f38b2e0.gifhello_html_m7c9c9d6b.gifhello_html_1a33f0ec.gifhello_html_3e39cba2.gifhello_html_m1d83a966.gifhello_html_1330e2b2.gifhello_html_4bd49615.gifhello_html_6ce1a386.gifhello_html_m528f0151.gifhello_html_m1033004a.gifhello_html_m14aec57c.gifhello_html_4bd49615.gifhello_html_c7c0b96.gifhello_html_m2ce2e57a.gifX районные чтения членов научных обществ учащихся







Тема работы:

«Замечательные точки треугольника»













Автор: Еськов Егор, ученик 11 «А» класса

МКОУ «Медынская СОШ»

Руководитель: Клевкова Лариса Викторовна,

учитель математики Медынской средней

общеобразовательной школы









Медынь 2014 год



Оглавление

  1. Введение………………………………………………………………3

  2. Исследование:

  1. точки пересечения медиан…………………………………….4

  2. центр описанной окружности…………………………………8

  3. центр вписанной окружности…………………………………10

  4. точка пересечения высот……………………………………....13

  1. Заключение……………………………………………………………15

  2. Список литературы…………………………………………………...16



Введение

Треугольник – простейшая плоская фигура. Три вершины и три стороны. Но изучение треугольника породило целую науку – тригонометрию, в которой метрические свойства треугольника выражаются через функции углов. Эта наука возникла из фактических потребностей при измерениях земельных участков, составление карт местности, конструировании машин и механизмов.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах более чем 4000-летней давности. В частности, там упоминается способ нахождения площади равнобедренного треугольника, дающий хорошее приближение при малых углах при вершине, противоположной основанию. Эта площадь находится как произведение основания на боковую сторону.

Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня – достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона. После длительного периода упадка культуры и, в частности, математики, c XV-XVI веков началось Возрождение.

Вновь появилось огромное количество исследований свойств треугольника, особенно в XVIII веке. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получившей название «Новая геометрия треугольника».

Находки в геометрии треугольника есть и в нашем веке. Так, в 1904 году американский математик Ф. Морли доказал, что если из каждой вершины треугольника провести лучи, делящие соответствующий угол на три равные части (трисектрисы угла), то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника. Доказательство этого утверждения было бы вполне под силу и древнегреческим математикам. Они прошли мимо этого факта, видимо, потому, что тогда было принято рассматривать лишь построения при помощи циркуля и линейки, а с помощью этих инструментов такое деление в общем случае сделать невозможно (это позднее было доказано). Я тоже провел свое исследование и доказал некоторые признаки замечательных точек треугольника.

Точка пересечения медиан

Внутри любого треугольника существует такая точка M , что треугольники АВМ, ВСМ и САМ равновелики. Самое лучшее просто построить эту точку. Поскольку площадь треугольника АВМ составляет 1/3 площади треугольника АВС, точка М расположена на прямой, параллельной АВ и удаленной от АВ на расстояние, равное 1/3 соответствующей высоты. Точно так же, М должна быть расположена на аналогичной прямой, параллельной ВС, т. е. М –точка пересечения этих двух прямых. Поскольку площади треугольников АВМ и ВСМ равны 1/3 площади треугольника АВС, площадь треугольника САМ также равна 1/3 площади АВС.



hello_html_da077aa.gifС


М

hello_html_3d3cde7f.gif



А В

Теперь докажем, что через точку М проходят все медианы данного треугольника и делятся в ней в отношении 2:1 , считая от вершин треугольника. В самом деле, из равновеликости треугольников АВМ и ВСМ следует, что точки А и С Равноудалены от прямой ВМ, а значит эта прямая должна проходить через середину отрезка АС ( т.е. эта прямая проходит через т.hello_html_m107b86cf.gif). А из того, что площадь треугольника САМ составляет 1/3 площади АВС следует, что расстояние от М до СА втрое меньше расстояния от В до СА, а значит, М делит медиану hello_html_3303347c.gif в отношении hello_html_m2e2c9d11.gif. Таким образом, медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в указанном отношении. Итак, мы получили признак центроида.

Признак I .

Внутренняя точка М треугольника АВС является центроидом тогда и только тогда, когда треугольники АВМ, ВСМ и САМ равновелики.

Докажем еще два признака центроида.

Для того чтобы точка М являлась центроидом треугольника АВС необходимо и достаточно каждое из следующих условий.

Признак II. hello_html_m1769385f.gif.

Признак III. hello_html_m3a29fdd3.gif

Доказательство. Начнем с признака I. Пусть М – точка пересечения медиан треугольника АВС.

Имеем

hello_html_m4481d8f.gif



С



М

hello_html_5654191a.gif



А В

Обратно, пусть для точки М выполняется признак II и hello_html_m47364ee5.gif- точка пересечения МА с ВС. Тогда, как и выше, будем иметь

hello_html_71b180c9.gif. Но сумма двух неколлинеарных векторов, записанных в скобках, может равняться нулю только при условии, что каждый вектор равен нулю. Следовательно, hello_html_m47364ee5.gif - середина ВС.

Докажем теперь, что признак III эквивалентен признаку II. Пусть М-

произвольная точка плоскости. Прежде всего, заметим, что из равенства hello_html_52cbb777.gif после возведения его в квадрат, получим

hello_html_m37cc3d74.gif

Аналогично

hello_html_65a091e6.gif

hello_html_33f9d523.gif


Используем из II признака hello_html_m62a00377.gif

hello_html_77a96438.gif





Из равенства (2) следует равенство (3) и наоборот, т.е. я доказал признак III.

Задача 1. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника с вершинами в центрах квадратов совпадает с точкой пересечения медиан данного треугольника.

Решение.

С

hello_html_m534c45aa.gif



М





А В

М-точка пересечения медиан треугольника АВС

hello_html_44f100c3.gif- середина ВС

hello_html_m3486c4c7.gif- центр квадрата построенного на стороне ВС

по I признаку

hello_html_4fe7e798.gif

hello_html_64ac4c92.gifт.к. каждый вектор этой суммы получается соответственно из hello_html_m7929d53f.gif поворотом на hello_html_m5e12db31.gif по часовой стрелки hello_html_5c0f5675.gif.

Значит М - центроид треугольника hello_html_5e31711d.gif.

Центр описанной окружности

На этот раз я не стану дополнять школьную теорию , а рассмотрю два примера.

Пример 1.

В треугольнике АВС известны углы: hello_html_4057eb7d.gif. Внутри треугольника взята точка К такая, что ВСК – правильный треугольник. Найдите hello_html_m10df4173.gif. Решение.

В



К

С

А





Треугольник ВСК – равносторонний hello_html_m19b7f22a.gif т.е. К – центр описанной около треугольника АВС окружности.

hello_html_3024c1d0.gif- вписанный, hello_html_3574404.gif

hello_html_5f7121e4.gif- центральный, hello_html_m19b7f22a.gif

hello_html_m7b782b8e.gif- центральный

hello_html_4bed5633.gif

Треугольник АКС – равнобедренный; hello_html_1a4c792e.gif

Пример 2.

В выпуклом четырехугольнике АВСD известны углы: hello_html_m62a00377.gifhello_html_13a301d5.gif. Найдите угол между диагоналями этого четырехугольника.

Решение.

В

О



D

А С







К

Треугольник АВС; hello_html_m388a03b9.gif

hello_html_4523d5fd.gif- тупой, а из этого следует, что центр описанной окружности расположен по другую сторону от АС, чем вершина В, причем из этого центра ВС и ВА видны под углом hello_html_31d0acd7.gif и hello_html_673ff844.gif. Если D – центр описанной окружности около треугольника АВС , тогда

hello_html_58232ad8.gif- центральный угол, он равен hello_html_673ff844.gif

hello_html_m7a9b5dbc.gif- вписанный угол, он равен hello_html_132e8589.gif

hello_html_7cb840fd.gif- центральный угол, hello_html_650a85aa.gif- вписанный и он равен hello_html_m153a99d9.gif

Доказательство.

Опишем около треугольника АВС и продолжим ВD до второго переселения с окружностью, получим точку К.

hello_html_m3f8e6f79.gif, т.к. они вписанные и опираются на одну дугу АВ

hello_html_54239c57.gif, но hello_html_5befc79f.gif и hello_html_4e137f00.gif опирается на туже дуга АВ .

Треугольник DAK, hello_html_7cb840fd.gif- внешний

hello_html_b8784c2.gif

и DA=DK

Аналогично, DK=DC.

D – центр описанной окружности около треугольника DAK и около треугольника АВС .

Треугольник DBC – равнобедренный DB=DC ,hello_html_m62a00377.gif а из этого следует

hello_html_m62959c73.gif

Угол между прямыми равен hello_html_a366f2b.gif.



Центр вписанной окружности

Пусть I – центр окружности, вписанной в треугольник АВС.

Свойство 1. hello_html_65a329d6.gif

Доказательство.

2



А

hello_html_m62a00377.gif

I



3

1



В

C

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.

hello_html_m5845ed5e.gif
Треугольник AIC; hello_html_m616aeb23.gif;

Треугольник АВС; hello_html_3b250fa5.gif

hello_html_5f0b42e7.gif.

Свойство 2. Прямая BI проходит через центр окружности, описанной около треугольника AIC.





C

М



I





А В



Прямая BI пересекает окружность, описанную около треугольника АВС в точке М, треугольник AIM

hello_html_11a49491.gif

Но, hello_html_7aa48cc6.gif

hello_html_m4dca81f2.gif

hello_html_70e59c9c.gifт.к. они вписанные и опираются на дугу АС значит, hello_html_m183cf837.gif, а из этого следует, что hello_html_595d60cb.gif, следовательно треугольник AIM – равнобедренный и AM=IM.

Аналогично, СМ=MI.

Т.е. АМ=IM=СМ, т.е. М – центр окружности описанной около треугольника AIC. Луч BI проходит через него.

Исходя из этих свойств, можно получить признаки.



























hello_html_m62a00377.gif

Точка пересечения высот

В школьном учебнике есть доказательствоhello_html_m62a00377.gif теоремы о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Я приведу доказательство, основанное на одной общей идее , уже знакомой вам по доказательству теорем о том , что биссектрисы треугольника, а также серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке.

D

Рассмотрим для удобства остроугольный треугольник АВС.
А



hello_html_5b0f7314.gif hello_html_59ab34bb.gif



C В

hello_html_410d7481.gif

hello_html_36822d9.gifhello_html_cfa10ec.gif

Треугольник АМD подобен треугольнику hello_html_4decfe06.gif по равенству двух углов

hello_html_m77b75f59.gif

из треугольника hello_html_4decfe06.gif.

Треугольник AKD подобен треугольнику hello_html_m733be276.gif

hello_html_1efcab99.gif

из треугольника hello_html_m62a00377.gifhello_html_m626fa02.gif

hello_html_m474cae5d.gifhello_html_m3889d329.gif=hello_html_5612119d.gif

hello_html_m54bdf630.gif.

То же справедливо и для других высот.

hello_html_14363f59.gif; hello_html_28b1e3a6.gif(1)

hello_html_1b38cae5.gif(2)

  1. : (2); hello_html_m48bc2946.gif;hello_html_m57cc2d01.gif







Заключение

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии; но он не только символ, треугольник – атом геометрии.

Да и сегодня школьная геометрия становится интересной и содержательной, становится собственно геометрией только с появлением треугольника. Предшествующие понятия – точка, прямая, угол – представляются расплывчатыми абстракциями, а набор теорем и задач, с ними связанный, просто скучными.

Уже с первых шагов своего развития человек, а особенно современный человек, сталкивается со всевозможными геометрическими объектами – фигурами и телами. Известны случаи, когда человек в юном возрасте, если не сказать в младенческом, возрасте увлекается геометрией и даже делает самостоятельные геометрические открытия. Так, маленький Блез Паскаль придумал «игру в геометрию», в которой участвовали «монетки» - круги, «треугольники» - треугольники, «столы» - прямоугольники, «палочки» - отрезки. Его отец, основательно знавший математику из числа предметов, которым он обучал своего сына, поскольку маленький Блез не отличался хорошим здоровьем. Однако, обнаружив увлеченность сына, он кое-что рассказал ему о таинственной геометрии, а застав Блеза в момент, когда тот обнаружил, что углы треугольника составляют в сумме два прямых, растроганный отец открыл своему 12-летнему сыну доступ к математическим книгам, хранившимся в домашней библиотеке.

Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. О некоторых из них, а точнее говоря, о некоторых замечательных точках, связанных с треугольником, я рассказал сегодня.



Список литературы

  • «Геометрия». Учебник для 7-9 классов Л.С. Анатасян и другие.

Москва «Просвещение» 2009 г.

  • Факультативный курс по математике 7-9.

Составитель И. Л. Никольская.

Москва «Просвещение» 1991 г.



  • Журнал «Квант» №9. 1983 г.









Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 11.08.2015
Раздел Математика
Подраздел Тесты
Просмотров486
Номер материала ДA-003651
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх