Исследовательская работа на тему "Замечательные точки треугольника"

X районные чтения членов научных обществ учащихся

Тема работы:

«Замечательные точки треугольника»

                                                  Автор: Еськов Егор, ученик 11 «А» класса

                        МКОУ «Медынская СОШ»

Руководитель: Клевкова Лариса Викторовна,

                                               учитель математики Медынской средней

                              общеобразовательной школы

Медынь 2014 год

Оглавление

1.     Введение………………………………………………………………3

2.     Исследование:

a)     точки пересечения медиан…………………………………….4

b)    центр описанной окружности…………………………………8

c)     центр вписанной окружности…………………………………10

d)    точка пересечения высот……………………………………....13

3.     Заключение……………………………………………………………15

4.     Список литературы…………………………………………………...16

Введение

Треугольник – простейшая плоская фигура. Три вершины и три стороны. Но изучение треугольника породило целую науку – тригонометрию, в которой метрические свойства треугольника выражаются через функции углов. Эта наука возникла из фактических потребностей при измерениях земельных участков, составление карт местности, конструировании машин и механизмов.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах более чем 4000-летней давности. В частности, там упоминается способ нахождения площади равнобедренного треугольника, дающий хорошее приближение при малых углах при вершине, противоположной основанию. Эта площадь находится как произведение основания на боковую сторону.

Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня – достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона. После длительного периода упадка культуры и, в частности, математики, c XV-XVI веков началось Возрождение.

Вновь появилось огромное количество исследований свойств треугольника, особенно в XVIII веке. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получившей название «Новая геометрия треугольника».

Находки в геометрии треугольника есть и в нашем веке. Так, в 1904 году американский математик Ф. Морли доказал, что если из каждой вершины треугольника провести лучи, делящие соответствующий угол на три равные части (трисектрисы угла), то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника. Доказательство этого утверждения было бы вполне под силу и древнегреческим математикам. Они прошли мимо этого факта, видимо, потому, что тогда было принято рассматривать лишь построения при помощи циркуля и линейки, а с помощью этих инструментов такое деление в общем случае сделать невозможно (это позднее было доказано). Я тоже провел свое исследование и доказал некоторые признаки замечательных точек треугольника.

Точка пересечения медиан

Внутри любого треугольника существует такая точка M , что треугольники АВМ, ВСМ и САМ равновелики. Самое лучшее просто построить эту точку. Поскольку площадь треугольника АВМ составляет 1/3 площади треугольника АВС, точка М расположена на прямой, параллельной АВ и удаленной от АВ на расстояние, равное 1/3 соответствующей высоты. Точно так же, М должна быть расположена на аналогичной прямой, параллельной ВС, т. е. М –точка пересечения этих двух прямых. Поскольку площади треугольников АВМ и ВСМ равны 1/3 площади треугольника АВС, площадь треугольника САМ также равна 1/3 площади АВС.

                                         С

М

                                                                               

                    А                                       В

Теперь докажем, что через точку М проходят все медианы данного треугольника и делятся в ней в отношении 2:1 , считая от вершин треугольника. В самом деле, из равновеликости треугольников АВМ и ВСМ следует, что точки А и С Равноудалены от прямой ВМ, а значит эта прямая должна проходить через середину отрезка АС ( т.е. эта прямая проходит через т.). А из того, что площадь треугольника САМ составляет 1/3  площади АВС следует, что расстояние от М до СА втрое меньше расстояния от В  до СА, а значит, М делит медиану  в отношении . Таким образом, медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в указанном отношении. Итак, мы получили признак центроида.

Признак I .

Внутренняя точка М треугольника АВС является центроидом тогда и только тогда, когда треугольники АВМ, ВСМ и САМ равновелики.

Докажем еще два признака центроида.

Для того чтобы точка М являлась центроидом треугольника АВС необходимо и достаточно каждое из следующих условий.

Признак II. .

Признак III.

Доказательство. Начнем с признака I. Пусть М – точка пересечения медиан треугольника АВС.

Имеем

 

                                                          С 

М

                                                                   

                                   А                                         В

Обратно, пусть для точки М выполняется признак II и - точка пересечения МА с ВС. Тогда, как и выше, будем иметь

. Но сумма двух неколлинеарных векторов, записанных в скобках, может равняться нулю только при условии, что каждый вектор равен нулю. Следовательно,  - середина ВС.

Докажем теперь, что признак III эквивалентен признаку II. Пусть М-

произвольная точка плоскости. Прежде всего, заметим, что из равенства  после возведения его в квадрат, получим

Аналогично

Используем из II признака

Из равенства (2) следует равенство (3) и наоборот, т.е. я доказал признак III.

Задача 1. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника с вершинами в центрах квадратов совпадает с точкой пересечения медиан данного треугольника.

Решение.

С

                              

 

          А                                                        В

М-точка пересечения медиан треугольника АВС

- середина ВС

- центр квадрата построенного на стороне  ВС

по I признаку

 т.к. каждый вектор этой суммы получается соответственно из   поворотом на  по часовой стрелки    .

Значит М - центроид треугольника .

Центр описанной окружности

На этот раз я не стану дополнять школьную теорию , а рассмотрю два примера.

Пример 1.

В треугольнике АВС известны углы: . Внутри треугольника взята точка К такая, что ВСК – правильный треугольник. Найдите . Решение.

                           В

					С

 

Треугольник ВСК – равносторонний  т.е. К – центр описанной около треугольника АВС окружности.

- вписанный,  

- центральный,

 - центральный

Треугольник АКС – равнобедренный;

Пример 2.

В выпуклом четырехугольнике АВСD известны углы: . Найдите угол между диагоналями этого четырехугольника.

Решение.

                                    В

                                                                             

О

                                                                                                                                                           

D

    А                                                              С                                                                          

                                        К

Треугольник АВС;

- тупой, а из этого следует, что центр описанной окружности расположен по другую сторону от АС, чем вершина В, причем из этого центра ВС и ВА видны под углом  и . Если D – центр описанной окружности около треугольника АВС , тогда

 - центральный угол, он равен

- вписанный угол, он равен

- центральный угол, - вписанный и он равен

Доказательство.

Опишем около треугольника АВС  и продолжим ВD до второго переселения с окружностью, получим точку К.

, т.к. они вписанные и опираются на одну дугу АВ

, но  и  опирается на туже дуга АВ .

Треугольник DAK, - внешний

и DA=DK

Аналогично, DK=DC.

D – центр описанной окружности около треугольника DAK и около треугольника  АВС .

Треугольник DBC –  равнобедренный DB=DC , а из этого следует

 

Угол между прямыми равен .

Центр вписанной окружности

Пусть I – центр окружности, вписанной в треугольник АВС.

Свойство 1.

Доказательство.

	2

 

А

                                                                 

 

В

                                                   C

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.

Треугольник  AIC; ;

Треугольник АВС;

.

Свойство 2. Прямая  BI проходит через центр окружности, описанной около треугольника  AIC.

 

                                                                    C

                        М

 

                А                                                                    В

 Прямая BI пересекает окружность,  описанную около треугольника АВС в точке М, треугольник AIM

Но,

 т.к. они вписанные и опираются на дугу АС значит, , а из этого следует, что ,  следовательно треугольник AIM – равнобедренный и AM=IM.

Аналогично,  СМ=MI.

Т.е. АМ=IM=СМ, т.е. М – центр окружности описанной около треугольника  AIC. Луч BI  проходит через  него.

Исходя из этих свойств, можно получить признаки.

Точка пересечения высот

В школьном учебнике есть доказательство теоремы о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Я приведу доказательство, основанное на одной общей идее , уже знакомой вам по доказательству теорем о том , что биссектрисы треугольника, а также серединные перпендикуляры к его сторонам   пересекаются в одной точке.

D

Рассмотрим для удобства остроугольный треугольник АВС.
                                                     А

                                                                      

                                  C                                                  В

                                                          

Треугольник АМD подобен треугольнику  по равенству двух углов

из треугольника .

Треугольник AKD подобен треугольнику

из треугольника

=

.

То же справедливо и для других высот.

;  (1)

(2)

(1)  : (2); ;

Заключение

   Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии; но он не только символ, треугольник – атом геометрии.

Да и сегодня школьная геометрия становится интересной и содержательной, становится собственно геометрией только с появлением треугольника. Предшествующие понятия – точка, прямая, угол – представляются расплывчатыми абстракциями, а набор теорем и задач, с ними связанный, просто скучными.

Уже с первых шагов своего развития человек, а особенно современный человек, сталкивается со всевозможными геометрическими объектами – фигурами и телами. Известны случаи, когда человек в юном возрасте, если не сказать в младенческом, возрасте увлекается геометрией и даже делает самостоятельные геометрические открытия. Так, маленький Блез Паскаль придумал «игру в геометрию», в которой участвовали «монетки» - круги, «треугольники» - треугольники, «столы» - прямоугольники, «палочки» - отрезки. Его отец, основательно знавший математику из числа предметов, которым он обучал своего сына, поскольку маленький Блез не отличался хорошим здоровьем. Однако, обнаружив увлеченность сына, он кое-что рассказал ему о таинственной геометрии, а застав Блеза в момент, когда тот обнаружил, что углы треугольника составляют в сумме два прямых, растроганный отец открыл своему 12-летнему сыну доступ к математическим книгам, хранившимся в домашней библиотеке.

Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать  о всех известных его свойствах, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. О некоторых из них, а точнее говоря, о некоторых замечательных точках, связанных с треугольником, я рассказал сегодня.

Список литературы

·        «Геометрия». Учебник для 7-9 классов Л.С. Анатасян и другие.

Москва «Просвещение» 2009 г.

·        Факультативный курс по математике 7-9.

Составитель И. Л. Никольская.

Москва «Просвещение» 1991 г.

·        Журнал «Квант» №9. 1983 г.