1127019
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокНачальные классыДругие методич. материалыИсследовательская работа обучающегося на тему "Математические цепочки"

Исследовательская работа обучающегося на тему "Математические цепочки"

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.



Районная конференция юных исследователей

«Мой первый доклад»




Математические цепочки



Автор: Пьянзина ЮлияАлександровна,

МБОУ Тазовская средняя

общеобразовательная школа

Руководитель: Фильцова Раиса Алексеевна,

учитель начальных классов







П. Тазовский, ЯНАО,

2011 год



Введение. Постановка проблемы.

Чтоб врачом, моряком или летчиком стать, «Математику уже затем учить следует,

Надо, прежде всего, математику знать. Что она ум в порядок приводит».

М.В. Ломоносов

Кто из нас не мечтает стать моряком, летчиком, строителем или инженером? Но эти и многие другие профессии требуют хорошего знания математики.

Математика, как и другие науки, непрерывно развивается, обогащается новыми теориями, перестраивается в ответ на новые запросы жизни. Часто говорят, что математика скучна. Так думают те, кто дальше ее начатков не ушел. Математика пленяет всех тех, кто достаточно продвигается в ее изучении. Недаром выдающаяся русская женщина – математик Софья Васильевна Ковалевская писала: «Нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе».

Чтобы активно участвовать в большой интересной жизни, нам необходимо уже сейчас наполнять свои головы знаниями. Для этого важно учиться их добывать и хорошо усваивать, но еще важнее учиться работать самостоятельно и творчески.

Современному человеку, профессионалу своего дела необходимо владеть математической культурой, в том числе и вычислительной. Вычислительная деятельность позволяет развивать:

  • мышление;

  • учебно-познавательные мотивы;

  • опыт творческой деятельности;

  • приобретать действенные знания и умения.

Для меня особый интерес в математике представляют взаимообратные связи, в частности взаимосвязь действий сложения и вычитания, умножения и деления. Эти знания позволяют активно включаться в учебную деятельность и отрабатывать вычислительные навыки, а также самостоятельно составлять и решать тройки-четверки примеров, связанных между собой обратной связью, задачи, обратные данным, творческие задания игрового характера, и тем самым расширять содержание своего математического образования.

А существуют ли такие взаимосвязи в заданиях более сложного характера, где с некоторым данным числом последовательно выполняются несколько преобразований, например в математических цепочках?

Можно ли эти знания применять в решении задач, отражающих некоторые жизненные ситуации?

Желание найти ответы на эти вопросы стало основой для моей работы и определило ее цель.

Цель: выявить наличие взаимообратной связи арифметических действий в математических цепочках, содержащих несколько последовательных преобразований некоторого числа, выполняя операции в прямом и обратном порядке.

Задачи, которые необходимы для реализации цели:

1) изучить теорию взаимосвязи действий сложения и вычитания, умножения и деления;

2) произвести сбор учебного практического материала – математических цепочек;

3) выполнить преобразования в математических цепочках в прямом и обратном порядке, используя знания взаимосвязи арифметических действий;

4) проанализировать полученные результаты и выявить наличие взаимосвязи;

5) найти способы применения полученных знаний при выполнении других математических заданий.

Предмет исследования: математика.

Объект исследования: математические цепочки.

Гипотеза: если от данного числа а последовательно выполнить несколько арифметических операций с каждым новым результатом и получить некоторое число в, то проделав, от полученного числа в операции, обратные данным, получим данное число а.


1. Взаимообратные связи в математике.

(Изучение теории, связанной с данной темой).

С первого знакомства вычитание рассматривается как операция, обратная сложению:

а + в = с с – а = в с – в = а,

а деление как операция обратная умножению:

а х в = с с : а = в с : в = а,

Если сложение мы рассматриваем как объединение частей в целое множество, то вычитание – удаление части исходного множества.

Умножение вводится как действие, заменяющее особый случай сложения – сложение одинаковых слагаемых:

3 + 3 + 3 + 3 = 3 х 4 а + а + а + а = а х к, где к – количество слагаемых

3 х 4 = 12 а х к = в

При первом знакомстве с делением мы рассматриваем ситуацию, приводящую к этому действию, в которой решение проблемы (учебной задачи) связывает деление не столько с умножением, сколько с вычитанием несколько раз одного и того же числа из целого:

12 – 3 – 3 – 3 – 3, в 12 по 3 содержится 4 раза в : а = к

12 : 3 = 4

Используя эти теоретические знания, знание переместительного закона относительно сложения и умножения можно не только успешно выполнять эти операции, но и самому составлять тройки – четверки примеров, связанных обратной связью:

48 +22 = 70 а + в = с 8 х 7 =56 а х в = с

22 + 48 = 70 в + а = с 7 х 8 = 56 в х а = с

70 - 48 = 22 с – а = в 56 : 8 = 7 с : в = а

70 - 22 = 48 с – в = а 56 : 7 = 8 с : а = в

и, тем самым, расширять содержание своего образования и отрабатывать вычислительные навыки, то есть учиться хорошо и быстро считать, а также применять эти знания в сложных математических выражениях, решая их прямым и обратным путем; составлять творческие задания игрового характера.

2. Математические цепочки.

А существуют ли такие взаимосвязи в заданиях более сложного характера, где с некоторым данным числом последовательно выполняются несколько преобразований, например в математических цепочках?

Рассмотрим математические цепочки, в которых можно последовательно выполнять различные математические операции с результатом предыдущего действия:

36 + 14 = * * - 27 = ** ** + 18 = 41

Выполняя последовательно операции, мы осуществляем преобразование данного числа 36 в новое число прямым путем, получим число 41.

36 + 14 = 50 50 - 27 = 23 23 + 18 = 41

А можно ли выполнить преобразование в обратном порядке и от числа 41 вернуться к числу 36?

Ведь все операции, которые мы последовательно выполнили с каждым результатом предыдущего действия - сложение, вычитание, сложение имеют обратные им: вычитание, сложение, вычитание, а значит, проделав эти обратные операции, мы должны от полученного числа возвратиться к данному числу. Проверим это, выполняя операции обратные данным, выполняя преобразование с конца:

41 - 18 = 23 23 + 27 = 50 50 - 14 = 36

Получили первоначальное число 36.

Значит, такое преобразование возможно. Проверим, что наше утверждение верно на других цепочках.

42 : 6 = * * + 5 = ** ** : 4 = 3

42 : 6 = 7 7 + 5 = 12 12 : 4 = 3

3 х 4 = 12 12 - 5 = 7 7 х 6 = 42


6 х 3 = * * : 2 = ** ** : 3 = *** *** х 8 = 24

6 х 3 = 18 18 : 2 = 9 9 : 3 = 3 3 х 8 = 24

24 : 8 = 3 3 х 3 = 9 9 х 2 = 18 18 : 3 = 6

24 – 6 = * * + 7 = ** ** : 5 = *** *** х 9 = 45

24 – 6 = 18 18 + 7 = 25 25 : 5 = 5 5 х 9 = 45

45 : 9 = 5 5 х 5 = 25 25 - 7 = 18 18 + 6 = 24

Убедившись в верности полученных результатов, можно сделать вывод.

Вывод: предположение: если от данного числа а последовательно выполнить несколько арифметических операций с каждым новым результатом и получить некоторое число в, то проделав, от полученного числа в операции, обратные данным, получим данное число а

оказалось верным, и его можно представить в общем виде:

если: а – к = * * + с = ** ** : у = *** *** х р = в, то

в : р = *** *** х у = ** ** - с = * * + к = а


3. Сбор собственного материала, его анализ и обобщение

1) Знания взаимосвязи арифметических действий теперь можно использовать, составляя самостоятельно и решая сколько угодно новых математических цепочек:

9 х 6 = О О + 18 = О О : 9 = О О х 7 = О О – 49 = 7

7 + 49 = 56 56 : 7 = 8 8 х 9 = 72 72 – 18 = 54 54 : 6 = 9

Проверка:

9 х 6 = 54 54+ 18 = 72 72 : 9 = 8 8 х 7 = 56 56 – 49 = 7


100 – 64 = О О х 2 = О О : 8 = О О + 46 = О О х 4 = 220

220 : 4 = 55 55 – 46 = 9 9 х 8 = 72 72 : 2 = 36 36 + 64 = 100

Проверка:

100 – 64 = 36 36 х 2 = 72 72 : 8 = 9 9 + 46 = 55 55 х 4 = 220


2) Можно и усложнить задание в цепочке: число, с которого начинаются преобразования сделать неизвестным, и найти его выполняя с конца операции обратные данным:

О : 9 = О О + 91 = О О : 4 = О О - 7 = О О х 6 = 108 

108 : 6 = 18 18 + 7 = 25 25 х 4 = 100 100 – 91 = 9 9 х 9 = 81

Проверка:

81 : 9 = 9 9 + 91 = 100 100 : 4 = 25 25 - 7 = 18 1 8 х 6 = 108 


О+ 25= О О : 3 = О О х 4 = О О - 59 = О О : 7 = 7

7 х 7 = 49 49 + 59 = 108 108 : 4 = 27 27 х 3 = 81 81 – 25 = 56

Проверка:

56 + 25= 81 81 : 3 = 27 27 х 4 = 108 108 - 59 = 49 49 : 7= 7

3) Теперь, на мой взгляд, легко найти ключ, к решению таких игровых заданий, как «Угадай число, которое я задумал…», «Вставь пропущенное число» и др. В их решении заложен тот же принцип взаимообратной связи.

Я задумала число, увеличила его в 5 раз, полученный результат уменьшила на 2, новый результат уменьшила в 3 раза, и у меня получилось число 6. Какое число я задумала?

(а х 5 - 2) : 3 = 6 , выполняя последовательно от полученного числа операции, обратные данным с конца, получим:

(6 х 3 + 2) : 5 = 4, проверим правильность решения: (4 х 5 - 2) : 3 = 6 (верно), значит: если :

(а х в - с) : р = у, то (у х р + с) : в = а

Если же ведущий игру, выполнит (незаметно для игроков) операции, обратные данным, используя задуманное число, то, загадывая разные числа, в ответе можно получать одно и то же число, что удивляет игроков, например:

а х 8 : 2 х 5 : а = 20: 8 : 2 х 5 = 20, значит задуманное число должно было увеличиться в 20 раз, но так как полученный результат разделили на задуманное число, то число 20 – общий результат всех преобразований получилось в ответе:

(20)

а х 8 : 2 х 5 : а = 20

Зная ключ к выполнению таких заданий, можно их разнообразить и усложнить: например:

Мы с Катей задумали разные числа, выполнили действия и получили одинаковый результат. Я задумала наибольшее однозначное число. Какое число задумала Катя?

а х 3 = * * + 43 = ** ** – 10 = ***

в : 5 = * * - 4 = ** ** + 54 = ***

Выполнив преобразования, получим:

9 х 3 = 27 27 + 43 = 70 70 – 10 = 60 – полученное число

60 - 54 = 6 6 + 4 =10 10 х 5 = 50 – задумала Катя.

4) В заданиях на смекалку «Вставь пропущенные число»:

О + 14 - 25 = 69 О = 69 + 25 -14 О = 80

3 х О : 2 х 7 = 42 О = 42 : 7 х 2 : 3 О = 4

О х 4 – 56 : 7 = 92, упростим: О х 4 – 8 = 92 О = (92 + 8 ) : 4 О = 25

Проверка: 25 х 4 – 56 : 7 = 92

92 = 92

36 х О – 96 : 12 + 27 х 2 = 154, упростив выражение получим:

36 х О – 8 + 54 = 154 О = (154 – 54 + 8) : 36 О = 3

Проверка: 36 х 3 – 96 : 12 + 27 х 2 = 154

154 = 154

5) В жизни бывают такие ситуации, решение которых влечет тоже цепочку последовательных действий, требующих решение учебной задачи с конца.

Рассмотрим такие задачи:

Праздничный пирог разрезали на две равные части. Одну половину оставили, а другую разрезали еще на равных 8 частей. Какова масса всего пирога, если масса одного куска пирога равна 100 граммам?

Решение:

Решая задачу, рассуждение ведем с конца: если масса одного куска пирога 100 граммов, а это 1/8 часть половины пирога, то можно узнать половину пирога: 100 х 8 = 800 (г), так как половина пирога составляет 800 граммов, то масса всего пирога в два раза больше:

800 х 2 = 1600 (г), то есть:

100 х 8 х 2 = 1600 (г) – масса пирога.

Проверка:

1600 : 2 : 8 = 100

100 = 100

Ответ: масса пирога – 1600 г

Торговка, сидя на рынке, соображала: «Если бы к моим яблокам прибавить половину тех, что у меня есть, да еще десяток, то у меня была бы целая сотня!» Сколько яблок у торговки было?

Решение:

Пусть половина яблок торговки составляет 1 часть, тогда число яблок, которые у нее были, а их в 2 раза больше будут составлять 2 части.

1 + 2 =3 (ч.) – столько частей составляют яблоки, которые были у торговки и еще их половина

100 – 10 = 90 (яб.) – столько яблок было бы у торговки вместе с половиной

90 : 3 = 30 ( яб.) – приходится на 1 часть, то есть половина яблок тех , которые были у торговки

30 х 2 = 60 (яб.) – приходится на 2 части или количество яблок, которое было у торговки.

Проверка:

60 + 60 : 2 + 10 = 100

100 = 100 Ответ: у торговки было 60 яблок.

Мама испекла пирожки и отдала Красной Шапочке половину пирожков отнести бабушке. Красная Шапочка съела один пирожок, и третью часть оставшихся пирожков отдала Волку. Бабушке она принесла 6 пирожков. Сколько пирожков испекла мама?

Решение:

Примем за 1 часть те пирожки, которые Красная Шапочка принесла Бабушке и отдала Волку, тогда:

1 – 1/3 =2/3 (ч.) – принесла Бабушке

6 : 2 х 3 = 9 (п.) – пирожки Бабушки и Волка

9 + 1 = 10 (п.) – половина всех пирожков

10 х 2 = 20 (п.) – испекла мама

Проверка:

20 : 2 – ( 1 + (20 : 2 -1) : 3) = 6

6 = 6

Ответ: мама испекла 20 пирожков.


4. Собственные выводы:

1) Взаимообратные связи действий сложения и вычитания, умножения и деления можно использовать в заданиях более сложного характера, где с некоторым данным числом последовательно выполняются несколько преобразований.


2) Эти знания можно применять не только в решении примеров, связанных между собой обратной связью, задач, обратных данным, но и в составлении и решении игровых заданий, задач на смекалку, задач, отражающих некоторые жизненные ситуации и, тем самым, расширять содержание своего математического образования.


3) Предметные теоретические знания, которые мы учимся в школе добывать, надо учиться применять на практике. Тогда пробуждается интерес к предмету, желание и стремление открывать новое, и мы активно включаемся в учебную деятельность, приобретаем действенные знания, умения и навыки, опыт самостоятельной и творческой деятельности.


5. Библиография:


1) Исследовательская работа школьников. Научно-методический информационно-публицистический журнал, М., «Народное образование», №1, 2006.

2) В.П. Труднев. Внеклассная работа по математике в начальной школе. М., «Просвещение», 1975..

3) Начальная школа. Научно-методический журнал. М., «Начальная школа и образование», № 1, 2008.

4) Начальная школа. Научно-методический журнал. М., «Начальная школа и образование», № 4, 2009

5) И.И. Аргинская. «Математика», 1, 2, 3 классы, Самара: Корпорация «Федоров», издательство «Учебная литература», 2007.

6) М.И. Моро, М.А. Бантова и др. «Математика 3», учебник для начальной школы в 2 частях, М., «Просвещение», 2009.









6


Общая информация

Номер материала: ДВ-077548

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Роль педагога в реализации концепции патриотического воспитания школьников в образовательном процессе в свете ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Методика организации образовательного процесса в начальном общем образовании»
Курс повышения квалификации «Использование мини-проектов в школьном: начальном, основном и среднем общем и среднем профессиональном естественнонаучном образовании в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Актуальные проблемы обучения детей с нарушением слуха в образовательных организациях общего и среднего профессионального образования»
Курс повышения квалификации «Психолого-педагогические аспекты инклюзивного образования в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Система образовательной организации в начальном общем образовании в условиях реализации ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности педагога-дефектолога: специальная педагогика и психология»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Психолого-педагогическая диагностика в современном образовательном процессе»
Курс повышения квалификации «Активизация познавательной деятельности младших школьников с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) как стратегия повышения успешной учебной деятельности»
Курс повышения квалификации «Видеотехнологии и мультипликация в начальной школе»
Курс повышения квалификации «Проективные методики в начальной школе в соответствии с ФГОС»
Курс повышения квалификации «Современные тенденции цифровизации образования»
Курс повышения квалификации «Формирование и развитие ключевых компетенций школьников в интересах устойчивого развития региона»
Курс профессиональной переподготовки «Музыка: теория и методика преподавания в сфере начального общего, основного общего, среднего общего образования»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.