Исследовательская работа: "Отрицательные числа в жизни людей".

I городская научно-практическая конференция учащихся

 «ПИРАМИДА»

Секция: математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: «Отрицательные числа в жизни

людей»

Девятьярова Анастасия,

ученицы 6 Б класса

МБОУ «СОШ № 100»

Научный руководитель:

Овечкина Валентина Васильевна,

учитель математики

МБОУ «СОШ №100»

первой квалификационной

 категории

Ижевск, 2018 год

Содержание

1.Введение..…………………………………………………. ………………….3

2.История возникновения отрицательных чисел................................................4

3.Отрицательные числа в физике………………………………………………7

4. Отрицательные числа в географии.………………..........................................8

5. Отрицательные числа в истории…………………………………………….9

6. Отрицательные числа в биологии…………………………………………...9

7. Отрицательные числа в музыке и литературе………………………….…10

8. Анкетирование и его результаты………… ……….......................................11

9.Заключение………………………………………………………………..….12

10.Список литературы………………………………………………….….…..13

11.Приложения…………………………………………………………………14

Введение

     Мы знаем, что вся жизнь человека построена на числах, они окружают нас везде и повседневно. Тему «Отрицательные числа» на уроках математики мы только что начали изучать. Я подготовила работу, направленную на изучение и историческое принятие отрицательных чисел в математике. Числа — это орудие современной  цивилизации. Как и в глубокой древности, так и по сегодняшний день мы – люди не можем обойтись в нашей жизни, каждодневной суете без чисел. Наша жизнь упростилась с появлением чисел. Но люди не могли обойтись только одними натуральными числами. 
       Я решила изучить понятие числа, историю развития и принятия отрицательных чисел известными математиками. Как с натуральными числами, так и с отрицательными, мы сталкиваемся в повседневной жизни, и не только на уроках математики. Мне стало интересно: где, на каких других уроках применяются отрицательные числа и как учащимся дается правильно выполнять действия с этими числами. Поэтому я решила исследовать знания математических действий с отрицательными числами учащихся 100 школы 6б,7д.10б, классов.

Гипотеза: 

Отрицательные числа и математические действия с ними в настоящее время воспринимаются учащимися так же неодобрительно, как и в начальной стадии развития этих чисел. 

Цель: Изучить историю возникновения отрицательных чисел, и исследовать их применение.

Задачи:

- Собрать информацию, выделить главное, сделать выводы.

     -Рассмотреть применение отрицательных чисел в физике, географии, биологии,           истории и др..

     -Рассмотреть восприятие и понимание школьниками математических действий с отрицательными числами и их отношение к ним.

История возникновения отрицательных чисел

В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Существует большое количество определений понятия «число». 
Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц» (Приложение 1). Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Пифагор учил, что «число есть система единиц». Английский физик и математик Ньютон пишет: «Целое число есть то, что измеряется единицей». 
          Как же возникли отрицательные числа? Все началось в Китае, примерно во II веке до н.э. Возможно, в Китае их знали и раньше, но первое упоминание относится именно к тому времени. Там стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом положительные –называли  «имуществом» (приложение 2). Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Той записи, которая существует сейчас, тогда не было.

Термины произошли от слов plus – «больше», minus – «меньше». Сначала действия обозначали первыми буквами p; m.  Возникновение современных знаков «+», «–» не совсем ясно. Знак «+», возможно, происходит от сокращенной записи et, т.е. «и». Впрочем, может быть он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке «–», а при восстановлении запаса их перечеркивали, получался знак «+». Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бессмысленными.

Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов. Индийские математики столкнулись с отрицательными числами при  решении уравнений. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их  наравне с положительными, он сформулировал правила действий над  положительными и отрицательными числами (приложение 3).

Вот как Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». «Сумма двух имуществ есть имущество».

(+х) + (+у) = +(х + у);  (-х) + (-у) = - (х + у);  (-х) + (+у) = - (х - у); (-х) + (+у) = +(у - х);

0 – (-х) = +х; 0 – (+х) = -х . 
           Однако, не смотря на такие сомнения, правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта (приложение 4).

В Европе отрицательные числа появились благодаря Фибоначчи, который тоже ввёл отрицательные числа для решения финансовых задач с долгами - в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков (приложение 5).
Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены.

Польза и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийские математики в VII веке уже рассматривали их наравне с положительными. В XVII веке отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке.
          В арабской математике отрицательные числа почти не нашли применения. Для отрицательного числа использует слово «дайн» (долг). 
Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время нуль не признавали числом, в XVII-ом столетии с введением системы координат нуль становится числом.
           В Европе в XII веке нашей эры появились отрицательные числа, их называли “ложными” в отличие от положительных чисел – «истинных». 
Хотя многие европейские математики эпохи Возрождения так или иначе пользовались отрицательными числами, их считали «ложными». Но, тем не менее, идея отрицательных чисел постепенно завоевывала умы и, главное, оказалась весьма полезной.
           Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что математики мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Отрицательные числа с большим трудом завоевывали себе место в математике.
          В Европе признание наступило на тысячу лет позже. К идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами и пришел к мысли, что отрицательные количества надо принимать в смысле, противоположном положительным. В те годы были развиты так называемые математические поединки. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому (Фибоначчи) было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг».

                 Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и долгое время их называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными.

         В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом!

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « - » применил немецкий математик Видман (приложение 7).

         Немецкий математик Михаил Штифель (приложение 6) в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно, навыворот».

         В XVII в. великий французский математик Рене Декарт (приложение 8) предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Нам сейчас кажется это все таким простым и понятным, но, чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого Чжан Цаня до Декарта.

          В трудах Декарта отрицательные числа получили, как говорят, реальное истолкование. Декарт и его последователи признавали их наравне с положительными. Но в действиях над отрицательными числами не все было ясно (например, умножение на них), поэтому многие ученые не желали признавать отрицательные числа за числа действительные. Среди ученых разгорелся большой и долгий спор о сущности отрицательных чисел о том признать отрицательные числа числами действительными или нет. Спор этот после Декарта продолжался около 200 лет. За этот период математика как наука получила очень большое развитие, и на каждом шагу в ней встречались отрицательные числа. Математика стала немыслимой, невозможной без отрицательных чисел. Все большему числу ученых становилось ясно, что отрицательные числа – это числа действительные, такие же реальные, на самом деле существующие числа, как числа положительные. Линия времени от начала возникновения отрицательных чисел до наших дней (приложение 9).

Отрицательные числа в физике

          Физика имеет дело с различными величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, напряжение между электродами, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика – все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.

          Числа в физике возникают в результате измерения физических величин, а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит: от того, как определена эта физическая величина; от используемых единиц измерения. Это можно разъяснить на примере. Поднявшись к леднику Голдвин-Остер, совместная советско-американская экспедиция альпинистов разбивают базовый лагерь на высоте 4910 метров над уровнем моря. В центре лагеря устанавливается флагшток высотой 6 метров, и на нем поднимается флаг экспедиции. Спрашивается: На какой высоте полощется флаг? Если бы этот вопрос задали журналисту, пишущему репортаж о восхождении, то он бы отметил так: «Флаг находится на высоте 6 метров». А если бы мы спросили у альпинистов, то получили бы ответ: «Флаг находится на высоте 4916 метров». Ответы получились разными, так как журналист и альпинист по-разному определяют высоту: первый имеет в виду высоту над землей, а второй – высоту над уровнем моря.

Положительные и отрицательные числа на дороге. Понаблюдаем за движением автомашин по шоссе, стоя на обочине лицом к дороге. Два потока машин несутся навстречу друг другу. Вот, например, легковой автомобиль проносится мимо нас со скоростью 100 км/ч, а грузовик движется со скоростью 70 км/ч. Но этих чисел не достаточно, если мы хотим указать ещё и направление движения. Действительно, мы ведь должны ещё добавить, что легковой автомобиль едет вправо, а грузовик - влево. Таким образом, чтобы охарактеризовать движение автомобиля по шоссе, надо не только указать, как быстро он едет (то есть указать величину его скорости), но и дополнительно пояснить, куда, в каком направлении он едет - вправо или влево. Поэтому говорят, скорость автомобилей, движущихся вправо, считать положительной, а скорость автомобилей, движущихся влево, - отрицательной. То есть знак числа будет указывать направление скорости (направление движения) автомобилей. Отметим, что «положительное» направление движения можно выбирать произвольно. Например, можно было бы положительным считать скорости автомобилей, движущихся влево. Тогда скорости автомобилей, движущихся вправо, выражались бы отрицательными числами.

Опыт. Положите на стол несколько маленьких кусочков тонкой бумаги. Возьмите чистую сухую пластмассовую расческу и 2-3 раза проведите ею по своим волосам. Расчесывая волосы, вы должны услышать легкое потрескивание. Затем медленно поднесите расческу к клочкам бумаги. Вы увидите, что они сначала притягиваются к расческе, а потом отталкиваются от нее. Этой же расческой можно притягивать воду. Такое притяжение легко наблюдать, если поднести расческу к тонкой струйке воды, спокойно вытекающей из крана. Вы увидите, что струйка заметно искривляется. Теперь сверните из тонкой бумаги (лучше всего папиросной) две трубочки длиной 2-3см. и диаметром 0,5см. Подвесьте их рядом (так, чтобы они слегка касались друг друга) на шелковых нитках. Расчесав волосы, прикоснитесь расческой к бумажным трубочкам – они сразу разойдутся в стороны и останутся в таком положении (то есть нитки будут отклонены). Мы видим, что трубочки отталкиваются друг от друга.

Если у вас есть стеклянная палочка (или трубочка, или пробирка) и кусочек шелковой ткани, то опыты можно продолжить. Потрите палочку о шелк и поднесите к обрывкам бумаги – они начнут «прыгать» на палочку точно так же, как и на расческу, и затем соскальзывать с нее. Струйка воды тоже отклоняется стеклянной палочкой, а бумажные трубочки, к которым вы палочкой прикоснулись, отталкиваются друг от друга.

А теперь возьмите одну палочку, к которой вы прикасались расческой, и вторую трубочку, - и поднесите друг к другу. Вы увидите, что они притягиваются друг к другу. Итак, в этих опытах проявляются силы притяжения и силы отталкивания. В опытах мы видели, что заряженные предметы (физики говорят – заряженные тела) могут притягиваться друг к другу, а могут и отталкиваться друг от друга. Это объясняется тем, что существует два вида, два сорта электрических зарядов, причем заряды одного и того же вида отталкиваются друг от друга, а заряды разных видов притягиваются.

В физике применяется шкала с отрицательными числами. (Если на улице тепло, то температура воздуха  выражена положительным числом, а если на улице холодно – отрицательным числом. Примером физической «координатной прямой» является три агрегатных состояния такого вещества, как вода. В нашей жизни нам часто приходилось встречаться со знаками «+» и «-», но мы не задумывались над тем, что они означают. Например, меняя батарейку в часах или в пульте управления, мы ставили ее так, чтобы «+» был с «+», а «-» с «-». Положительные и отрицательные числа помогают нам определить температуру воздуха. Отрицательное число – показывает величину электрического заряда (приложение 10).

Отрицательные числа на уроках географии

Посмотрим на физическую карту мира. Участки суши на ней раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны раскрашены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На карте нарисована шкала глубин и высот, которая показывает, какую высоту (глубину) означает тот или иной цвет.

Высоту гор и глубину морей тоже можно записать с помощью положительных и отрицательных чисел.

В географии отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря (приложение 11).

Отрицательные числа в истории

         Как в древности считали года? В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее. Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.).

В истории отрицательное число можно заменить словами, например,  истории – 157 лет до н.э. (приложение 12).  

Отрицательные числа на уроках биологии

 Отрицательные числа в биологии выражают патологию глаза. Близорукость (миопия) проявляется снижением остроты зрения. Для того, чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы.

Человек видит плохо на близкое расстояние -у него очки «+», а плохо видит отдалённые предметы - у нее «-» (приложение 13).

Отрицательные числа на уроках музыки и литературы

В музыке тональность и темп может быть положительным и отрицательным числом. И даже в литературе есть положительные и отрицательные герои (приложение 14).

Анкетирование и его результаты

Чтобы рассмотреть восприятие и понимание школьниками математических действий с отрицательными числами и их отношение к ним, я решила исследовать знания математических действий с отрицательными числами учащихся 100 школы 6б,7д,10б классов и провела анкету:

1)Знаете ли  вы  когда появились отрицательные числа?
2) Считаете  ли  вы что отрицательные  числа  необходимы в жизни? a) Да; б) Нет 3)Тяжело ли вам давалось вычисление с отрицательными числами на начальном этапе их изучения?
а) Да; б) Нет
4) Были ли у вас проблемы с пониманием отрицательных чисел?
а) Да; б) Нет
 5) Не пугают ли вас вычисления с отрицательными числами?
а) Да; б) Нет

Результаты.   В моем анкетировании приняли участие 61 уч.

Выяснилось, что из них только 2 знают когда примерно появились отрицательные числа.

48 уч. считают, что отрицательные числа необходимы в жизни.

Тяжело давалось вычисление с отрицательными числами на начальном этапе их изучения -11 уч.

Были ли проблемы с пониманием отрицательных чисел у 14 уч.

и 10 уч. пугают вычисления с отрицательными числами.

Моя гипотеза подтвердилась.

Заключение

По ходу выполнения работы я изучила литературу  по  истории возникновения отрицательных чисел.

         Рассмотрела применение отрицательных чисел в физике, географии, истории , биологии и др. уроках.

         Выполняя данную работу, я значительно расширила знания по математике. Исторические сведения о восприятии и использовании отрицательных чисел расширили мой кругозор. 

         Выяснила современное восприятие и понимание  отрицательных чисел и математических действий  с ними учащимися  3- х  классов нашей школы.

Работая над этой темой, я узнала много нового и интересного. Очень интересная судьба у отрицательных чисел! Какая у них захватывающая линия времени от начала их возникновения до наших дней.
Мне было интересно работать над этой темой. 

Список литературы

1. «История древнего мира», 5 класс. Колпаков, Селунская.

2. «История математики в древности», Э. Кольман.

3. Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.

4. Вигасин А.А., Годер Г.И., "История древнего мира" учебник 5 класса.

5. Википедия. Свободная энциклопедия.

6. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. –

М.: Просвещение, 1987.

7. Гельфман Э.Г. "Положительные и отрицательные числа", учебное

пособие по математике для 6-го класса, 2001.

8. История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва,

Просвещение, 1981.

     9.Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. "Математика 6 класс", Москва,

"Просвещение",1989.

10.А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М. С. Якир «Математика 6 класс», Москва,»Винтана-Граф»,2014.

Интернет-ресурсы:
http://subscribe.ru/archive/job.education.apscis.math/

Приложения

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.

Диофант . Приложение 4.

Приложение 5.

Михаил Штифель. Приложение 6.

Видман. Приложение 7.

Рене Декарт. Приложение 8.

Приложение 9.

Отрицательные числа в физике. Приложение 10.

     

Отрицательные числа в географии. Приложение 11.

Отрицательные числа в истории. Приложение 12.

Отрицательные числа в биологии. Приложение 13.

Отрицательные числа в литературе. Приложение 14.