Исследовательская работа "Параллелепипед - оптимальная геометрическая форма"

• 1 слайд

  Параллелепипед – оптимальная геометрическая форма Автор: Латышёнок Виктория, ученица 7 Д класса МОАУ СОШ № 2 Руководитель: Ширшова Е. В., учитель математики МОАУ СОШ № 2

• 2 слайд

  Гипотеза: форма прямоугольного параллелепипеда наиболее оптимальная форма для возведения различных построек.

• 3 слайд

  Объект исследования – книжный шкаф Предмет исследования – площадь поверхности и объём

• 4 слайд

  Объемные формы, встречающиеся в геометрии h

• 5 слайд

  ПРИЗМА V = Sоснованияh S = Sбок. пов. +2Sосн V = a3 S = 6a2 V=abc. S=2(ab + bc + ac)

• 6 слайд

  ПИРАМИДА S = Sбок. пов. +Sосн

• 7 слайд

  Тела вращения

• 8 слайд

• 9 слайд

  тело Площадь основания Площадь полной поверхности объём Отношение объёма к площади основания параллелепипед 12,5 100 62,5 5 куб 25 150 125 5 Треугольная призма 10,5 96 52,5 5 Шестиугольная призма 15,75 106,5 78,75 5 Цилиндр 19,625 98,125 98,125 5 пирамида 25 80 42 1,68 конус 19,625 62,8 32,7 1,66

• 10 слайд

  Книжный шкаф - как объект исследования Размеры шкафа 0,4 – 0,8 – 2м. Он имеет вид прямоугольного параллелепипеда. Sосн =0,4 ∙0,8=0,32м2 Sп.п.=2(0,4∙0,8+0,8∙2+2∙0,4)=5,44м2 V = 0,4м∙0,8м∙2м=0,64м3

• 11 слайд

  Треугольная призма Шкаф в форме треугольной призмы проигрывает шкафу в форме прямоугольного параллелепипеда

• 12 слайд

  Шестиугольная призма Вид сверху Такой шкаф, на мой взгляд, имеет право на существование – необычно.

• 13 слайд

  Цилиндр Вид сверху Sосн=0,32м2 Sп.п=4,3м2, V =0,5652м3 Шкаф в форме цилиндра невыгоден, так как на полу занимает больше места

• 14 слайд

  Пирамида : Sосн=0,32м2 V =0,64м3 Н=2м

• 15 слайд

  тело Место в комнате Площадь основания Площадь полной поверхности объём параллелепипед 0,32м2 0,32м2 5,44 0,64 Треугольная призма 0,32м2 меньше меньше меньше Шестиугольная призма 0,32м2 Меньше (ненамного) Меньше (ненамного) Меньше (ненамного) Цилиндр больше 0,32 4,3 0,5652м3 Пирамида 1 0,32 0,32 2,5 0,21 Пирамида 2 0,96 0,96 4,28 0,64 конус больше 0,32 меньше меньше

• 16 слайд

  Книжный шкаф - как объект исследования

• 17 слайд

Министерство образования и науки Амурской области

муниципальное автономное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 2

Параллелепипед – оптимальная геометрическая форма

Автор: Латышёнок Виктория,

ученица7 Дкласса МОАУ СОШ № 2

Руководитель исследовательской

работы: Ширшова Е. В.,

учитель математики МОАУ СОШ № 2

г. Свободный

2015г

Содержание

Введение

стр 3

Объемные формы, встречающиеся в геометрии

стр 3

Площадь полной поверхности и объём тел

стр 4

Книжный шкаф - как объект исследования

стр 6

Заключение

стр 11

Литература

стр 12

Введение

Геометрия возникла очень давно. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео»- земля, «метро»- мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами.Очень много измерений производилось при возведении построек. Ученые стали вырабатывать правила построения по прямым линиям и под прямым углом.

Я заинтересовалась тем, что практически все здания имеют одну геометрическую форму – форму прямоугольного параллелепипеда.

Таким образом,цель моей работы – доказать или опровергнуть справедливость выбора геометрической формы в строительстве.

Гипотеза: форма прямоугольного параллелепипеда наиболее оптимальная форма для возведения различных построек.

Исходя из цели и гипотезы определим задачи работы:

1. Изучить различные объемные формы, встречающиеся в геометрии.

2. Научиться находить площадь полной поверхности и объём тел.

3. Составить сравнительную характеристику метрических измерений геометрических форм.

4. Проанализировать полученные результаты и сделать вывод.

Объект исследования – книжный шкаф.

Предмет исследования – площадь поверхности и объём.

Объемные формы, встречающиеся в геометрии

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Термин образован путем соединения двух греческих слов: «параллелос» - параллельный и «эпипедос» - «плоскость», то есть параллельные плоскости.

Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником.

Примерами прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, шкаф или системный блок компьютера.

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями (а, b, с).

Формула нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда: V=abc. Площадь полной поверхности – это сумма площадейвсех шести граней – S=2(ab + bc + ac)

Куб

Происходит от греческого "кубос" — "игральная кость".

Это – прямоугольныйпараллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равныеквадраты.

Объём куба – V = a³.

Площадь полной поверхности куба – S = 6a².

И куб, и параллелепипед – это разновидности призмы.

ПРИЗМА

Греческое слово "призма" означает "отпиленный кусок", "отпиленная часть".

Призма – это многогранник, состоящий из двух многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и нескольких прямоугольников, образующих боковую поверхность. Формула объёма:

V = S_{основания}h(h – высота призмы),

а площадь полной поверхности:S = S_{бок. пов.} +2S_осн

ЦИЛИНДР

Происходит от греческого ″кылиндрос″-″валик″.

Цилиндр- геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Площадь основания

Площадь боковой поверхности

Площадь полной поверхности

Объём

ПИРАМИДА

h

Одни считают, что греческое слово ″пирамида″ происходит от египетского ″пирамус″-″боковое ребро сооружения″. Существует другое предположение: термин берёт своё начало от формы хлебцев в Древней Греции, т.е. является производимым от греческого слова ″пирос″- ″рожь″. Некоторые учёные считают, что термин произошёл от греческого слова ″пир″-″огонь″, т.к. пламя иногда напоминает по форме пирамиду.

Пирамида – многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные – треугольники, имеющие общую вершину.

ОбъёмV = S_{основания}h(h – высота призмы),

площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней, т. е. сумме площадей треугольников,

а площадь полной поверхности: S = S_{бок. пов.} +S_осн

h

R

КОНУС

Происходит от греческого ″конос″, что в

переводе означает ″сосновая шишка″ или

″остроконечная верхушка шлема″,″кегля″,

″остроконечный предмет″.

Конус – тело, состоящее из окружности, которая

лежит в основании и всех отрезков, соединяющих

вершину с точками на окружности.

Площадь полной поверхности:

Объём:

Площадь полной поверхности и объём тел

Чтобы научиться находить площадь полной поверхности и объем, я взяла набор геометрических форм, выполнила необходимые измерения и подставила их в формулы. Поскольку они в наборе, то у них приблизительно равные измерения, поэтому можно сравнить объём (вместимость) и площадь поверхности (количество материалов).

Прямоугольный параллелепипед 

a = 5см b = 2,5см с = 5см

S_осн=5см∙2,5см=12,5см²S_п.п.=2(5∙2,5+5∙5+2,5∙5)=100см²

V = 5см∙2,5см∙5см=62,5см³

Куб

a = 5см

S_осн = 5см∙5см=25см²

S_п.п.=25см²∙6=150см²

V = 5см∙5см∙5см=125см³

Прямая призма

В основании равносторонний треугольник со стороной 5см и высотой 4,2см.

а = 5см, Н = 5см, высота треугольника h=4,2см

Тогда

S_п.п. = 10,5см²∙2+75=96см²

V = 10,5см² ∙5см=52,5см³

В основании равносторонний шестиугольник со стороной 2,5см. Он состоит из шести равносторонних треугольников.

а = 2,5см, H = 5см, расстояние между параллельными сторонами шестиугольника 4,2см,

значит высота треугольника 2,1см.

Тогда

S_б.п. =2,5 ∙ 5 ∙ 6=75см²S_п.п=75+2∙15,75=106,5см²

V = 15,75∙5=78,75см³

Цилиндр

D=5см, r =2,5см, h = 5см

S_осн =3,14∙2,5²=19,625см²S_б.п =2∙3,14∙2,5∙5=78,5см²

S_п.п.=2∙19,625+78,5=98,125см²

V = 3,14∙2,5²∙5=98,125см³

H

h

Пирамида

В основании – квадрат со стороной 5см,

высота пирамиды 5см, высота треугольника 5,5см

а=5см,H=5см ,h=5,5см

h

S_п.п=25+55=80см²

h

R

Конус

d=5см,h=5см, l=5,5см(образующая)

h

S_осн =3,14∙2,5²=19,625см²

S_п.п=19,625+43,175=62,8см²

тело

Площадь основания

Площадь полной поверхности

объём

Отношение объёма к площади основания

параллелепипед

12,5

100

62,5

5

куб

25

150

125

5

Треугольная призма

10,5

96

52,5

5

Шестиугольная призма

15,75

106,5

78,75

5

Цилиндр

19,625

98,125

98,125

5

пирамида

25

80

42

1,68

конус

19,625

62,8

32,7

1,66

Анализируя полученные результаты, сложно сравнить геометрические характеристики тел. У призм и цилиндра: чем больше площадь основания, тем больше объём. Поэтому я нашла отношение объёма к площади основания, и оказалось, что у них оно одинаковое и равно 5, то есть объём в 5 раз больше площади основания. Значит любые виды призм и цилиндр на плоскости занимают мало места, а вместимость у них большая. Пирамида и конус не попадают под это правило. У них объём не на много больше площади.

Вероятно, предметы в форме призм и цилиндра практичнее пирамидальных и конусообразных.

Книжный шкаф - какобъект исследования

Рассмотрим обыкновенный книжный шкаф.

Какие характеристики шкафа являются для нас важными? На что мы обращаем внимание при покупке?

Во-первых, сколько места займет в комнате, во-вторых, сколько полок и много ли книг поместится, и только, в-третьих, внешний вид (хотя это немаловажный фактор для дизайна комнаты).

Так как я рассматриваю шкаф как геометрическое тело, то дизайн не будет входить в мои исследования.

Итак, определяющими факторами будут площадь основания тела (количество места в комнате) и объём (вместительность).

Размеры шкафа 0,4 – 0,8 – 2м.

Он имеет вид прямоугольного параллелепипеда.

S_осн =0,4 ∙0,8=0,32м² S_п.п.=2(0,4∙0,8+0,8∙2+2∙0,4)=5,44м²

V = 0,4м∙0,8м∙2м=0,64м³

Материалов необходимо 5,44м², вместимость шкафа 0,64м³, занимаемая площадь в комнате 0,32м².

Придадим этому шкафу вид разных многогранников и сравним геометрические характеристики.

Параллелепипед – это разновидность призмы.

Придадим шкафу вид треугольной и шестиугольной призмы

Треугольная призма

Сравним основания: прямоугольник и треугольник. Площадь прямоугольника больше площади треугольника. (даже считать не надо)

Значит в комнате места будет занято меньше, но выпирающий угол будет скорее всего мешать. На полке книг помещается совсем мало, т. к. они имеют вид прямоугольника.

Значит, шкаф в форме треугольной призмы проигрывает шкафу в форме прямоугольного параллелепипеда.

Шестиугольная призма

Если место на полу оставить прежним, то площадь

основания шкафа уменьшится, а значит уменьшится и объём

(вместительность).

На полку можно будет поставить много книг, но стоять им придется в хаотичном порядке.

А так как объем уменьшится, то их все равно

поместится меньше.

Такой шкаф, на мой взгляд, имеет право на

существование – необычно. А экономия объёмаВид сверху

компенсируется экономией материалов, а значит экономией денег.

Цилиндр

Если место на полу оставить прежним, то необходимо,

чтобы площадь основания была не более 0,32м².

Тогда, но заметим, что площадь основания хоть и осталась прежней, но место на полу будет занято больше. Материалов потребуется (площадь полной поверхности цилиндра)

S_п.п=2∙3,14∙0,3²+2∙3,14∙0,3∙2=4,3м²,

Вместимость (объём)V = 3,14∙0,3²∙2=0,5652м³

Итак, шкаф в форме цилиндра невыгоден, так как на полу занимает больше места, а вместимость меньше. Чтобы увеличить объём, надо увеличить высоту, а это не всегда позволяют размеры комнаты. К тому жекниги ставить на полку не слишком удобно, вернее их поместится немного.

Пирамида

Если место на полу оставить прежним, то основание будет иметь эти же размеры и площадь основания останется 0,32м².

Вместительность (объём) - это в 3 разаменьше исходного объёма.

Количество необходимых материалов тоже невелико: (высоту треугольника измерила с помощью рулетки)

Если объем и высоту пирамиды оставить прежними, тогда в комнате нужносвободных:, а это прямоугольник (например) 0,8 1,2 м – это в три раза больше исходного,но материалов при этом потребуется меньше.

В большой комнате, наверное, можно поставить шкаф в форме

пирамиды, но много ли в него поместится книг. Глядя на рисунок,

видно, что на полке пирамидального шкафа стоит на три книге

меньше, чем на привычной полке.

Большинство людей привыкли везде экономить, и позволить себе занять полкомнаты непрактичным шкафом, хоть и очень интересным, не могут.

Шкафы в форме пирамиды - это только эксклюзивный вариант. Несмотря на экономию материалов стоить он будет намного дороже.

Конус

Конусообразный шкаф тоже не подойдет для книг. Во-первых, у него как у цилиндра основание – круг, т. е. место на полу займет больше. Во-вторых, как у пирамиды, объём конуса маленький, т. е. книг на полку поместится тоже немного. Поэтому нет смысла доказывать, производя математические расчеты.

Заключение

Среди рассмотренных геометрических форм, прямоугольный параллелепипед действительно оптимальная форма для книжного шкафа.

тело

Место в комнате

Площадь основания

Площадь полной поверхности

объём

параллелепипед

0,32м²

0,32м²

5,44

0,64

Треугольная призма

0,32м²

меньше

меньше

меньше

Шестиугольная призма

0,32м²

Меньше

(ненамного)

Меньше

(ненамного)

Меньше

(ненамного)

Цилиндр

больше

0,32

4,3

0,5652м³

Пирамида 1

0,32

0,32

2,5

0,21

Пирамида 2

0,96

0,96

4,28

0,64

конус

больше

0,32

меньше

меньше

Аналогичные расчеты можно провести для больших строений: домов, школ, кинотеатров и доказать справедливость моей гипотезы: форма прямоугольного параллелепипеда наиболее оптимальная форма для возведения различных построек.

Таким образом, я достигла цели работы– доказала справедливость выбора формы прямоугольного параллелепипеда в строительстве.

Литература

1. Савин А. П. (составитель)Энциклопедический словарь юного математика.

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/

Краткое описание документа:

Зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами. Очень много измерений производилось при возведении построек.

Практически все здания имеют одну геометрическую форму – форму прямоугольного параллелепипеда.

Цель работы – доказать или опровергнуть справедливость выбора геометрической формы в строительстве.