Исследовательская работа: "Периодические функции".

МБОУ “Гимназия № 1”

Математика

Исследовательская работа

Тема: “Периодические функции”

Автор работы:

Боронилов Никита 10 “А” класс

Руководитель:

                                                                            Яновская Светлана Ивановна,

учитель математики

г. Находка 2021

Оглавление

Введение. 1

Основная часть. 2

Определение периодической функции. 2

Некоторые важные свойства периодических функций. 3

Примеры периодических функций и их графики. 5

Применение свойств периодических функций на конкретных примерах. 8

Заключение. 12

Список литературы.. 13

Введение

С периодическими или с «приближенно периодическими» процессами приходится часто встречаться как в природе, так и в технике, и именно поэтому важно изучать периодические функции в математике. Любой человек без труда приведёт много примеров таких процессов – смены дня и ночи или времён года, связанные с приближенно периодическими вращениями Земли около своей оси и около Солнца; приливы и отливы и смена фаз Луны; если сегодня суббота, то через 7 дней снова настанет суббота; движение поршня в цилиндре двигателя внутреннего сгорания и т. д. Для теоритического описания, изучения таких процессов служит понятие периодической функции, относящееся к важнейшим понятиям математики.

Подобные явления и процессы называют периодическими, а функции, являющиеся их математическими моделями, - периодическими функциями.

Актуальность:

Данная тема пригодится для сдачи экзамена.

Цель: получение новых знаний.

Объект исследования: периодические функции

Предмет исследования: функция

Гипотеза: Если функция периодическая, то она обязательно имеет главный период.

Задачи исследовательской работы:

1.      Изучить литературу по данной теме.

2.      Проанализировать и сравнить определение периодической функции, данное в учебнике с определениями, приведёнными в статьях журнала «Квант».

3.      Изучить некоторые важные свойства периодических функций.

4.      Рассмотреть примеры некоторых периодических функций и их графики.

5.      Показать на конкретных примерах применение свойств периодических функций.

Методы исследовательской работы:

Моделирование, сравнение, обобщение,  анализ и классификация изученной информации.

Основная часть

Определение периодической функции

Определение. (А. Г. Мерзляк. Математика. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень: 10 класс: учебник).

Функцию  называют периодической, если существует такое число , что для любого  из области определения функции  выполняются равенства .  Число называют периодом функции .

Однако полное определение периодической функции этим не исчерпывается. Школьники часто забывают, что в учебнике сделано специальное предположение об области определения  периодической функции  с периодом : если число принадлежит области определения , то и числа  и также принадлежат ей. Указанное требование к области определения является обязательной частью определения периодической функции. Если это требование не учитывать, получиться, что, например, функция ; (определённая при ) окажется периодической с периодом , то есть (она удовлетворяет условию ). Вместе с тем  не будет её периодом, так как левее функция  не определена и, например,  не существует. При отсутствии требования к области определения становится неверной   теорема о том, что если число - период функции , то и число -является периодом этой функции.

Определение

 (Доктор физико-математических наук Г. В. Дорофеев, доктор физико-математических наук Н. Х. Розов).

Функция  называется периодической, если существует такое число , что при любом  из области определения  числа   и также принадлежат  и выполняется  равенства .  Число называется периодом функции .

Определение (А. А. Рывкин - заслуженный учитель Российской Федерации)

Функция , определённая хотя бы в одной точке, называется периодической, если существует такое число (называемое периодом), что для любого  из области определения этой функции а) числа  и также принадлежат её области определения; б) .

Определение. (А. Земляков - советский и российский математик-педагог, Б. Ивлев - советский математик, преподаватель)

Функция называется периодической, если существует хотя бы одно число  такое, что выполнены следующие два условия:

(А) если , то  и ;

(Б) для любого  ; при этом число называется периодом функции .

Основной период (главный)

Определение. Наименьший положительный период периодической функции называют основным или главным.

Некоторые важные свойства периодических функций

Теорема №1. Если число является периодом функции , то число -также является периодом функции .

Справедливость этой теоремы следует из определения периодической функции.

Теорема №2. Если  и являются периодами функции , причём , то число также является периодом функции .

Доказательство. Для любого  можно записать:   ,.

 Отсюда для любого  выполняются равенства:.

Следовательно, число является периодом функции .

Следствие. Если число является периодом функции , то любое число вида , где , также является её периодом.

Теорема №3. Если число  является периодом функции , то число , где , является периодом функции .

Доказательство.

Для любого  функции  можно записать: , . Отсюда для любого  функции  выполняются равенства: . Следовательно, число является периодом функции .

Теорема №4. Главным периодом функций  и является число ; главным периодом функций  и является число .

Доказательство. Проведём доказательство для функции (остальные утверждения теоремы доказываются аналогично). Если число является периодом функции , то равенство выполняется при любом действительном значении , в частности при . Тогда получаем: .Отсюда . Из последнего равенства следует, что любой период функции имеет вид .  Наименьшим положительным числом вида , является число , которое является периодом функции . Следовательно, число  - главный период функции .

Применяя теоремы №3, №4 к функциям  и , где , получаем, что число является периодом, а число  - главным периодом этих функций.

Главным периодом функций  и , где , является число .

Теорема №5. Если - главный период функции , то любой период функции имеет вид , где .

Доказательство. Пусть -период вида, отличного от указанного. Тогда можно подобрать такое целое  и такое действительное , что  . Имеем: , . Следовательно, - период. Однако .  Получили противоречие (поскольку по условию теоремы - главный период).

Определение. Положительные числа  и  называют соизмеримыми, если  - рациональное число. Если - иррациональное число, то числа  и являются несоизмеримыми.

Например, числа в парах 3 и 5,  и   являются соизмеримыми, а числа 1 и  являются несоизмеримыми.

Определение. Число , являющееся как периодом функции , так и периодом функции , называют общим периодом функций и .

Например, число является общим периодом функций и .                   

Теорема №6. Если существуют период функции  и период функции такие, что числа и являются соизмеримыми, то функции и имеют общий период.

Доказательство. Так как периоды и соизмеримы, то , где . Отсюда . Тогда согласно следствию из теоремы №2 число  является периодом как функции , так и функции .

Примеры периодических функций и их графики

Очевидно, график периодической функции отображается сам на себя при параллельных переносах  и  на расстояние  вдоль оси  (см. рис.1). Это свойство графика периодической функции .

Пример №1. Периодическими являются тригонометрические функции  и . Их период равен 2π.

График функции называют синусоидой.

График функции называют косинусоидой.

Пример №2. Периодическими являются тригонометрические функции   и . Их период равен π.

График функции

График функции

Пример №3. В курсе 10 класса подробно изучаются функции вида , где , - они связаны с так называемыми горманическими колебаниями. Как известно, функция периодическая и имеет периоды ,

то есть все целые кратные наименьшего положительного периода этой функции (рис. 2).

Когда заходит речь о конкретных примерах периодических функций школьники обычно ограничиваются основными тригонометрическими функциями , , , . Между тем запас периодических функций, встречающихся в школьном курсе, гораздо шире. Вспомним известное утверждение: если функции  и  имеют один и тот же период , то их сумма, разность, произведение и частное также имеют период . С помощью этого утверждения легко получить примеры периодических функций.

Пример №4. . Данный график состоит из отдельных отрезков с «выколотыми» концами. .

Большое число периодических функций можно строить по формуле , если в качестве взять периодическую функцию, а в качестве - произвольную.

 Вот несколько примеров: , ,

 Пример №5. Пример периодической функции (внешне никак не связанной с тригонометрическими функциями) – это , то есть дробная часть числа , которая каждому числу х ставит в соответствие его дробную часть.  Например, {3,56} = 0,56; {2,01} = 0,01 и т.д. Если к произвольному числу х прибавить 1, то изменится лишь целая часть этого числа; дробная же часть останется прежней. Следовательно, {х + 1} = {х} и потому функция у = {х}  является периодической с периодом 1.

 На рисунке 3 представлен график функции у = {х}. Периодичность функции у = {х} обусловливает то, что график ее в интервале [0, 1] имеет ту же самую форму, что и в интервалах [1, 2], [2, 3] и т. д.

Рис. 3.

Пример №6. Конечно, любая постоянная функция (при любом ) является периодической, причем её периодами будут любые числа (а наименьшего положительного периода не существует).

Например, для функции f (x) = 3 (см. рис. 4) любое действительное число является периодом. Но среди положительных действительных чисел не существует наименьшего. Поэтому и функция f (x) =  3, имея бесконечное множество периодов, не имеет наименьшего положительного периода.

Рис. 4.

Применение свойств периодических функций на конкретных примерах

Пример №1. Найти основной период функции: а) ; б) .

Решение.  а) Пусть - основной период функции . Введём обозначение: . Тогда .

Чтобы число было периодом функции, должно выполняться тождество . Значит, . Но поскольку речь идёт о нахождении основного периода, получаем: , .

  б) Пусть - основной период функции. Введём обозначение: . Тогда .

Чтобы число было периодом функции, должно выполняться тождество . Значит, . Но поскольку речь идёт о нахождении основного (т. е. наименьшего положительного) периода, получаем: , .

Ответ: а) ; б) .

Обобщением результатов, полученных в примере, является следующее утверждение: основной период функции   равен .

Пример №2. Найти период функции .

Решение. Если мы найдём общий период функций  и , то тем самым найдём период данной функции. Воспользовавшись теоремой №3, запишем: ,  . Тогда . Следовательно, периоды и соизмеримы, а поэтому функции и имеют общий период . Он равен  или , то есть .

Ответ: .

Пример №3. Найдите период функции .

Решение. Рассмотрим функции , , . Для решения задачи достаточно найти их общий период.

Это можно сделать, например, так: сначала найти период функции , а потом найти общий период  и . Однако существует более эффективный метод. Имеем: , , . Запишем эти периоды в таком виде: , , . Рассмотрим число . Поскольку ,  и , то число  является общим периодом функций ,и .

Ответ: .

Пример №4. Докажите, что число является периодом функции . Решение. Имеем:

;

.

 Следовательно,  для всех , то есть число является периодом функции .

Пример №5. Покажите, что число  является периодом функции .

Решение. Областью определения функции является множество значений переменной , при которых , то есть

  

Тогда если , то  и . Поскольку , то .

Пример №6. Найти значение выражения: 1) ; 2) .

Решение. 1) .

2) .

Ответ: 1)

Пример №7. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Её период равен 3 и . Найдите  .

Решение. , , .  Подставим.

Ответ: 4.                                                                                                                                            

Пример №8. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Её период равен 5, а . Найдите  , если  .

Решение. , . Найти , так как .  .  По условию , то, . Следовательно, .

Ответ: 7.

Заключение

В результате исследования различных теоретических источников, мною выделен материал, который можно использовать  в качестве повышения мотивации изучения математики. В данной работе я расширил представления о функциях, в частности, о периодических функциях, на основе имеющихся знаний.

       Отметим, что не любая периодическая функция имеет главный период. Например, функция y = c, где c - некоторое число, является периодической. Очевидно, что любое действительное число, отличное от нуля, является её периодом. Следовательно, эта функция не имеет главного периода.         Существуют периодические функции, отличные от константы, которые также не имеют     главного периода. Например, рассмотрим функцию Дирихле y = D(x). Эта функция периодическая, причём любое рациональное число, отличное от нуля, является её периодом. Это следует из того, что сумма двух рациональных чисел – число рациональное, а сумма рационального и иррационального чисел – число иррациональное. Следовательно, функция Дирихле не имеет главного периода. Таким образом, я получил противоречие своей гипотезе.

 

Список литературы

1.      Дорофеев Г. В., Розов Н. Х. Функции периодические и непериодические // Квант.- 1987. - №9.

2.      Земляков А., Ивлев Б. Периодические функции // Квант. – 1976. - №12.

3.      Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Тригонометрия. – Киев: Генеза, 2008.

4.      Рывкин А. А. Периодические функции // Квант. – 1973. - №5.

5.      Фалин Г. И., Фалин А. И. Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике в МГУ. – М.: БИНОМ, 2007.