Исследовательская работа по геометрии "Удивительная трапеция" 8класс.

Муниципальная научно-практическая конференция творческих работ школьников

«Шаг в науку»

Группа «ЮНИОР»

Россия

Забайкальский край

Красночикойский район

село Коротково

Творческая работа

«Удивительная трапеция»

Автор: Кузакова Екатерина Владимировна

МОУ Коротковская СОШ

8 класс

Научный руководитель:

 Кривошеева Елена Николаевна

Учитель математики

МОУ Коротковская СОШ

с. Коротково

2018г.

2

«Удивительная трапеция.»

Кузакова Екатерина Владимировна

Россия

Забайкальский край

село Коротково

МОУ Коротковская СОШ

8 класс

Краткая аннотация

Данная  исследовательская работа  знакомит с интересными задачами о площадях треугольников, на которые разбивается трапеция своими диагоналями.

Новизна работы для меня заключается в том, на первый взгляд разные фигуры являются равновеликими.

3                                               

«Удивительная трапеция.»

Кузакова Екатерина Владимировна

Россия

Забайкальский край

село Коротково

МОУ Коротковская СОШ

8 класс

Аннотация

Цель работы:  Вывести новую формулу площади трапеции.

Задачи исследования:

1. Изучить литературу о трапеции.

2. Вывести свойства площадей треугольников, полученных при пересечении диагоналей трапеции.

При выполнении работы  были использованы следующие методы:

   - поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск     необходимой информации в сети Интернет;

    - практический метод выполнения вычислений.

    -   анализ полученных результатов.

Объект исследования площади фигур

Предмет исследования: трапеция

«Удивительная трапеция .»                                                  4

Кузакова Екатерина Владимировна

Россия

Забайкальский край

село Коротково

МОУ Коротковская СОШ

8 класс

План исследования

На уроках геометрии мы изучили трапецию, свойства углов равнобедренной трапеции, формулу площади трапеции, но мне стало интересно, какими ещё свойствами обладает произвольная трапеция, какие виды задач можно решить , применяя эти свойства. Проведя диагонали трапеции, я выдвинула гипотезу:  «Все полученные треугольники равновеликие и площадь трапеции можно выразить через площади данных треугольников»  и попыталась её доказать .

     Для того, чтобы доказать гипотезу, я наметил план исследования:

1.      Изучить литературу по данному вопросу.

2.      Провести доказательство равенства площадей различных треугольников, полученных при проведении диагоналей трапеции.

3.      Проанализировать результаты.

4.      Сформулировать выводы по работе.

В результате выполнения работы  я выяснила, что равновеликими являются несколько пар треугольников, и получила новую формулу площади трапеции, выраженную через площади этих  треугольников.

«Удивительная трапеция .»                                                  5

Кузакова Екатерина Владимировна

Россия

Забайкальский край

село Коротково

МОУ Коротковская СОШ

8 класс

Научная статья

Определение.

Трапеция- это четырёхугольник,  у которого две стороны параллельны, а две другие не являются параллельными.

На   уроках геометрии мы изучили формулы  площади трапеции: 

S=1/2(а+в)*h   или    S=m*h, где    m  - средняя линия трапеции.

В сети интернет имеется  формула площади трапеции: SАВСD=(√ S2+√ S4)²,она получена из подобия треугольников ВОС и АОD, но это решение очень большое и сложное.

Я попыталась вывести эту формулу другим способом.

6

Исследования:

В произвольной трапеции АВСD проведём диагонали, точку пересечения обозначим точкой О.

Исследование 1: Равны ли площади треугольников: АВС и ВСD?  Ведь эти треугольники не являются равными.

Решение: 1. SАВС =1/2ВС*Н₁,  

                    2. SВСD =1/2ВС*Н₂ , но  Н₁=Н_2,поэтому 

Вывод:      3. SАВС= SВСD

Исследование 2: Равны ли площади треугольников: АВD и AСD?  Ведь эти треугольники так же не являются равными.

Решение:  1. SАВD =1/2AD*Н₁,                                                                                                                      7

                        2.   SAСD =1/2AD*Н₂ , но  Н₁=Н_2,поэтому 

Вывод:             3.  SАВD= SAСD

Треугольники, прилежащие к одному основанию трапеции равновеликие.

Исследование 3: Являются ли равновеликими треугольники АВО  и СОD?

Решение: 1. SАВО = SAСВ - SВОС,

                  2.  SСОD = SDBC – SВОС,

                  3. SАСВ = SDBC

Вывод:      4. SАВС= SВСD

Исследование 4:  Являются ли равновеликими треугольники ВОС  и АОD?

Решение:

1.Треугольники ВОС  и АОD   подобны по двум углам, поэтому

SАОD= SВОС*К², где К- коэффициент подобия данных треугольников.                       

  8

Исследование 5:    Можно ли выразить площадь одного треугольника через площади остальных?

1.      Введём обозначения:    ВО=а, АО=в, ОС=с, ОD=d, угол ВОА=β

2.      S1*S3=1/2abSinβ* 1/2сdSin(180-β)

3.      S2*S4=1/2acSin(180-β)* 1/2bdSin(180-β)

4.      S1*S3= S2*S4 ,   т.к. S1=S3(исследование 4)

5.      S1²= S2*S4

6.      S1= √ (S2*S4)

Исследование 6: Можно ли найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям а и b ,равны S2 иS4 ?

Решение: Используя  исследования 3 и 4  , получаем:                                                              

1.      SАВСD = 2S1+S2+S4=2√ (S2*S4)+ S2+S4=(√ S2+√ S4)²

2.      SАВСD=(√ S2+√ S4)²

9

Заключение:

Выполняя свою работу, я пришла к выводу, что равновеликими являются не все треугольники, полученные при пересечении диагоналей трапеции.

Равновеликими являются такие пары данных треугольников, как :

1.      АВС  и DВС

2.      АВD   и АСD

3.      ABO  и  DOC

А так же я получила новые формулы:

1.      S1= √ (S2*S4)

2.      SАВСD=(√ S2+√ S4)²

Данные  выводы в моей работе позволяют решить большой объём задач по геометрии.

Литература:

1.      Учебник геометрии 7-9 класс  Л.С.Атанасян

2.      Геометрия 7-9 классы «Ключевые задачи»  Т.А.Лепехина

Краткое описание документа:

Данная исследовательская работа знакомит с интересными задачами о площадях треугольников, на которые разбивается трапеция своими диагоналями.

Новизна работы для меня заключается в том, на первый взгляд разные фигуры являются равновеликими.

В результате выполнения работы я выяснила, что равновеликими являются несколько пар треугольников, и получила новую формулу площади трапеции, выраженную через площади этих треугольников.