345981
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаНаучные работыИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.













«Алгебраическое и графическое

решение линейных уравнений, содержащих

модули».





































Содержание:



1. Введение……………………………………………………………………………………………...3


2. Понятия и определения………………………………………………………………………......3


2.1 Вспомогательный материал для изучения данной темы……………………………………4


3.Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля………….....7

(аналитическое решение).


4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля……………..11


4.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля……...…………………………18


5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули………………………...20


6. Решение нестандартных задач с модулем………………………………………………………26


7. Заключение…………………………………………………………………………………………28


8. Список использованной литературы……………………………………………………………29

































Цель работы: считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.


Основной целью работы считаю получение расширенной информации о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.





Знание – самое превосходное из

владений. Все стремятся к нему,

само же оно не приходит.

Ал - Бируни


1. Введение.

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль – исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления...

В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.


2. Понятия и определения.

Чтобы лучше изучить данную тему, необходимо вспомнить простейшие определения:

а) уравнение – это равенство, содержащее переменные.

б) уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком модуля (абсолютной величины). Например: | x | = 5.

в) решить уравнение – это, значит, найти все его корни, или доказать, что их нет.

г) линейное уравнение с одной переменной – уравнение вида: ax = b, где x – независимая переменная, a и b – некоторые числа.

д) линейная функция – функция вида: y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

е) графиком линейной функции является прямая линия.

ж) область определения линейной функции состоит из всех чисел;

если D(у) состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

з) раскрытие скобок:

1) если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

2) чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых на противоположные, а потом раскрыть скобки.







2.1. Вспомогательный материал для изучения данной

темы.


Для изучения данной темы необходимо познакомиться с графическим решением линейных уравнений и числовыми промежутками.

а) графическое решение уравнений.

Это один из способов решения уравнений.

Его применяют не так часто, так как он занимает в некоторых случаях много времени; результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций.

В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

В случае, если графики не пересекутся, то уравнение корней не имеет.

Абсцисса точки пересечения графиков линейных функций будет корнем линейного уравнения.


Например:


1) х3 = 8.

Решение:

Построим в одной системе координат графики двух функций:

у = х3 и у = 8

D(у): х – любое число D(у): х – любое число




hello_html_m12ded9f2.png

рис. 1.

hello_html_mad7c314.gifх = 2.

Ответ: 2.







2) х 2 = -2



Построим в одной системе координат графики двух функций:


у = х 2 у = - 2

D(у): х – любое число D(у): х – любое число х


hello_html_48205063.png

рис. 2.


Графики не пересекаются, решений нет.

Ответ: Нет решений.


б) Числовые промежутки.

1) Отметим на координатной прямой точки с координатами -3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше -3 и меньше 2.


hello_html_m7e135bdf.gifhello_html_m7e135bdf.gif

hello_html_58c86307.gif-3 Х 2


Множество всех чисел, удовлетворяющих условию -3< х < 2, называются числовыми промежутком от -3 до 2 обозначаются так: (-3;2).


2)Число х, удовлетворяющее условию -3 < x < 2 изображается точкой, которая лежит между -3 и 2, либо совпадает с одной из них. Обозначение:

[-3; 2].


hello_html_7498eec8.gifhello_html_7498eec8.gif/ / / / / / / / / / /

hello_html_27fe1989.gif

-3 2

3) -3 < х < 2

hello_html_7498eec8.gifhello_html_33ada676.gif

hello_html_1a09df0f.gif/ / / / / / / / / /

-3 2 (-3; 2]


4) -3 < x < 2

hello_html_7498eec8.gifhello_html_33ada676.gif

hello_html_m71b701f5.gif/ / / / / / / / / /

-3 2 [-3; 2)



5) x > 6 hello_html_3b5fc0d7.gif


hello_html_33ada676.gif / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

hello_html_m71b701f5.gif 6 x (6; + ∞)


6) х < 6


hello_html_m71b701f5.gifhello_html_7498eec8.gif / / / / / / / / / / /

х 6 (∞ ; 6]


7) Запись промежутков:

hello_html_m624d5ef7.png

hello_html_m6f598025.gif


( -∞ ; -2); [-2; 3); [3; + ∞).








3. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

(аналитическое решение).


Определение модуля.


Любое число можно изобразить точкой на числовой прямой.

Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Пример. Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков.

|5| = 5.

Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна –а, если а меньше нуля.

hello_html_62491201.gif


hello_html_2678aa68.gif а, если а > 0

|а| =

-а, если а < 0




Из определения следует, что для любого числа «а» выполняется неравенство:

|a| > 0.

При решении уравнений, содержащих выражения со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля: модулем положительно- го числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.

На практике это делается так:

1) находят подмодульные нули, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2) разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3) на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

4) Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого уравнения.


Задание 1.


|х – 6| = 9


Решение:

  1. Найдем подмодульный нуль или корень выражения, содержащего знак модуля.

х – 6 = 0,

х = 6.

2)Найденное значение х разбивает числовую прямую на 2 промежутка: х < 6;

х > 6.

Решение данного уравнения рассматриваем в каждом промежутке отдельно.

hello_html_56544641.png

3) а) х < 6, под модулем получим отрицательное число, тогда, раскрывая модуль, имеем:

- ( х – 6) = 9

- х + 6 = 9

- х = 3

х = - 3, - 3 принадлежит ( - ∞ ; 6 ), значит

- 3 – решение.

б) х > 6, получим под модулем положительное число, тогда, раскрываю модуль, имеем:

х – 6 = 9,

х = 15, 15 принадлежит [6;+ ∞ ), значит, 15 – решение.

4) совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляют все решения рассмотренного уравнения.

х = -3 и х = 15.

Ответ: - 3; 15.


Задание 2.


|2х + 3| = 3х –3.

Решение:

1) 2)

2х + 3 = 0, hello_html_m62254c56.png

2х = –3, а) х < –1,5

х = – 1,5 – (2х + 3) = 3х – 3,

– 2х – 3 = 3х – 3,

– 2х – 3х = – 3 + 3,

–5х = 0,

х = 0, 0 не принадлежит (–∞; -1,5),

значит, 0 не является решением.

б) х > – 1,5

2х + 3 = 3х – 3,

2х – 3х = – 3 – 3,

– х = – 6,

х = 6, 6 принадлежит [– 1,5; + ∞),

значит 6 – решение.

Ответ: 6.


Задание 3.


|х + 5||х – 3| = 8.

Решение:

1) х + 5 = 0, х – 3 = 0,

х = – 5. х = 3.

hello_html_3ab5dc09.png

3) а) х < – 5

– (х + 5) – (– х + 3) = 8,

– х – 5 + х – 3 = 8,

– 8 = 8, неверно, значит, решений нет на промежутке (–∞; – 5)

б) – 5 < х < 3

х + 5 – (– х + 3) = 8,

х + 5 + х – 3 = 8,

2х + 2 = 8 ,

2х = 6,

х = 3, 3 не принадлежит [– 5; 3), значит 3 не является корнем уравнения.

в) х > 3

х + 5 – (х – 3) = 8,

х + 5 – х + 3 = 8,

8 = 8, верно, значит, любое значение х является корнем уравнения на этом промежутке.

Ответ: [3;+ ∞).

Задание 4.


|х + 2| + |х + 3| = х.

Решение:

1) х +2 = 0, х + 3 = 0.

х = – 2. х = – 3.

2)

hello_html_781500a0.png

3) а) х < – 3

– (х + 2) – (х + 3) = х,

– х – 2 – х – 3 = х,

– 2х – 5 = х,

– 2х – х = 5,

– 3х = 5,

х = – 1 2 /3, не принадлежит (–∞; – 3), значит – 1 2 /3 не является решением.


б) – 3 ≤ х < – 2

– (х + 2 ) + х +3 = х,

– х – 2 + х + 3 = х,

– х = – 1,

х = 1, 1 не принадлежит [– 3; – 2), значит, 1 не является решением.


в) х > – 2

х + 2 + х + 3 = х,

2х + 5 = х,

2х – х = – 5,

х = – 5, – 5 не принадлежит [– 2;+ ∞), значит, – 5 не является решением.

Ответ: нет решений


Задание 5.


|2 + |2 + х|| = 3.

Решение:

1) 2 + х = 0

hello_html_m53224943.gif х = – 2.

hello_html_14168742.gif

2)

hello_html_58c86307.gif

hello_html_3c80bc03.gif – 2 х



3) а) х < – 2

|2 – (2 + х)| = 3,

| 2 – 2 – х | = 3,

| –х | = 3, | х | = 3.

Так как, х < – 2, то

– х = 3,

х = – 3, – 3 принадлежит (–∞; – 2)

б) х > – 2

| 2 + (2 + х) |= 3,

| 2 + 2 + х | = 3,

| 4 + х | = 3,

х = – 4 – подмодульный нуль.

х < – 4, х ≥ – 4,

– (4 + х) = 3, 4 + х = 3,

– 4 – х = 3, х = – 1 ; – 1 принадлежит [– 4; + ∞)

– х = 7,

х = – 7, – 7 принадлежит (– ∞; – 4)

Учитывая условие: х ≥ – 2, получим, – 1 принадлежит [– 2; + ∞), а – 7 не принадлежит [– 2; + ∞).

Ответ: – 3; – 1.






4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля.


Для построения графиков функций, содержащих выражение под знаком модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случает, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функций,

опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенного в области отрицательных значений y, отобразить симметрично оси ОХ.

Это вытекает из определения модуля числа.







Задание 1.


у = | х |

Построение:



hello_html_5afd5274.gif х, если х > 0

y =

– х, если х < 0


hello_html_m2b068169.png

Рис. 3




Заметим, что при построении графика функции у = | х | часть графика у = х, лежащая ниже оси абсцисс, зеркально отражается относительно этой оси.






Задание 2.


у = | 5х |.


Построение:


cтроим график функции у = 5х, а часть графика, лежащую ниже оси абсцисс, зеркально отображаем относительно этой оси.


hello_html_m5e94ffbe.png

Рис. 4




Задание 3.


у = | х – 2 |

Построение:


1 способ.


1) х = 2 – подмодульный нуль.


2)

hello_html_5afd5274.gif – х + 2, х < 2

y =

х – 2, х > 2


3) Построим графики линейных функций в своих промежутках:

у = – х + 2 у = х – 2

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif

х 0 1 х 0 1

hello_html_m4bbd082b.gifhello_html_m4bbd082b.gifу 2 1 у – 2 – 1



hello_html_m6b8089ed.png

Рис. 5

2 способ.


Строим график у = х – 2, а часть графика, лежащую ниже оси абсцисс отражаем зеркально относительно оси абсцисс.


hello_html_1c5e465b.png


Рис. 6


Задание 4.


у = | х | – 1

Построение:


1) х = 0 – подмодульный нуль.


2) на промежутке х < 0 функция примет вид:

у = – х – 1

hello_html_m200bc1c2.gif

hello_html_m528b115e.gifhello_html_61e7e184.gifhello_html_4cf5cde1.gif х 0 1

у – 1 – 2


3) на промежутке х > 0 функция примет вид:

у = х – 1

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif х 0 1

hello_html_m528b115e.gif у – 1 0



hello_html_5937f486.png

Рис. 7



Задание 5.


у = | х | + х


Построение.


1) подмодульный нуль: х = 0.


2) если х < 0, то у = – х + х = 0; у = 0.


3) если х > 0, то у = х + х = 2х; у = 2х.

hello_html_4cf5cde1.gif

hello_html_4ea5da9b.gif х 1

y 2


hello_html_4aacb45d.png

Рис. 8

Задание 6.


у = | х – 3 | + | 1 – х | – 4


Построение:


1) подмодульные нули: х = 3; х = 1.


hello_html_m3c5522e5.png


2) х < 1, у = – ( х– 3) + (1 – х) – 4 = – х + 3 + 1 – х – 4 = – 2х; у = – 2х.

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4ea5da9b.gif х 1

у – 2


3) 1 ≤ х < 3, тогда у = – (х – 3) – (1 – х) – 4 = – х + 3 – 1 + х – 4 = – 2, у = – 2.


4) х > 3, тогда у = х – 3 – (1 – х) – 4 = х – 3 – 1 + х – 4 = 2х – 8, у = 2х – 8.

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif

x 4 0

hello_html_m418ce24b.gif y 0 2







hello_html_m1d58d4e2.png

Рис. 9











hello_html_m4c17937c.gif

4hello_html_27adac18.gif.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля.


Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений.

Сформулируем утверждение, позволяющее, строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много);

алгебраическая сумма модулей n-линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n+1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, еще одна -

произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней, и последняя – с абсциссой, большей большего из корней.

Например:

1) у = | х – 1|

Вычисляя значения функции в точках 1; 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей.

hello_html_6556f15a.png

Рис. 10







2) у = |х – 1| + |х – 2|


Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1;2;0;3, получаем график:



hello_html_27257f72.png

Рис. 11

3) у = | х – 1 | + | х – 2 | + | х – 3 |


Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1;2;3;0;4, получим график:




hello_html_m4d0b5f8.png

Рис. 12

4) у = | х – 1 || х – 2 |


График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1;2;0;3.


hello_html_41fb6c8d.png

Рис. 13


5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули.


Задание 1.


Решите уравнение:

| х – 3 | + | 1 – х | = 4.


Решение:

Построим в одной системе координат графики двух функций:

у = | х – 3 | + | 1 – х | и у = 4


1) у = | х – 3 | + |1 – х |


а) подмодульные нули: х = 3, х = 1.

б)

hello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_7fd9effe.png

в) х < 1, у = – ( х – 3) + ( 1 – х) = – х + 3 + 1 + х = – 2х + 4

hello_html_m37d303df.gifhello_html_5f9ef6f6.gifhello_html_m37d303df.gifу = – 2х + 4, х 0 1

у 4 2

1 < х < 3, у = – ( х – 3) – ( 1 – х) = – х + 3 – 1 + х = 2

у = 2


х > 3, у = (х – 3) – (1 – х) = х – 3 – 1 + х = 2х – 4

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gifу = 2х – 4

hello_html_m4bbd082b.gifx 0 1

y -4 -2


2) у = 4 – прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;4).

hello_html_m1b8594b9.png

Рис. 14



х = 0; х = 4


Ответ: 0; 4


А можно было решить так:

|x - 3| + |1 - x| = 4

|x - 3| + |1 - x| - 4 = 0

Построим в одной системе координат графики:

y = |x - 3| + |1 - x| - 4 и y = 0, ( смотри рисунок 9. )



Решим это уравнение аналитически.

| х – 3 | + | 1–х | = 4


Решение:


1) подмодульные нули: х = 3; х = 1.




2)

hello_html_m707468c7.png

3) а) х < 1,

– (х – 3) + (1 – х) = 4,

–х + 3 + 1– х = 4,

–2х + 4 = 4,

–2х = 0,

х = 0, 0 принадлежит (–∞; 1)



б) 1 < х <3

– (х – 3) – (1 – х) = 4,

– х + 3 – 1 + х = 4,

2 = 4, неверно, решений нет.


в) х > 3

(х – 3) – (1 – х) = 4,

х – 3 – 1 + х = 4,

2х – 4 = 4,

2х = 8,

х = 4, 4 принадлежит [3; +∞).

Ответ: 0; 4.


Задание 2.


| х – 5 | + | 5 х |=0


Решение:


Построим в одной системе координат графики двух функций:

у = /х – 5/ + /5 – х/ и у = 0


1) у = /х – 5/ + /5 – х/

а) подмодульный нуль: х = 5;

б) х < 5, тогда у = – (х – 5) + (5 – х) = – х + 5 + 5 – х = – 2х + 10;


hello_html_m6bb3d6a0.gifhello_html_m6bb3d6a0.gifу = – 2х + 10 х 5 4

hello_html_m4bbd082b.gif у 0 2


x≥5, тогда y = (x - 5) – (5 - x) = x – 5 – 5 + x = 2x – 10



hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif

у = – - 10 x 5 4

hello_html_51b9c79e.gif y 0 - 2


2) у = 0, график – ось абсцисс.


hello_html_m48840fff.png

Рис. 15



Графики пересеклись в точке (5;0), значит корень данного уравнения х = 5.

Ответ: 5.



Решим это уравнение аналитически:


| х – 5 | + | 5 – х | = 0.


Решение:


1)подмодульный нуль: х = 5.


2)

hello_html_m68ccd4a2.png

3) х < 5, тогда – (х – 5) + (5 – х) = 0,

– х + 5 + 5 – х = 0,

– 2х +10 = 0,

– 2х = – 10,

х = 5, 5 не принадлежит (–∞; 5)

х ≥ 5, тогда (х – 5)-(5 –х)=0,

х –5 –5+х=0,

2х –10=0,

2х=10,

х=5, 5 принадлежит [5; +∞)



Ответ: 5.






Задание 3.


3 – | х –1 | + | х+5 | = 0

Решение:


Построим в одной системе координат графики двух функций:

y = 3 –| х –1 | + | х+5 | и у = 0

1) у = 3 –| х –1 | + | х + 5 |

а) подмодульные нули: х = 1; х = 5

б)

hello_html_4d3ee2ea.png

в) х < –5, у = 3 + (х – 1) – (х + 5) = 3 + х – 1 – х – 5 = -3,


у = -3


–5 < х < 1, у = 3 + (х – 1) + (х + 5) = 3 + х –1 + х + 5 = 2х + 7,

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif

у = 2х + 7 х 0 -5

hello_html_36023a0d.gif у 7 3


х ≥ 1, у = 3 1) + + 5) = 3 х + 1 + х + 5 = 9,


у = 9


2) у = 0

hello_html_mf34e355.png

Рис. 16


Графики пересекаются в точке с абсциссой - 3,5, следовательно х = - 3,5.


Ответ: х = - 3,5.


Решим это уравнение аналитически:


3 | х –1 | + | х + 5 | = 0


Решение:


1) подмодульные нули: х = 1, х = -5.


2)

hello_html_4d3ee2ea.png

3) х < - 5, тогда 3 + (х – 1) – (х + 5)=0,

3 + х – 1 – х – 5 = 0,

- 3 = 0, неверно, решений нет.


-5 < х < 1, тогда 3 + (х – 1) + (х + 5)=0,

3 + х –1 + х + 5 = 0,

2х + 7 = 0,

2х = -7

х = -3,5, -3,5 принадлежит [-5; 1)


х > 1, тогда 3 – (х – 1) + (х + 5) = 0,

3 – х + 1 + х + 5 = 0,

9 = 0, неверно, решений нет.

Ответ: x = - 3,5.


Имея корни решенных уравнений, и рассматривая графики построенных функций, можно сделать вывод: корни полученных уравнений – это абсциссы точек пересечения графиков с осью ОХ.





6. Решение нестандартных задач с модулем.


Построив графики следующих функций в прямоугольной системе координат, мы получим некое «произведение искусства»:


Задание 1.


);

у = |х| + 5 =

х + 5, х принадлежит [0;1].


f4

4.5 < у < 5

x = 0,5

f5

4.5 < у < 5

x = -0,5

f6

-0.5 < x < 0.5

hello_html_2ba4f40d.gif -х + 4.5, х принадлежит [0;0.5]

у = -|х| + 4,5 =

х + 4.5, х принадлежит [-0,5;0]


f7

-0.25 < х < 0,25

y = 4

f8

-1 < х < 0

y = -3х + 1

f9

-0,5 < х < 0

y = 2х + 1

f10

-0,5 < х < 7

y = 0

f11

6 < х < 7

y = -х + 7

f12

3 < х < 6

y = х/3 - 1

f13

0 < у < 2

x = 3

f14

1 < х < 3

y = -х + 5


hello_html_mfd6a04f.png

Рис. 17



7. Заключение.


В заключении, я бы хотела бы сказать, что мне было очень интересно работать с данной темой. Я познакомилась с аналитическими и графическими решениями линейных уравнений с модулями, научилась строить графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля, графики простейших функций, содержащих знак модуля. А для этого прочитала и изучила немало дополнительной литературы. Получив эти знания, мне будет совсем нетрудно выбирать рациональный способ решения уравнений.












































Список использованной литературы.


1. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2.

Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2007.


2. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2003.


3. Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж 1994.


4. Алгебра. Учебник для 8 класса средней школы, под редакцией Теляковского С.А.





































29


Общая информация

Номер материала: ДБ-116899

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.