Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Научные работы / ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

библиотека
материалов













«Алгебраическое и графическое

решение линейных уравнений, содержащих

модули».





































Содержание:



1. Введение……………………………………………………………………………………………...3


2. Понятия и определения………………………………………………………………………......3


2.1 Вспомогательный материал для изучения данной темы……………………………………4


3.Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля………….....7

(аналитическое решение).


4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля……………..11


4.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля……...…………………………18


5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули………………………...20


6. Решение нестандартных задач с модулем………………………………………………………26


7. Заключение…………………………………………………………………………………………28


8. Список использованной литературы……………………………………………………………29

































Цель работы: считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.


Основной целью работы считаю получение расширенной информации о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.





Знание – самое превосходное из

владений. Все стремятся к нему,

само же оно не приходит.

Ал - Бируни


1. Введение.

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль – исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления...

В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.


2. Понятия и определения.

Чтобы лучше изучить данную тему, необходимо вспомнить простейшие определения:

а) уравнение – это равенство, содержащее переменные.

б) уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком модуля (абсолютной величины). Например: | x | = 5.

в) решить уравнение – это, значит, найти все его корни, или доказать, что их нет.

г) линейное уравнение с одной переменной – уравнение вида: ax = b, где x – независимая переменная, a и b – некоторые числа.

д) линейная функция – функция вида: y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

е) графиком линейной функции является прямая линия.

ж) область определения линейной функции состоит из всех чисел;

если D(у) состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

з) раскрытие скобок:

1) если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

2) чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых на противоположные, а потом раскрыть скобки.







2.1. Вспомогательный материал для изучения данной

темы.


Для изучения данной темы необходимо познакомиться с графическим решением линейных уравнений и числовыми промежутками.

а) графическое решение уравнений.

Это один из способов решения уравнений.

Его применяют не так часто, так как он занимает в некоторых случаях много времени; результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций.

В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

В случае, если графики не пересекутся, то уравнение корней не имеет.

Абсцисса точки пересечения графиков линейных функций будет корнем линейного уравнения.


Например:


1) х3 = 8.

Решение:

Построим в одной системе координат графики двух функций:

у = х3 и у = 8

D(у): х – любое число D(у): х – любое число




hello_html_m12ded9f2.png

рис. 1.

hello_html_mad7c314.gifх = 2.

Ответ: 2.







2) х 2 = -2



Построим в одной системе координат графики двух функций:


у = х 2 у = - 2

D(у): х – любое число D(у): х – любое число х


hello_html_48205063.png

рис. 2.


Графики не пересекаются, решений нет.

Ответ: Нет решений.


б) Числовые промежутки.

1) Отметим на координатной прямой точки с координатами -3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше -3 и меньше 2.


hello_html_m7e135bdf.gifhello_html_m7e135bdf.gif

hello_html_58c86307.gif-3 Х 2


Множество всех чисел, удовлетворяющих условию -3< х < 2, называются числовыми промежутком от -3 до 2 обозначаются так: (-3;2).


2)Число х, удовлетворяющее условию -3 < x < 2 изображается точкой, которая лежит между -3 и 2, либо совпадает с одной из них. Обозначение:

[-3; 2].


hello_html_7498eec8.gifhello_html_7498eec8.gif/ / / / / / / / / / /

hello_html_27fe1989.gif

-3 2

3) -3 < х < 2

hello_html_7498eec8.gifhello_html_33ada676.gif

hello_html_1a09df0f.gif/ / / / / / / / / /

-3 2 (-3; 2]


4) -3 < x < 2

hello_html_7498eec8.gifhello_html_33ada676.gif

hello_html_m71b701f5.gif/ / / / / / / / / /

-3 2 [-3; 2)



5) x > 6 hello_html_3b5fc0d7.gif


hello_html_33ada676.gif / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

hello_html_m71b701f5.gif 6 x (6; + ∞)


6) х < 6


hello_html_m71b701f5.gifhello_html_7498eec8.gif / / / / / / / / / / /

х 6 (∞ ; 6]


7) Запись промежутков:

hello_html_m624d5ef7.png

hello_html_m6f598025.gif


( -∞ ; -2); [-2; 3); [3; + ∞).








3. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

(аналитическое решение).


Определение модуля.


Любое число можно изобразить точкой на числовой прямой.

Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Пример. Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков.

|5| = 5.

Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна –а, если а меньше нуля.

hello_html_62491201.gif


hello_html_2678aa68.gif а, если а > 0

|а| =

-а, если а < 0




Из определения следует, что для любого числа «а» выполняется неравенство:

|a| > 0.

При решении уравнений, содержащих выражения со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля: модулем положительно- го числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.

На практике это делается так:

1) находят подмодульные нули, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2) разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3) на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

4) Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого уравнения.


Задание 1.


|х – 6| = 9


Решение:

  1. Найдем подмодульный нуль или корень выражения, содержащего знак модуля.

х – 6 = 0,

х = 6.

2)Найденное значение х разбивает числовую прямую на 2 промежутка: х < 6;

х > 6.

Решение данного уравнения рассматриваем в каждом промежутке отдельно.

hello_html_56544641.png

3) а) х < 6, под модулем получим отрицательное число, тогда, раскрывая модуль, имеем:

- ( х – 6) = 9

- х + 6 = 9

- х = 3

х = - 3, - 3 принадлежит ( - ∞ ; 6 ), значит

- 3 – решение.

б) х > 6, получим под модулем положительное число, тогда, раскрываю модуль, имеем:

х – 6 = 9,

х = 15, 15 принадлежит [6;+ ∞ ), значит, 15 – решение.

4) совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляют все решения рассмотренного уравнения.

х = -3 и х = 15.

Ответ: - 3; 15.


Задание 2.


|2х + 3| = 3х –3.

Решение:

1) 2)

2х + 3 = 0, hello_html_m62254c56.png

2х = –3, а) х < –1,5

х = – 1,5 – (2х + 3) = 3х – 3,

– 2х – 3 = 3х – 3,

– 2х – 3х = – 3 + 3,

–5х = 0,

х = 0, 0 не принадлежит (–∞; -1,5),

значит, 0 не является решением.

б) х > – 1,5

2х + 3 = 3х – 3,

2х – 3х = – 3 – 3,

– х = – 6,

х = 6, 6 принадлежит [– 1,5; + ∞),

значит 6 – решение.

Ответ: 6.


Задание 3.


|х + 5||х – 3| = 8.

Решение:

1) х + 5 = 0, х – 3 = 0,

х = – 5. х = 3.

hello_html_3ab5dc09.png

3) а) х < – 5

– (х + 5) – (– х + 3) = 8,

– х – 5 + х – 3 = 8,

– 8 = 8, неверно, значит, решений нет на промежутке (–∞; – 5)

б) – 5 < х < 3

х + 5 – (– х + 3) = 8,

х + 5 + х – 3 = 8,

2х + 2 = 8 ,

2х = 6,

х = 3, 3 не принадлежит [– 5; 3), значит 3 не является корнем уравнения.

в) х > 3

х + 5 – (х – 3) = 8,

х + 5 – х + 3 = 8,

8 = 8, верно, значит, любое значение х является корнем уравнения на этом промежутке.

Ответ: [3;+ ∞).

Задание 4.


|х + 2| + |х + 3| = х.

Решение:

1) х +2 = 0, х + 3 = 0.

х = – 2. х = – 3.

2)

hello_html_781500a0.png

3) а) х < – 3

– (х + 2) – (х + 3) = х,

– х – 2 – х – 3 = х,

– 2х – 5 = х,

– 2х – х = 5,

– 3х = 5,

х = – 1 2 /3, не принадлежит (–∞; – 3), значит – 1 2 /3 не является решением.


б) – 3 ≤ х < – 2

– (х + 2 ) + х +3 = х,

– х – 2 + х + 3 = х,

– х = – 1,

х = 1, 1 не принадлежит [– 3; – 2), значит, 1 не является решением.


в) х > – 2

х + 2 + х + 3 = х,

2х + 5 = х,

2х – х = – 5,

х = – 5, – 5 не принадлежит [– 2;+ ∞), значит, – 5 не является решением.

Ответ: нет решений


Задание 5.


|2 + |2 + х|| = 3.

Решение:

1) 2 + х = 0

hello_html_m53224943.gif х = – 2.

hello_html_14168742.gif

2)

hello_html_58c86307.gif

hello_html_3c80bc03.gif – 2 х



3) а) х < – 2

|2 – (2 + х)| = 3,

| 2 – 2 – х | = 3,

| –х | = 3, | х | = 3.

Так как, х < – 2, то

– х = 3,

х = – 3, – 3 принадлежит (–∞; – 2)

б) х > – 2

| 2 + (2 + х) |= 3,

| 2 + 2 + х | = 3,

| 4 + х | = 3,

х = – 4 – подмодульный нуль.

х < – 4, х ≥ – 4,

– (4 + х) = 3, 4 + х = 3,

– 4 – х = 3, х = – 1 ; – 1 принадлежит [– 4; + ∞)

– х = 7,

х = – 7, – 7 принадлежит (– ∞; – 4)

Учитывая условие: х ≥ – 2, получим, – 1 принадлежит [– 2; + ∞), а – 7 не принадлежит [– 2; + ∞).

Ответ: – 3; – 1.






4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля.


Для построения графиков функций, содержащих выражение под знаком модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случает, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функций,

опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенного в области отрицательных значений y, отобразить симметрично оси ОХ.

Это вытекает из определения модуля числа.







Задание 1.


у = | х |

Построение:



hello_html_5afd5274.gif х, если х > 0

y =

– х, если х < 0


hello_html_m2b068169.png

Рис. 3




Заметим, что при построении графика функции у = | х | часть графика у = х, лежащая ниже оси абсцисс, зеркально отражается относительно этой оси.






Задание 2.


у = | 5х |.


Построение:


cтроим график функции у = 5х, а часть графика, лежащую ниже оси абсцисс, зеркально отображаем относительно этой оси.


hello_html_m5e94ffbe.png

Рис. 4




Задание 3.


у = | х – 2 |

Построение:


1 способ.


1) х = 2 – подмодульный нуль.


2)

hello_html_5afd5274.gif – х + 2, х < 2

y =

х – 2, х > 2


3) Построим графики линейных функций в своих промежутках:

у = – х + 2 у = х – 2

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif

х 0 1 х 0 1

hello_html_m4bbd082b.gifhello_html_m4bbd082b.gifу 2 1 у – 2 – 1



hello_html_m6b8089ed.png

Рис. 5

2 способ.


Строим график у = х – 2, а часть графика, лежащую ниже оси абсцисс отражаем зеркально относительно оси абсцисс.


hello_html_1c5e465b.png


Рис. 6


Задание 4.


у = | х | – 1

Построение:


1) х = 0 – подмодульный нуль.


2) на промежутке х < 0 функция примет вид:

у = – х – 1

hello_html_m200bc1c2.gif

hello_html_m528b115e.gifhello_html_61e7e184.gifhello_html_4cf5cde1.gif х 0 1

у – 1 – 2


3) на промежутке х > 0 функция примет вид:

у = х – 1

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif х 0 1

hello_html_m528b115e.gif у – 1 0



hello_html_5937f486.png

Рис. 7



Задание 5.


у = | х | + х


Построение.


1) подмодульный нуль: х = 0.


2) если х < 0, то у = – х + х = 0; у = 0.


3) если х > 0, то у = х + х = 2х; у = 2х.

hello_html_4cf5cde1.gif

hello_html_4ea5da9b.gif х 1

y 2


hello_html_4aacb45d.png

Рис. 8

Задание 6.


у = | х – 3 | + | 1 – х | – 4


Построение:


1) подмодульные нули: х = 3; х = 1.


hello_html_m3c5522e5.png


2) х < 1, у = – ( х– 3) + (1 – х) – 4 = – х + 3 + 1 – х – 4 = – 2х; у = – 2х.

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4ea5da9b.gif х 1

у – 2


3) 1 ≤ х < 3, тогда у = – (х – 3) – (1 – х) – 4 = – х + 3 – 1 + х – 4 = – 2, у = – 2.


4) х > 3, тогда у = х – 3 – (1 – х) – 4 = х – 3 – 1 + х – 4 = 2х – 8, у = 2х – 8.

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif

x 4 0

hello_html_m418ce24b.gif y 0 2







hello_html_m1d58d4e2.png

Рис. 9











hello_html_m4c17937c.gif

4hello_html_27adac18.gif.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля.


Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений.

Сформулируем утверждение, позволяющее, строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много);

алгебраическая сумма модулей n-линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n+1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, еще одна -

произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней, и последняя – с абсциссой, большей большего из корней.

Например:

1) у = | х – 1|

Вычисляя значения функции в точках 1; 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей.

hello_html_6556f15a.png

Рис. 10







2) у = |х – 1| + |х – 2|


Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1;2;0;3, получаем график:



hello_html_27257f72.png

Рис. 11

3) у = | х – 1 | + | х – 2 | + | х – 3 |


Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1;2;3;0;4, получим график:




hello_html_m4d0b5f8.png

Рис. 12

4) у = | х – 1 || х – 2 |


График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1;2;0;3.


hello_html_41fb6c8d.png

Рис. 13


5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули.


Задание 1.


Решите уравнение:

| х – 3 | + | 1 – х | = 4.


Решение:

Построим в одной системе координат графики двух функций:

у = | х – 3 | + | 1 – х | и у = 4


1) у = | х – 3 | + |1 – х |


а) подмодульные нули: х = 3, х = 1.

б)

hello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_7fd9effe.png

в) х < 1, у = – ( х – 3) + ( 1 – х) = – х + 3 + 1 + х = – 2х + 4

hello_html_m37d303df.gifhello_html_5f9ef6f6.gifhello_html_m37d303df.gifу = – 2х + 4, х 0 1

у 4 2

1 < х < 3, у = – ( х – 3) – ( 1 – х) = – х + 3 – 1 + х = 2

у = 2


х > 3, у = (х – 3) – (1 – х) = х – 3 – 1 + х = 2х – 4

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gifу = 2х – 4

hello_html_m4bbd082b.gifx 0 1

y -4 -2


2) у = 4 – прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;4).

hello_html_m1b8594b9.png

Рис. 14



х = 0; х = 4


Ответ: 0; 4


А можно было решить так:

|x - 3| + |1 - x| = 4

|x - 3| + |1 - x| - 4 = 0

Построим в одной системе координат графики:

y = |x - 3| + |1 - x| - 4 и y = 0, ( смотри рисунок 9. )



Решим это уравнение аналитически.

| х – 3 | + | 1–х | = 4


Решение:


1) подмодульные нули: х = 3; х = 1.




2)

hello_html_m707468c7.png

3) а) х < 1,

– (х – 3) + (1 – х) = 4,

–х + 3 + 1– х = 4,

–2х + 4 = 4,

–2х = 0,

х = 0, 0 принадлежит (–∞; 1)



б) 1 < х <3

– (х – 3) – (1 – х) = 4,

– х + 3 – 1 + х = 4,

2 = 4, неверно, решений нет.


в) х > 3

(х – 3) – (1 – х) = 4,

х – 3 – 1 + х = 4,

2х – 4 = 4,

2х = 8,

х = 4, 4 принадлежит [3; +∞).

Ответ: 0; 4.


Задание 2.


| х – 5 | + | 5 х |=0


Решение:


Построим в одной системе координат графики двух функций:

у = /х – 5/ + /5 – х/ и у = 0


1) у = /х – 5/ + /5 – х/

а) подмодульный нуль: х = 5;

б) х < 5, тогда у = – (х – 5) + (5 – х) = – х + 5 + 5 – х = – 2х + 10;


hello_html_m6bb3d6a0.gifhello_html_m6bb3d6a0.gifу = – 2х + 10 х 5 4

hello_html_m4bbd082b.gif у 0 2


x≥5, тогда y = (x - 5) – (5 - x) = x – 5 – 5 + x = 2x – 10



hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif

у = – - 10 x 5 4

hello_html_51b9c79e.gif y 0 - 2


2) у = 0, график – ось абсцисс.


hello_html_m48840fff.png

Рис. 15



Графики пересеклись в точке (5;0), значит корень данного уравнения х = 5.

Ответ: 5.



Решим это уравнение аналитически:


| х – 5 | + | 5 – х | = 0.


Решение:


1)подмодульный нуль: х = 5.


2)

hello_html_m68ccd4a2.png

3) х < 5, тогда – (х – 5) + (5 – х) = 0,

– х + 5 + 5 – х = 0,

– 2х +10 = 0,

– 2х = – 10,

х = 5, 5 не принадлежит (–∞; 5)

х ≥ 5, тогда (х – 5)-(5 –х)=0,

х –5 –5+х=0,

2х –10=0,

2х=10,

х=5, 5 принадлежит [5; +∞)



Ответ: 5.






Задание 3.


3 – | х –1 | + | х+5 | = 0

Решение:


Построим в одной системе координат графики двух функций:

y = 3 –| х –1 | + | х+5 | и у = 0

1) у = 3 –| х –1 | + | х + 5 |

а) подмодульные нули: х = 1; х = 5

б)

hello_html_4d3ee2ea.png

в) х < –5, у = 3 + (х – 1) – (х + 5) = 3 + х – 1 – х – 5 = -3,


у = -3


–5 < х < 1, у = 3 + (х – 1) + (х + 5) = 3 + х –1 + х + 5 = 2х + 7,

hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_4cf5cde1.gif

у = 2х + 7 х 0 -5

hello_html_36023a0d.gif у 7 3


х ≥ 1, у = 3 1) + + 5) = 3 х + 1 + х + 5 = 9,


у = 9


2) у = 0

hello_html_mf34e355.png

Рис. 16


Графики пересекаются в точке с абсциссой - 3,5, следовательно х = - 3,5.


Ответ: х = - 3,5.


Решим это уравнение аналитически:


3 | х –1 | + | х + 5 | = 0


Решение:


1) подмодульные нули: х = 1, х = -5.


2)

hello_html_4d3ee2ea.png

3) х < - 5, тогда 3 + (х – 1) – (х + 5)=0,

3 + х – 1 – х – 5 = 0,

- 3 = 0, неверно, решений нет.


-5 < х < 1, тогда 3 + (х – 1) + (х + 5)=0,

3 + х –1 + х + 5 = 0,

2х + 7 = 0,

2х = -7

х = -3,5, -3,5 принадлежит [-5; 1)


х > 1, тогда 3 – (х – 1) + (х + 5) = 0,

3 – х + 1 + х + 5 = 0,

9 = 0, неверно, решений нет.

Ответ: x = - 3,5.


Имея корни решенных уравнений, и рассматривая графики построенных функций, можно сделать вывод: корни полученных уравнений – это абсциссы точек пересечения графиков с осью ОХ.





6. Решение нестандартных задач с модулем.


Построив графики следующих функций в прямоугольной системе координат, мы получим некое «произведение искусства»:


Задание 1.


);

у = |х| + 5 =

х + 5, х принадлежит [0;1].


f4

4.5 < у < 5

x = 0,5

f5

4.5 < у < 5

x = -0,5

f6

-0.5 < x < 0.5

hello_html_2ba4f40d.gif -х + 4.5, х принадлежит [0;0.5]

у = -|х| + 4,5 =

х + 4.5, х принадлежит [-0,5;0]


f7

-0.25 < х < 0,25

y = 4

f8

-1 < х < 0

y = -3х + 1

f9

-0,5 < х < 0

y = 2х + 1

f10

-0,5 < х < 7

y = 0

f11

6 < х < 7

y = -х + 7

f12

3 < х < 6

y = х/3 - 1

f13

0 < у < 2

x = 3

f14

1 < х < 3

y = -х + 5


hello_html_mfd6a04f.png

Рис. 17



7. Заключение.


В заключении, я бы хотела бы сказать, что мне было очень интересно работать с данной темой. Я познакомилась с аналитическими и графическими решениями линейных уравнений с модулями, научилась строить графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля, графики простейших функций, содержащих знак модуля. А для этого прочитала и изучила немало дополнительной литературы. Получив эти знания, мне будет совсем нетрудно выбирать рациональный способ решения уравнений.












































Список использованной литературы.


1. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2.

Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2007.


2. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2003.


3. Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж 1994.


4. Алгебра. Учебник для 8 класса средней школы, под редакцией Теляковского С.А.





































29


Автор
Дата добавления 09.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров139
Номер материала ДБ-116899
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх