Исследовательская работа по математике

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение гимназия восточных языков N 4

 

«Математика по-китайски»

Китайская система счета

Научно-исследовательская работа по математике

Выполнил: Кириков

Кирилл Анатольевич,

ученик 7б класса

Руководитель: Прокопенко

Татьяна Ивановна,

учитель математики

Хабаровск

2020

Содержание

	Введение	3
1.	Математика в Древнем Китае	5
1.1.	Китайская система счисления.	5
1.1.1.	Запись цифр	5
1.1.2.	Знак нуля	8
1.1.3.	Большие числа	9
1.2.	Вычислительные устройства и вычисления	11
1.2.1.	Узелки и зарубки	11
1.2.2.	Счетные палочки	12
1.2.3. 1.2.4	Абак (суань пань) Арифметические операции	14 16
2. 2.1 2.2 2.3 3. 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3	Китайская техника счета, используемая в современной системе образования в Китае и России Китайская нумерация и произношение цифр на русском языке. Китайский способ умножения. Метод решетки Ментальная арифметика в Китае и России  Исследование, опрос и тестирование учащихся  Анкетирование учеников Ознакомление с китайскими способами вычислений. Ознакомление с китайским методом умножения Ознакомление с ментальной арифметикой Практическое применение. Методическое пособие. Заключение Список литературы Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3	19 19 19 21 23 23 24 24 26 29 30 31

Введение

Математика является одной из самых развитых фундаментальных наук в Китае. Её обычно называют «суаньшу», что означает «искусство вычисления». Во времена Конфуция математика считалась одним из «шести искусств» (лю и), которым должен владеть «благородный муж» (цзюнь-цзы).

Начальные понятия математики, зародившиеся в Древнем Китае, послужили развитию математической культуры соседних народов, которые занимали территорию современной Кореи Индокитая и Японии. В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. В истории математики древнего Китая имеются сведения о десятичной системе счета (использовавшейся еще в XIV веке до н.э.‒ за 2300 лет до начала ее применения европейскими математиками) и специальной иероглифической символике для чисел, об оперировании большими числами, о наличии вспомогательных счетных устройств (узелки; счетная доска, с осуществленной на ней позиционной системой счисления).

Наличие у китайских математиков высоко-разработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраическим методам обнаруживает уже «Математика в девяти книгах» составленная по более ранним источникам во II-I вв. до н.э.

В современное время, как и в древности математика занимает важное место в китайском обществе. Китай находится на первых местах международных рейтингов математического образования (PISA). Феномен успеха математического образования в Китае объясняется возвращении китайского математического образования к национальным традициям.

Моя научно-исследовательская работа посвящена вопросам, лежащим в основе математики любой древней цивилизации и передающим ее специфику, ее «колорит». Речь идет о системе счета и технике вычислений.

Цель работы: изучение китайской системы счёта.

Задачи: изучить материалы о китайской системе счёта: рассмотреть историю возникновения, описать способы счёта и вычислений, показать особенности их использования. Провести анализ использования китайской системы счёта в древности и использование в современном образовании. Сделать выводы.

Объект исследования – способы счёта.

Предмет исследования – китайская система счёта.

Методы исследования:

    Сбор информации (анализ литературы, интернет-источников).

    Систематизация и обобщение.

Ход исследования:

    Постановка цели.

    Сбор материала.

    Анализ собранного теоретического материала.

    Проведение анкетирования, опроса, экспериментов.

    Разработка пособия для практического применения и изучения данной    

    темы на факультативных уроках математики.

    Подготовка презентации, доклада.

Я вижу большую теоретическую значимость своей работы в том, чтобы познакомить не только школьников, но и взрослых людей с одним из интереснейших и старейших техник счета. Показать прошлое и будущее этой уникальной системы счисления.

Моя научно-исследовательская работа поможет не только больше узнать о китайской системе счёта, но и будет способствовать повышению знаний о развитии математики Китая и о вкладе китайцев в математическую науку. Изучение техники вычислений будет полезна в образовательном процессе для повышения интереса к математике, развитию мышления, интеллекта, памяти, математических способностей, творческих умений и навыков.

1. Математика в Древнем Китае

                           1.1. Китайская система счисления.

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Одна из самых древнейших систем счисления была создана в Китае. Эта система возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Китайская структура системы счисления имела свои особенности: ярко выраженное вычислительно-алгоритмическое направление - древние китайские математики старались свести к правилу, состоящему из последовательного выполнения некоторого числа шагов.

Узнаем, как зарождалась Китайская система счета.

1.1.1.  Запись цифр.

Первые дошедшие до нас китайские письменные памятники относятся к эпохе Шан (XVIII—XII вв. до н. э.). И уже на гадальных костях XIV в. до н. э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр.

Китайская нумерация просуществовала тысячелетия и сохранилась до наших дней. Согласно данным, собранным при изучении надписей на иньских гадательных костях, уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. В такой же системе записаны числа на чжоуских монетах и бронзовых сосудах. Однако при этом частично использовались другие по форме цифровые знаки (рис. 1).

 

Рис.1

Рис. 1

Все иньские и чжоуские цифры можно разделить на две группы. В первую входят цифры, обозначающие числа от 1 до 9 («и», «эр», «сань», «сы», «у», «лю», «ци», «ба», «цзю»). Число 1 символизируется одной горизонтальной чертой, а числа от 2 до 4 (иногда и 5) – количественно соответствующими сочетаниями горизонтальных черт. Для чисел от 5 до 9 выбраны знаки, происхождение которых неясно. Во вторую группу входят цифры 10, 100, 1000 и 10 000 («ши», «бай», «цянь», «вань»). Цифра 10, представляющая собой вертикальную черту, возникла, возможно, как поворот на 90 градусов цифры 1, поскольку такой же принцип, но только в противоположной записи, встречается в выражении чисел 1 и 10 с помощью счетных палочек. Происхождение цифр 100, 1000 и 10 000 неясно.

Запись всех чисел, применявшихся китайцами в эпохи Шан-Инь и Чжоу, осуществлялась с помощью указанных цифр путем их сочетаний, варьирующихся по положению и допускающих вариации форм исходного набора знаков. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее соответственно одной, двух и трех горизонтальных. Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями. Цифры 100 и 1000 являются, по сути, сочетаниями единицы (горизонтальная черта) и неких знаков, обозначающих соответственно сотый и тысячный разряды и не встречающихся в «свободном состоянии». Так, числа 200 и 300 обозначаются символом 100, у которого сверху добавляются соответственно одна и две горизонтальные черты, а числа 2000 и 3000 – символом 1000, который дополнительно перечеркивается одной или двумя горизонтальными чертами. В общем случае исходные знаки для 100 и 1000 без горизонтальных черт дополняются той или иной цифрой из набора 1–9 при необходимости выразить соответствующее число сотен и тысяч. За исключением упомянутой выше разновидности записи чисел 20, 30 и 40, числа десятичного разряда выражаются схожим способом, отличающимся лишь тем, что знак этого разряда и цифра 10 не различаются. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи, составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.

После реформ письменности, осуществлявшихся во время царствования династий Цинь и Ранняя Хань, в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор при записи чисел, и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной.

Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел. Это значит, что в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов (рис. 2,1-я колонка таблицы).          __________________________________

Рис.2

Всякое число любого разряда за исключением единичного может быть записано и произнесено с помощью двух иероглифов: сначала ‒ цифра, обозначающая число единиц разряда, за ней ‒ название самого разряда. Например, число 1234 записывается как «и» «цянь» «эр» «бай» «сань» «ши» «сы», что в буквальном переводе означает «одна тысяча две сотни три десятка четыре» (в русском языке «одна тысяча двести тридцать четыре»). А число 38071 ‒ как «сань» «вань» «ба» «тянь» «чи» «ши» «и» и представляется как на рис. 3 слева. Такого рода нумерацию, один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии Древнего мира Б. Л. ван дер Варден называет именованной позиционной. Стоит в ней только опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.

1.1.2. Знак нуля.

До сих пор неизвестна точная дата и место появления знака нуля как элемента десятичной системы. Согласно распространенному мнению, он возник в Индии. Одно время полагали, что самое древнее сохранившееся упоминание о нем в математических текстах связано с рукописью, которую обнаружили в 1881 г. в деревне Бакшали (современный Пешавар) и первоначально относили ко II в. н. э. Однако позже ее стали датировать IV, VII в. или даже IX–XII вв. Нуль в этой рукописи обозначался как точкой, так и кружком.

Впервые в Китае нуль в виде точки встречается в компендиуме «Кай-юань чжаньцзин» («Астрологический канон [периода] Кай-юань»), который в 718–729 гг. написал индийский астроном Цюйтань Сида (Гаутама Сидхартха), работавший в Астрономическом бюро и представивший в 718 г. индийский календарь Наваграха (Цзючжи). Однако видимо, этот прецедент не произвел на китайскую математику должного действия. Позже китайцы могли заново открыть знак нуля, отталкиваясь от пустых пробелов, оставленных для нуля на счетных досках и в «палочной» записи цифр, которая строится на позиционной системе и используется, по крайней мере, с эпохи Сражающихся царств. Первоначально он мог обозначаться на письме в виде клеточки счетной доски, которая затем трансформировалась в кружок.

Возможно, понятие «пустота» («кун», «сюй») даосского или индийского мистицизма внесло свой вклад в изобретение символа для нуля. Не исключено, что форма знака нуля могла быть заимствована из китайских философских диаграмм XI–XII вв., в которых кружок часто обозначал «беспредельное» («у цзи»), изначальный хаос («хунь дунь»), сближающиеся с понятием «ничто». 

Китайская письменная форма для нуля – иероглиф «лин». Его первичное значение – «капли дождя», «капли воды, оставшиеся после дождя» – по ассоциации привело к тому, что он стал означать что-то «мелкое», «разрозненное», «остаточное», «добавочное». В области счета этот иероглиф первоначально применяли во фразах типа «одна сотня и пять в добавок», что означало число 105.

1.1.3. Большие числа.

Для счета древнему китайцу сначала было достаточно четырех разрядов, которые и образовали первый класс (рис.3). Свидетельством этого служит фраза из «Истории Ранней Хань», приписываемая исторической традицией Бань Гу: «Счет ведут единицами, десятками, сотнями, тысячами и ванями».

Рис.3

Действительно, «вань», то есть 10 000 первоначально считался предельным числом. В «Цзяо чжуань» говорится: «Вань есть полное число».

Современные иероглифы для десятков, сотен, тысяч ‒ комбинации единицы с древним иероглифом для этих разрядов и в более поздние времена, «ванъ» употреблялся для выражения неопределенно больших количеств. Например, в «Исторических записках» Сыма Цяня (II в. до н. э.) говорится: «В казначействе скоро будут сотни громадных ваней золотых монет».

В «Истории Ранней Хань», сообщается: «Расходы исчислялись десятками, сотнями огромных ваней», ‒ фраза, которая цитировалась и в нашем столетии, когда говорили о безумных тратах: «На работы потратили больших ваней более сотни».

Но границы человеческой деятельности постепенно раздвигались, и наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная со II‒III вв. до н.э., а в отдельных случаях гораздо раньше в Китае стали применять числа, бóльшие ваня.

Сначала, по-видимому, название давали каждому новому разряду ваня: 10⁵, 10⁶, 10⁷, . . . , 10¹² (см. столбец I рис.4). Иногда это делали, начиная с третьего, однако это было неэкономно. Поэтому стали использовать для высоких классов порядок построения первого класса, употребляя названия его разрядов, и тогда каждое новое название надо было давать только единицам очередного нового класса 10⁴, 10⁸, 10¹²... . . . , 10³⁶ (рис. 4,  столбец III).

 

В эпоху Тан (VII‒IX вв. н. э.) эти две системы именовали «большим» и «малым» счетом ‒ так называл их Кун Ин-да, комментатор «Лицзи».

Еще более экономный способ построения системы больших чисел состоит в том, чтобы до 10⁸ поступать, как следует по правилам второго столбца таблицы, а далее в следующих классах использовать всякий раз все названия вплоть до 10⁸. В этом случае новые названия потребуются лишь через восемь разрядов: 10⁸, 10¹⁶, 10²⁴, . . . , 10⁸⁰ (см. столбец IV рис.4). Самый быстрый рост степеней ‒ это когда всякий раз удваивается их счет: 10⁴, 10⁸, 10^м, 10³², 10⁶⁴, . . . , 10¹²² (стол­бец V рис.4). В математических трактатах указывалось несколько систем, так что пользующийся мог применять любую из них

Из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифметическую прогрессию с разностью, равной четырем (см. рис.4 столбец III).

Индийская система счета и арабские цифры не привилась в Китае. Долгое время даже в заимствованных у арабов методах вычислений они заменялись китайскими. Современные цифры и символика (буквенные формулы) начали употреб­ляться в переводной литературе только в XIX столетии, когда китайцы стали знакомиться с западной высшей математикой.

Таким образом, система счисления в Китае оставалась без изменений, так как еще в древности именованная позиционная система счисления была приспособлена к счетному прибору, которым пользовались при выполнении вычислений. Техника вычислений на счетной доске принципиально мало отличалась от современных действий с числами. Китайцам не было особой нужды заимствовать индийскую арифметику, у них была своя, вполне их удовлетворявшая. Там, где непосредственно производились вычисления, китайцы пользовались десятичной позиционной нумерацией, а при письме для фиксирования результатов или записи начальных данных применяли десятичную именованную позиционную систему.

1.2.  Вычислительные устройства и вычисления

1.2.1. Узелки и зарубки

Предыстория китайской системы счисления начинается в глуби веков, во время формирования первоначальных математических представлений человека на самых первых этапах его развития. Еще до возникновения письменности существовал, по-видимому, устный счет и элементарные способы фиксирования чисел при помощи узлов на веревках и зарубок на дереве. Это было первым примитивным моделированием: замена при счете пальцев рук и ног моделью.

В древнекитайских классических текстах имеются упоминания о подобных способах фиксирования чисел. В комментарии «Си цы чжуань» к знаменитой «Книге перемен» записано: «В глубокой древности пользовались узелками на веревках и управляли государством, а впоследствии мудрецы заменили их зарубками на дереве». Философы Лао-цзы и Чжуан-цзы, жившие в VI‒V вв. до н. э., подтверждают эти способы представления чисел.

В равной степени достоверны сведения о зарубках на дереве. Каждому русскому хорошо известна поговорка: «Заруби на носу». Ее происхождение указывает на существование деревянной дощечки, с нанесенными на ней памятными зарубками, которую носили привязанной к поясу. Весьма возможно, что от зарубок на дереве происходят современные китайские цифры 1, 2, 3, а также древнейшие иньские начертания чисел 20, 30, 40. В Китае до изобретения бумаги (в I в. н. э.) на протяжении первого тысячелетия до н. э. писали на бамбуковых и деревянных дощечках.

1.2.2. Счетные палочки

Есть основания полагать, что китайская десятичная позиционная система была связана по своему происхождению со способом вычислений посредством счетных палочек (чоу, чоуцэ, чоусуань и проч.). Сам иероглиф суань算 – «вычисление» – восходит к древней пиктограмме, изображающей подсчет палочек. Некоторые цифры на иньских гадательных костях и чжоуских монетах и бронзовых сосудах напоминают «палочную» запись. На монетах эпохи Сражающихся царств (Чжань-го) числа прямо записаны в «палочной» нумерации. Ханьские математические тексты содержат математические выражения, подразумевающие использование счетных палочек.

В «Хань шу» («Книга о [династии] Хань») Бань Гу  сообщил, что счетные палочки изготавливались из бамбуковых стеблей приблизительно 2,5 мм в диаметре и имели длину 14 см. Набор из 271 палочки связывался в шестигранную связку, которую было удобно держать в руке. 

При археологических раскопках, проводившихся в 1971 г. в уезде Цянь-ян (пров. Шэньси), было найдено три десятка счетных палочек, датируемых годами правления ханьского императора Сюань-ди (73–49 гг. до н.э.). Их размеры совпадают с описанием из «Хань шу», но сделаны они не из бамбука, а из кости.

Палочки делали так же из рога, а позже изготавливались из нефрита и дерева. В IX в. китайцы стали отливать палочки из железа. Шэнь Ко (1031–1095), описывая одного из своих современников, астронома Вэй Поу, говорил, что «он мог передвигать счетные палочки настолько быстро, что казалось, что они летали, и глаз не мог поспеть за их движениями до тех пор, пока не был готов результат». Это описание позволяет представить скорость, с которой мог совершаться профессиональный счет. После эпохи Мин о счетных палочках стало меньше сообщений, поскольку они были вытеснены абаком.

Счетные палочки можно было раскладывать просто на ровной поверхности или на специальной счетной доске суаньпань, на которой каким-либо образом обозначена клеточная структура.

«Палочный» счет имел преимущество по сравнению с письмом, поскольку позволял «разобрать» числа, которые больше не требовались. Кроме того, посредством перемещения палочек можно было легко производить действия сложения, вычитания, умножения и деления. «Палочный» счет оставил свой след в китайской письменности, выражающийся в том, что большинство терминов для вычисления имеет в качестве корневого элемента (ключа) иероглиф «бамбук» и существует много выражений типа «подвинуть палочки» (туй суань), «взять палочки» (чичоу) и т.д., которые применяются при том или ином вычислении. 

Счетные палочки и доска выполняли функции простейшей счетной машины, оперирование которой требовало четких алгоритмических предписаний. Целью китайских математиков было найти наиболее общие алгоритмы. Этот процесс был параллелен развитию греческой аксиоматизации.

По мере распространения бумаги китайские математики стали все чаще проводить свои вычисления письменно, но по тем же принципам, которые использовались при манипулировании со счетными палочками. При этом цифры могли записываться не иероглифами, а комбинациями штрихов, повторяющих расположение счетных палочек.

Использовавшиеся в Китае счетные палочки с числами, отмеченными на них, были китайским вариантом костей Джона Непера (шотландского математика, 1550–1617), которые появились на Западе в 1617 г. и активно использовались в XVII в. В это же время они попали в Китай и Японию, где вызвали значительный интерес.

Набор «неперовских» счетных палочек, применявшийся в Китае и имевший то же самое название, как и у древних простых счетных палочек, включал также нулевую палочку и палочки для квадратных и кубических корней. С помощью этого набора можно было производить ряд арифметических операций, двигая одну палочку по отношению к другой. Эти счетные палочки, возможно, получили бы и дальнейшее развитие в Китае, если бы их вскоре не заменили два других европейских изобретения – логарифмическая линейка и счетная машинка.

1.2.3. Абак (суаньпань)

Кроме счетной доски китайские математики имели в своем распоряжении еще два типа механических устройств для облегчения вычислений: абак и счетные палочки, помеченные числами аналогично костям Непера. 

Китайские счеты суань пань Китайский абак называется чжусуаньпань, чжусуань (букв. «пластина с шариковыми счетами», «шариковые счеты») или так же, как и счетная доска, – суаньпань («счетная пластина», «счетное блюдо»). Эти счеты историки называют «абаком», имея в виду некоторое сходство с европейским счетным устройством, возникшим в древней Греции и использовавшимся в Европе вплоть до XVIII в. В своем первоначальном виде европейский абак – это доска с ложбинами, в пределах которых можно передвигать счетные костяшки. Суаньпань – счетное устройство, широко используемое в Китае с древних времен и до наших дней.

Китайский абак (рис.5) представляет собой деревянную раму с рядами стержней (проволок или веревок), на которые нанизывались костяшки в виде приплюснутых шаров. Обычно устанавливалось 12 стержней, но их могло быть и больше (до 30). На каждом стержне размещалось 6–7 костяшек, разделенных планкой на две группы: ниже планки 5 костяшек, а выше – 1–2. Каждая верхняя костяшка эквивалентна пяти нижним. Каждая нижняя костяшка эквивалентна 10 нижним костяшкам на соседнем стержне справа (или, по договоренности, слева). С помощью абака достаточно удобно выполнять действия сложения, вычитания и умножения, используя только одну из верхних костяшек, но для деления иногда удобнее иметь возможность указать на любом из столбцов число от 10 до 15, используя для этого обе верхних костяшки и соответствующее число нижних. Китайский абак. На основании того, что в китайской литературе не было найдено никакого полного описания абака в его современной форме до сочинения Чэн Да-вэя «Суань фа тун цзун» («Все главное о методах счета») (рис.6), опубликованного в 1593 г., многие историки науки полагали, что этот инструмент не был известен в Китае до конца XVI в. Однако имеются и более ранние прямые или косвенные упоминания о нем. Так, о «доске с перемещающимися шарами», которой следует пользоваться по твердо установленным правилам, сказано в сочинении «Лу тан ши хуа» («Эссе из чертога в предгорье»), которое было издано в 1513 г. Самое раннее изображение этого инструмента было найдено в напечатанном в 1436 г. иллюстрированном детском учебнике «Синь бянь Дуй сянсыянь» («Новая исправленная Хрестоматия изображений четверок иероглифов»).

Вероятно, самой древней работой, в которой говорится о счете с помощью абака, является трактат «Шу шуцзи и» («Заметки для потомков о правилах вычислений»/«Аритмологический мемуар», русский перевод С.В. Зинин, 1985), который приписан Сюй Юэ (ок. 160–227), жившему в конце Поздней Хань, и снабжен комментариями (частичный русский перевод С.В. Зинин, 1986), написанными приблизительно в 570 г. Чжэнь Луанем, возможно, и являющимся истинным автором трактата.

Согласно комментарию Чжэнь Луаня, абак представляет собой доску с тремя, символизирующими указанную «триаду», горизонтальными перегородками – двумя боковыми и одной средней, образующими две секции, в которых по перпендикулярным к перегородкам направлениям могут перемещаться шарики, видимо, нанизанные на веревки – «ленты». В «нижней» секции размещаются символизирующие «четыре сезона» четыре шарика одного цвета, а в «верхней» – находится всего один шарик, имеющий отличный от них цвет. Каждый шарик из «нижней» секции соответствует единице, а «верхний» шарик – пяти единицам.

Стоит отметить что китайские счеты похожи на русские счеты, которые применялись в советское время в торговле.  Многие исследователи утверждают, что идея русских счет была позаимствована у китайцев, что из Китая они перешли к сибирским народам, что известные купцы Строгановы привезли их в Россию.

1.2.4 Арифметические операции

 Вероятно, уже со времени Сражающихся царств все фундаментальные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) выполнялись с помощью счетных палочек на счетной доске и с использованием системы поместного значения, в которой пробелы были оставлены там, где мы помещаем нули. Хотя иероглифы в китайском письме традиционно писались сверху вниз, цифры на счетной доске всегда размещались по горизонтали слева направо. Сложение целых чисел и дробей обозначалось разными иероглифами – «бин» и «хэ». Вычитание обозначалось иероглифом «цзянь». Умножение считалось упрощенным сложением множества слагаемых. Данную операцию обозначал иероглиф «чэн». Его исходное значение – «упряжка», «колесница», «ехать на колеснице». Отсюда множители могли мыслиться как упряжка лошадей, управляемая возничим. Деление («чу», исходное значение «удалять») рассматривалось китайцами как упрощенное вычитание или как перевернутое умножение. Делитель назывался «фа» (букв. «норма») а делимое – «ши» (букв. «полнота»). Таблицы деления (использующие слова) были обычны начиная с эпохи Сун.

Первое описание правил умножения и деления дано в книге Сунь-цзы «Сунь-цзысуаньцзин». Осуществление этих действий проводилось в трех позициях (вэй) на счетной доске – в верхней (шан), средней (чжун) и нижней (ся). При умножении множимое помещалось в верхней позиции, множитель – в нижней и их произведение – в средней. При делении делимое располагалось посередине, делитель – внизу, а их частное – вверху. (табл.1)

Таблица 1

Позиция	Умножение	Деление
Верхняя	Множимое	Частное
Средняя	Произведение	Делимое
Нижняя	Множитель	Делитель

Вот один из примеров Сунь-цзы на умножение (рис 7):

Рис.6

Изложение правила умножения Сунь-цзы начинает с указания на необходимость установить множимое и множитель таким образом, чтобы между их разрядами было прямое соответствие, чтобы они «друг на друга взирали» (сянгуань). Правда, вслед за этим, судя по приводимому Сунь-цзы примеру умножения 81 на 81, множитель передвигается вправо так, чтобы его низший разряд находился под высшим разрядом множимого (рис. 7). Затем надо осуществить ряд операций, которые лучше рассмотреть на примере Сунь-цзы. Первая их серия следующая: число в высшем разряде множителя (8) умножается на число из аналогичного разряда множимого (8); произведение (64 сотни) записывается в средней позиции; число в низшем разряде множителя (1) умножается на число из высшего разряда множимого (8); получившееся произведение (8 десятков) складывается с предыдущим произведением (648 десятков). Вторая серия операций начинается с перемещения (туй, букв. «отступать») множителя на одну клеточку вправо и удаления у множимого использованного высшего разряда. Затем число из высшего разряда множителя (8) умножается на число, оставшееся от множимого (1); получается 8 десятков, которые складываются с предыдущим результатом (80 + 6480 = 6560). Наконец на остаток множимого (1) умножается число из низшего разряда множителя (1); получается единица, которая складывается с предыдущим результатом, что дает число 6561.

Поскольку деление обратно умножению, Сунь-цзы не видит надобности в описании правила выполнения этого действия, а ограничивается примерами. Для начала приводится пример правильного соотнесения разрядов конкретных делителя и делимого – 6 и 100. Перед началом операций надо «выдвинуть» (цзинь) делитель под самый высокий разряд и посмотреть, возможно ли деление. В разряде сотен стоит число, меньшее делителя. Значит, деление невозможно, и нужно отступить на одну клеточку вправо. Деление 10 на 6 возможно.

Еще дается пример деления 6561 на 9 (рис. 8). Первая позиция делителя будет соответствовать сотням делимого. Делится 65 сотен на 9. Помимо остатка получатся 7 сотен, которые помещаются в верхнюю позицию. Из делимого вычитается 63 сотни (= 9 х 7 сотен). В средней позиции получается 261. Делитель перемещается в ячейку справа. Если разделить 26 десятков на 9, то помимо остатка получится 2 десятка, которые записываются в позиции частного, суммируясь тем самым с 7 сотнями. Из числа 261 вычитается 18 сотен (= 9 х 2 десятка). Получается число 81, которое записывается в средней позиции. После этого делитель передвигается еще на одну ячейку вправо. Совершается деление остатка делимого на делитель. Получается число 9, которое суммируется с числом в верхней позиции, что дает результат 729. 

Рис.7-8

При рассмотрении операции деления Сунь-цзы вводит важное дополнительное правило, касающееся деления с остатком. В этом случае последняя комбинация палочек на счетной доске должна рассматриваться как «запись» частного, состоящего из целого числа и дроби: делитель берется в качестве знаменателя, а остаток делимого – в качестве числителя.

2. Китайская техника счета, используемая в современной системе образования в Китае и России.

2.1 Китайская нумерация и произношение цифр на русском языке.

В повседневном использовании китайские числа постепенно вытесняются арабскими цифрами, но тем не менее, они продолжают широко применяться. Существует два набора символов — обычная запись для повседневного использования и формальная запись (кит. трад. 大写, пиньинь: dàxiě), используемая в финансовом контексте, например, для заполнения чеков. Более сложные по форме символы, используемые в формальной записи, затрудняют подделку: в европейских странах с той же целью используется сумма прописью. Числа на китайском группируются в определенные разряды. Эта система логична и имеет определенную последовательность. Но не обошлось без своеобразных особенностей, которые сначала кажутся трудными для понимания. В счете от 11 до 19 пишется иероглиф 10 (Шур), к которому прибавляются цифры от 1 до 9. Так, число 15 будет звучать как Шур Вуу (十一). Практически по такой же логике складываются десятки. К числу 10 в этом случае прибавляется цифра, обозначающая количество десятков, в качестве приставки: 20 (二十) будет читаться как Аршур; 30 (三十) – Саншур; 40 (四十) – Сушур и так далее. Числа от 100 и дальше строятся аналогично, в сопоставлении простых цифр. Здесь важно запомнить, как на китайском произносится 100 (一百) – «и бай». Запись цифр представлена в Приложении 1.

2.2. Китайский способ умножения. Метод решетки.

Мы привыкли умножать числа традиционным способом, которому нас учили в школе, записывая числа-множители столбиком. Однако в Китае принято считать иначе. Для созерцательного восточного менталитета важна непременная визуализация. Даже общепризнанные в мире арабские цифры китайцы записывают иероглифами. Именно с особенностью азиатской графической системы связан китайский способ умножения чисел. Давайте рассмотрим его.

Суть китайского метода состоит в визуализации произведения с помощью графического изображения процесса умножения. Другими словами, числа изображаются в виде прямых линий, сотни, десятки и единицы отделяются промежутками и располагаются параллельно друг другу на плоскости. Один из множителей располагается горизонтально сверху вниз, второй — вертикально слева направо. Количество пересечения линий, образующих десятки при умножении двузначных чисел, будет первой цифрой в произведении. Точки пересечения десятков и единиц — вторая цифра результата, количество точек, образовавшихся при пересечении всех единиц - третья цифра.

Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок:

Этот рисунок состоит из 10 линий (количество может быть любым)

·                Вертикальные линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии)

·                Горизонтальные линии обозначают число 13 (1 линия, отступ, 3 линии)

Теперь нужно сосчитать пересечения линий на всех четырех концах следующим способом: (Рис.9). Пересечения на рисунке указаны точками.

Количество пересечений:

• Верхний левый край: 2
• Нижний левый край: 6
• Верхний правый: 4
• Нижний правый: 12

1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа

2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа

3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.

Получается: 2; 10; 12.

Т.к. два последних числа – двузначные, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему: 3(2+1)1(0+1)2

Ответ: 312

Как видно, китайское умножение помогает быстро и эффективно, без калькулятора, умножать двухзначные и трёхзначные числа друг на друга. Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых на одной плоскости, даёт зрительную помощь и подсказку, тогда как способ умножения столбиком подразумевает знание таблицы умножения и требует большого количества арифметических действий в уме. Но при умножении больших чисел этот способ становиться чересчур громоздким и не таким эффективным.

2.3 Ментальная математика

Ментальная арифметика - это программа развития умственных способностей детей от 4 до 16 лет с помощью арифметических вычислений на счетах абакус без использования компьютера, калькулятора и другой вычислительной техники только перекидывая косточки счетов в уме. Обучаясь этой методике, можно решить любые арифметические задачи за несколько секунд (сложение, вычитание, умножение, деление и т.д.) в уме быстрее, чем с помощью калькулятора.

Новаторская методика была придумана турком Шеном. В основу ее положен древний абакус – счеты, придуманные в Китае еще пять тысячелетий назад и которые были рассмотрены в первой главе моей исследовательской работы.

Использование в образовательном процессе древних счетов способствовало формированию новой программы, которая получила название «ментальная арифметика», или «менар». Впервые она была запущена в 1993 году в Азии. В настоящее время действует около пяти тысяч образовательных центров в 50 странах, которые обучают устному счету.

Суть ментальной методики в том, что вся программа по освоению устного счета построена на последовательном прохождении двух этапов. На первом из них происходит ознакомление и овладение техникой выполнения арифметических действий с использованием косточек, во время которых задействованы одновременно две руки. Благодаря этому в процессе участвует как левое, так и правое полушарие. Это позволяет достигнуть максимально быстрого усвоения и выполнения арифметических действий. В своей работе ребенок использует абакус. Этот предмет позволяет ему совершенно свободно вычитать и умножать, складывать и делить, вычислять квадратный и кубический корень.

Во время прохождения второго этапа ученики обучаются ментальному счету, который производится в уме. Ребенок перестает постоянно привязываться к абакусу, что также стимулирует и его воображение. Левые полушария детей воспринимают цифры, а правые – образ костяшек. На этом и основана методика ментального счета. Мозг начинает работать с воображаемым абакусом, воспринимая при этом числа в форме картинок. Выполнение же математического счета ассоциируется с движением косточек.

В настоящее время в Китае все дети в школах проходят курс обучения ментальной арифметике в начальных классах. Данный курс включен арифметику в обязательную программу.

Как отмечают китайские ученики, главное — это регулярные тренировки работе со счетами. Через время дети обучаются устному счету просто представляя суан-пан в уме. Благодаря этому работает не только «рациональное» левое полушарие, но и «творческое» правое. Это значит, что ментальная арифметика — полезный тренажер для всего мозга и гарантия его гармоничного развития.

Как бы ни была трудна на первый взгляд китайская система счёта, тем не менее в России она нашла своё применение и активно набирает популярность, и уже признана одной из инновационных областей образования. 

Ментальная арифметика помогает научиться нестандартно мыслить; способствует развитию логики, мышления, памяти, мелкой моторики; за счет задействования обоих полушарий мозга развивает творческие способности; человек учится быстро решать в уме.

3. Исследование, опрос учащихся. Практическое применение

3.1 Анкетирование учеников

Перед научным исследованием было проведено анкетирование и опрос учеников в 7 «Б» классе МАОУ «Гимназия восточных языков №4».  В анкетировании участвовало 23 ученика.

Ребятам было предложено ответить на несколько вопросов(Приложение 2). Результаты анкетирования приведены в таблице 2 и на Диаграммах 1 и 2:

Таблица 2. Результаты анкетирования

Вопрос	Нет		Да
Знаешь ли ты, что такое Система счисления?	17	74%	6	26%
Знакома ли тебя китайская техника умножения?	20	87%	3	13%
Пользовался ли ты когда-нибудь счетами?	14	61%	9	39%
Слышал ли ты про ментальную арифметику?	15	65%	8	35%

Как видно из Диаграмм 1 и 2, большинство учеников (74%) не знали, что такое Система счисления. 26% учеников, знакомых с системой счисления, ответили, что знают только арабскую.   О китайской системе счисления и технике умножения китайским методом знали только три ученика (13% опрашиваемых). Ментальная арифметика и счеты Абакус знакомы 8 ученикам (35%). Большинство учеников (61%) пользовались только русскими счетами. При умножении все ученики используют метод столбиком, который изучали в начальной школе.

         В опросе ученикам было предложено узнать какое число написано иероглифами? 四千三百二十一. Все ученики (100%) ответили правильно – число 4321. Цифры изучаются на уроках китайского языка, поэтому сложности данный вопрос не вызвал.     

Как показало анкетирование, большинство учеников знакомы только с арабской системой счисления. Изучая китайский язык, все ребята без труда смогли прочитать число, написанное иероглифами.  Но с китайской системой счета, техникой умножения и другими китайскими способами вычислений семиклассники не знакомы.  Так же мало знакома для учеников и ментальная арифметика, не смотря на популярность этой методики в своевременное время в дополнительном образовании.

3.2 Ознакомление с китайскими способами вычислений.

 3.2.1 Ознакомление с китайским методом умножения.

На факультативном уроке математики мною был показан китайский метод умножения, описанный в разделе 2 моей работы. После чего ребятам было предложено использовать этот способ для решения некоторых примеров. После изучения техники счета были проведены несколько экспериментов:

Эксперимент №1

Ученики были поделены на 2 группы по 4 человека.

1 группа решала примеры обычным знакомым способом в столбик

2 группа решала примеры китайским способом умножения.

Время для решения примеров было отведено: 5 минут.

Результат эксперимента (таблица 3 и Диаграмма3):

1 группа способом в столбик смогла решить: 9 примеров.

2 группа китайским методом решетки решила: 5 примеров.

Таблица 3. Эксперимент №1

Способ	Количество примеров
	1 группа	2 группа
Вычисления методом в столбик	9	10
Вычисления китайским методом	5	6

Эксперимент №2

Были вызваны 2 ученика

1 ученик производил вычисления - способом в столбик

2 ученик производил вычисления – китайским способом.

Результат эксперимента приведен в таблице 4 и на Диаграмме 4.

Таблица 4. Эксперимент №2

Способ решения	Время, сек.
Умножение в столбик	20
Китайский метод умножения	22

Вывод: Эксперимент показал, что китайским способом умножения ученики вычисления производят дольше, чем столбиком. Но при хорошей подготовке китайский способ не уступает методу в столбик. Для умножения столбиком необходимо знание таблицы умножения. В китайском же способе достаточно простого подсчета линий, что значительно облегчает решение.

После проведения экспериментов среди участвующих учеников был проведен опрос. Результаты опроса приведены в таблице 5 и на Диаграмме 5.

Таблица 5.  Результаты опроса.

Вопрос	Ответ:
	Нет	Да
- Понравилась ли тебе китайская система счета	13	10
- Считаешь ли ты сложным данный метод?	18	5
- Будешь ли использовать китайский способ умножения?	15	8

Вывод: из проведенного анализа видно, что многих ребят (57%) китайский способ умножения заинтересовал, но данный метод показался очень сложным и громоздким.  Использование данного метода посчитали возможным только для решения несложных примеров. Большинство учеников (65%) отметили, что привычный метод столбиком удобнее. Но многие ученики все-таки китайский способ решили применять в вычислениях в будущем.  

3.2.2 Ознакомление с ментальной арифметикой

После изучения китайского метода умножения мною было рассказано о ментальной арифметике и счетах Абакус. На урок был приглашен ученик 4го класса, изучающий ментальную арифметику на дополнительных занятиях. Четвероклассник показал использование китайские счеты при вычислениях.

Для ребят было предложено провести эксперимент.

Эксперимент №3

Объект исследования: три ученика 7 класса и ученик 4 класса, занимающий ментальной арифметикой.

 Задание: произвести математический расчёт примеров на время, используя 4 способа вычисления: устно, столбиком, на калькуляторе и используя китайские счеты Абакус.

Результаты эксперимента приведен в Таблице 6 и на Диаграммах 6 и 7

Таблица 6.  Эксперимент №3

Способ решения	Затраченное время, сек.		Среднее время, сек
	1 пример 67-12+55	2 пример 45+60-10
Устно	13,63	9,26	11,44
Калькулятор	7,14	7,29	7,21
В столбик	13,39	11,08	12,23
на счетах Абакус	11,2	10,15	10,67

 

 

Как видно из таблицы и Диаграмм 6 и 7, в зависимости от сложности примера скорость решения отличается при применении различных способов счета. В первом варианте быстрее найден ответ был при помощи калькулятора и счетов Абакус. Но считая на калькуляторе, ученик, показав высокую скорость, ошибся в вычислениях и показал неверный результат. Используя счеты Абакус и свое воображение, ученик показал верный и наилучший результат. Сложнее оказалось посчитать ученикам устным счетом и столбиком.

При решении второго примера способом устного счета ученик посчитал быстрее. Больше всего времени было затрачено на решение способом в столбик.

Вывод: Результаты эксперимента показывают, что время для подсчета на абакусе меньше, чем использование устного счета и столбиком. Данный метод имеет свое преимущество в том, что используется воображение и память.

После проведения экспериментов среди ребят было проведено заключительное анкетирование (Таблица 7):

Таблица 7.  Результаты анкетирования

Вопрос	Ответ: Нет	Ответ: Да
- заинтересовала ли тебя ментальная арифметика	17	6
- как считаешь помогла бы ментальная арифметика в учебе?	20	3
- как ты считаешь нужно ли изучать ментальную арифметику в школе	15	8

Результаты опроса показали, что китайская система счета учеников заинтересовала. Многие хотели бы продолжить изучать методы китайского счета для дальнейшего развития своих навыков и применения их на уроках и в жизни.

3.3 Практическое применение на факультативных занятиях

Анализируя изученный материал, данные опросов учеников и мои исследования, я пришел к выводу, что изучение математики Древнего Китая, а также системы китайского счета и техник математических вычислений имеет большой потенциал в обучении, будет способствовать повышению интереса к математике, развитию логического мышления и интеллекта, а также расширит кругозор и по другим предметам, таких как история зарубежных стран и в изучении китайского языка.

В связи с этим представленный мною материал может быть использован на факультативных уроках математики и китайского языка. А также на дополнительных мероприятиях: неделя математики, математические вечера, викторины, интеллектуальные конкурсы, олимпиады и т.д.

Для этих целей мною разработано учебно-методическое пособие «Считаем по-китайски». Материал представлен в виде брошюры. (Приложение 3)

Данное пособие предназначено для учеников общеобразовательной школы, но будет интересна и взрослым людям.

 Подходит как для групповых занятий с преподавателем, так и для самостоятельного изучения.

Основные задачи пособия:

- углубление и расширение знаний в области математики, истории Китая, китайского языка.

- освоение основных способов китайского счета;

- развитие интереса учащихся к предмету математика;

-развитие математических способностей, логического мышления, интеллекта, памяти, творческих умений и навыков.

Методическое пособие «Считаем по-китайски» содержит краткий теоретический материал по истории математики Древнего Китая, разъяснение техники китайского счета методом Решетки, тренировочные задания, древнекитайские задачи, кроссворд и интересные факты о цифрах.

Считаю актуальность применения данного пособия на факультативных занятиях не только в Гимназии восточных языков №4, но и в других школах.

Заключение

В ходе моего исследования я изучил китайскую систему счета, которая возникла еще четыре тысячи лет назад и изначально была позиционной и десятичной, то есть принципиально не отличалась от нынешней общепринятой системы счисления.

В древние времена математики демонстрировали простейшие арифметические вычисления при помощи счётных палочек, которые выкладывали на специальной доске. Так появилась одна из наиболее ранних систем записи чисел, которая представляла собой комбинации горизонтальных и вертикальных палочек.

Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н. э., и окончательно установились к III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Вычисления производились на специальной счётной доске суаньпань (абак), но и не потеряли свою популярность и в современное время в обучении математики.

В ходе исследовательской работы все поставленные мной задачи были решены: я рассмотрел историю возникновения и описал некоторые способы счёта, провел исследования и эксперименты использования техник китайского счета.

Результаты исследований показали, что китайская система счета и техника вычислений вызывает большой интерес и имеют большой потенциал в обучении.

Разработанное мною методическое пособие может быть использовано на факультативных уроках математики и дополнительных образовательных мероприятиях с целью углубления и расширение знаний, развития математических способностей, логического мышления, интеллекта, памяти, творческих умений и навыков.

Список литературы

1.Березкина Э. И. Математика древнего Китая. М., 1980.

2.История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. М.: Наука, 1970. ‒ Т. II.

3.Кобзев А. И. Учение о символах и числах в китайской классической философии. М., 1994.

4.Рыбников К. А. История математики. М., 1994

5. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение / С.Б. Гашков. -

МЦНМО, 2004.

6. Бендукидзе А.Д. О системах счисления // Квант - 1975 - №8 - с 59-61.

7. Рутчина Л. В. Внеурочная деятельность. Занятие кружка по математике в 6 классе по теме: «Необычные способы умножения» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2015. – Т. 6. – С. 161–165.М., 1970.

8. Чистяков В.Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями. 1962.

9. О.С. Шейнина, Г.М. Соловьева Математика. Занятия школьного кружка 5 - 6 класса, М.: НЦ ЭНАС, 2001 П.В.Чулков Математика. Школьные олимпиады.5-6 класс. М.: НЦ ЭНАС, 2004

10. Энциклопедия “ВикипедиЯ” [Электронный ресурс].