Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по математике "Фигурные числа"

Исследовательская работа по математике "Фигурные числа"


  • Математика

Название документа figurnie-chisla.pptx

Поделитесь материалом с коллегами:

Фигурные числа МБОУ Кишкинская СОШ Учитель математики : Кузьмина Нина Юрьевна...
В мире нет места для некрасивой математики. Г. Харди
Целью работы является знакомство с основными теоретико – числовыми доказател...
История возникновения фигурных чисел.
Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на...
Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впер...
Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироз...
Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, к...
В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказан...
Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фиг...
Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя,...
Квадратные числа (4,9,16). Пятиугольные числа (5, 12, 22) Именно от фигурных...
(пятиугольные числа 12, 5) Очень интересны кубические числа, возникающие при...
Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чт...
Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметич...
Хочу отметить, считается, что именно от фигурных чисел пошло выражение «Возв...
Выводы Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам: Фигурные ч...
Фигурные числа и наше время
Список использованной литературы:  Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука....
Спасибо за внимание
1 из 23

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Фигурные числа МБОУ Кишкинская СОШ Учитель математики : Кузьмина Нина Юрьевна
Описание слайда:

Фигурные числа МБОУ Кишкинская СОШ Учитель математики : Кузьмина Нина Юрьевна 2015 год Проектно-исследовательская работа с учащимися 5 класса

№ слайда 2 В мире нет места для некрасивой математики. Г. Харди
Описание слайда:

В мире нет места для некрасивой математики. Г. Харди

№ слайда 3 Целью работы является знакомство с основными теоретико – числовыми доказател
Описание слайда:

Целью работы является знакомство с основными теоретико – числовыми доказательствами фигурных чисел. В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи: - изучить историю происхождения фигурных чисел; - рассмотреть виды фигурных чисел; - рассмотреть плоские и пространственные фигурные числа. Методы исследования: - обработка и анализ научных источников; - анализ научной литературы и пособий по исследуемой проблеме.

№ слайда 4 История возникновения фигурных чисел.
Описание слайда:

История возникновения фигурных чисел.

№ слайда 5 Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на
Описание слайда:

Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что–нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть «прямоугольными».

№ слайда 6 Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впер
Описание слайда:

Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками, а вместе с ним Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине греки не знали нуля, т. к. его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень».

№ слайда 7 Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироз
Описание слайда:

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл и другие. Диофант Александрийский написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

№ слайда 8 Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, к
Описание слайда:

Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счёта на камушках.

№ слайда 9 В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказан
Описание слайда:

В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем. В Новое время фигурными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал в 1670 году так называемую «золотую теорему»:

№ слайда 10 Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фиг
Описание слайда:

Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными. Определение и виды фигурных чисел.

№ слайда 11 Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя,
Описание слайда:

Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию. Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3). Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2∙2∙2). Треугольные числа (3, 6, 10).

№ слайда 12 Квадратные числа (4,9,16). Пятиугольные числа (5, 12, 22) Именно от фигурных
Описание слайда:

Квадратные числа (4,9,16). Пятиугольные числа (5, 12, 22) Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

№ слайда 13 (пятиугольные числа 12, 5) Очень интересны кубические числа, возникающие при
Описание слайда:

(пятиугольные числа 12, 5) Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000 и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят: "два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"? Кубические числа

№ слайда 14 Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чт
Описание слайда:

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …

№ слайда 15 Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметич
Описание слайда:

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах: 5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.

№ слайда 16 Хочу отметить, считается, что именно от фигурных чисел пошло выражение «Возв
Описание слайда:

Хочу отметить, считается, что именно от фигурных чисел пошло выражение «Возведение в квадрат или куб». Посмотрите: 1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и т.д. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91…

№ слайда 17 Выводы Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам: Фигурные ч
Описание слайда:

Выводы Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам: Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур; Выделяются несколько видов данных чисел; Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов Фигурные числа – это интересно!

№ слайда 18 Фигурные числа и наше время
Описание слайда:

Фигурные числа и наше время

№ слайда 19
Описание слайда:

№ слайда 20
Описание слайда:

№ слайда 21
Описание слайда:

№ слайда 22 Список использованной литературы:  Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука.
Описание слайда:

Список использованной литературы:  Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6. Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005

№ слайда 23 Спасибо за внимание
Описание слайда:

Спасибо за внимание

Название документа Исследовательская работа Фигурные числа - Колесникова Елена Ивановна.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1 Г.СКОВОРОДИНО





Школьная научно-практическая конференция «Ступени в мир наук »



Секция «Математика»



ТЕМА РАБОТЫ

« Фигурные числа»



Подготовил:

Колесников Владислав Юрьевич

Учащийся 5 класса МБОУ СОШ № 1 г.Сковородино





Руководитель:

Колесникова Елена Ивановна

Учитель математики МБОУ СОШ № 1 г.Сковородино







г.Сковородино – 2015 год

Содержание

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ…………………………………………………………….5

1.1. История возникновения фигурных чисел………………………………….5

1.2. Определение , виды и формулы фигурных чисел…………………………6

1.3. Применение фигурных чисел в жизни человека…………………………14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………….........18

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………….19

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………….20



































ВВЕДЕНИЕ

«Числа правят миром» Пифагор.

На уроке математики нам было дано задание, подготовить сообщение «В мире чисел». Заглянув в интернет, я пришёл в изумление, как разнообразен мир чисел, о котором до сих пор мы знали только маленькую часть. Весь класс подготовил сообщения, темы которых практически не повторялись. Я выбрал тему «Фигурные числа». Само название темы вызвало мой интерес, как это числа могут быть фигурными? Во время моего выступления, ребята задали вопрос « А зачем нам нужны фигурные числа?», «Все ли числа можно представить в виде геометрических фигур?». Так возникла проблема, решением которой я занялся в данной работе. Использование наглядности в процессе экспериментальной части работы, как нельзя актуально в области применения математики в практической жизни. Для меня значение данной исследовательской работы заключалось в том, что проводя эксперимент по составлению фигурных чисел, я увидел, как можно их записать в виде формул.

Объект исследования: фигурные числа.

Предмет исследования: формулы фигурных чисел и их применение в математике и в жизни человека.

Цель работы: изучить и исследовать понятие – фигурное число, формулы фигурных чисел и выяснить их роль в жизни человека.

Задачи:

1. Изучить литературу по истории возникновения фигурных чисел.

2. Классифицировать виды фигурных чисел и формулы, которыми задаются некоторые плоские виды фигурные числа.

3. Рассмотреть применение фигурных чисел в математике и жизни человека.



Методы исследования:

- поисковый метод: использование литературы, поиск информации в сети Интернет;

- экспериментальный метод: выполнение построений фигурных чисел;

- анализ: систематизация полученных в ходе исследования данных, подведение итогов.

Гипотеза:

Любое натуральное число можно представить в виде геометрической фигуры.










ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

    1. История возникновения фигурных чисел.

« Природа полна аналогий, и в любой отрасли человеческого знания можно найти бесчисленные метафоры для обозначения феноменов, наблюдаемых в какой – либо другой области. Именно так обстоит дело с числами и геометрией, двумя краеугольными камнями греческой науки» [1., С.22]. Первые сведения о фигурных числах появились ещё с древних времён. В древности люди часто считали с помощью камешков и увидели, что иногда камешки можно было сложить в виде правильной геометрической фигуры. Древние греки, изучали свойства геометрических фигур и целых чисел и старались объединить этих два понятия. Грекам было известно, что два квадрата геометрически подобны, так же как и два равносторонних треугольника – в общем виде подобны два любых равносторонних многоугольника с одинаковым числом сторон. Основываясь на геометрическом подобии, греки стали рассматривать числовое подобие и в дальнейшем потратили много времени на изучение фигурных чисел. Понятие фигурных чисел восходит к пифагорейцам (VIV в. до н.э.), Пифагор много сделал для развития науки и более подробно рассмотрел теорию треугольных чисел. Так же встречаются упоминания о фигурных числах и у других греческих учёных: Эратосфена ( IIIII в. до н.э.), Никомаха (III в. до н.э.), Диофанта (III в. до н.э.). Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение k-угольного числа как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна ( n – 2 ). Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), установившие ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы : Фибоначчи, Пачоли, Кардано и другие.

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие.

Таким образом, человечество давно знакомо с фигурными числами. Понятие которых, произошло из практических представлений. И до сих пор представляет интерес для наглядной иллюстрации вывода некоторых математических формул.


1.2. Определение, виды и формулы фигурных чисел

«Фигу́рные чи́сла — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Эти числа можно изобразить на плоскости (или в пространстве) в виде правильного многоугольника (многогранника) с помощью точек или шаров одинакового размера.»[ 2 ]

Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа — числа, не раскладывающиеся на множители, то есть простые числа, дополненные единицей:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

hello_html_7031e21c.png( Рис. 1 - линейное число 5)

Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Например: 4 = 2 · 2; 6 = 2 · 3 ; …

hello_html_432b0623.png( Рис.2 - плоское число 6)





Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:

8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

Например: 8 = 2 · 2 · 2 ; 12 = 2 · 2 · 3; …

hello_html_6fd9dd58.png( Рис.3 - телесное число 8)

Многоугольные числа:

- Многоугольные числа правильных многоугольников;

- Многоугольные числа неправильных многоугольников;

- Центрированные многоугольные числа;

- Многомерные фигурные числа.[ 2 ]


Остановимся более подробно на исследовании первых двух видов многоугольных чисел. Чтобы убедиться в существовании этих чисел была проведена практическая-экспериментальная работа. (Приложение1.)

Многоугольные числа правильных многоугольников.

  1. Треугольные числа - это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника. Какой же вид имеют треугольные числа? Заметим, что
    1 = 1

3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
 . . .

hello_html_6e75907.pngЭта закономерность сохраняется и дальше. Можно вывести формулу для получения треугольных чисел:

Тn = 1 + 2 + 3 + ... + n.

 На вид она довольно проста, но для вычислений не пригодна, поэтому представим ее в другом виде. Дополним треугольное число n до прямоугольного числа со сторонами n и (n+1) ( рис 1.), теперь можно увидеть (именно увидеть глазами!) равенство 1+2+3+…+ n = n(n+1).

Второй способ: Чтобы придать ей более удобную для вычисления форму, заметим, что в правой части равенства равноудалённые от начала и конца слагаемые в сумме дают одно и то же число, а именно n+1. Напишем нашу формулу два раза, поменяв во втором случае порядок слагаемых на обратный:

Тn = 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n,

Тn = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1 . Сложим «столбиком»

2 Тn = n (n + 1),

откуда Тn = n (n + 1).

Применённый здесь метод «спаривания» слагаемых блестяще применил в шестилетнем возрасте мальчик Карл, который впоследствии стал великим Карлом Фридрихом Гауссом, прозванным «королём математики» ещё при жизни.

  1. Квадратные числа – это число кружков расставленных в форме квадрата. Формулу квадратных чисел легко увидеть из левого столбика следующих равенств:

1= 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

В итоге получена формула: hello_html_m22f65fd7.png = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) .

  1. Получение пятиугольных чисел запишем следующими равенствами:

1 = 1

5 = 1 + 4

12 = 1 + 4 + 7

22 = 1 + 4 + 7 + 10

hello_html_51e3f8a9.pngЧтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется еще n точек, как показано на рисунке

( рис 2). В результате получаем, что n - е пятиугольное число равно . 1+4+7+…+3n-2= n+3 hello_html_262a2f46.png = hello_html_m5313c810.png.

Второй способ: Для вывода формулы требуются знания темы арифметическая прогрессия, которая изучается в 9 классе. Поэтому я воспользуюсь готовой формулой: Пn =1+ 4+ 7 + 10 + … + (3n – 2) = hello_html_14833ae6.png

  1. Запишем, как получить шестиугольные числа:

1 = 1

6 = 1 + 5

15 = 1 + 5 + 9

28 = 1 + 5 + 9 + 13

Применяя знания формул арифметической прогрессии можно вывести формулы шестиугольных чисел и соответственно любых k – угольных чисел.

Запишем эти формулы:

Шестиугольное число:hello_html_bc64b5a.png

k – угольное число: hello_html_4e21bc49.png

Многоугольные числа неправильных многоугольников.

Прямоугольное число — это число, являющееся произведением двух последовательных целых чисел, то есть, n (n + 1).

2 = 1 · 2

6 = 2 · 3

12 = 3 · 4

20 = 4 · 5


Результаты практической – экспериментальной работы представлены в таблицах.

Таблица 1. Многоугольные числа правильных многоугольников.


Треугольные числа.


1

3

6

10

hello_html_m19836129.png

hello_html_3bae1de3.jpg

  1. Квадратные числа.


1

4

9

16

hello_html_m6a5331a1.png


hello_html_53d603d4.jpg

1 4 9 16

  1. Пятиугольные числа.


1

5

12

22

hello_html_275a26d8.png

hello_html_5192bb38.gif

  1. Шестиугольные числа.

1

6

15

28

hello_html_7c0398ad.png

hello_html_1aa01847.gif

  1. k – угольные числа.

1

k

3k – 3


6k - 8

hello_html_3c72b898.png


Таблица 2. Многоугольные числа неправильных многоугольников.


hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png
hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png

hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png
hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png
hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png

hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png
hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png
hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png
hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png hello_html_m758e5865.png

1×2

2×3

3×4

4×5






Таблица 3. Вывод:

Итак, каждое натуральное число, кроме числа 2 можно представить в виде правильного многоугольника, число 2 можно представить в виде прямоугольника. Некоторые числа можно представить в виде нескольких правильных многоугольников.

Ферма сформулировал в 1670 году так называемую «золотую теорему»:

Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;

Таблица 4.

Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел;

Таблица 5.

Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел.

Таблица 6.

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году. [ 2 ]

Проведённые мною практические эксперименты и данные теоремы полностью подтверждают выдвинутую мною гипотезу.

    1. Применение фигурных чисел в жизни человека.

  1. Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах: 5· 2=2·5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a·b=b ·a. hello_html_m17ff182c.png

(Рис 4.- переместительное свойство умножения)

Наглядная иллюстрация переместительного и сочетательного свойств умножения применяется в учебнике Н.Я.Виленкина «Математики 5» . (Приложение 2.)

  1. Если «шарики», образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число a·b: автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S = ab. hello_html_m46fc7481.jpg







(Рис. 5 – площадь прямоугольника)

  1. Одной из основных геометрических фигур, известных с глубокой древности, является пифагорейский Тетрактис. Когда неофиты вступали в ряды пифагорейской общины, они присягали именно на Тетрактисе, и потом проводили 3 года в молчании, слушая старших и вдумываясь в мудрость этой сакральной фигуры. Тетрактис представляет из себя треугольную фигуру, где в четырех рядах последовательно расположены 10 точек: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

hello_html_3dad7ad0.jpg



( Рис.6 – тетрактис)

Сейчас в математике существует понятие треугольная матрица, напоминающая тетрактис, которая используется для решения систем уравнений.

Широко использовался тетрактис и в исламских орнаментах, где на его основе выстраивались замысловатые узоры. hello_html_398feb5e.png

(Рис. 7 – орнамент)

  1. Фигурные числа также имеют эстетическое значение в жизни человека. Гармоничное сочетание цветов представлено на рисунке в форме треугольного числа 6.

hello_html_m41f3dd6.jpg







(Рис.8 – гармония цвета)

  1. В повседневной жизни человека также можно встретить разнообразие фигурных чисел. Товар складывают и упаковывают в коробки, тоже в форме фигурных чисел.

hello_html_7b0b5da1.jpg

На рынках очень красиво выглядят ряды овощей и фруктов выложенные в форме фигурных чисел.

hello_html_m555fec98.jpg





Ряды войск на параде представляют собой фигурные числа, самолёты выстраиваются в форме треугольников.hello_html_68c5b7ad.jpghello_html_m6751fbc2.jpg



























ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Пифагорейцы наделяли числа магическими свойствами. И действительно, в их руках, под их взором, математика обращалась в магию.

В своей работе я хотел показать, что самые обычные и знакомые нам натуральные числа — можно увидеть совсем в ином свете.

Сам Пифагор говорил об этом: "Все вещи суть числа". И для пифагорейской школы это был девиз, которым они руководствовались всегда и везде.

В процессе работы я изучил историю возникновения фигурных чисел, рассмотрел виды фигурных чисел. В ходе практической части своей работы вывел некоторые формулы многоугольных фигурных чисел. И подтвердил выдвинутую гипотезу, что любое натуральное число можно представить в виде многоугольника.

Подводя итоги работы, я пришёл к выводу, что Фигурные числа – это не только красиво, увлекательно и интересно, но значимо. Фигурные числа вокруг нас, они помогают нам понять законы математики, наглядно увидеть вывод математических формул. Фигурные числа – это удобно и рационально в использование в быту и повседневной жизни человека. Каждый из вас тоже может поэкспериментировать с фигурными числами и найти ещё много интересного в разделах: Центрированные многоугольные числа; Многомерные фигурные числа. Для этого вы можете взять любые круглые предметы одинаковой формы и размера, например кнопки, пуговицы, магниты и т.д. И возможно вам удастся сделать свои маленькие открытия.






СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. М. Газале «Гномон. От фараонов до фракталов» Москва-Ижевск 2002г.

  2. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. https://ru.wikipedia.org/wiki/Фигурные_числа

  3. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э-68 А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.

  4. Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова

  5. Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.




















ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1.

Фотографии практической работы.

hello_html_50eefdb.jpg




(Фото 1.Треугольные числа)




hello_html_711e4766.jpg




(Фото 2. Квадратные числа)





hello_html_m2549b723.jpg



(Фото 3. Пятиугольные числа)






hello_html_m760d4bc9.jpg



( Фото 4. Шестиугольные числа)





hello_html_18360db7.jpg















(Фото 5. )

hello_html_m761b327a.jpg





(Фото 6.)





Приложение 2.hello_html_918b2c8.png











hello_html_395f60c0.png











hello_html_164a04c6.png













22

Название документа Фигурные числа, Теплова Ксения.pptx

Поделитесь материалом с коллегами:

Фигурные числа МБОУ «Лицей г. Абдулино» Учитель математики :Ягодкина Зоя Генн...
В мире нет места для некрасивой математики. Г. Харди
Целью работы является знакомство с основными теоретико – числовыми доказател...
История возникновения фигурных чисел.
Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на...
Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впер...
Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироз...
Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, к...
В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказан...
Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фиг...
Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя,...
Квадратные числа (4,9,16). Пятиугольные числа (5, 12, 22) Именно от фигурных...
(пятиугольные числа 12, 5) Очень интересны кубические числа, возникающие при...
Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чт...
Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметич...
Хочу отметить, считается, что именно от фигурных чисел пошло выражение «Возв...
Выводы Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам: Фигурные ч...
Фигурные числа и наше время
Список использованной литературы:  Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука....
Спасибо за внимание
1 из 23

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Фигурные числа МБОУ «Лицей г. Абдулино» Учитель математики :Ягодкина Зоя Генн
Описание слайда:

Фигурные числа МБОУ «Лицей г. Абдулино» Учитель математики :Ягодкина Зоя Геннадьевна 2016 год Проектно-исследовательская работа с учащимися 5 класса

№ слайда 2 В мире нет места для некрасивой математики. Г. Харди
Описание слайда:

В мире нет места для некрасивой математики. Г. Харди

№ слайда 3 Целью работы является знакомство с основными теоретико – числовыми доказател
Описание слайда:

Целью работы является знакомство с основными теоретико – числовыми доказательствами фигурных чисел. В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи: - изучить историю происхождения фигурных чисел; - рассмотреть виды фигурных чисел; - рассмотреть плоские и пространственные фигурные числа. Методы исследования: - обработка и анализ научных источников; - анализ научной литературы и пособий по исследуемой проблеме.

№ слайда 4 История возникновения фигурных чисел.
Описание слайда:

История возникновения фигурных чисел.

№ слайда 5 Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на
Описание слайда:

Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что–нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть «прямоугольными».

№ слайда 6 Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впер
Описание слайда:

Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками, а вместе с ним Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине греки не знали нуля, т. к. его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень».

№ слайда 7 Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироз
Описание слайда:

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл и другие. Диофант Александрийский написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

№ слайда 8 Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, к
Описание слайда:

Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счёта на камушках.

№ слайда 9 В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказан
Описание слайда:

В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем. В Новое время фигурными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал в 1670 году так называемую «золотую теорему»:

№ слайда 10 Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фиг
Описание слайда:

Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными. Определение и виды фигурных чисел.

№ слайда 11 Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя,
Описание слайда:

Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию. Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3). Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2∙2∙2). Треугольные числа (3, 6, 10).

№ слайда 12 Квадратные числа (4,9,16). Пятиугольные числа (5, 12, 22) Именно от фигурных
Описание слайда:

Квадратные числа (4,9,16). Пятиугольные числа (5, 12, 22) Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

№ слайда 13 (пятиугольные числа 12, 5) Очень интересны кубические числа, возникающие при
Описание слайда:

(пятиугольные числа 12, 5) Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000 и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят: "два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"? Кубические числа

№ слайда 14 Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чт
Описание слайда:

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …

№ слайда 15 Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметич
Описание слайда:

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах: 5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.

№ слайда 16 Хочу отметить, считается, что именно от фигурных чисел пошло выражение «Возв
Описание слайда:

Хочу отметить, считается, что именно от фигурных чисел пошло выражение «Возведение в квадрат или куб». Посмотрите: 1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и т.д. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91…

№ слайда 17 Выводы Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам: Фигурные ч
Описание слайда:

Выводы Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам: Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур; Выделяются несколько видов данных чисел; Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов Фигурные числа – это интересно!

№ слайда 18 Фигурные числа и наше время
Описание слайда:

Фигурные числа и наше время

№ слайда 19
Описание слайда:

№ слайда 20
Описание слайда:

№ слайда 21
Описание слайда:

№ слайда 22 Список использованной литературы:  Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука.
Описание слайда:

Список использованной литературы:  Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6. Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005

№ слайда 23 Спасибо за внимание
Описание слайда:

Спасибо за внимание

Название документа Фигурные числа, исслед. работа Тепловой Ксении.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей г. Абдулино»»

Абдулинского района Оренбургской области

















ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА

Исследовательская работа



















Выполнила: ученица 5 «А» класса Теплова Ксения А. Руководитель: учитель математики

Ягодкина З. Г.

2016 г





Содержание:

1. Введение 4

2.Основная часть 5

Из истории 5

Классы фигурных чисел 6

Теория фигурных чисел 6

Применение фигурных чисел в жизни человека 7

3.Заключение 8

4.Список литературы 9

5.Приложение 10








































Фигурные числа

Введение

ВЫСШАЯ МУДРОСТЬ – ЭТО НАУКА О ЧИСЛЕ

Платон

С начальных классов я знала числа, которые были двузначными, трехзначными, четырехзначными ит.д. Знала, на какие разряды и классы делятся числа. Например, есть класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов и еще некоторое количество классов. В 5 классе я узнала новое: числа еще бывают натуральными, дробными, смешанными. Узнала несколько свойств чисел. Тут мне стало интересно: «А может, существуют еще какие-либо числа, которые я смогу найти в дополнительных источниках?»

Объект исследования: фигурные числа.

Предмет исследования:использование фигурных чисел в математике и в повседневной жизни.

Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурные числа; изучить процесс закономерности построения плоских фигурных, пространственных фигурных чисел и выявить их роль в нашей жизни.

Задачи:

  1. Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.

  2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел

  3. Изучить классы фигурных чисел; формулы, которыми задаются плоские фигурные числа.

  4. Рассмотреть их применение в жизни человека.

  5. Приобрести опыт выступления перед публикой.

Когда я впервые прочитала о существовании фигурных чисел, задумалась: «Почему числа фигурные?». Наверное, эти числа как-то связаны с фигурами?

Методы исследования:

поисковый метод: использование научной и учебной литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод: выполнение построений фигурных чисел; поиск фигурных чисел вокруг нас, т.е. в повседневной жизни; опрос обучающихся и взрослых по этой теме;

социологический опрос учеников и взрослых в школе;

анализ полученных в ходе исследования данных и подведение итогов.








Основная часть

1.Анализ литературы

Я долго искала информацию: смотрела и читала энциклопедии, различные книги и журналы, искала информацию в сети Интернет и очень много нового узнала. Через некоторое время я нашла числа, которые назывались фигурными числами, о которых немного читала в своем учебнике математики. Мне важно было изучить фигурные числа, мне эти числа показались очень интересными, потому что часто их использование мы видим не только в математике, но и в окружающей жизни. И кроме этого, в математике существует еще много других видов чисел.

2.Из истории

Давным-давно, помогая себе при счете камешками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камешков.

Можно просто класть камешки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, получатся все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными".

А что, если складывать треугольник? Треугольник получается из трех камешков: два в нижнем ряду, один в верхнем: в ложбинке, образованной двумя нижними камнями. Если добавить камень в нижний ряд, появится еще одна ложбинка; заполнив ее, мы получим ложбинку, образованную двумя камешками второго ряда; положив в нее камень, мы наконец получим треугольник. Итак, нам пришлось добавить три камешка. Следующий треугольник получится, если добавить четыре камешка. Выходит, что на каждом шаге мы добавляем столько камней, сколько их становится в нижнем ряду. Если теперь считать, что один камень - это тоже треугольник, самый маленький, у нас получится такая последовательность чисел: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.

Итак, фигурные числа – это общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Эти числа можно изобразить на плоскости (или в пространстве) в виде правильного многоугольника (многогранника) с помощью точек или шаров одинакового размера. Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке.

По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа.. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т.о. пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа. Числа камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический: с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами.

В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д. Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Паскаль и П. Ферма.

Классы фигурных чисел

Среди фигурных чисел различают:

Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию:

Линейные числа 3, 5

Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:

Плоское число 6

Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей:

Телесное число 8

Треугольные числа

Квадратные числа

Пятиугольные числа

Среди пространственных фигурных чисел можно выделять еще тетраэдрические, пирамидальные числа, кубические, квадратно-пирамидальные

Теория фигурных чисел

Именно от фигурных чисел пошло выражение "Возвести число в квадрат или куб".

Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n-угольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел 1+2+3+...+n, достаточно дополнить это число до прямоугольного числа n(n+1) и увидеть (именно глазами!) равенство которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел – от первого до n-го.

Написав последовательность квадратных чисел, опять легко увидеть глазами выражение для суммы n нечётных чисел 1+3+5+…+(2 n-1) = n2 .

Разбивая n-е пятиугольное число на три (n-1) треугольных, (после чего остаётся ещё n камешков), легко найти его общее выражение 1+4+7+…+3 n-2= n+3=.

Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n- го k-угольного числа: =n+(k-2).

Формулы фигурных чисел

Данные моих опросов

В своей школе я провела опрос среди учащихся и взрослых: известны ли им фигурные числа? Об этих числах знают все 3 учителя математики; среди других учителей 2 задумались и кое-что

Применение фигурных чисел в жизни человека

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

  • При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.

  • При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.

  • Упаковка конфет в форме линейного числа

  • На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа).

  • Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа.

  • Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах.

Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

  • Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости.

  • Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок …

  • К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра около пушки.

  • Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол. Смотрите презентацию







Заключение

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Итак, фигурные числа — общее в каждом классе название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.

Не только фигурные числа нужны нам для вычисления, но и те числа, которые входят в нашу повседневную жизнь. Числа мы используем в годе нашего рождения, говорим, сколько лет прошло, в каком классе мы учимся или же какова температура в доме. Мы можем посчитать животных или сколько шагов от дома до школы.

Таким образом, числа присутствуют везде, независимо от того, в чем их различие. С числами и другими величинами измерения связана наша повседневная жизнь.

В процессе работы по данной проблеме я добилась цели, поставленной в начале исследования: изучила и исследовала фигурные числа - одно из понятий математики. Но эту работу можно еще и продолжить, т.к. существует еще множество пространственных фигурных чисел, из которых можно выделить целые классы.

Подводя итог работы, пришла к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны. Каждый из вас тоже может попробовать выложить фигурные числа в домашних условиях. Для этого вы можете взять теннисные шарики, горох, кнопки, пуговицы или, например, вишню. А можно просто рисовать на бумаге.

Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам:

Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;

Выделяются несколько видов данных чисел;

Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов

Фигурные числа – это интересно!






СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
    - М.: Мнемозина, 2008.

  2. Волошинов А.В. Пифагор: Союз истины, добра и красоты.
    – М.: Просвещение, 1993.

  3. Энциклопедический словарь юного математика/ Составитель А.П.Савин.
    – М.: Педагогика, 1985

  4. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%E8%E3%F3%F0%ED%FB%E5_%F7%E8%F1%EB%E0













































Приложение:

Приложение_1

hello_html_m70713670.jpgЛинейное число 3

hello_html_m9cddbc4.jpgЛинейное число 5

Приложение_2

hello_html_4155c887.png

Приложение_3

hello_html_m5709b052.jpg

Приложение_4 hello_html_m5b5cefa4.jpg

hello_html_834a454.jpg

Приложение_5 hello_html_m45e1f02c.jpg



hello_html_m199e90fa.jpg

Приложение_6

hello_html_1d02665e.pnghello_html_m1bf3331f.jpg

Приложение_7

hello_html_m510e6e1f.jpg

Приложение 8

hello_html_3a1dd3db.gif

Приложение_9hello_html_mb777caa.gif



Приложение_10hello_html_m6634274d.png



Приложение_11hello_html_m9646d8f.png

Приложение_12



15


Автор
Дата добавления 29.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров415
Номер материала ДБ-400372
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх