Исследовательская работа по математике "Флексоры и флексагоны"

IX муниципальная научно-практическая конференция «В науку первые шаги»          Флексагоны и флексоры исследовательская работа предмет: математика                                                                        Подготовили ученицы 6-а класса МБОУСОШ с углубленным изучением  отдельных предметов    с. Тербуны:                                                                                    Фурсова Анна Сергеевна и                                                                            Пахарева Дарья Алексеевна Руководитель :  Кирикова Марина Александровна учитель математики  первой квалификационной категории МБОУСОШ с углубленным изучением  отдельных предметов  с. Тербуны

                                           Оглавление

Введение ……………………………………………………………      3

 1. История возникновения флексагонов и флексоров…………         5

 2. Построение и исследование флексагонов ……………………       8

 3. Построение и исследование флексоров  ………….………….      12

 4. Применение флексагонов и флексоров ………………………      15

 5.Социологический опрос…………………………………….....       17

Вывод………………………………………………………………    18

Список литературы ………………………………………………     20

Приложение………………………………………………………      21

                                                       Введение

                    "Геометрия является самым могущественным

 средством для изощрения наших умственных

способностей и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать"

Галилео Галилей                                                                                          

       Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику интересной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

       Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной и моя исследовательская работа «Флексагоны и флексоры» это подтверждает.

       Интерес к головоломкам подтолкнул меня к более серьезному изучению и анализу, простых казалось бы вещей. Появилось желание не только повторить уже известные факты, но и додумать что-то самим. Стали понятны слова Д. Пойа: «Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому». Так появилась цель работы: изучить мир флексагонов и флексоров.

       Задачи:

1)изучить и проанализировать литературу, материалы в сети Интернет;

2)дать понятие терминам «флексагон» и «флексор»;

3)изучить историю возникновения флексагонов и флексоров;

4)изготовить  и исследовать модели флексагонов и флексоров;

5)найти применение изготовленным моделям;

6)провести социологический опрос среди учащихся 6 класса;

7) пробудить интерес школьников, продемонстрировав своей работой, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

8) изготовить буклет по теме.

  Проектный продукт: схемы сборки некоторых флексагонов, флексагоны, флексоры, рекомендации по изготовлению флексоров.

Гипотеза исследования: если привлечь внимание учащихся к флексагонам и флексорам, то тем самым получится заинтересовать их в изучении предмета -математики, способствовать развитию творческого начала  личности и потребности в творческом самовыражении.

      Благодаря самостоятельному изготовлению моделей флексагонов и флексоров,  проведенных над ними исследований, удалось лучше понять и изучить их мир, т.е. добиться поставленной цели.

               1. История возникновения флексагонов

    Интересуясь головоломки, мы  захотели изготовить флексагон и флексор. Оказалось, это игрушка - флексагон (англ. to flex - складываться, сгибаться, гнуться). Как построить? Где взять чертеж? Помог М. Гарднер! Именно из его книги мы узнали и историю возникновения флексагонов, и как их построить,  позаимствовал чертежи для дальнейшей работы над флексагонами.

Так что же это такое?!

Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а раннее скрываемые поверхности неожиданно выходят наружу. [1.c.11]

 Интересный факт: придумать флексагоны помогло одно случайное обстоятельство  - различие в формате английских и американских блокнотов.   Флексагоны, не были бы открыты и по сей день, и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру. Если бы в конце 1939 года, Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Пристоне, обрезая листы американского блокнота, не пожелал немного развлечься. Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трёх местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник (рис.1).  Взяв, этот шестиугольник, за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Был открыт самый первый флексагон! Он  был назван тригексафлексагоном, так как у него три поверхности, (гекса от греческого «гекс», что означает шесть), флексагонами - из-за их способности складываться. Вторая не менее изящная модель получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» - шесть - означает число поверхностей этой модели). Друзьями был создан «Флексагонный комитет», который обнаружил что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей.

По прилагающимся выкройкам, с помощью подробного описания, я  изготовила флексагоны с тремя  поверхностями.

рис.2

История возникновения флексоров

          Из курса математики мы знакомы с разными многогранниками: пирамидой, призмой, куб и т.д. Оказалось удивительным, когда узнали о том, что некоторые многогранники можно сгибать. Этим  вопросом занимались умы многих математиков. Как треугольник считается жёсткой геометрической фигурой, так  пирамида – жёсткое геометрическое тело, его нельзя изменить, не сломав. Еще в 1766 году математик Эйлер высказал гипотезу: «Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется». В 1813 году французский математик Огюстен Луи Коши доказал, что выпуклый многогранник с данным набором граней и условиями их склейки единственен, то есть выпуклый многогранник изгибаемым не бывает. Оказывается, эту версию можно опровергнуть.

Одним из таких примеров является построенный в 1977 году       американским геометром Р. Коннели изгибаемый многогранник (рис.2), который и опроверг гипотезу Эйлера.

 Дж. М. Андреасом и Р. М. Сталкером независимо друг от друга было открыто семейство изгибаемых конечных многогранников с треугольными гранями .Гранями многогранника являются грани определенного количества тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам так, что получается фигура наподобие кольца.  Но при 6 тетраэдрах эта фигура еще достаточно жестка, а при 8 уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности. Когда количество тетраэдров четно, фигура стремится принять симметричную форму. Когда нечетно, из-за полного отсутствия симметрии кольцо получается интереснее. При количестве тетраэдров больше 22 кольцо может заузиваться.

Флексор (от латинского flexor – сгибатель) -  необычный многогранник. Из названия понятно, что эта фигура может ломаться и гнуться и они объемны. Основой также может послужить правильный треугольник. Треугольники складываются в объемные тетраэдры. Флексор еще называют кольцом  из тетраэдров. Это кольцо (или цепочка) при правильном склеивании обладает удивительной  способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.[3.c.14]

                   2.  Построение и исследования флексагонов

Приступая к разработке схем для сборки тригексафлексагона  мы установили:

1) нужно найти такой способ расстановки чисел на имеющихся чертежах, чтобы он привел меня к полоске из десяти треугольников (рис.3), схема сборки которой имеется в научной литературе. 

     рис.3             

2) Если каждый треугольник пометить числом или символом, то чередование символов на развернутой полоске будет обладать определенной периодичностью. Например, на лицевой и  обратной сторонах развертки гексагексафлексагона, цифры будут располагаться в такой последовательности:            123123  123123  123123 (лицевая),

                                     445566  445566  445566 (обратная).

Результатом моего исследования  явились следующие схемы сборки:

         1. Тетрагексафлексагон:

 

2. Пентагексафлексагон:

 

         3. Гексагексафлексагон (второго типа): 

 

           

 

  4. Гептагексафлексагон:   

                  

 

                5. Додекагексафлексагон (37 правильных треугольников):

 

В ходе работы были сделаны первые выводы:

Сборку флексагона нужно начинать с наибольшего числа  и складывать так, чтобы треугольники, имеющие одинаковые числа, оказались наложенными друг на друга. Например, для изготовления гептагексафлексагона сначала собирают все 7 на 7, затем 6 на 6, 5 на 5, 4 на 4, после чего получаем полоску из 10 треугольников .  При сборке любой модели всегда приходим к полоске из 10 треугольников! [1.c.235]

Чтобы вращение флексагона доставило ещё больше эмоций и удовольствия, каждую поверхность флексагона нужно было раскрасить. И для этого тоже существует правило! Существует множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам.

          Проверено утверждение, что слоев бумаги в двух соседних треугольных секциях всегда равно числу  поверхностей данного флексагона.

3.Построение и исследования флексоров

Выкройка для построения  колец оказалась несложной. Для изготовления модели кольца из тетраэдров (флексора) достаточно одного листа бумаги, ножниц и клея.

На рисунке 4 показана схема флексора, состоящего из шести тетраэдров (24 равносторонних треугольника и 9 клапанов). Схему надо нарисовать, вырезать, сделать сгибы по всем линиям и приклеить клапаны в соответствии с буквенными обозначениями.

Рисунок 4 (схема из шести тетраэдров)

Перегибаем модель пополам по длине. Сначала работаем с левой полоской. Изогнем ее и подклеим клапан b к стороне треугольника b так, чтобы из этих треугольников получился тетраэдр. Сдвинем вправо и склеим следующий тетраэдр (буквы на склейке должны совпадать). Флексор замыкается в цепочку. Теперь, взявшись двумя руками за противоположные вершины тетраэдров, можно изгибать и выворачивать флексор.

На рисунке 5 – схема флексора, состоящего из 8 тетраэдров (32 треугольника и 11 клапанов).

Рисунок 5 (схема из восьми тетраэдров)

По этой заготовке изготавливается  флексор. Он состоит из восьми тетраэдров. Числа от 1 до 32 расположены в треугольниках так, что кольцо получится «магическим». При вращении  флексора, получаем четыре различные комбинации чисел с одним и тем же результатом: во-первых, четыре грани  каждого тетраэдра в сумме дают 66; во-вторых, «соответствующие» грани, взятые по одной из каждого тетраэдра (то есть, сумма чисел на одной стороне флексора) дают в сумме 132.[2.c.6-14]

   При вращении  флексора, получаем четыре различные комбинации чисел с одним и тем же результатом:

 1) 1+16+25+24+2+15+26+23=132;         2) 28+22+3+13+27+21+4+14=132;

                                   

3)  7+9+32+18+8+10+31+17=132;            4) 19+6+11+29+20+5+12+30=132;

                                   

Кроме этого, числа расположены так, что четыре грани каждого тетраэдра в сумме дают 66:          

 1) 1 + 30 + 7 + 28 = 66;

 2) 12 + 17 + 14 + 23 = 66;

 3) 31 + 4 + 26 + 5 = 66;

 4) 21 + 15 + 20 + 10 = 66;

 5) 2 + 29 + 8 + 27 = 66; 

 6) 11 + 18 + 13 + 24 = 66;

 7) 32 + 3 + 25 + 6 = 66;

 8) 22 + 16 + 19 + 9 = 66.

                 4. Применение флексагонов и флексоров

  В ходе выполнения проекта было ясно, что флексагоны и флексоры представляют собой занимательные головоломки и необычные игрушки. Но где ещё встречаются эти модели?

Оказалось, что флексагоны и флексоры могут быть основой творчества. Например, известно, что когда изобретатель флексагонов Артур Х. Стоун и его друзья создали и исследовали игрушку, они попутно придумали историю об одном джентльмене, у которого в флексагон попал кончик галстука. Порвать, любовно сделанную игрушку было жаль, и он продолжал играть, напрасно надеясь, что при очередном перегибании удастся освободиться. Эта сочиненная история легла в сюжет любительского фильма «Осторожно, математика!»

    Флексагоны и флексоры применяются как средство математического развития дошкольников и школьников младших классов. Это один из перспективных подходов к математическому развитию ребенка. Являясь ориентацией на математическое моделирование, с помощью которого дети активно овладевают построением и использованием разного рода предметных, графических и мысленных моделей. Флексагоны, как средство математического моделирования, имеют следующие отличительные черты:

1) экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм;

2) доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке;

3) многоплановый развивающий характер: флексагоны и флексоры способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизируют формирование представлений по всем разделам математики для дошкольников; хороши для освоения понятий «время», «величина», «пространство» и многое другое.

Флексоры могут быть основой творчества. Изучив флексоры, смогли убедиться, что их можно использовать не только как интересные геометрические головоломки, но и найти им много других применений:

·        познавательные игрушки для малышей;

·        качестве фоторамки, для которой не требуется специальная подставка; на все треугольники одной поверхности приклеиваются фотографии (например, учеников класса),такой фоторамке не требуется специальная подставка.

·        подарить друзьям в качестве сувенира (в современном мире изделия, выполненные своими руками ценны);

·        во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки (полезно и интересно);

·        флексоры, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги,  можно использовать в качестве елочных украшений или обычного оформления праздника.

                                         5. Социологический опрос

В ходе исследовательской работы был проведен социологический опрос  с учащимися 6 а класса по следующим вопросам:

1) Знаете ли вы, что такое флексагон, флексор?

Из 21 учащихся знают , что такое флексагон, флексор, 6 учащихся-29% учащихся класса. 15 учащихся не знают, что составило 71%.

2)Заинтересовала ли вас тема «Флексагоны и флексоры»?

13 учащихся из 21 тема заинтересовала, что составило 62% всех учащихся.

3) Сможите ли вы собрать флексагон или флексор, используя схему?

7 учащихся , 33% опрошенных ответили, что смогут, 13 учащихся ,

62% ,ответили - «возможно».

4) Какие качества необходимы  ученику для изготовления моделей флексагона или флексоров?

Аккуратным – ответили 10 учащихся, терпеливым-5 учащихся, усидчивым- 4 , владеть основами геометрии-3 учащихся, внимательным-2, целеустремленным – 1  ученик.

5)Знаете ли, где применяются флексагоны и флексоры?

5 учащихся , 24% опрошенных, ответили, что знают.16 учащихся, 76%- не знают.

Вывод

Наша работа посвящена изучению свойств флексагонов и  флексоров, истории их возникновения и применению в обычной жизни.

Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов и флексоров, изготовив их, можно сделать вывод: в их основе лежит чистая геометрия. Нельзя флексагоны и  флексоры воспринимать как обычное оригами. Это  выходит далеко за рамки привычного нам «бумаголомания» и является геометрией. Этим вопросом занимались несколько известных математиков, поэтому флексагоны и флексоры – это, с одной стороны, занимательная математика, а с другой, доказательство того, что существуют многоугольники и  многогранники, обладающие способностью изгибаться и ломаться.

Было интересно заниматься этой работой, потому что, научившись практически изготавливать изгибаемые многоугольники и  многогранники, мы через геометрию занимательную погрузились в мир геометрии научной. Мы познакомились с трудами известных математиков, изучили свойства треугольника и шестигранника, методику построения равностороннего треугольника и тетраэдра, изучили вопрос жесткости многогранников.

Проблемы флексологии - науки о построении и всяческих закономерностях флексагонов, не занимают в созвездии наук столь серьезного положения. Тем не менее, многие люди отдают ей значительную долю своего свободного времени. И это не случайно. Флексология - одна из немногих наук, которыми можно заниматься как в одиночку, так и коллективами. Плодотворным занятиям этой наукой не мешают ни молодость, ни преклонный возраст. А главное, что подробного изложения теории нет до сих пор, и ничто не мешает нам, играя с самодельными флексагонами попытаться вывести собственную теорию. Нами были изучены флексагоны - шестиугольники, флексоры - многогранники, но возможны и другие формы, поэтому работа может быть продолжена. Есть ещё одна положительная сторона: занимаясь проектом , нам пришлось выполнять много измерений, чертежей, построений. Держа в руках флексоры и флексагоны, я наглядно представляла отличие пространственной фигуры от плоскоской. В результате, с началом геометрии в седьмом классе, мы надеемся легко и быстро выполнять чертежи и измерения, а понятия планиметрия и стереометрия станут  нам сразу понятны.

        Работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Также работа может быть использована на уроках математики при изучении свойств треугольников, шестиугольников, тетраэдров.

«Несведущим в геометрии вход воспрещен», - гласила надпись над входом в помещение, где учил Платон. Для нашей работы эту надпись можно перефразировать: «Несведущим в геометрии вход разрешен». Приятно осознавать, что сделанная работа принесла удовлетворение не только нам, но и многим ребятам, которые воспользовались нашими разработками и полезными советами, увидели такую серьёзную науку, как математика, с другой стороны.

                                            Список литературы:

1.Гарднер М.Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971, С. 11.,с.235

2. Долбинин Н. Жесткость выпуклых многогранников.// Квант. 1988. №5. С. 6 - 14.

3. Панов А. А. Флексагоны, флексоры, флексманы. //Квант. 1989.  №1. С. 14.                

4. ВИКИПЕДИЯ. - URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон.                              

Приложение

Модели флексагонов и флексоров, изготовленные мной и моими одноклассниками

                                                               

Результаты социологического опроса учащихся 6 а класса

1.Знаете ли вы, что такое флексагон и флексор?

 

2.Заинтересовала ли вас тема «Флексагоны и флексоры»?

2.Заинтересовала ли вас тема: «Флексагоны и флексоры»?

3.Сможете ли вы собрать  флексагон, флексор, используя схему?

4.Какие качества необходимы, чтобы изготовить модели флексагона и флексора?

5.Знаете ли, где используются флексагоны и флексоры?

 

Применение флексагонов  и флексоров

Краткое описание документа:

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, уравнений. Мы хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень необычный и удивительный предмет для изучения.

Мы приглашаем вас на короткую экскурсию в мир флексагонов, флексоров - бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.