Исследовательская работа по математике "Формула красоты"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №33 Г.ЛИПЕЦКА

ИМЕНИ П.Н. ШУБИНА

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКА

ФОРМУЛА КРАСОТЫ

ВЫПОЛНИЛА

НЕСМЕЯНОВА ЕЛЕНА СЕРГЕЕВНА

6 А КЛАСС

РУКОВОДИТЕЛЬ

ДАНИЛОВА ВИКТОРИЯ ГЕННАДЬЕВНА

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

ЛИПЕЦК, 2016

Содержание работы:

Введение …………………………………………………………………………… 3

Теоретические сведения по теме исследования ……………………………... 4

• история возникновения «тайны золотой пропорции» …………………….4

• числовое значение золотой пропорции ……………………………………5

• построение золотого сечения ……………………………………………... 6

• золотой прямоугольник …………………………………………………… 7

• золотой треугольник ……………………………………………………… 7

• пентаграмма ……………………………………………………………….. .8

• использование золотого сечения в строительстве, искусстве ……….........9

• золотое сечение в природе ………………………………………………… 11

Материалы исследования …………………………………………………….. ….12

Заключение …………………………………………………………………………..15

Список литературы………………… ....................................................................... 17

Приложения …………………………………………………………………….........18

ВВЕДЕНИЕ

“Ничто не нравится, кроме красоты,

в красоте – ничто, кроме форм,

в формах – ничто, кроме пропорций,

в пропорциях – ничто, кроме числа”.

Аврелий Августин

Цель работы: исследовать вопрос о существовании формулы красоты.

Гипотеза исследования: я предполагаю, что красота и гармония подчиняются математическим законам.

Основные задачи: изучить красоту окружающих предметов с математической точки зрения, найти в математической литературе подтверждение гипотезы исследования, провести эксперименты по поиску идеальных пропорций в красивых предметах.

Этапы выполнения исследовательской работы:

1. Подбор и изучение, необходимой для исследования литературы.

2. Сбор и систематизация материала.

3. Экспериментальная проверка фактов, подтверждающих гипотезу проекта.

4. Оформление результатов проектно-исследовательской деятельности.

Актуальность темы

Красота! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами? Человеку достаточно одного взгляда, чтобы определить красив предмет или нет. Естественно возникает вопрос: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Какие «вычисления» проводит наш мозг, оценивая привлекательность? Существуют ли идеальные пропорции? В своей работе я попыталась ответить на эти вопросы с математической точки зрения.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

История возникновения «тайны золотой пропорции»

Поисками гармонии и совершенства люди занимались с давних пор. Одним из вопросов, волновавших древних ученых, был вопрос о нахождении наилучшего соотношения неравных частей, составляющих единое целое. Его решение связывают с именем Пифагора (VI век до н.э.), который установил, что наиболее совершенным делением целого на две неравные части является такое, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. В Древней Греции такое деление называлось гармоническим отношением. Интерес к нему необычайно возрос в эпоху Возрождения (XV – XVII). В 1509 году итальянский математик, монах Лука Пачоли (1445 – ок. 1514), друг Леонардо да Винчи (1452 – 1519), написал целую книгу «О божественной пропорции». Леонардо выполнил иллюстрации к этой книге. В ней воздействие божественной пропорции на человека называлось «существенным, невыразимым, чудесным, неизъяснимым, неугасимым, возвышенным, превосходнейшим, непостижимым». Пачоли назвал гармоническое отношение божественной пропорцией («Sectio Divina»). Термин золотое сечение («Sectio aurea») появился в Германии в первой половине XIX века. Он был введён немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.

Великий астроном XVI в. Иоганн Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

После Иоганна Кеплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто не вспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл его снова. В своих «Эстетических исследованиях» он пишет: «Для того, чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что между большей частью и целым». Он называет это законом пропорций и обнаруживает его проявление в пропорциях человеческого тела и животных, в некоторых эллинских храмах, в ботанике и музыке.

Накопленные знания об этом уникальном соотношении частей в целом по эстафете передаются о поколения к поколению, наполняясь новым содержанием, проявляются в самых разных областях науки, проникают в технику.

Числовое значение золотого сечения

Дать определение золотой пропорции, ещё не значит, её изучить. Нужно определить величину этого удивительного соотношения. Выясним, каким числом выражается золотое сечение.

Для этого выберем произвольный отрезок и примем его длину за единицу. Разобьем этот отрезок на две неравные части, и большую из них обозначим через x. Тогда меньшая часть равна 1-x. По определению золотого отношения должно выполняться равенство (1-x) : x = x : 1. Мы получили уравнение относительно x, которое легко свести к квадратному x² + x – 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен . Золотая пропорция является величиной иррациональной, то есть несоизмеримой, её нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Полученное число обозначается буквой φ. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал золотое сечение в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуи Зевса Олимпийского (которая считалась одним из семи чудес света) и Афины Парфенос.

Итак, в золотой пропорции отношение меньшей части к большей выражается числом

Не менее важное значение имеет число, обратное , которое обозначается Ф. Число - единственное положительное число, которое обращается в обратное себе при прибавлении единицы.

Числом выражается в золотой пропорции отношение большей части к меньшей.

Обратим внимание на удивительные свойства золотой пропорции:

Такие значительные преобразования, как возведение в степень, не смогли уничтожить сущность этой уникальной пропорции, ее «душу». Следующие соотношения еще раз демонстрируют удивительные свойства золотой пропорции:

; ; ; и т.д.

С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 и т.д. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел и построив ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, …), обнаруживается, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу : чем дальше от начала ряда, тем лучше будет приближение.

Построение золотого сечения

В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причем характерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрические фигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1:2.

Если с середины стороны квадрата провести окружность радиусом, равным диагонали полуквадрата, то на ее пересечении с продолженной стороной квадрата получим отрезок, который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией.

Еще проще построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике со сторонами 1,2, . Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией.

Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AD, равный AC − CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда

Золотой прямоугольник

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, называется золотым прямоугольником.

Золотые прямоугольники обладают многими интересными свойствами. Так из определения золотых прямоугольников следует, что они все подобны.

Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник меньших размеров, подобный исходному.

Если этот процесс продолжить, то мы получим так называемые вращающиеся квадраты, и весь прямоугольник окажется составленным из этих квадратов. Если вершины квадратов соединить плавной кривой, то получим кривую, называемую золотой спиралью, форму которой имеют как раковины морских моллюсков, так и галактики во вселенной.

Золотой треугольник

Равнобедренный треугольник называется золотым, если его боковая сторона и основание находятся в золотом отношении.

Возможны два типа золотых треугольников: 1) AB : AC = φ; 2) AC : AB = φ.

Теорема. Золотыми треугольниками являются равнобедренные треугольники с углами при вершинах 36^о и 108^о.

Доказательство:

В равнобедренном треугольнике АВС с углом при вершине С, равным 36⁰, проведем биссектрису AD. Треугольники ACD и ABD равнобедренные, и треугольник BDA подобен треугольнику АВС. Примем боковую сторону треугольника АВС за единицу, а его основание за х. Тогда AD = CD = x, BD = 1-x. Из подобия треугольников получаем равенство из которого следует , что х=, т.е. треугольник АВС – золотой. Кроме того, треугольник ACD с углом при вершине D, равным 108⁰, также золотой.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения.

Пентаграмма

Правильный пятиугольник с проведенными в нем диагоналями, образующими звездчатый правильный пятиугольник называется пентаграммой. Все треугольники, на которые при этом разбивается пятиугольник, являются золотыми.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471-1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Использование золотого сечения в скульптуре, живописи, строительстве

Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Причем не только вся статуя, но и отдельные её части делятся в золотом сечении.

Одним из красивейших произведений

древнегреческой архитектуры является

Парфенон (V в. до н.э.). Парфенон имеет 8

колонн по коротким сторонам и 17 по длинным,

выступы сделаны целиком из квадратов

пентилейского мрамора. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618.

Известный русский архитектор М.Ф. Казаков тоже широко использовал в своём творчестве золотое сечение, которое можно обнаружить, например, в архитектуре здания бывшего сената в Кремле. По проекту М.Ф. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова. Пропорции храма Василия Блаженного в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения: 1,

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к коэффициенту золотого сечения. Выбирая размеры самой картины, старались, чтобы ее стороны находились в золотом отношении. Золотой прямоугольник использовался художниками для создания у зрителя ощущения уравновешенности, покоя, а золотая спираль применялась для выражения тревожных, бурно развивающихся событий.

Эскиз гравюры "Избиение младенцев", выполненный Рафаэлем, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. На рисунке проведена золотая спираль, по которой располагаются основные фигуры экспозиции.

Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов.

(Иллюстрации к разделу см. в Приложении 2)

Золотое сечение в природе

Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль “кривой жизни”.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Закономерности “золотой” симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия. (Иллюстрации к разделу см. в Приложении 3)

МАТЕРИАЛЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Выбор дерева с самыми красивыми листьями

Цель исследования: выяснить, листья какого дерева считаются самыми красивыми

Оборудование: гербарий с листьями различных деревьев

Вопрос: листья, какого дерева вы считаете самыми красивыми?

В опросе приняло участие 55 человек.

Результаты опроса

№

Дерево

Количество голосов, отданных за листья данного дерева

1

Клен

39

2

Береза

6

3

Тополь

2

4

Осина

1

5

Дуб

5

6

Липа

2

71% опрашиваемых считают самыми красивыми листья клена, 11% опрашиваемых выбрали листья березы, 9% - листья дуба, 3,5% - листья тополя и липы и 2% - листья осины.

Вывод: самые красивые листья у клена.

2. Строение кленового листа

Цель исследования: выяснить, почему лист клена считается самым красивым.

Оборудование: лист клена, сканер, принтер, бумага, чертежные инструменты

Ход исследования:

1. Сбор листьев клена

2. Сканирование и печать изображения листьев клена

3. Выполнение измерений

С

4. Поиск соотношений

D

А

В

Е

F

O

L

K

M

N

H

При проведении исследования использовались 5 кленовых листьев, и в строении каждого из них были обнаружены пропорции золотого сечения.

Вывод:

В строении кленового листа присутствуют пропорции золотого сечения и симметрия, поэтому лист клена создает впечатление красоты и гармонии.

3. Эксперимент «Узел»

Цель: исследовать форму узла

Оборудование: полоска бумаги постоянной ширины, чертежные инструменты, мужской галстук.

Ход эксперимента:

Бумажную ленту постоянной ширины завяжем простым узлом и расправим так, чтобы узел был плоским. Получается узел, имеющий форму пятиугольника. Измерения сторон и углов пятиугольника доказывают, что ABCDE - правильный пятиугольник.

D

А

В

С

E

-

Отношение стороны правильного пятиугольника к диагонали равно числу.

У Пифагора и его учеников пентаграмма была священным символом телесно-духовной гармонии и на этом основании стала знаком здоровья.

Вывод: узел имеет форму правильного пятиугольника, т.е. пентаграммы. Пентаграмма – это геометрический символ гармонии, здоровья и мистических сил.

Может быть, поэтому мужчины выбрали себе в качестве украшения галстук, ведь узел галстука имеет форму пентаграммы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Красота спасет мир.

Ф.Достоевский

Наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести формулу красоты. Ряд формул красоты известен. Это правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник. В ходе выполнения исследовательской работы я выяснила, что действительно существует «формула красоты», которая не является выдумкой человека. Скорее всего, это закон природы. В наибольшей степени определение «формула красоты» подходит к понятию «золотая пропорция». Эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного. Золотая пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, её присутствие отмечают почвоведы, химики, биологи, геологи, математики, астрономы.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. При наблюдении совершенных форм, в которых соблюдаются пропорции золотого сечения между размерами отдельных частей растений, скульптуры, здания человек испытывает эстетическое наслаждение. Золотое сечение являлось критерием гармонии и красоты ещё во времена Пифагора и является настоящей формулой красоты в настоящее время. Понять это мне помогла математика. Математика является не только стройной системой законов, теорем, задач, но и уникальным средством познания красоты. Аристотель говорил: «В наслаждении красотою есть элемент наслаждения мышлением».

Золотое сечение, золотой прямоугольник и золотая спираль являются математическими символами идеального соотношения формы и роста.

Великий немецкий поэт Гете считал их математическим символом жизни и духовного развития. На протяжении многих столетий человек в своем творчестве учился у природы, постигая законы её гармонии, её красоту. Он жил в единстве с гармонией природы, и это создавало благодатную почву для его творчества. Сегодняшний человек слишком далеко ушел от природы, потерял духовную связь с ней. Созданный им мир – это мир чуждый естественной природе человека. В этом может быть причина дисгармонии его духовной жизни, проявляющейся в самых различных формах – от создания примитивных художественных произведений до вандализма и насилия. Но времена меняются, возврат к природе неизбежен. Человек научится жить в единстве с природой и придет к новому уровню гармонии и красоты, к новому витку эволюционной спирали развития.

Остается открытым вопрос: почему природа предпочла золотую пропорцию всем остальным пропорциям? Золотая пропорция делит целое на неравные части, почему же она более привлекательна, чем симметричные пропорции?

Очевидно, золотая пропорция обладает каким-то особым свойством, в ней скрыта загадка природы, которую ещё предстоит открыть. Золотая пропорция – понятие математическое и её изучение – задача науки. Но она же является критерием красоты и гармонии, а это уже категории искусства. Поэтому я закончу свою исследовательскую работу стихами.

«Чему бы жизнь нас ни учила,

Но сердце верит в чудеса.

Есть нескудеющая сила,

Есть и нетленная краса»

Ф. Тютчев

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бендукидзе А.Д. Золотое сечение – М.: ж. «Квант», 1973, №8

2. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. – М.: Мол. гвардия, 1990

3. Золотое сечение. Страницы Википедии. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%EE%EB%EE%F2%EE%E5_%F1%E5%F7%E5%ED%E8%E5

4. Лаврус В. «Золотое сечение» http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

5. Математика и законы красоты http://mathkrasota.ucoz.ru/index/0-11

6. Музей гармонии и золотого сечения http://www.goldenmuseum.com/

7. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразоват. учрежд. – М.: Мнемозина, 2009

8. Тимердинг Г.Е. Золотое сечение – Верлин: Verlag und Druck von B.G. Teubner, 1924

Приложение 1

Сканированные изображения листьев для проведения исследований

Приложение 2

Иллюстрации к разделу «Золотое сечение в строительстве, искусстве»

http://kak.ru/vimg/article/9ae90016b6aaaf590cf8fc77b5ae938b.gif

http://nordisk.pp.ru/jj/0883855348.01.LZZZZZZZ.jpg

Приложение 3

Иллюстрации к разделу «Золотое сечение в природе»

http://www.gamedev.ru/files/images/zolotoe-sechenie.jpg

http://kak.ru/vimg/article/0c2ba9949857c6b2a56fe71f971401cd.gif

http://kak.ru/vimg/article/3a755b3d88bbefbbfadf906deda9d30d.gif

Золотое сечение в квантовом мире http://www.redicecreations.com/ul_img/9388goldenratio.jpg