Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Исследовательская работа по математике 7 класс

Исследовательская работа по математике 7 класс

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m7f8fed44.gifhello_html_3794dde8.gifhello_html_336c265e.gifhello_html_339a7103.gifhello_html_6326fdd6.gifhello_html_m6ddddaef.gifhello_html_329c8e03.gifhello_html_3256870.gifhello_html_1be564cf.gifhello_html_meb53f32.gifhello_html_1525b04.gifhello_html_m48d9cd3a.gifhello_html_74684fc1.gifhello_html_15b1f511.gifhello_html_211a217c.gifhello_html_2421c7a.gifhello_html_5235dfa7.gifhello_html_m41e7181.gifhello_html_146eb3f7.gifhello_html_101b6e4d.gifhello_html_m1e452ab6.gifhello_html_m60f7b2ac.gifhello_html_mdeb975f.gifhello_html_abae99f.gifhello_html_m2e9c10e6.gifhello_html_m33d2b9ad.gifhello_html_430e43df.gifhello_html_m2a77a017.gifhello_html_5429de48.gifhello_html_51588383.gifhello_html_m8ba27b0.gifhello_html_mc6c3476.gifhello_html_959a953.gifhello_html_2d92d6b1.gifhello_html_m67687d90.gifhello_html_m550cf3a3.gifhello_html_m1d98cd10.gifhello_html_m1d98cd10.gifhello_html_m7bd25c2c.gifhello_html_m7bd25c2c.gifhello_html_m49446795.gifhello_html_m91bace2.gifhello_html_m91bace2.gifhello_html_m648115e6.gifhello_html_m648115e6.gifhello_html_m1bae90b6.gifhello_html_m1bae90b6.gifhello_html_79d92f0b.gifhello_html_m176995a9.gifРегиональная научно-практическая конференция обучающихся

«К вершинам знаний - 2013»













Секция: Математика

Тема: «Самое красивое число во вселенной»













Автор: Волков Владимир Викторович

Научный руководитель: Болгова Нелля Васильевна

Место выполнения работы: с. Тербуны

















2014

Содержание:


1. Введение…………………………………………………………………………

стр. 3

2. Исторические сведения

2.1 Евклид Александрийский и число Ф………………………………..



стр. 4

2.2 Леонардо Пизанский и последовательность Фибоначчи………….

стр. 6

3. Свойства числа Ф и последовательности Фибоначчи………………………

стр. 9

4. Некоторые факты проявления числа Ф в природе…………………………..

стр. 11

5. Эксперимент №1 «Пропорции птичьих яиц и число Ф»……………………






стр. 12

6. Исследуем Солнечную систему……………………………………………...






стр. 13

7. Эксперименты №2 и №3 «Пропорции тела человека и число Ф»………….

стр. 15

8. Эксперимент №4 «Золотое сечение»…………………………………………

стр. 18

9. Золотой прямоугольник……………………………………………………….

стр. 20

10. Золотая спираль………………………………………………………………

стр. 23

11. Золотая пропорция в искусстве……………………………………………...

стр. 25

12. Золотая пропорция в фотографии…………………………………………...

стр. 26

13. Выводы………………………………………………………………………..

14. Список литературы…………………………………………………………..

стр. 27

стр. 28

«Чувствам человека приятны объекты, обладающие правильными пропорциями»

Святой Фома Аквинский

  1. Введение

Обоснование выбора темы

Оказывается, многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения. Числа 1.618 и 0.618 – основные пропорции золотого сечения. Одно из них возникает при делении большей части на меньшую, другое, в зеркальном порядке, – меньшей на большую. Число Ф (фи), примерно равное 1.618, вошло в историю живописи и архитектуры как золотое сечение. 

Когда я познакомился с этой темой, мне она показалась очень интересной, и я провел опрос среди моих одноклассников: «Знаете ли вы, что такое число Ф и золотая пропорция?» Оказалось, что никто из них ничего про это не знает. И я решил рассказать им об этом. Ведь число Ф проявляется не только в математике, а и в окружающих нас растениях, живых организмах, в строении тела человека, в архитектуре и живописи. Человек так устроен, что ему больше нравятся пропорции золотого сечения. Поэтому не только в древние времена скульпторы, художники, музыканты, архитекторы уделяли большое внимание золотому сечению, но и в настоящее время оно используется в архитектуре, градостроительстве, живописи, киноискусстве, фотографии.

Цель работы:

Определить проявление числа Ф в природе и найти примеры использования его человеком.

Задачи работы:

  • Анализ истории числа Ф и золотого сечения

  • Изучить проявление числа Ф и связанного с ним «золотого сечения»   в строении живых и неживых объектов.

  • Изучить свойства чисел Фибоначчи

  • Найти примеры использования принципа «золотого сечения»

  • Понять, действительно ли число Ф является самым красивым числом во вселенной.

Методы исследования:

  • Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

  • Проведение опытов

  • Анализ данных, полученных в результате опытов

Предмет исследования:

  • Форма, строение и размер исследуемых предметов.

  1. Исторические сведения

2.1 Евклид Александрийский

Золотое сечение является иррациональным числом, которое обозначается греческой буквой Ф (фи). Впервые золотая пропорция упоминается Евклидом Александрийским в его знаменитой книге «Начала» примерно в 300 г. до н.э.

Вот что там говорилось:

«Разделите прямую линию так, чтобы отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему»

Это отношение и есть число Ф, или золотое сечение. Посчитаем, чему оно равно.

Разделим отрезок по правилу Евклида:



=

По правилу пропорции получаем:

х(х–1) =1·1 х2 – х = 1 х2 – х – 1=0 (1)

У этого квадратного уравнения есть два решения. Нас интересует лишь положительное:

х = 03

Это и есть искомое число Ф.

Так как решение уравнения является отношением между длинами частей отрезка, оно не зависит от длины самого отрезка. Другими словами, значение золотого сечения не зависит от первоначальной длины.

Так как выражение содержит квадратный корень, число Ф будет иррациональным, а бесконечная строка десятичных знаков не содержит периодически повторяющихся групп цифр. Число Ф, таким образом, является десятичным числом, которое невозможно вычислить до конца. Поэтому возьмем за приближенное значение Ф с точностью до пяти десятичных знаков:

Число Ф =1,61803









2.2 Леонардо Пизанский-Фибоначчи











Спустя столетия после Евклида число Ф было найдено в ряде дробей, возникших из арифметической последовательности. Гением, нашедшим эту связь между геометрией и арифметикой, был один из самых выдающихся математиков средневековья Леонардо Пизанский, более известный как Фибоначчи.

Самая знаменитая его книга, посвященная вычислениям, называется «Книга абака». А самым известным разделом этой книги является знаменитая задача о размножении кроликов, решение которой известно сегодня как последовательность Фибоначчи.

Задача формулируется следующим образом: «Сколько пар кроликов рождается в год от одной пары кроликов, если через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают кролики со второго месяца своего рождения?»

Для решения этой задачи Фибоначчи составил таблицу. В ней он записал рост числа пар кроликов по месяцам и посчитал в столбце ИТОГО число пар в конце каждого месяца. Числа в столбце ИТОГО образуют последовательность Фибоначчи.

















Таблица 1

Поколение

Месяц

первое

второе

третье

четвертое

пятое

шестое

Итого

Январь

1






1

Февраль

1






1

Март

1

1





2

Апрель

1

2





3

Май

1

3

1




5

Июнь

1

4

3




8

Июль

1

5

6




13

Август

1

6

10

1



21

Сентябрь

1

7

15

4

1


34

Октябрь

1

8

21

10

5


55

Ноябрь

1

9

28

20

15

1

89

Декабрь

1

10

36

35

35

6

144



Мы видим, что последовательность Фибоначчи начинается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

Характерное свойство этой последовательности - каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.

Кроме того, частное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, по мере роста самих чисел, стремиться к 1,618, т.е. к числу Ф. Из таблицы видно, что начиная с десятого члена последовательности, каждое частное отличается от предыдущего менее, чем на 0,001.









Таблица 2

число

частное

1

1

1,000000000000000

2

1

2,000000000000000

3

2

1,500000000000000

4

3

1,666666666666670

5

5

1,600000000000000

6

8

1,625000000000000

7

13

1,615384615384620

8

21

1,619047619047620

9

34

1,617647058823530

10

55

1,618181818181820

11

89

1,617977528089890

12

144

1,618055555555560

13

233

1,618025751072960

14

377

1,618037135278510

15

610

1,618032786885250

16

987

1,618034447821680

17

1597

1,618033813400130

18

2584

1,618034055727550

19

4181

1,618033963166710

20

6765

1,618033998521800





  1. Свойства числа Ф и последовательности Фибоначчи

Рассмотрим некоторые из интересных свойств числа Ф и последовательности Фибоначчи. Для начала вспомним, что Ф является решением уравнения (1)

х2 – х – 1=0

Решением этого уравнения стало число Ф.

Ф2 – Ф – 1 = 0

Ф2 = Ф+1 (2)

Начиная с уравнения (2), несколько раз умножив обе части на Ф, получим:

Ф3 = Ф2 + Ф

Ф4 = Ф3 + Ф2

Ф5 = Ф4 + Ф3 и т. д.

  • Мы видим, что любая степень числа Ф равна сумме двух предыдущих степеней.

  • Если мы разделим единицу на Ф, то получим число 0,61803… - те же самые десятичные знаки после запятой, что и у числа Ф. Оказывается,

= Ф – 1

= 0,618

  • Если выбрать 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их, всегда получится число, кратное 11. Например, общая сумма первых 10 членов равна:

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143=11·13

Но это еще не все. Каждая сумма равна числу 11, умноженному на седьмой член каждой последовательности, в нашем случае это 13.

  • Оказывается, три последовательных числа в последовательности Фибоначчи ведут себя предсказуемым образом. Выберем три любых последовательных числа и перемножим два крайних. Затем сравним результат с квадратом среднего числа. Разница всегда будет одинаковая, на единицу больше или меньше в зависимости от выбора числа.

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144



Например для чисел 3, 5 и 8 имеем:

3·8=52 -1 = 24

а для чисел 13, 21 и 34 получим

13·34 = 212 + 1 = 442

  • Fm делится на Fn только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2)

Возьмем m=10, n=5. Проверяем: F10 =55, F5 = 5, число 55 кратно числу 5

n…m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fm….Fn

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

  • Fm может быть простым только для простых m (за исключением m = 4)

Например, число F13 = 233 простое, и его индекс 13 также прост.

n…m

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Fm….Fn

89

144

233

377

610

987

1597

2584

4181

6765

  • Обратите внимание, что:

  • каждое третье число Фибоначчи четно; 

  • каждое четвертое кратно 3; 

  • каждое пятнадцатое оканчивается нулем;

  • два соседних числа Фибоначчи взаимно просты. 



  1. Некоторые факты проявления числа Ф в природе

  • Оказывается, что если в любом на свете улье разделить число женских особей на число мужских, то вы всегда получите одно и то же число, равное 1,618.





  • Семена подсолнечника располагаются по спиралям, против часовой стрелки. Догадайтесь, каково соотношение диаметра каждой из спиралей к диаметру следующей? Конечно, 1,618 !







  1. Эксперимент №1 «Пропорции птичьих яиц и число Ф»

Оказывается, пропорции птичьих яиц описываются золотым сечением.

а/b = Ф

Таблица 3

яйца

Размеры яйца, а/b, см

Отношение а/b

Результат опыта

1

3,5/2,15

1,627

Яйцо осталось целым

2

3,6/2,25

1,600

Яйцо слегка треснуло

3

2,9/2,6

1,125

Яйцо разбилось



Был проведен следующий эксперимент – было выбрано три яйца, произведено их измерение и посчитаны их пропорции. Затем яйца сброшены с высоты 15см. Результаты эксперимента - в таблице 3.

По результатам эксперимента сделан вывод, что чем ближе пропорции яйца к Ф, тем выше прочностные характеристики его скорлупы.



  1. Исследуем Солнечную систему



Таблица 4

Планеты

Отношение расстояний* от Солнца до планет, млн. км.

Отношение расстояний от Солнца до планет

Венера-Меркурий

108/58

1,86

Земля-Венера

150/108

1,39

Марс-Земля

228/150

1,52

Марс-Пояс астероидов

420/228

1,84

Пояс астероидов-Юпитер

778/420

1,85

Сатурн-Юпитер

1427/778

1,83

Уран-Сатурн

2886/1427

2,02

Нептун-Уран

4498/2886

1,56

Плутон-Нептун

5912/4498

1,31

Среднее арифметическое


1,69



Видно, что среднее арифметическое отношений расстояний от планет до Солнца, включая предположительно когда-то существовавшую планету Фаэтон между Марсом и Юпитером – близко к числу Ф.

*Расстояния от Солнца до планет взяты из Атласа-справочника «Все о планетах и созвездиях» Лескова И.А.





















  1. Пропорции тела человека и число Ф

Где еще мы можем найти подтверждение существованию золотого сечения? Конечно же, в нашем теле! Идеальные пропорции тела всегда строятся с учетом соблюдения этого сечения. 

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он проделал колоссальную работу - измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. По данным Цейзинга, пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.

В рамках этой работы было проведено исследование, насколько пропорции человека соответствуют золотой пропорции в зависимости от возраста. Я измерил у 9 человек мужского пола два параметра: рост и расстояние от точки пупа до пола и посчитал соотношение этих двух параметров. Результаты измерения в таблице 5.

Таблица 5

Возраст человека, участвующего в эксперименте

Рост / расстояние от точки пупа до пола, см

Результат

2 года

92,5/49

1,888

4 года

109/61

1,787

9 лет

140,5/88

1,597

11 лет

148/92,5

1,600

13 лет

159,3/98,5

1,617

14 лет

165/102

1,618

15 лет

169/104,3

1,620

20 лет

185/114

1,623

40 лет

179/110

1,627













Из таблицы 5 видно, что ближе всего к Ф пропорция тела человека в 14 лет.

Но отношение роста к расстояние от точки пупа до пола не единственная золотая пропорция у человека.

Измерьте расстояние от плеча до кончиков пальцев, затем разделите его на расстояние от локтя до тех же кончиков пальцев. Получится примерно число Ф.

Расстояние от верхней части бедра до пола, поделенное на расстояние от колена до пола - это снова Ф.

Было произведено измерение ученика 7 класса, и результаты измерений в таблице 6. Из этой таблицы видно, что пропорции тела приближены к золотому сечению.

Таблица 6

Части тела

Отношение

Результат

Рост / расстояние от точки пупа до пола

159,3/98,5

1,617

Расстояние от точки пупа до пола/ расстояние от макушки до точки пупа

98,5/60,8

1,620

Длина предплечья/длина кисти

23,5/14,5

1,621

Расстояние от плеча до кончиков пальцев/расстояние от локтя до кончиков пальцев

68/42

1,619

Расстояние от верхней части бедра до пола / расстояние от колена до пола

92/57

1,614

Сумма двух первых фаланг пальца/вся длина пальца

7,3/4,7

1,55



Из таблиц 5 и 6 мы видим, что основные пропорции тела человека колеблются в пределах 1,6, что близко к пропорции Золотого сечения.







  1. Золотое сечение

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот Вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где Вы сядете – посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно Вашего тела, будет равно 1,618. Простая вещь, абсолютно инстинктивная. Садясь на скамейку, Вы произвели «золотое сечение».



К этому выводу я пришел, когда провел в своем классе следующий эксперимент: попросил каждого ученика в нашем классе сесть на скамейку и измерил, на каком расстоянии от края скамейки садились ученики. В эксперименте принимали учащиеся 7-б класса. Из таблицы 7 мы видим, что каждый, кто садился на скамейку, неосознанно делил ее примерно в золотой пропорции.



















Таблица 7

Ученик

Расстояние от сидящего до дальнего края скамейки, см

Отношение длины скамейки к расстоянию от сидящего, до края скамейки

Ученик 1

102

1,176

Ученик 2

65

1,846

Ученик 3

72

1,667

Ученик 4

60

2,000

Ученик 5

74

1,622

Ученик 6

61

1,967

Ученик 7

62

1,935

Ученик 8

69

1,739

Ученик 9

79

1,519

Ученик 10

82

1,463

Ученик 11

64

1,875

Ученик 12

79

1,519

Ученик 13

82

1,463

Ученик 14

65

1,846

Ученик 15

82

1,463

Ученик 16

89

1,348

Ученик 17

79

1,519

Ученик 18

60

2,000

Ученик 19

62

1,935

Ученик 20

94

1,277

Среднее арифметическое отношения длины скамейки к расстоянию от сидящего до дальнего края скамейки

1,659

длина скамейки 120см





  1. Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник – это прямоугольник, у которого отношение смежных сторон равно числу Ф. Он обладает интересным свойством: если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Примером золотого прямоугольника является банковская карта. Формат многих книг соответствует золотому сечению. Оно же выбирается для окон, живописных полотен и конвертов, марок, визиток.

a/b = b/(a-b) = Ф





Считается, что люди находят пропорцию 1.618 эстетически приятным. Например, если попросить людей выбрать один прямоугольник из группы прямоугольников различных типов, то большинство выберет Золотой прямоугольник. Возможно, геометрические фигуры, использующие золотое сечение, по каким-то причинам особенно приятны глазу.

В 1876 г. немецкий экспериментальный психолог Густав Теодор Фехнер (1801-1887) провел исследование с людьми, которые не являлись экспертами в искусстве. Он попросил их из нескольких прямоугольников, включая квадрат, выбрать тот, который больше всего приятен глазу. Подавляющее большинство выбрали прямоугольники с «золотым» отношением сторон или другие близкие варианты.



Этот вывод подтверждается следующим экспериментом: нескольким группам людей, отличающихся по возрасту, было предложено выбрать из десяти прямоугольников какой-нибудь один. Результаты мы видим в таблицах 8-9: в третьем классе «золотой» прямоугольник выбрали 35 % учащихся, в 7-ом классе таких уже 44%, а среди взрослых процент выбравших золотой прямоугольник увеличился до 50%.

Таблица 8

прямо- прямо-угольника

Количество человек, выбравших данный прямоуголь-ник,

3 класс

% выбравших данный прямоуголь-ник,

3 класс

Количество человек, выбравших данный прямоуголь-ник,

7 класс

% выбравших данный прямоуголь-ник,

7 класс

Количество человек, выбравших данный прямоуголь-ник, взрослые

% выбравших данный прямоуголь-ник, взрослые


1

2

10

3

16,6

2

16,6

2

1

5

2

11,1

1

8,4

3

1

5

-

0

-

0

4

7

35

8

44,4

6

50

5

1

5

1

5,6

1

8,4

6

-

0

-

0

-

0

7

-

0

-

0

-

0

8

1

5

1

5,6

2

16,6

9

4

20

2

11,1

-

0

10

3

15

1

5,6

-

0

Таблица 9

Класс

Возраст, лет

Количество человек, участвующих в эксперименте

Количество человек, выбравших Золотой прямоугольник

% людей, выбравших Золотой прямоугольник

3

9-10

20

7

35%

7

13-14

18

8

44%

Взрослые

Больше 25

12

6

50%























Из десяти прямоугольников, дававшихся на выбор, золотым является только №4 с соотношением сторон 5,5 :3,4 = 1,618.

  1. Золотая спираль

Самым удивительным образом Ф проявляется в спиралях. Предположим, у нас есть золотой прямоугольник, от которого мы отсекаем квадрат. Остается опять золотой прямоугольник, от которого мы снова отсекаем квадрат и т.д., мы получаем все меньшие золотые прямоугольники. Затем проводим четверть дуги окружности в каждом из отсекаемых квадратов. Полученная таким образом кривая является золотой спиралью.











Принцип спирали часто встречается в природе - это спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев, спираль в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах, паук плетет паутину спиралеобразно, спиралью закручивается ураган, испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали, молекула ДНK закручена двойной спиралью и многое другое.

  1. Золотая пропорция в искусстве

Что общего может быть у непревзойденной Моны Лизы Леонардо да Винчи, знаменитого греческого храма Парфенона и пирамид Хеопса? А вот что - во всех этих и многих других произведениях искусства присутствует пропорция Ф.





  1. Золотая пропорция в фотографии

Примером использования золотого сечения в фотографии является расположение ключевых компонентов кадра в точках, которые расположены в 3/8 и 5/8 от краев кадра. Можно это проиллюстрировать следующим примером.

Вот фотография кота, который расположен в произвольном месте кадра.

Теперь условно поделим кадр на отрезки, в пропорции по 1.618 общей длины от каждой стороны кадра. В местах пересечения отрезков и будут основные "зрительные центры", в которых стоит разместить необходимые ключевые элементы изображения.



Перенесем нашего кота в точки "зрительных центров".

Вот так теперь выглядит композиция. Правда, гораздо лучше?





Таким образом, наша  гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию,   подтверждается. Красоту можно выразить с помощью цифр и формул.

  1. Выводы:

  • Число Ф и Золотая пропорция интуитивно использовалось людьми с древних времен.

  • Я увидел строгую математику в расположении семян подсолнечника и в морской ракушке. Узнал, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам «золотого сечения». И даже в его генетическом коде заложены закономерности золотой симметрии.

  • Меня поразил тот факт, что даже планеты солнечной системы располагаются по орбитам с «золотым сечением», а Земля имеет самую совершенную орбиту из всех планет. Это доказали с помощью математики!

  • Мы убедились, что все-таки существует связь между математикой и литературой, между математикой и архитектурой, между математикой и живописью. И это не случайно, ведь каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики.

  • Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы. А один из важных инструментов для познания тайн природы – это математика.

  • Явления всей вселенной подчинены определенным числовым соотношениям. Число – это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными. Все упорядочивается в соответствии с числами. Эта основа учения Пифагора актуальна и в наши дни!

  • Не правда ли, число Ф по праву считается самым красивым во Вселенной?!



  1. Список литературы:

  •  1. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. – М., Наука, 1984.

  • 2. Корбалан Ф. Золотое сечение. Математический язык красоты – М., 2013.

  • 3. Кашницкий  С. Е. Гармония, сотканная из парадоксов // Культура и   жизнь.–1982.-№ 10.

  • 4. Соколов А. Тайны золотого сечения // Техника молодежи. – 1978.– № 5.

  • 5. Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. – М., 1974.

  • 6. Урманцев Ю. А. Золотое сечение // Природа. – 1968.– № 11.

  • 7. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три  взгляда     на природу гармонии.-М., 1990.

  • 8.Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.: Наука,    1972.

  • 9. Математика. Я познаю мир. – М.: Аванта 1998

  • 10. Журнал Математика в школе, 1994, № 2; № 3.

  • 11. Интернет –сайт ru.wikipedia.org

  • 12. Лесков И.А. Все о планетах и созвездиях. Атлас-справочник. – М,: Риддат 2007.


Автор
Дата добавления 18.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров311
Номер материала ДВ-269672
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх