Исследовательская работа по математике (11 класс) на тему: "Жесткость и изгибаемость выпуклых многогранников""

ФЕДЕРАЛЬНАЯ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ТВОРЧЕСКОГО И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ И МОЛОДЕЖИ «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»

_____________________________________

Всероссийский заочный конкурс научно-исследовательских, изобретательских и творческих работ обучающихся «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»

______________________________________________________________________________

Направление: Математика

Тема: «Жесткость и изгибаемость выпуклых многогранников»

Учреждение:

МОУ «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа им. А.Ф. Пономарева Белгородского района Белгородской области»

Автор работы:

Можара Ю.А.

Научный руководитель:

Завгородняя Л.В.

2015 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………..…………………… ………………………………………	3
1. Многогранники…………………………………..….........................	4
2. Простые многогранники…………………….….……………..……	5
3. Изгибаемость многогранников…….………….……………..…….	6
4. Теорема Коши о единственности………………………….………	9
5. Гипотеза Эйлера………………………………………………….…	9
6. Лемма Коши о выпуклых многоугольниках……..……………….	10
7. Основная лемма Коши…………………………………………..….	12
8. Теорема Александрова о достаточности……………………..……	15
Заключение……………………………………………………………………..	18
Библиографический список……………………………………………………	19
Приложения	20

Введение.

Каждый, кто клеил или просто держал в руках картонную модель многогранника, замечал ее жесткость и, возможно, задумывался над этим. Интуиция скорее всего подсказывала, что жесткость модели не случайна, что обусловлена она какими-то пусть запутанными и неясными, но очевидно существующими связями между гранями многогранника. Вопрос о жесткости многогранника – это старый геометрический вопрос и, как оказалось, очень не простой. Прояснился он лишь в наше время, но первый важный шаг в его решении был сделан 175 лет тому назад двадцатитрехлетним математиком Огюстеном Луи Коши (рис.1), питомцем знаменитой парижской Политехнической школы.

Рис.1.

Выпускника Политехнической школы 1807 года Огюстена Луи Коши «по его блестящим достижениям во всех областях математики можно поставить почти рядом с Гауссом». Французского математика «почти рядом» с Карлом Фридрихом Гауссом поставил немецкий математик Феликс Клейн. Это придает высокой оценке творчества Коши особое значение, если учесть, что взаимоотношения между французскими и немецкими математиками, как правило, развивались в атмосфере острой конкуренции, а признание заслуг соперников никогда не отличалось щедростью [2].

Результаты Коши, принесшие автору славу величайшего математика, относятся в основном к математическому анализу и алгебре, к математической физике и механике. В огромном научном наследии Коши, занимающем 25 внушительных томов (всего у Коши, по данным его биографа, 789 работ), его исследования по геометрии могли бы остаться незамеченными, если бы не его работа «О многоугольниках и многогранниках», опубликованная в «Журнале Политехнической школы» в 1813 году.

Целью данной работы является исследование и изучение вопроса об однозначности задания формы многогранной поверхности своими гранями и освоения способов построения изгибаемых многогранников.

1.      Многогранник

Многогранником мы будем здесь называть поверхность, составленную из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники – грани многогранника. Стороны граней – ребро, многогранника. Предполагается, что по каждому ребру прилегают друг к другу не более двух граней. (Так, поверхность, изображенная на рисунке 2) на заставке не многогранник.) Многогранник должен состоять из одного куска: от любой его грани можно перейти к любой другой, переходя от грани к грани последовательно через ребра, по которым соседние грани прилегают. Если у многогранника есть ребро, принадлежащее всего одной грани, то это – многогранник с краем (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Если же каждое ребро принадлежит двум граням, многогранник называют замкнутым (рис. 4).

Рис. 4.

У замкнутого многогранника края нет. Многогранник будем называть выпуклым, если он является границей выпуклого тела. Такой многогранник – обязательно замкнутый. Мы будем рассматривать только многогранники, чьи грани пересекаются лишь по общим ребрам [1]. Если же это условие нарушено и грани как бы проходят одна сквозь другую, то мы будем говорить о многограннике с самопересечением (рис. 5).

Рис. 5.

2.       Простые многогранники.

Вопрос о неизменности многогранной поверхности оказался твердым орешком, но прежде, чем в нем разобраться, необходимо уточнить некоторые понятия. Условимся здесь под многогранником понимать не тело, ограниченное многоугольниками, как это делается в школе, а поверхность, составленную из этих многоугольников; при этом мы будем предполагать, что наш многогранник склеен из конечного числа конечных многоугольников так, что к каждой стороне любой ее грани приклеена одна и только одна грань. Многогранник с таким условием называют замкнутым. Условие замкнутости – это естественное условие. Любой из многогранников, изучаемый в школьном курсе – призмы, пирамиды, платоновы тела – замкнутый. Обычный фанерный ящик для посылок, но без крышки, нельзя считать замкнутым многогранником. Но стоит прибить к нему крышку, как получается замкнутый многогранник.

Мы будем также предполагать, что наш многогранник является, как говорят математики, топологической сферой. Топологическая сфера – это такая поверхность, которая отличается от обычной «круглой» сферы настолько, насколько изогнувшаяся покрышка спущенного мяча отличается от накачанного. Другими словами, мы предполагаем, что наш многогранник, будь он сделан из резины, можно было бы растянуть без разрывов и склеек в обычную круглую сферу. Условимся называть такой многогранник простым. Все выпуклые; в том числе и «школьные», многогранники – простые, так же, как оба многогранника на рисунках 6,7.

Рис. 6

Рис.7

На рисунке 8 приведен пример не простого, а торообразного многогранника. Многогранник может быть столь сильно «закручен», что иногда трудно разобраться, простой он или нет. Тем более замечательно, что о многограннике можно сказать, простой он или нет, даже не взглянув на него [1].

 

Рис.8.

Представим, что кто–то сообщил нам число всех вершин В, число всех ребер Р и число всех граней Г неизвестного нам многогранника X. Тогда, подсчитав число φ(Х), называемое эйлеровой характеристикой многогранника X, по формуле:

φ(Х)=В–Р+Г,

можно уверенно сказать, будет ли многогранник X простым. Многогранник будет простым тогда и только тогда, когда его эйлерова характеристика равна 2. Для многогранников, не являющихся простыми, эйлерова характеристика не превосходит нуля. В частности, для торообразных многогранников (см. рис. 5) эйлерова характеристика равна нулю.

3.      Изгибаемость многогранников.

Будем считать, что форму и размеры каждой грани многогранника изменять запрещено, т. е. грани будем рассматривать как твердые материальные пластинки. Двугранные углы при ребрах разрешим изменять. Если изменением углов при ребрах исходный многогранник можно перестроить так, чтобы при сохранении порядка прилегания граней его форма изменилась, то говорят, что новый многогранник получается из исходного конечным изгибанием. Изгибание многогранника с краем представить себе легко. Например, у многогранника, составленного из двух треугольников, можно произвольно изменить угол при общем ребре. Приведем пример конечного изгибания замкнутого многогранника. Многогранник на рисунке 7 составлен из пяти граней куба, шестая же грань заменена боковой поверхностью невысокой правильной четырехугольной пирамиды, поставленной на куб. Многогранник на рисунке 8 построен аналогично, только теперь та же пирамида входит внутрь куба.

В этом примере при изгибании многогранника двугранные углы при некоторых ребрах не только изменили свою величину, но стали из выступающих – входящими. Интересный пример конечного изгибания многогранника изображен на рисунках 9 и 10. Здесь при изгибании выступающие двугранные углы остаются выступающими, а входящие – входящими. В обоих примерах изгибание осуществлялось скачком, не непрерывно.

Рис.9.

Рис.10.

Если, например, склеить многогранник, изображенный на рисунке 9, из бумаги, то он будет жестким. Однако, если его с некоторым усилием сжать по вертикали, то он «щелчком» примет форму, показанную на рисунке 10. Но это вовсе не означает, что рассматриваемый многогранник допускает непрерывное изгибание: переход из состояния на рисунке 9 в состояние на рисунке 10 оказывается возможным только потому, что бумажные грани и ребра являются не абсолютно жесткими, а обладают некоторой эластичностью [1].

В дальнейшем мы будем считать, что в замкнутом многограннике все грани абсолютно твердые, а по ребрам соседние грани соединены шарнирно, подобно пластинам дверной петли.

Представим теперь, что из картонных многоугольников с помощью клейкой ленты мы склеили многогранник (разумеется, конечный, замкнутый, простой). Ясно, что из-за гибкой в каждом ребре связи любые две соседние грани могли бы поворачиваться друг относительно друга вокруг общего ребра, подобно страничкам книги, могли бы если бы они не были связаны с остальными гранями.

Когда же грани склеены в многогранник, то возникает вопрос: можно ли непрерывно изменять, деформировать многогранник так, чтобы при деформации все его грани оставались неизменными, а изменялись лишь двугранные углы? Если для данного многогранника такая деформация возможна, то многогранник назовем изгибаемым, а если нет – неизгибаемым.

Таким образом, изгибание многогранника, если оно вообще возможно, связано с изменением двугранных углов. И, хотя каждая пара соседних по ребру граней сама по себе свободна в выборе своего двугранного угла, кажется весьма вероятным, что в обществе других граней эта свобода утрачивается. Возможно, что такого рода «правдоподобные рассуждения» послужили Эйлеру опорой для гипотезы о том, что замкнутые многогранники неизгибаемы.

Вопрос об изгибаемости простых многогранников был решен только спустя два века после Эйлера. Уже в 1970-х годах, выяснилось, что относительно многогранников Эйлер в своем предположении был прав и не прав. Прав потому, что, как было установлено в 1975 году, «почти все» простые многогранники неизгибаемы. Однако «почти все» – это еще не все многогранники, а их в некотором смысле «подавляющее большинство». Два года спустя, в 1977 году, американский геометр Р. Коннели построил первые примеры изгибаемых многогранников и тем самым опроверг гипотезу Эйлера (рис. 9, 10, 11).

Рис.11.

Не исключено, что открытие изгибаемых многогранников кому-то покажется не очень удивительным, особенно если он вспомнит о мехах музыкальных инструментов, например, баяна. Но эта ассоциация здесь не уместна. Дело в том, что меха баяна «работают» благодаря эластичности и сминанию материала, из которого они изготовлены. Если бы меха были собраны из твердых пластин, соединенных между собой маленькими дверными петлями, то сыграть на инструменте не удалось бы. Такие меха, как нетрудно понять, нельзя было бы ни сжать, ни растянуть [2].

Впрочем, изгибаемый многогранник тоже непригоден для мехов, хотя и по другой причине. Дело в том, что известная на сегодня коллекция изгибаемых многогранников обладает несколько неожиданным свойством: заключенный в многограннике объем при изгибании остается постоянным, т. е. многогранник «не дышит». Возникла гипотеза, что это всегда так – этот объем не изменяется при изгибании многогранника.

Заметим далее, что вследствие теоремы Коши изгибаемый многогранник не может быть выпуклым.

Действительно, изгибаемость данного многогранника означает, что существуют другие многогранники, склеенные из тех же граней в том же порядке, но не равные данному из-за чуть-чуть других двугранных углов. При этом, если исходный многогранник был выпуклым, то и другой со слегка лишь отличающимися углами, тоже должен быть выпуклым. А это противоречит теореме Коши, согласно которой два таких выпуклых многогранника должны стать равны.

4.       Теорема Коши о единственности.

Эта работа Коши связана с таким естественным вопросом: в какой мере грани многогранника и порядок их примыкания друг к другу определяют форму многогранника? Поясним этот вопрос на примере. Рассмотрим два многогранника: башню с четырехскатной крышей на кубическом основании и башню, составленную из тех же граней, но с продавленной крышей (рис.6, 7). Ясно, что эти многогранники не равны, хотя составлены из попарно равных граней, примыкающих друг к другу в одном и том же порядке.

Коши доказал, что подобная ситуация невозможна, если речь идет о двух выпуклых многогранниках.

Теорема Коши: Два выпуклых многогранника с попарно равными гранями, составленными в одном и том же порядке, равны.

Для доказательства этой теоремы (оно приведено ниже) юный Коши предложил новый метод, который, по словам академика А. Д. Александрова, «представляет собой одно из прекраснейших рассуждений, какие только знает геометрия». Впоследствии это действительно прекрасное рассуждение стало в теории многогран­ников одним из стандартных методов доказательства других, аналогичных, теорем единственности.

5.       Гипотеза Эйлера.

Вопрос – однозначно ли задается форма многогранной поверхности своими гранями, или поверхность может как-то меняться, несмотря на неизменность своих граней, – интересовал математиков задолго до Коши.

Над вопросом единственности размышлял и великий Эйлер. В 1766 году он высказал гипотезу: «Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется». «Замкнутой пространственной фигурой» у Эйлера считалось то, что сейчас принято называть замкнутой поверхностью. Тем самым предположение Эйлера относилось не только к многогранным поверхностям. Но по отношению к многогранникам уверенность в справедливости этой гипотезы была наиболее основательной. Эта уверенность покоилась на многовековом опыте обращения с многогранниками и по своей силе достигала верования в аксиому [2].

6.      Лемма Коши о выпуклых многоугольниках.

Для доказательства теоремы Коши полезно внимательно посмотреть, как обстоят дела с многоугольниками. Совсем не случайно в названии работы Коши, посвященной теореме о многогранниках, присутствует слово «многоугольник». Представим плоский многоугольник, составленный из стержней с шарнирными соединениями в их концах. В случае треугольника длины стержней задают углы между ними (третий признак равенства треугольников), и конструкция является жесткой. С практическим применением этого очевидного геометрического факта мы сталкиваемся на каждом шагу: в стержневых конструкциях, которые подвергаются значительным нагрузкам (фермы мостов, стрелы подъемных кранов, перекрытия сооружений и т. п.), для обеспечения жесткости присутствуют треугольные элементы.

В случае же многоугольника с большим числом сторон длины сторон не определяют его углов, а следовательно, не задают и сам многоугольник. Тем не менее, Коши обратил внимание на один факт, оказавшийся существенным при доказательстве его теоремы.

Пусть А=А₁ А_2… А_n и В=В₁ В_2… В_n  –выпуклые n-угольники, причем

А₁ А₂=В₁ В₂,…А_n-1 А_n=В_n-1 В_n, А_n А₁= В_n В₁.

Сопоставим каждой вершине А_i, первого многоугольника знак «+» или «–» в зависимости от того угол А_i больше или меньше угла В_i. Если угол А_i иВ_i равны то вершина А_i, остается неотмеченной. Прежде чем перейти к лемме Коши, заметим, что отмеченных вершин у неравных многоугольников не меньше четырех, иначе (как легко доказать) многоугольники А и В равны и неотмеченных вершин нет вовсе.

Лемма 1. Пусть у двух выпуклых многоугольников соответственные стороны попарно равны, а среди соответственных углов имеются попарно неравные. Тогда при обходе вершин многоугольников разности соответственных углов меняют знак не менее четырех раз.

Понятно, что число перемен знака при обходе вершин многоугольника должно быть четно и не равно нулю. Следовательно, для доказательства леммы нужно показать, что число перемен знака не равно двум. Изложим идею доказательства.

Предположим, что число перемен знака равно двум. Тогда многоугольник А разбивается на две ломаные: у одной ломаной А_iА_i+1…А_j, есть вершины, отмеченные знаком «+», и ни одна из вершин не отмечена минусом; у другой ломаной – А_j,А_j+1...А_i, наоборот, есть вершины, отмеченные знаком «–», и ни одна из вершин не отмечена знаком « + » (рис. 12).

Рис.12.

Поэтому ломаную А_iА_i+1…А_j можно получить из соответствующей ломаной В_iВ_i+1…В_j, многоугольника В, увеличивая углы последней. Кажется совершенно очевидным, что в результате такой деформации ломаной, замыкающая ее хорда должна увеличиваться, т. е. A_i,A_j> В_i,В_j,. (Строгое доказательство этого факта несколько утомительно, и мы его опускаем).

С другой стороны, вторая ломаная А_j,А_j+1...А_i многоугольника А получается из соответствующей ломаной В_j,В_j+1...В_i многоугольника В в результате уменьшения углов. При этом замыкающая хорда должна уменьшаться. Значит, с другой стороны, A_i,A_j<В_i,В_j. Два противоречащих друг другу неравенства показывают, что предположение о наличии ровно двух перемен знака неверно. Следовательно, перемен знака не меньше четырех, что и требовалось доказать.

Лемма 1, о которой только что шла речь, потребуется для доказательства теоремы Коши, но в другом варианте – для случая выпуклых многоугольников на сфере. Формулируется и доказывается она так же, как выше: нужно только уточнить соответствующие понятия.

Определение сферического многоугольника совершенно аналогично определению плоского многоугольника. При этом надо иметь в виду, что, во-первых, сторона сферического многоугольника – это дуга большой окружности и длина стороны – это длина дуги. Во-вторых, угол сферического многоугольника – это угол между касательными, проведенными к дугам-сторонам в точке их пересечения, т. е. в вершине многоугольника. Очевидно, что угол между сторонами равен линейному углу двугранного угла, образованного плоскостями соответствующих больших окружностей (рис.13). В-третьих, выпуклый сферический многоугольник – это такой многоугольник, который лежит на сфере по одну сторону от каждой большой окружности, содержащей сторону-дугу нашего многоугольника [2].

Рис.13.

7.       Основная лемма Коши.

Предположим, что два многогранника, удовлетворяющие условию теоремы Коши, не равны. Тогда среди соответствующих двугранных углов должны быть попарно неравные. Отметим ребро одного из наших многогранников знаком «+» или знаком «–» в зависимости от того, двугранный угол при этом ребре больше, или меньше соответствующего двугранного угла другого многогранника. Разумеется, не все ребра обязаны быть отмечены, поскольку среди соответствующих двугранных углов могут быть и попарно равные углы.

Выберем какую-нибудь вершину О многогранника, к которой подходят отмеченные тем или иным знаком ребра, и опишем из нее, как из центра, сферу S. При этом радиус возьмем настолько маленьким, чтобы сфера S, пересекая ребра и грани многогранника, подходящие к вершине-центру О, не задевала никаких других ребер и граней многогранника. Ясно, что грани многогранника, образующие мно­гогранный угол с вершиной О, вырезают на сфере S выпуклый (сферический) многоугольник М, углы которого равны двугранным углам многогранника. Если провести таким же радиусом сферу S' в соответствующей вершине О' другого многогранника, то на ней вырезается многоугольник М', стороны которого попарно равны соответствующим сторонам многоугольника М. Равенство сторон вытекает из условия теоремы Коши: в соответствующих вершинах многогранников должны сходиться попарно равные грани.

Вот здесь и наступает время леммы 1. Мы предположили, что теорема Коши о единственности неверна; это значит, что хотя бы одно ребро окажется отмеченным знаком «+» или «–», и, в соответствии с леммой 1, если к какой-нибудь вершине подходят отмеченные ребра, то число перемен знака у ребер при обходе вокруг этой вершины не меньше 4.

От этого несложного замечания до доказательства теоремы, казалось бы, еще далеко. Но здесь Коши находит неожиданный остроумный ход, после которого доказательство становится делом техники. Оказывается, справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть на замкнутом выпуклом многограннике некоторые ребра отмечены знаком «+» или «–». Выделим все те вершины многогранника, к которым подходит хотя бы одно отмеченное ребро. Тогда среди выделенных вершин всегда найдется такая вершина, при обходе вокруг которой встретится менее четырех перемен знака.

Например, на рисунке 14 приведена расстановка знаков на ребрах октаэдра, при которой имеются две вершины с числом перемен знака, равным двум. Идея доказательства основной леммы хорошо видна при рассмотрении частной ситуации, а именно, когда знаками отмечены все ребра. Итак, предположим, что все ребра отмечены тем или иным знаком. Обозначим, как и ранее, через В число вершин, через Р число ребер, через Г число граней многогранника, а через N общее число перемен знака при обходах вокруг всех вершин. Для доказательства леммы 2 достаточно показать, что

N<4B.

Рис.14.

Мы вслед за Коши докажем более сильное неравенство:

N≤4B-8.

Легко видеть, что число N перемен знака при обходах вокруг всех вершин равно общему числу перемен знака при обходах вокруг всех граней. Это следует из того, что каждая пара соседних ребер при обходе вокруг вершины является одновременно парой соседних ребер и при обходе вокруг соответствующей грани и наоборот (рис.15).

Рис.15.

Обозначим через Г_n число n-угольных граней многогранника, n≥3. Тогда

Г=Г₃+Г₄+Г₅+Г₆+...                                              (1)

Ясно, что при обходе n-угольника число перемен знака не больше n, а если n – нечетно, то не больше, чем (n–1). Поэтому

N<2Гз+4Г₄+4Г₅+6Г₆+6Г₇+...                                           (2)

Так как каждое ребро принадлежит двум граням, то

2Р=ЗГз+4Г₄+5Г₅+6Г₆+ ...                                         (3)

Перепишем формулу Эйлера в виде

4В–8=4Р—4Г.                                                (4)

Подставим в (4) соотношения (3) и (1):

4В–8=2(ЗГ₃+5Г₅+...)–2(2Г₃+2Г₄+2Г₅+...)=2Г₃+4Г₄+6Г₅...                (5)

В соотношении (5) коэффициент при Г_n равен 2(n—2) и, следовательно, если n≥3, он не меньше ближайшего к n снизу числа, которое как раз и есть коэффициент при Г_n в правой части неравенства (2). Поэтому из (2) и (5) следует требуемое неравенство

N≤4В–8.

Доказательство леммы 2 в общем виде, когда, вообще говоря, не все ребра отмечены знаком, усложняется дополнительными техническими деталями, которые мы опускаем.

Заметим, что условие выпуклости многогранника при доказательстве леммы 2 не используется: она верна для произвольных простых замкнутых многогранников. Выпуклость многогранника в теореме Коши существенна лишь для применения леммы 1.

Подведем итог. Если бы теорема Коши была неверна, то по лемме 1 на ребрах должна была бы возникнуть расстановка знаков, которая по лемме 2 невозможна. Доказательство теоремы Коши, точнее, изложение основной идеи этого доказательства, завершено.

8.       Теорема Александрова о достаточности.

Когда работа Коши увидела свет, научные интересы ее автора были уже далеки от этой области. В дальнейшем глубокие результаты по теории многогранников были получены представителями геометрической школы академика А. Д. Александрова (рис.16). В 1939 году А. Д. Александров доказал теорему об условиях, при которых из данной развертки можно склеить выпуклый многогранник.

Рис.16.

Посмотрим на рисунок 17, на котором нетрудно узнать хорошо известную развертку куба. Гораздо труднее увидеть, что развертка, представленная на рисунке 18, также является разверткой куба – одинаково отмеченные на рисунке вершины задают отождествление вершин и пар склеиваемых сторон (рис.19).

Рис.17.

Рис.18

Рис.19.

Обратим внимание на то, что многоугольники развертки не обязательно совпадают с гранями получающегося из него многогранника. Грань многогранника при этом может составляться из одного или нескольких кусков разных многоугольников развертки. Заметим также, что не всякая вершина многоугольника развертки обязана быть вершиной многогранника, она может быть «спрятана» внутри ребра или внутри грани многогранника.

Возьмем произвольную развертку, т. е. возьмем несколько вырезанных из бумаги выпуклых многоугольников и укажем, какую сторону каждого из них будем склеивать с какой стороной другого многоугольника. Склеиваемые стороны, разумеется, должны быть одинаковой длины. Будем склеивать многоугольники в соответствии с указаниями о порядке склеивания (при этом разрешается сгибать многоугольники развертки). Возникает вопрос: из каких разверток можно таким образом получить выпуклый многогранник? Для этого необходимо выполнение двух условий:

1.            для развертки имеет место формула Эйлера (В–Р+Г=2);

2.            сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, не превышает 360°.

Смысл теоремы Александрова поражает своей простотой: условия 1 и 2 являются необходимыми и достаточными для того, чтобы из многоугольников развертки можно было склеить выпуклый многогранник (возможно, дополнительно сгибая многоугольники развертки).

Развивая идеи, лежащие в основе этой теоремы, А. Д. Александров построил внутреннюю геометрию выпуклых поверхностей – одну из важнейших теорий в современной геометрии [2].

Вернемся к развертке на рисунке 18. Даже не глядя на рисунок 19, проверив для нее выполнимость условий Александрова, можно утверждать, что из этой развертки склеивается некоторый выпуклый многогранник. Сколько разных выпуклых многогранников можно склеить из одной развертки? Из-за того, что грани многогранника не фиксированы, теорема Коши на этот вопрос ответа не дает. А. Д. Александров доказывает теорему, которая, с одной стороны, усиливает теорему Коши, с другой, – прекрасно дополняет его собственную теорему о достаточности: если из развертки можно склеить выпуклый многогранник, то только один.

Более того, из этой развертки нельзя получить вообще никакой другой выпуклой поверхности, не только многогранной, но и кривой. Это усиление теоремы Александрова было получено в 1941 году его молодым учеником С. П. Оловянишниковым. (Сергей Оловяшников является победителем первой математической олимпиады (1934 г.). Тридцатые годы наложили свой отпечаток на нелёгкую судьбу талантливого юноши. В 1941 году ему удалось закончить Ленинградский университет и поступить в аспирантуру к А. Д. Александрову. Но вскоре он ушел на фронт, осенью 1941 года был ранен. В госпитале он и написал работу об обобщении теоремы Коши. Вернувшись на фронт, С. П. Оловянишников погиб в декабре 1941 года на «Невском пятачке» – известном кровопролитными боями плацдарме).

Что касается наиболее полного обобщения теоремы Коши на случай произвольных, а не только многогранных поверхностей, то этот вопрос долгое время оставался нерешенным. Пусть произвольная замкнутая выпуклая поверхность выполнена из тонкого, гибкого, но нерастяжимого материала. Можно ли, сохраняя выпуклость, получить из нее поверхность другой геометрической формы? Если исходная поверхность – выпуклый многогранник, то нельзя – это случай теоремы Коши–Александрова–Оловянишникова о единственности.

Окончательное обобщение теоремы Коши на случай произвольных поверхностей было получено в 1949 году также представителем школы Александрова, советским геометром, академиком А. В. Погореловым. Погорелов доказал, что любая замкнутая выпуклая поверхность неизгибаема с условием сохранения ее выпуклости. Теорема Погорелова о единственности, как и теорема Александрова о достаточности, принадлежит к числу выдающихся достижений в области геометрии.

Заключение.

В геометрии есть немало интересных нерешенных задач, которые ждут своих будущих исследователей. Некоторые из проблем формулируются совсем элементарно, взять хотя бы упоминавшуюся нами гипотезу о сохранении объема при изгибании невыпуклых многогранников. Если думать в этом направлении, то полезно было бы начать с попытки построить новые, еще неизвестные примеры изгибаемых многогранников. Не исключено, что среди вновь открытых могут оказаться многогранники, опровергающие эту гипотезу.

Заметим, что все результаты, о которых мы узнали в результате выполненной исследовательской работы, были получены математиками в возрасте до тридцати лет. Математика двигается вперед усилиями молодых. Как сказал один известный математик, новые идеи рождаются в головах молодых геометров, но старые при этом полезны в роли «повивальной бабки».

Чтобы убедиться на практике в жесткости и изгибаемости выпуклых многогранников и в их изгибаемости была выполнена следующая практическая работа. На рисунке 11 изображен, наиболее простой известный изгибаемый многогранник – флексор, который предложил Клаус Штеффен, и зеркальный  образ этого флексора. Развертка этого флексора (приложения 1,2) состоит из двух равных оснований и крышки. В качестве значений a,b,c,d,e хорошо подходят a=12, b=10, c=5, d=11, e=17. После того как мы вырезали основание, мы склеили попарно ребра с так, чтобы в одной вершине (отмеченной светлым кружком) основание было  выпуклым в одну сторону, а в другой вершине (отмеченной темным кружком) – в противоположную, так что в целом основание не является выпуклым. Второе основание склеили точно так же, поэтому оба основания совместились друг c другом. После этого мы склеили основания так, что у каждого из них осталось по два свободных ребра, эти четыре ребра мы заклеили крышкой. Полученный многогранник – флексор непрерывно изгибаем: его можно немного сжимать и разжимать, изменяя двугранные углы при ребрах [2].

Библиографический список.

1.      Залгаллер В. Непрерывно изгибаемый многогранник // Квант. – 1978. – №9. – С. 13-19.

2.      Долбилин Н.П. Жесткость выпуклых многогранников // Квант. – 1988. – №5. – С. 6-14.

Приложение 1

Приложение 2