Исследовательская работа по математике (11 класс) на тему: "Золотое сечение"

_____________________________________ _____________________________________________________________________________ Тема: «Золотое сечение в архитектуре и у живых существ»

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение…………..…………………………………………………………………

3

1. Золотое сечение …………………………………………………..….......

4

1.1 Геометрическое понятие золотого сечения ………………….………

6

1.2 Золотое сечение в искусстве………………………………….……….

7

1.3 Золотое сечение в древней архитектуре....…………………………...

9

1.4 Золотое сечение и спирали…………………………………………….

13

1.5 Золотое сечение в современной архитектуре…………………………

14

1.6. Золотое сечение у живых существ……………………………………

18

Заключение…………………………………………………………………………..

22

Библиографический список………………………………………………

23

ВВЕДЕНИЕ

Теперь более чем когда-либо все в нашем мире основано на числах. Некоторые из них даже имеют собственные имена, например, число пи (π), число е.

Среди всех этих замечательных чисел одно является особенно интересным: 1,6180339887... Оказывается, что это число очаровало намного больше блестящих умов, чем π и е вместе взятые. Список имен, данных этому числу, довольно длинен и показывает, с каким благоговением к нему относились: золотое число, трансцендентное сечение, божественное число, божественное сечение... Основное его название - золотое сечение. Оно обозначается греческой буквой Ф (фи) и играет в математике выдающуюся роль, обладая удивительными свойствами и неожиданными связями с творениями природы и человека. Мы постараемся узнать о нескольких уникальных примерах невероятного мира золотого сечения.

Золотое сечение применяется в науке и искусстве на протяжении всей истории человечества, а также играет важную роль в морфологии (науке о формах) животных и растений. Золотое сечение начинается на страницах евклидовых «Начал» — величайшего научного бестселлера всех времен и народов и продолжает применяться во Флоренции в эпоху Возрождения, где создавал шедевры искусства ее самый знаменитый сын — Леонардо да Винчи.

Одним из чудесных свойств золотого сечения является его неисчерпаемая способность порождать изысканные формы: от треугольников до двадцатигранных тел, называемых икосаэдрами. Но, несмотря на почетное имя, это число встречается даже в повседневных геометрических объектах, таких как кредитные карты и пятиконечная звезда. Форма кредитных карт представляет собой пример так называемого «золотого» прямоугольника, стороны которого находятся в «золотом» отношении. Так что «золотые» прямоугольники повсеместно распространены. Все они тесно связаны с золотым сечением и часто встречаются в структуре зданий, мозаиках и даже в настольных играх.

Но самым удивительным фактом является связь между золотым сечением и абстрактными идеями красоты и совершенства, которыми так увлечено человечество. Мы постараемся узнать как Леонардо да Винчи, Ле Корбюзье и другие легендарные личности, были очарованы красотой золотого сечения. Если отвлечься от творений рук человеческих и посмотреть на окружающую нас природу, то и там мы обнаружим золотое сечение. Развитие многих живых существ следует законам, установленным этим числом, и даже фракталы — красивые структуры, недавно открытые математиками, — связаны с золотым сечением.

1. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Чувствам человека приятны объекты, обладающие правильными пропорциями.

Святой Фома Аквинский (1225—1274)

Что общего имеют такие, казалось бы, не связанные друг с другом природные явления, как расположение семян подсолнечника, элегантная спираль раковины улитки и форма Млечного Пути? Какой универсальный геометрический принцип скрыт в работах великих художников и архитекторов от Витрувия до Ле Корбюзье, от Леонардо да Винчи до Сальвадора Дали? Как бы это невероятно ни звучало, ответом на эти вопросы является просто число - известное на протяжении многих веков, которое постоянно появляется в различных творениях природы и искусства. Это число, как уже говорилось, имеет несколько имен - «божественное сечение», «золотое сечение» и «золотое число». Записать это число практически невозможно, не потому, что оно слишком большое, — оно чуть больше единицы — а потому, что оно состоит из бесконечного ряда цифр, которые никогда не образуют повторяющуюся группу. Поэтому нам придется использовать математическую формулу для записи золотого сечения:

=1,6180339887…

Как же это математическое выражение было получено? Стоит признать, что, по крайней мере на первый взгляд, «божественное сечение» не выглядит особенно впечатляющим. Наметанный глаз, однако, сразу заметит что-то подозрительное, раз появился квадратный корень из пяти. Этот корень обладает рядом свойств, которые дали этому числу, как и многим другим подобным, странное название «иррациональных». Иррациональные числа — это особые числа [1].

Золотое сечение является иррациональным числом, которое обозначается греческой буквой фи (Ф). Оно было открыто древними греками, и его документированная история начинается с одной из самых известных и много раз переиздаваемых книг всех времен и народов «Начал» Евклида Александрийского (325-265 гг. до н.э.), написанной около 300 г. до н. э.

Шедевр Евклида является первым научным бестселлером в истории. Ученый преследовал две цели, когда писал эту работу. С одной стороны, он хотел собрать все математические результаты того времени и составить энциклопедию, которая служила бы учебником. С другой стороны, он хотел разработать определенную методологию доказательств и построить новую математическую теорию, основанную на аксиомах (утверждениях, принимаемых без доказательств) и законах дедукции. Успех «Начал» бесспорен, эта книга оказала значительное влияние на развитие всех областей математики. Поскольку математика является обязательным предметом всех систем образования во всех странах мира, каждый человек на Земле, ходивший в школу, так или иначе познакомился с «Началами» через тексты учебников математики. «Начала» состоят из 13 книг. Первые шесть посвящены элементарной геометрии, книги с седьмой по десятую — вопросам чисел, а с одиннадцатой по тринадцатую — стереометрии. Шестая книга содержит текст, с которого началась история золотого сечения: «Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении значит разделить ее на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему». Или, выражаясь более кратко: «Целое относится к большей части, как большая часть к меньшей». Первый английский перевод работ Евклида был сделан в 1570 г. Генри Биллингсли, ставшим вскоре лорд-мэром Лондона.

Крайнее и среднее отношение, которое прозвучало так ненавязчиво, что его нетрудно упустить из вида, является тем самым числом, которое впоследствии стало известно как золотое сечение и которому в 1509 г. Лука Пачоли посвятил целый трактат под названием «О божественной пропорции». Современное обозначение золотого сечения Ф (фи), появилось значительно позже, в начале XX века, когда американец Марк Барр предложил использовать первую букву имени Фидий, архитектора Парфенона в Афинах.

Зная историю золотого сечения и его определение как иррационального числа, скажем о его математических свойствах. Прежде всего, посчитаем значение числа Ф. Разделим отрезок на две части (рисунок 1), тогда он будет разделен в крайнем и среднем отношении в терминах Евклида, иначе говоря, в «золотом» отношении, если , (золотая пропорция).

Рисунок 1

Если дроби равны, то равны и соответствующие произведения по правилу «крест-накрест». Это приводит к квадратному уравнению, которое эквивалентно квадратному уравнению: . У этого уравнения есть два решения, запишем лишь положительное: =1,6180339887...

Это и есть золотое сечение, которое обозначается Ф (фи). Так как решение уравнения является отношением между длинами частей отрезка, то оно не зависит от длины самого отрезка. Другими словами, значение золотого сечения не зависит от первоначальной длины.

Так как выражение содержит квадратный корень, число Ф будет иррациональным числом. Это значит, что мы не можем записать его в виде конечного десятичного числа. Более того, бесконечная строка десятичных знаков не содержит периодически повторяющихся групп цифр. Число Ф, таким образом, является непериодическим десятичным числом, которое невозможно вычислить до конца. Более точное вычисление числа Ф не имеет смысла, потому что оно особенно важно в геометрическом виде, а не в числовом. Достаточно сказать, что Ф = 1,618033988749894, потому что 15 знаков после запятой вполне достаточно для любых возможных расчетов [1].

1. 1. Геометрическое понятие золотого сечения.

Если подойти к золотому сечению геометрически, чтобы найти его предполагаемое божественное свойство, нужно построить прямоугольник, одна сторона которого в 1,618 раз длиннее другой; получится прямоугольник, в котором соотношение сторон представляет собой золотое сечение (точнее, его приблизительное значение). Вот что у нас получится (рисунок 2):

Рисунок 2

Прямоугольник с таким соотношением сторон называется «золотым». На первый взгляд он может показаться нам обычным прямоугольником. Тем не менее, если проделать простой эксперимент с двумя кредитными картами, тоже получим «золотой прямоугольник». Положим одну из них горизонтально, а другую вертикально так, чтобы их нижние стороны находились на одной линии (рисунок 3):

Рисунок 3

Если в горизонтальной карте мы проведем диагональную линию и продолжим ее, то увидим, что она пройдет в точности через правый верхний угол вертикальной карты — приятная неожиданность. Проделав этот эксперимент с двумя книгами одинакового размера, а именно с учебниками или книгами карманного формата, мы получили тот же результат. Это свойство является характерным для двух «золотых» прямоугольников одинакового размера. Многие повседневные прямоугольные объекты созданы с таким соотношением размеров. Случайность? Может быть. Или, возможно, такие прямоугольники и другие геометрические формы, использующие золотое сечение, по каким-то причинам особенно приятны глазу [2].

1. 2. Золотое сечение в искусстве.

Если рассмотреть картину «Мона Лиза» или, как еще ее называют, «Джоконда» (рисунок 4) – самую загадочную улыбку в истории искусства, то можно увидеть, что ее портрет тоже построен на золотом сечении. Исследования показали: ее лицо и в целом, и в деталях обрамлено элегантной последовательностью «золотых» прямоугольников разных размеров. Это получится если наложить несколько «золотых» прямоугольников на изображение лица прекрасной девушки. Думал ли Леонардо да Винчи о золотом сечении, работая над своим шедевром? Это кажется маловероятным. Однако мы можем быть вполне уверены, что флорентийский гений придавал большое значение связи между эстетикой и математикой. Леонардо да Винчи продолжил изучение перспективы, эта тема при его жизни была очень популярна.

Рисунок 4

Великий гений говорил: «Перспектива есть руль живописи». Хотя нет прямых свидетельств того, что Леонардо использовал золотое сечение, композиции его работ, таких как «Тайная Вечеря» (рисунок 5), содержат поразительное множество золотых пропорций, особенно «золотые» прямоугольники.

Рисунок 5

В «Тайной Вечере» «золотые» прямоугольники определяют как размеры картины, так и положение Христа и Его учеников. Также можно заметить, что стены комнаты и окна на заднем плане следуют правилу золотого сечения. Леонардо, конечно, не единственный художник, в чьих работах встречается золотое сечение как в виде отношения двух сторон прямоугольника, так и в более сложных геометрических формах. В экстраординарной работе «Тайная вечеря» Сальвадора Дали золотое сечение тоже играет важную роль. Мало того, что полотно картины имеет размеры 268 на 167 сантиметров (почти идеальный «золотой» прямоугольник), так еще в центре картины изображен монументальный додекаэдр [4]. Эта фигура является одним из правильных многогранников, которые можно вписать в сферу, и тесно связана с золотым сечением. На картине «Купальщики в Аньере» Жоржа Сёра некоторые из элементов картины также могут быть вписаны в «золотые» прямоугольники (Рисунок 6).

Рисунок 6

1. 3. Золотое сечение в древней архитектуре.

Золотое сечение встречается в архитектуре со времен древних египтян, хотя мы не можем с уверенностью сказать, что такие пропорции использовались умышленно. Например, высота и основание Великой Пирамиды имеют непосредственное отношение к Ф (рисунок 7).

Рисунок 7

Триумфальные арки Древнего Рима тоже содержат золотое сечение, как и ликийские гробницы, и храмы древнего города Миры (ныне город Демре в Турции). Другие цивилизации, далекие от классической культуры, похоже, тоже ценили золотые пропорции. Рядом с озером Титикака, недалеко от Ла-Паса, столицы Боливии, находятся Врата Солнца (рисунок 8) — каменная арка доинковской эпохи с пропорциями, которые полностью диктуются золотым сечением[4].

Рисунок 8

Если посмотреть на схему выше указанного архитектурного шедевра (рисунок 9), то мы также увидим множество «золотых» прямоугольников.

Рисунок 9

Из всех архитектурных творений древнего мира лучше других эффект золотого сечения иллюстрирует именно Парфенон (рисунок 10), который находится в Афинах. Современное название золотого сечения фи происходит от имени Фидия, творца этого древнего чуда (как уже говорилось ранее).

Рисунок 10

Конечно, крайнее и среднее отношение часто использовалось в греческой культуре, но точные измерения в наше время выявили на удивление много неточностей, вызвавших подозрение многих экспертов. Может быть, людям лишь хотелось увидеть золотое сечение в пропорциях Парфенона, в то время как его строители использовали совсем другие соотношения? Оказывается можно насчитать 666 шагов по лестнице или 666 дюймов между какими-то двумя точками, что можно объявить это знаком дьявола. Точно так же, проделав соответствующие измерения в любом здании, мы почти всегда можем найти Ф как отношение каких-то размеров, хотя архитектор даже не думал об этом [1].

Мы можем, однако, подтвердить преднамеренное использование золотого сечения в средние века, потому что эти случаи часто были задокументированы. Правильный пятиугольник или пятиугольная звезда часто встречаются в этот период. Классическими примерами являются впечатляющие оконные розы готических соборов.

Благодаря переводам работ Витрувия архитекторы-теоретики эпохи Возрождения в стремлении к красоте снова обратились к идеям гармоничных пропорций. Лука Пачоли (итальянский математик) ставит человека в центр всего сущего: «Мы будем говорить в первую очередь о пропорциях человеческого тела, так как все измерения так или иначе диктуются человеческим телом, и рука Всемогущего указывает все виды пропорций, открывающие нам самые сокровенные тайны природы», чтобы затем использовать человека в качестве эталона пропорций. По этой причине древние архитекторы, учитывая правильные пропорции человеческого тела, создавали все свои работы, и особенно священные храмы, в соответствии с пропорциями тела человека, потому что в нем они обнаружили две основные фигуры, без которых невозможно ничего сотворить, а именно круг и квадрат.

В «Десяти книгах о зодчестве» эрудит Леон Баттиста Альберти (1404—1472) утверждал, что красота заключается в гармонии частей друг с другом и с целым. Альберти говорил, что красота «является абсолютным значением эстетического организма, которое посредством математических расчетов и взаимосвязи пропорций или, как писал Платон в трактате «Тимей», с помощью пифагорейских средних, вызывает в душе человека внутреннюю радость, рождая гармонию между человеком и Вселенной».

Тесная связь между пропорциями и гармонией в области музыки вдохновила на поиск подобных связей в структурных элементах зданий. Возможно, эта идея впервые появилась у Андреа Палладио (1508—1580), венецианского архитектора, работавшего в стиле маньеризма и оказавшего большое влияние на неоклассицизм. В работе «Десять книг о зодчестве» Альберти писал, что пропорции звуков являются гармонией для ушей, а пропорции размеров гармонией для глаз: «Такие гармонии производят очень приятное впечатление, хотя никто не знает, почему, за исключением тех, кто изучает причины вещей».

Италия эпохи Возрождения была не единственным местом, где золотое сечение использовалось при строительстве зданий. Университет Саламанки (рисунок 11) — первое учебное заведение в Европе, известное под названием «университет» — является самым старым университетом в Испании (основан в 1218 г.). Его фасад был перестроен в

Рисунок 11

XV веке в стиле платереско, который был характерен для эпохи испанского Возрождения и является смешением мавританского стиля и фламандской готики. Золотое сечение лежит в основе пропорций этого здания, например - фасад его содержит большой «золотой» прямоугольник [1].

1. 4. Золотое сечение и спирали.

Самым удивительным образом Ф (фи) проявляется в спиралях. Предположим, у нас есть «золотой» прямоугольник, от которого мы отсекаем квадраты, получая все меньшие «золотые» прямоугольники (рисунок 12).

1

Рисунок 12

Затем мы проведем четверть дуги окружности в каждом из отсекаемых квадратов. Радиус каждой из окружностей равен длине стороны квадрата, а центром является вершина, общая со следующим «золотым» прямоугольником. Это будут точки 1,2, 3,4, 5... Таким образом, мы получим линию, называемую логарифмической спиралью или спираль золотого сечения (рисунок 13).

Рисунок 13

Спираль является такой кривой линией, форма которой не меняется при изменении размера. Это свойство называется самоподобием.

Другим важным свойством спирали является равноугольность: если провести прямую линию от центра спирали, точки ее возникновения, к любой другой точке, углы пересечений с кривой всегда будут одинаковыми. Поэтому, если мы хотим наблюдать точку под постоянным углом, мы должны двигаться вокруг нее по траектории, которая является логарифмической спиралью. Она также известна как геометрическая спираль, так как длина радиус-вектора — отрезка, соединяющего центр с точкой на спирали — увеличивается в геометрической прогрессии, в то время как угол, образованный радиус-вектором, увеличивается в арифметической прогрессии.

Строго говоря, кривая, которую мы только что построили в наших «золотых» прямоугольниках, не является спиралью, так как она образована дугами разных окружностей, соединенных между собой искусственно, но она приближена к логарифмической спирали. Спираль не касается четвертинок окружностей, а пересекает их, пусть и под очень малым углом. Настоящая логарифмическая спираль выглядит следующим образом (рисунок 14):

Рисунок 14

1. 5. Золотое сечение в современной архитектуре.

Достижения в области строительной техники и разработки новых материалов открыли новые возможности для архитекторов XX века. Американец Фрэнк Ллойд Райт (1867—1959) был одним из главных сторонников органической архитектуры. Незадолго до смерти он спроектировал музей Соломона Гуггенхайма (рисунок 15) в Нью-Йорке, представляющий собой опрокинутую («золотую») спираль, а интерьер музея напоминает раковину наутилуса.

Рисунок 15

Польско-израильский архитектор Цви Хекер (р. 1931) также использовал спиральные конструкции в проекте школы им. Хайнца Галински (Рисунок 16) в Берлине, построенной в 1995 г. Хекер начал с идеи подсолнечника с центральным кругом, откуда расходятся все архитектурные элементы.

Рисунок 16

Здание представляет собой сочетание ортогональных и концентрических спиралей, символизируя взаимодействие ограниченных человеческих знаний и управляемого хаоса природы. Его архитектура имитирует растение, которое следует за движением Солнца, а потому классные комнаты освещены в течение всего дня [1].

«Памятник III Интернационалу» (рисунок17), предложенный русским дизайнером Владимиром Татлиным (1885-1953) в 1920 г., никогда не был построен, он представлен лишь в виде модели огромной башни из железа, стекла и стали. Двойная спираль из железа и стали обвивается вокруг трех этажей со множеством стеклянных окон. Каждый этаж должен был вращаться с разной скоростью. Первый этаж, куб, делает один оборот в течение года, второй этаж, пирамида, вращается со скоростью один оборот в месяц, а третий, цилиндр, совершает один оборот в день.

Рисунок 17

В Куинси-парке, расположенном в Кембридже, штат Массачусетс (США), «золотую» спираль можно встретить часто. Парк был спроектирован в 1997 г. художником Дэвидом Филлипсом и находится недалеко от Математического института Клэя. Это заведение является известным центром математических исследований. Кроме прочего, институт выдает многомиллионные награды за решение семи проблем тысячелетия, выбранных крупнейшими специалистами в каждой области. В Куинси-парке можно прогуливаться среди «золотых» спиралей и металлических кривых, рельефов из двух раковин и скалы с символом квадратного корня. На табличке написана информация о золотой пропорции. Даже парковка для велосипедов использует символ Ф.

Шарль Эдуар Жаннере-Гри, более известный как Ле Корбюзье (1887-1917), занимался не только архитектурой, но и планировкой городов и товарным дизайном. Некоторые из его конструкций стали «иконами» современного дизайна, например, шезлонг. Ле Корбюзье строил дома и крупные городские сооружения в странах по всему миру, став одним из самых знаменитых архитекторов. Он участвовал в международной комиссии, которая проектировала здание Организации Объединенных Наций (рисунок 18) в Нью-Йорке. Этот проект был окончательно завершен Нимейером, другим гигантом архитектуры и учеником Ле Корбюзье. Поэтому неудивительно, что фасад здания ООН представляет собой три «золотых» прямоугольника.

Чтобы вернуть человека в архитектуру, Ле Корбюзье изобрел собственную систему мер на основе золотого сечения, но с современным содержанием. По аналогии с «Витрувианским человеком», он придумал «Модулора». Метр, сантиметр, дециметр —

Рисунок 18

эти единицы не отражают человеческие пропорции, а Модулор отражает (рисунок 19). Ле Корбюзье измерил расстояния от солнечного сплетения к голове и руке и нашел золотое сечение, он создал систему мер, которая отвечает пропорциям человеческого тела и открыл это, не осознавая всего. По его мнению - это открывало огромные возможности для промышленности, полезно и современно, это сенсационное нововведение [4].

Рисунок 19

Ле Корбюзье запланировал музей «Мунданеум» в Женеве в виде прямоугольного города, где соотношение между длиной и шириной составляет Ф: «Золотое сечение определяет обе оси координат, а также периметр. Ритм диктуется золотой пропорцией, что определяло гармонию большого количества работ на протяжении всей истории». В годы Второй мировой войны строительство музея приостановилось.

1. 6. Золотое сечение у живых существ.

Если представить себе очень простую форму вроде прямоугольника, то может возникнуть вопрос - как можно увеличить его размеры, не теряя соотношения сторон? Здравый смысл подсказывает нам, что прямоугольник должен расти равномерно, то есть в одинаковой пропорции во всех направлениях, как если бы его стороны были эластичными и понемногу бы растягивались. Логично предположить, что естественный рост прямоугольника означает, что все стороны удлиняются с одинаковой скоростью. Но тогда соотношение сторон будет меняться, и растущий прямоугольник изменит пропорции.

В результате исследования выявлено, что при добавлении квадрата к «золотому» прямоугольнику, если сторона квадрата равна длинной стороне прямоугольника, получается другой «золотой» прямоугольник. Размер «золотого» прямоугольника увеличился, но его форма сохранилась, так как во всех «золотых» прямоугольниках соотношение сторон одно и то же (Ф). То же самое происходит, когда мы отсекаем квадрат от «золотого» прямоугольника. Еще древние греки заметили, что некоторые объекты природы, меняясь по величине, всегда сохраняют свою форму. Это явление получило название гномонического роста. Изобретатель и инженер Герон Александрийский дал такое определение: «Гномон - это фигура, которая, будучи добавлена к другой фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной». Поэтому можно сказать, что гномоном «золотого» прямоугольника является квадрат со стороной, равной длине «золотого» прямоугольника. Это свойство характерно для «золотых» прямоугольников и эквивалентно определению Ф. Поэтому чтобы изменить размер фигуры, не изменяя ее формы, мы можем использовать золотую пропорцию. В этом можно убедиться, наблюдая за ростом живых существ, например, растений [3].

Чтобы понять, что именно подразумевается под «сохранением формы», рассмотрим пример человека (рисунок 20). Изменяются ли наши пропорции по мере нашего роста? Действительно, следует заметить, что развитие человеческого тела представляет собой постоянное изменение пропорций. На рисунке 20 изображены: плод человека в 2 месяца; плод человека в 7 месяцев; плод человека в 9 месяцев; ребенок в 2 года; ребенок в 6 лет; ребенок в 12 лет; человек в 18 лет.

Рисунок 20

Как бы мы к этому ни относились, но, к счастью, по мере взросления мы изменяемся. Если бы мы сохранили пропорции, данные нам при рождении, нам было бы трудно удержать голову в вертикальном положении. «Золотая» спираль отличается от других спиралей тем, что она расширяется с каждым витком. Шотландский биолог Д’Арси Томпсон (1860—1948), известный как «первый биоматематик», заметил, что способ увеличения в размерах некоторых живых существ без изменения формы характерен только для золотой (логарифмической) спирали в отличие от других математических кривых: «Любая плоская кривая с фиксированным полюсом, такая, что полярная область сектора всегда является гномоном предыдущей области, есть логарифмическая спираль» [1].

Насекомые летят по «золотой» спирали, когда приближаются к источнику света. Если, пытаясь приблизиться к неподвижной точке, мы хотим сохранять при этом угол поворота, такая спираль является для нас единственной возможной траекторией. Хищные птицы следуют такой траектории, когда нападают на добычу. Это единственный способ держать голову в одном и том же положении, чтобы не выпускать цель из поля зрения при максимальной скорости.

«Витрувианский человек» Леонардо да Винчи строился на предположении, что Ф присутствует в животном мире. Начиная с того времени, в науке и искусстве продолжаются исследования связей различных частей человеческого тела с золотым сечением. Однако уже в средние века меры частей человеческого тела использовались в качестве стандартов. При постройке французских соборов использовался измерительный прибор, состоящий из пяти стержней (рисунок 21), представляющих длины ладони, большой и малой пяди (расстояния от конца мизинца до конца большого и указательного пальцев соответственно), ступни и локтя.

Рисунок 21

Все эти длины были кратны меньшей единице длины, называемой линией равной 1/12 дюйма, то есть немногим меньше 2,5 мм (точнее, 2,247 мм). На рисунке 22 показаны эти меры длины в метрических единицах. Мы видим, что отношение каждого к предыдущему равно Ф, что еще более удивительно, ведь эти единицы измерений соответствуют произвольным частям человеческого тела. Проверим: 55:34=1,618; 89:55=1,618; 144:89=1,618; 233:144=1,618.

Рисунок 22

В заключении хотелось бы представить первые тысячу знаков после запятой числа Ф (фи), рассчитанные компьютером в 1996 году: 1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мир фракталов глубок и сложен, мы лишь едва коснулись его. Роль Ф (фи) во фрактальных структурах вовсе не ограничивается тем, что мы исследовали и увидели. Но самое интересное заключается в том, что это древнее и прославленное число, появившееся в математике более 20 веков назад, до сих пор встречается в новых областях современной науки. Число Ф не является отслужившей свое игрушкой, оно и сегодня продолжает играть важную роль. Мы рассмотрели золотое сечение в некоторых разных областях: живопись, архитектура, природа. Несомненно, в наши дни откроется еще много новых открытий, связанных с золотым сечением. Перед нами могут возникнуть еще много вопросов, такие как: Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на многие вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение - ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала.

Библиографический список

1. Фернандо Корбалан. Мир математики: в 40 т. Т. 1/ Золотое сечение. Математический язык красоты. /Пер. с англ. – М.: Де Агостини, 2014. – 160с.

2. Большой энциклопедический словарь: математика. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1988. – 847 с.

3. "Математика – Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998

4. Википедия. Свободная энциклопедия. [Электр. ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org (дата обращения 02.02.2015)

27