Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по математике " Кубическое уравнение и методы его решения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа по математике " Кубическое уравнение и методы его решения"

библиотека
материалов

МБОУ « Мордовско-Паевская средняя общеобразовательная школа»

hello_html_m289a7a2d.gif





Районная научно-практическая конференция

« Первые шаги в науку-2016»

Секция «Точные науки. Математика»



Выполнил: ученик 11 класса МБОУ

« Мордовско-Паевская СОШ»

Ерочкин Иван

Руководитель: учитель математики

Кадышкина Н.В.

г. Инсар, 2016 г.



Оглавление

Введение

Основная часть

  1. Кубическое уравнение и корни кубического уравнения …………………3

  2. Методы решения…………………………………………………………….3

2.1.Простейшие кубические уравнения……………………………………….4

2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители…………… 5

2.3. Способ понижения степени уравнения…………………………………..5

2.4.Теорема Виета для кубического уравнения………………………………6

2.5.Формула Кардано …………………………………………………………….7

2.6. Метод неопределенных коэффициентов…………………………………..12

2.7. Использование монотонности функции……………… ………………….13

2.8. Графический способ…………………………………………………………14



  1. Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности

способов решения……………………………………………………………… 14



Заключение………………………………………………… ……………………. 15

Литература……………………………………………………………………… 16















Введение

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой. Любому завороженному математическими тайнами человеку интересно знать историю математических открытий, разные способы решения задач, уметь использовать математические теоремы для решения сложных задач. Заинтересовался методами решения уравнений третьей степени c произвольными действительными коэффициентами. Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решил искать частные примеры, подтверждающие ли опровергающие мою мысль. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о рациональных способах решения кубических уравнений. В моей работе я рассмотрел кубические уравнения и способы их решения, которые не изучаются в школьной программе.

Однако моей главной задачей в ходе работы было нахождение более рационального способа для решения уравнений третьей степени.

Цель работы: узнать о кубических уравнениях больше, чем позволяет школьная программа, найти наиболее простой и наглядный способ решения кубического уравнения, выявить наиболее рациональные способы решения.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить задачи:

  1. Подобрать необходимую литературу.

  2. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

  3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

  4. Найти различные методы и приёмы решений уравнений третьей степени.

  5. Создать электронную презентацию работы.

Актуальность: Практически все, что окружает современного человека – все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, в том числе и кубических, которые необходимо научиться решать.


Объект:  кубическое уравнение и способы его решения.

Предмет исследования - различные способы решения кубических уравнений.

Гипотеза - предположение о том, что существует связь между коэффициентами кубического уравнения и его корнями, при решении таких уравнений можно применять разнообразные способы.

В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования: - сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Основная часть  

I. Кубическое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий: ax 3 + b x 2 + cx + d =0, аǂ (1) где x-переменная, a,b,c,d, - некоторые числа. Если а=1,то уравнение называют приведенным кубическим уравнением: х3+bх2+cx+d=0 (2).

Корни уравнения Согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение может иметь три корня (с учетом кратности). Из справочной литературы я узнал, что для кубических уравнений тоже существует дискриминант, как и для квадратных уравнений, с помощью которого различаются три случая существования корней кубического уравнения (1), о котором речь пойдёт ниже.

Пока я не нашёл ответ на вопрос, существуют ли общие формулы для корней кубических уравнений, рассмотрим частные случаи.

I I. Методы решения

2.1.Начнем с простейшего случая, когда свободный член d =0, в этом случае, то есть уравнение имеет видhello_html_36c0fd0d.gif. Решается вынесением х за скобки. В скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти через дискриминантhello_html_37de0ccc.gif.

Пример. Найти действительные корни уравненияhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_348d14bb.gif.

Решение. hello_html_72b2ff93.gif,x=0 илиhello_html_20496ecf.gif. hello_html_m57c32296.gif меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Ответ: х=0.

Если в кубическом уравнении(1) b=c=0, то оно имеет достаточно простой вид: ax3+d=0. В этом случаеhello_html_m6ede46e3.gif . Пример. Найти действительные корни кубического уравнения hello_html_m758a6127.png

Решение: hello_html_m745cb524.gif

2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители

Симметрические или возвратные уравнения.

Уравнение вида ах3 + bx2 + bх + a = 0 называется возвратным или симметрическими, если его коэффициенты, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны.

Левую часть уравнения можно разложить на множители:

hello_html_56ec1894.gifТакое уравнение обязательно имеет корень х = -1, корни квадратного уравнения hello_html_m57e4c0cc.gif легко находятся через дискриминант

Пример:hello_html_m721a6c6d.gif,hello_html_36075b17.gif - корень уравнения, hello_html_m67194a91.gif, hello_html_m6023d20d.gif, D=36-4=32, hello_html_m290462b9.gif

Ответ: hello_html_36075b17.gif ,hello_html_m2754362.gif

Пример: Решить уравнение: х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.

Решение.

У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х3 + 2x2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:

х3 + 2x2 + 2х + 1 = (х + 1)(x2 + х + 1) = 0. Квадратное уравнение x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ: -1.

Пример. Решить кубическое уравнение hello_html_49bead2.png.

Решение. Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

hello_html_m18f5d3aa.gifОчевидно, x = -1 является корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена hello_html_m7375185e.png.

Ответ: hello_html_m51a8997a.gif

Кососимметрические уравнения

Уравнение видаhello_html_m727f5374.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif называется кососимметрическим кубическим уравнением. Такое уравнение обязательно имеет кореньhello_html_m46c80d2b.gif и сводится к квадратному.

Например: hello_html_3584b919.gif .

Используя корень hello_html_m46c80d2b.gif, сводим уравнение к квадратномуhello_html_m1c8897bf.gif , которое не имеет действительных корней.

Ответ: hello_html_m46c80d2b.gif .

Рассмотрим решение уравнения hello_html_5ab10655.gif в комплексных числах

hello_html_4b01acc1.gif

hello_html_d183bb1.gif

hello_html_m2e54b4a9.gif

hello_html_m72741e21.gif

hello_html_m57210e5f.gifили hello_html_m37aef933.gif, D = 1 – 36 = - 35, D < 0

hello_html_m2f9f333.gif, hello_html_m5009f49e.gif

Ответ: hello_html_m2f9f333.gif,hello_html_m5b90453b.gif

Для разложения многочлена на множители можно использовать различные способы: вынесение за скобки общего множителя, способ группировки, деление многочлена на многочлен, метод неопределенных коэффициентов, разложение по формулам сокращенного умножения и т.д.

2.3. Способ понижения степени уравнения.

Способ основан на теореме Безу и делении многочленов. Алгоритм его выполнения сводится к нижеследующему:

Первоначально подберем один из корней уравнения, использовав свойство, что у кубического уравнения неизменно присутствует, по крайней мере, один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена d.

И, соответственно, требуется обнаружить корень среди этих чисел и проверить его путём подстановки в уравнение.  Примем данный корень за x 1.

На следующем этапе разделим многочлен ax 3 + b x 2 + cx + d на двучлен x – x 1.

Применим теореме Безу (деление многочлена на линейный двучлен), согласно которой это деление без остатка возможно, и по итогу вычислений получаем многочлен второй степени, который равен нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) два других корня. 

Пример: x 3 – 3x2 – 13x + 15 = 0

Делители свободного члена: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Получаем, что 1 является корнем. Далее разделим левую часть этого уравнения на двучлен x- 1, и получим: x2 – 2x – 15. Корни квадратного уравнения: x2 – 2x – 15 = 0. x1 = –3 и x2 = 5.

Также кубическое уравнение можно решить, используя схему Горнера.

Далее в своей работе подробно остановлюсь на методах, на которых применил элементы своего исследования. Начну с метода неопределённых коэффициентов, основывающийся на утверждениях, которые помогут при выводе формул Виета и Кардано для нахождения корней кубического уравнения.

2.4.Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей – многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

-два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х; - любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

Пример: hello_html_m6d041d21.gifБудем искать многочлены hello_html_m3ff935ac.gif и hello_html_4af62884.gif такие, что справедливо тождественное равенство hello_html_m49e28b83.gif, выполняя умножение и группируя слагаемые, получаем hello_html_279b6999.gif.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получаем систему условий:hello_html_m1ac2e79.gif после решения системы получаем: hello_html_m7c86b3f3.gif, т. е. после разложения на множителиhello_html_6690c21.gif и после решения квадратного уравненияhello_html_65b1f7ae.gifhello_html_2bdb666e.gif Ответ: hello_html_65b1f7ae.gifhello_html_2bdb666e.gif

2.5. Теорема Виета для кубического уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения

х2+px+q=0, если х1 и х2 – его корни, то х2+рх+q= (х-х1)(х-х2); х2+рх+q= х2-(х12)·х+х1· х2,

т.е. х12= -р, х1· х2=q. Это верно, так как два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной.

Рассуждая аналогичным образом, я убедился, что теорема Виета верна и для кубического уравнения (2).

Пусть х1, х2, х3 – корни этого уравнения, тогда справедливо равенство х3+bх2+сх+d = (х-х1) · (х-х2) · (х-х3). Преобразуем его правую часть: (х-х1) · (х-х1·)(х-х3)=х3-(х123) · х2+(х1 х21 х32 х3) · х- х1 ·х2 ·х3; hello_html_m64a93d38.gif

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему равенств: hello_html_17b38894.gif

Формулы Виета для уравнения ax 3 + b x 2 + cx + d=0hello_html_m53d4ecad.gif

По теореме Виета корни кубического уравнения hello_html_44ffd920.png связаны с коэффициентами hello_html_3fc91d06.pngследующими соотношениями:

hello_html_114000eb.pnghello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m3a19635c.png

hello_html_m1cf7c195.png

Делением указанных тождеств друг на друга можно получить ещё несколько справедливых соотношений:

hello_html_51eb3ddc.png

hello_html_m1a21aa49.png

Пример. Решить уравнение х
3-3х2-х+3=0 с помощью формул Виета:

hello_html_7a58af9.gif

Подбором найдем, что х1= -1, х2=1, х3=3.

2.6.Формула Кардано

Известно, что формула изначально была открыта Тартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы. За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

Так как от уравнения ax 3 + b x 2 + cx + d=0 всегда можно перейти к уравнению х3+bх2+cx+d=0, то рассмотрим уравнение вида: х3+bx2+сх+d=0. Снова обратимся за аналогией к квадратным уравнениям. При решении квадратных уравнений применено выделение полного квадрата. Стоит попытаться в кубическом уравнении выделить полный куб, используя формулу (а+b)3=a3+b3+3ab·(a+b). (3)

Чтобы избежать громоздких выкладок в буквенном виде, я взял уравнение x3+4x2+x-6=0.

Выделим полный куб hello_html_189cdebc.gif, после раскрытия скобок и группировки, получим уравнение: hello_html_1afd4192.gif

Сделаем подстановку:hello_html_m12da4074.gif , отсюда hello_html_m419c4ae5.gif . hello_html_m53d4ecad.gif

Имеем:hello_html_18176f92.gif,hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_708030f5.gif,

т.е. удалось получить кубическое уравнение, не содержащее слагаемое с квадратом переменной. Значит, любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида x3+px+q=0 . (4)

Общий подход к решению уравнений вида (4) разработал Джероламо Кардано (1501-1576гг.).

Приведенное кубическое уравнениеhello_html_147a0067.gif с помощью заменыhello_html_e1c9076.gif

hello_html_m33f26992.png

(4)

      Если ввести обозначения hello_html_220b9713.png

дает неполное кубическое уравнение вида hello_html_24b9764e.gif

Найдём корни этого уравнения.

В формуле (а+b)3=a3+b3+3ab·(a+b) пусть hello_html_m4e5d0be7.gif , тогда получим hello_html_13dcc8b3.gif , откуда hello_html_20c9dfb.gif. Значит, hello_html_m12bf276a.gifhello_html_b521266.gif откуда hello_html_2211fab1.gifhello_html_17e2aa96.gif .hello_html_m53d4ecad.gif

Пусть hello_html_55755c7f.gifhello_html_m53d4ecad.gif

По теореме, обратной теореме Виета а3=t1 и b3=t2 являются корнями приведённого квадратного уравнения hello_html_m3862a28d.gif,

hello_html_289a391e.gif. Значит,

hello_html_3ac2d4b6.gif hello_html_2f1af88b.gif , hello_html_m77605385.gif Решение кубического уравнения - сумма этих корней: hello_html_m2f74c920.gif

Обозначимhello_html_m12cdb0c1.gif- дискриминант , тогдаhello_html_m5beef561.gif , после деления трёхчлена у3+pу +q на (у-у1) рассмотреть квадратное уравнение, найти у2 и у3, и вычислить х из hello_html_e1c9076.gif.

Эта формула очень громоздкая и сложная, так как содержит несколько радикалов. Применяется она крайне редко.

Пример: Решить уравнение:hello_html_m58145729.gif

Замена hello_html_4ec03792.gif, hello_html_d3c9da4.gif

hello_html_m7dc121e.gif, hello_html_m4d50cce9.gifhello_html_21643e46.gif

hello_html_m75ebabad.gif

hello_html_m2b206146.gifт.е.hello_html_6ec6cc10.gif

По схеме Горнера разделимhello_html_11423486.gif на, получим hello_html_425be12f.gif,

hello_html_m571c56f1.gifhello_html_1b1835a3.gif

Квадратное уравнение имеет 2 комплексных корня: hello_html_m65c5a442.gifhello_html_m7fcbae39.gif, тогда при hello_html_72ec24f4.gif hello_html_68f0b2d7.gif;

приhello_html_m1e6580ed.gif hello_html_44dd44f0.gif приhello_html_m43fc9f2e.gif hello_html_39f46dcc.gif.

Исходное уравнение имеет два комплексных корня и один действительный.

Ответ. hello_html_m4d9745d2.gif, hello_html_m40576b98.gif,hello_html_17fb7ac.gif.

Формула Кардано - методика определения корней кубического уравнения в поле комплексных чисел. Неполное кубическое уравнение hello_html_2a664be0.gifвсегда имеет хотя бы один действительный корень.

Пустьhello_html_m12cdb0c1.gif, hello_html_m384662a9.gif

1)  если D > 0, то hello_html_m7977146f.gify2 и у3 сопряженные комплексные числа;

2)  если D = 0, p ≠0 , q ≠0 , то уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают; при p = q = 0 получаем 3 совпадающих корня у1;2;3= 0.

3)  если D < 0, то три различных действительных корня.

Рассмотрим использование формул Кардано подробнее на примерах:

1)hello_html_m380be087.gif,

p = 15, q = 124, hello_html_m3f13b361.gif,

hello_html_3e935e4c.gif,hello_html_m55f94cec.gif hello_html_788644fa.png

D > 0 , тогда есть один действительный корень х1 = А + В, х1=1 – 5 = - 4, и два комплексно- сопряженных hello_html_m268a6fc9.gif.

Ответ:hello_html_a00f139.gif hello_html_29eb88b0.gif.

2)hello_html_m1270b744.gif,

p = - 12, q = 16 , hello_html_m41b31d06.gif

D= 0, тогда уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают

hello_html_248565ab.gif,hello_html_m52873984.gifhello_html_m292d86c1.gif

Х1 = -2 + (-2) = - 4 , Ответ. х1 = - 4, х2;3 = 2.

3) hello_html_5fcadc22.gif,

p = -21, q = 20 , hello_html_3a054fd7.gif

D< 0, уравнение имеет три различных действительных корня.

Получилось, что для вычисления корня моего уравнения по формуле hello_html_m384662a9.gif надо извлечь корень квадратный из отрицательного числа. А может быть по аналогии с квадратным уравнением предположить, что в этом случае нет корней, поскольку hello_html_m39a7bf3d.gif. Ведь корни у этого уравнения есть: они легко находятся. Эти корни можно найти, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано изучается в высшей математике.

Итак, я понял, что не всё так просто и легко от того, что имеем формулу Кардано.

Конечно, мне это показалось удивительным: все коэффициенты действительные, все корни действительные, а промежуточные вычисления приводят к несуществующим числам. Из справочной литературы я узнал, что это и есть тот «неприводимый случай», который заинтересовал многих математиков в XVI веке и привел к расширению множества действительных чисел. Значит, причина непопулярности формулы нахождения корней кубического уравнения не только в её громоздкости, а в её ненадежности. Его способ во всём уступает теореме Виета и схеме Горнера. Тогда зачем же она нужна? Во-первых, что формула дает ответ на вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах».

Во-вторых, применяется при решении уравнений с параметрами.

Пример1. При каком наименьшем натуральном а уравнение х3-3х +4-а=0 имеет одно действительное решение?

По формуле Кардано: p= –3; q =4-a

Так как по условию найти одно решение, то это возможно , если D>0.

hello_html_m12cdb0c1.gif; hello_html_4668fad9.gif;hello_html_mbbc682.gif;

hello_html_2d00b3d5.gif,

Решая методом интервалов, получаем hello_html_5ddcef27.gif. Наименьшее натуральное число из этих промежутков –число 1. Ответ: 1

Пример2. В зависимости от параметра а найти число корней уравнения х3 -3х-а=0.

p= –3; q =-a, hello_html_m796aa7ff.gif;

Решив методом интервалов, получаем: D >0 при hello_html_6ef6607d.gif-1 решение

D <0 при hello_html_meed4119.gif - 3 решения

D =0 при а =2 и при а=-2- 2 решения

2.7. Использование монотонности функции.

Этот способ основан на следующих утверждениях: 1) строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз; 2)если одна функция  возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение  f(х)=g(х)   имеет не более одного решения; 3)если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение f(х)=g(х)   либо имеет единственный корень, либо не имеет корней. Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений: уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида; уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции; уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

Пример. Решить уравнение : hello_html_m1045875d.gif. Решение: рассмотрим функцию у =hello_html_429ce0b9.gif и представим в виде суммы двух функций у = х3 и у = 3х – 4.Обе функции определены на множестве R и являются возрастающими. Следовательно, их сумма – возрастающая функция. А так как всякая монотонная функция каждое своё значение может принимать лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное нулю, она может принимать лишь при одном значении х. Значит, такое уравнение если имеет действительный корень, то только один. Испытывая делители свободного члена, находим, что х = 1. Ответ: х = 1.

Пример 2. Решить уравнение: х3 +х-2=0. Решение. Запишем уравнение в виде: x3 =2-x.  Рассмотрим функции  у=x3 и  у =2-x.Функция  у=x3  возрастает на всей области определения, а функция  у =2-x убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что х=1.Проверкой убеждаемся, что х=1  действительно корень уравнения. Ответ: 1

2.8. Графический способ.

Для решения уравненияhello_html_m75086d6a.gif запишем его в виде hello_html_278b6958.gif. Построим в одной системе координат графики функций hello_html_1330330b.gifи hello_html_m2bdda741.gif. Графики пересекаются в точке, с абсцисс0й hello_html_473c9e50.gif

С помощью графического метода можно приближенно находить корни уравнения или решать вопрос о количестве рациональных корней уравнения.

I I I. Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности способов решения.

Решить уравнение:  x 3 – 3x 2 – 13x + 15 = 0 . 

Р е ш е н и е .  1 способ: метод понижения степени Из делителей свободного члена hello_html_m67cd2bd6.gif находим, что 1 является корнем. Делим левую часть этого уравнения на двучлен  x – 1,  и получаем: x 2 – 2x – 15    Решая квадратное уравнение: x 2 – 2x – 15 = 0, находим корни:  x1 =  3  и  x2 = 5 . Ответ : 1; -3; 5.
2 способ: Tеорема Виета: hello_html_770e3f79.gifМетодом подбора:х=1; х=-3; х-5

3 способ: Формула Кардано:

Ввести замену х=у+1(hello_html_e1c9076.gif), получим hello_html_572fa0ee.gif, откуда у=0,у=4,у=-4. Подставив значения у в замену, получим значения х: х=1, х=5, х=-3.

4 способ: Метод неопределенных коэффициентов.

hello_html_1bd4842b.gifhello_html_m60c12e7e.gif

hello_html_25ac095b.gif

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором.

Так как а·d =15 , то будем искать решения среди вариантов: hello_html_6c9d57bc.gif

Из равенства с-а=-3 получаем , что а=-5;с=2, а из d-10=-13 , d=-3, т.е. после разложения hello_html_46c8b5b2.gif корнями будут числа х=1, х=5, х=-3.

Решая уравнения различными способами, я показал универсальность каждого метода, его оригинальность и рациональность. Сравнения различные способы решения кубических уравнений, можно сделать вывод: В каждом из методов решения есть свои плюсы и минусы, во многом они дополняют друг друга, например если у кубического уравнения слишком большие коэффициенты, его можно решить с помощью схемы Горнера и проверить теоремой Виета и каждый способ нужен для решения своих задач в математике. Ясно одно, что формулу Кардано нужно применить лишь в самом крайнем случае, когда все остальные способы не дадут точного ответа.

Заключение.

Просмотрев множество способов решения кубических уравнений я остался верен двум, на мой взгляд, самым надёжным и практичным способам - это теорема Виета и схема Горнера, они позволяют быть уверенным в своем ответе.

Я выдвинул гипотезу о существовании связи между коэффициентами кубического уравнения и его корнями и убедился, что такая формула существует.

В данной работе достигнуты цель и выполнены основные задачи: показаны и изучены новые, ранее неизвестные формулы. Я рассмотрел много примеров. Были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени.

Предлагаемая работа рассчитана на учеников 9 – 11 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, узнать больше о кубических уравнениях и способах их решения











Литература

  1. Алгебра и начала анализа, 10-11классы. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М.Москва. Просвещение, 2014г.

  2. Глейзер Г.И. История математики в школе 9-11кл.

  3. Математический энциклопедический словарь/гл. ред. Ю.В. Прохорова.— М. Современная энциклопедия, 1988.

  4. Электронная энциклопедия «Википедия»: http://wikipedia.org.

  5. Интернет.





17


Автор
Дата добавления 17.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2221
Номер материала ДБ-037888
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх