Исследовательская работа по математике " Кубическое уравнение и методы его решения"

         МБОУ « Мордовско-Паевская средняя общеобразовательная школа»

                   Районная         научно-практическая          конференция 

                                                         « Первые шаги в науку-2016»

                                  Секция «Точные науки.  Математика»

                                                              Выполнил:      ученик 11 класса МБОУ

                                                                              « Мордовско-Паевская СОШ»

                                                                     Ерочкин Иван

                                              Руководитель:   учитель математики

                                                                      Кадышкина Н.В.

                               г. Инсар,      2016 г.

        Оглавление

             Введение

           Основная часть

I.                  Кубическое уравнение и корни кубического уравнения …………………3

II.              Методы решения…………………………………………………………….3                                   

     2.1.Простейшие кубические уравнения……………………………………….4

                 2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители……………  5 

2.3. Способ понижения степени уравнения…………………………………..5 

2.4.Теорема Виета для кубического уравнения………………………………6

                2.5.Формула Кардано …………………………………………………………….7

    2.6. Метод неопределенных коэффициентов…………………………………..12

               2.7.  Использование монотонности функции……………… ………………….13

               2.8. Графический способ…………………………………………………………14

III.           Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности

              способов решения………………………………………………………………    14

              Заключение………………………………………………… ……………………. 15                      

              Литература………………………………………………………………………   16

                                     Введение

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой. Любому завороженному математическими тайнами человеку интересно знать историю математических открытий, разные способы решения задач, уметь использовать  математические теоремы для решения сложных задач. Заинтересовался методами решения уравнений третьей степени c произвольными действительными коэффициентами. Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решил искать частные примеры, подтверждающие ли опровергающие мою мысль. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о рациональных способах решения кубических уравнений. В моей работе я рассмотрел кубические  уравнения и способы их решения, которые не изучаются в школьной программе.

Однако моей  главной задачей в ходе работы было нахождение более рационального способа для решения уравнений третьей степени.

          Цель работы: узнать о кубических уравнениях больше, чем позволяет школьная программа, найти наиболее простой и наглядный способ решения кубического уравнения, выявить наиболее рациональные способы решения.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить  задачи:

1.   Подобрать необходимую литературу.

2.   Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

3.   Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

4.   Найти различные методы и приёмы решений уравнений третьей степени.

5.     Создать электронную презентацию работы.

Актуальность: Практически все, что окружает современного человека –  все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, в том числе и кубических,  которые необходимо научиться решать.

Объект:  кубическое уравнение  и способы его решения.

Предмет исследования - различные способы решения кубических уравнений.

Гипотеза - предположение о том, что существует связь между коэффициентами кубического уравнения и его корнями, при решении таких уравнений можно применять разнообразные способы.

В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования:                     - сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

                                       Основная часть  

 I. Кубическое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий: ax ³ + b x ² + cx + d =0, аǂ                                               (1)                где x-переменная, a,b,c,d, - некоторые числа.                                                                             Если а=1,то уравнение называют приведенным кубическим уравнением: х³+bх²+cx+d=0                                                                                                             (2).

Корни уравнения                                                                                                                                                                                                                      Согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение может иметь три корня (с учетом кратности). Из справочной литературы я узнал, что для кубических уравнений тоже существует дискриминант, как и для квадратных уравнений, с помощью которого различаются три случая существования корней кубического уравнения (1), о котором речь пойдёт ниже.

Пока я не нашёл  ответ на вопрос, существуют ли общие формулы для корней кубических уравнений, рассмотрим частные случаи.

                                I I.   Методы решения

2.1.Начнем с простейшего случая, когда свободный член d =0,  в этом случае, то есть уравнение имеет вид.   Решается вынесением х за скобки. В скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти через дискриминант.

Пример.  Найти действительные корни уравнения .

Решение.     ,x=0 или.  меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Ответ:  х=0.

Если в кубическом уравнении(1) b=c=0, то оно имеет достаточно простой вид: ax³+d=0. В этом случае .                                                                        Пример. Найти действительные корни кубического уравнения

Решение:  

2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители

Симметрические или возвратные  уравнения.

Уравнение вида ах³ + bx² + bх + a = 0  называется возвратным или симметрическими, если его коэффициенты, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны.

Левую часть уравнения можно разложить на множители:

                                                    Такое уравнение обязательно имеет корень х = -1,  корни  квадратного уравнения  легко находятся через дискриминант

Пример:,    - корень уравнения, ,    , D=36-4=32,

                                            Ответ:  ,

Пример: Решить уравнение: х³ + 2x² + 2х + 1 = 0.

Решение.

У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х³ + 2x² + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:

х³ + 2x² + 2х + 1 = (х + 1)(x² + х + 1) = 0.   Квадратное уравнение x² + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ: -1.

Пример.   Решить кубическое уравнение .

Решение. Это уравнение возвратное. Проведем  группировку:

                                Очевидно, x = -1 является корнем уравнения.  Находим корни квадратного трехчлена .          

            Ответ:    

Кососимметрические уравнения

Уравнение вида называется кососимметрическим кубическим уравнением. Такое уравнение обязательно имеет корень и сводится к квадратному.

Например:  .

Используя корень , сводим уравнение к квадратному , которое не имеет действительных корней.

Ответ:  .

Рассмотрим решение уравнения   в комплексных числах

или   , D = 1 – 36 = - 35, D < 0

,                     

Ответ: ,

Для разложения многочлена на множители можно использовать различные способы: вынесение за скобки общего множителя, способ группировки, деление многочлена на многочлен, метод неопределенных коэффициентов, разложение по формулам сокращенного умножения и т.д.          

2.3. Способ понижения степени уравнения.

Способ основан на теореме Безу и делении многочленов.                                         Алгоритм его выполнения сводится к нижеследующему:

Первоначально подберем один из корней уравнения, использовав свойство, что у кубического уравнения неизменно присутствует, по крайней мере, один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена d.

И, соответственно, требуется обнаружить корень среди этих чисел и проверить его путём подстановки в уравнение.  Примем данный корень за x ₁.

На следующем этапе разделим многочлен ax ³ + b x ² + cx + d на двучлен x – x ₁.

Применим теореме Безу (деление многочлена на линейный двучлен), согласно которой это деление без остатка возможно, и по итогу вычислений получаем многочлен второй степени, который равен нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) два других корня. 

Пример: x ³ – 3x² – 13x + 15 = 0. 

Делители свободного члена: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Получаем, что 1 является корнем. Далее разделим левую часть этого уравнения на двучлен x- 1, и получим:                                 x² – 2x – 15. Корни квадратного уравнения: x² – 2x – 15 = 0.   x₁ = –3 и x₂ = 5.

Также кубическое уравнение можно решить, используя схему Горнера.

Далее в своей работе подробно остановлюсь на методах, на которых применил элементы своего исследования. Начну с метода неопределённых коэффициентов, основывающийся  на утверждениях, которые помогут  при выводе формул Виета и Кардано для нахождения корней кубического уравнения.

                                                                                                                                            2.4.Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей – многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

-два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;                                                                           - любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

Пример:                                                                                                   Будем искать многочлены        и    такие, что справедливо тождественное равенство , выполняя умножение и группируя слагаемые, получаем .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получаем систему условий: после решения системы получаем:   , т. е. после разложения на множители и после решения квадратного уравнения                                                                                                                                       Ответ:

2.5. Теорема Виета для кубического уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения

х²+px+q=0, если х₁ и х₂ – его корни, то х²+рх+q= (х-х₁)(х-х₂);                                                    х²+рх+q= х²-(х₁+х₂)·х+х₁· х₂,

т.е. х₁+х₂= -р, х₁· х₂=q. Это верно, так как два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной.

Рассуждая аналогичным образом, я убедился, что теорема Виета верна и для кубического уравнения (2).

Пусть х₁, х₂, х₃ – корни этого уравнения, тогда справедливо равенство                х³+bх²+сх+d = (х-х₁) · (х-х₂) · (х-х₃).                      Преобразуем его правую часть:                 (х-х₁) · (х-х₁·)(х-х₃)=х³-(х₁+х₂+х₃) · х²+(х₁ х₂+х₁ х₃+х₂ х₃) · х- х₁ ·х₂ ·х₃; 

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему равенств:        

              Формулы Виета  для уравнения   ax ³ + b x ² + cx + d=0

             По теореме Виета корни кубического уравнения    связаны с коэффициентами               следующими соотношениями:

Делением указанных тождеств друг на друга можно получить ещё несколько справедливых соотношений:

Пример. Решить уравнение х³-3х²-х+3=0 с помощью формул Виета:

 

Подбором найдем, что х₁= -1, х₂=1, х₃=3.

2.6.Формула Кардано

Известно, что формула изначально была открыта Тартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы.    За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

Так как от уравнения  ax ³ + b x ² + cx + d=0 всегда можно перейти к уравнению х³+bх²+cx+d=0,       то рассмотрим уравнение вида: х³+bx²+сх+d=0.      Снова обратимся за аналогией к квадратным уравнениям. При решении квадратных уравнений  применено выделение полного квадрата. Стоит попытаться в кубическом уравнении выделить полный куб, используя формулу (а+b)³=a³+b³+3ab·(a+b).                                                                                           (3)

Чтобы избежать громоздких выкладок в буквенном виде,  я взял  уравнение x³+4x²+x-6=0.

Выделим полный куб , после раскрытия скобок и группировки, получим уравнение:

Сделаем подстановку: , отсюда  .

Имеем:, ,

 т.е. удалось получить кубическое уравнение, не содержащее слагаемое с квадратом переменной. Значит, любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида  x³+px+q=0 .                                                                                    (4)

Общий подход к решению уравнений вида (4) разработал Джероламо Кардано (1501-1576гг.).  

Приведенное кубическое уравнение с помощью замены 

то уравнение (2) примет вид:

(4)

      Если ввести обозначения              

дает неполное кубическое уравнение вида

Найдём корни этого уравнения.

 В формуле (а+b)³=a³+b³+3ab·(a+b)   пусть  ,  тогда получим    , откуда . Значит,                                                            откуда              . 

Пусть          

По теореме, обратной теореме Виета а³=t₁ и b³=t₂  являются корнями приведённого квадратного уравнения ,

. Значит,

       ,          Решение кубического уравнения - сумма этих корней:

Обозначим- дискриминант , тогда , после деления трёхчлена  у³+pу +q  на (у-у₁)     рассмотреть квадратное уравнение, найти у₂ и у_3,  и вычислить х из  .

 Эта формула очень громоздкая и сложная, так как содержит несколько радикалов. Применяется она крайне редко.

Пример: Решить уравнение:

Замена ,

,  

 т.е. 

По схеме Горнера разделим на, получим ,

Квадратное уравнение имеет 2 комплексных корня:           , тогда   при       ;

при           при       .

Исходное уравнение имеет два комплексных корня и один действительный.

Ответ. , ,.

Формула Кардано - методика определения корней кубического уравнения в поле комплексных чисел.   Неполное кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Пусть,

1)  если D > 0, то  y₂ и у₃  сопряженные комплексные числа;

2)  если D = 0, p ≠0 , q ≠0 , то уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают; при p = q = 0 получаем 3 совпадающих корня у_1;2;3= 0.

3)  если  D < 0, то три различных действительных корня.

Рассмотрим использование формул Кардано подробнее на примерах:

1),

p = 15, q = 124, ,

, 

D > 0 , тогда есть один действительный корень х₁ = А + В, х₁=1 – 5 = - 4, и два комплексно- сопряженных .

Ответ:    .

2),

p = - 12, q = 16 ,

D= 0, тогда уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают

, 

Х₁ = -2 + (-2) = - 4 ,                                            Ответ. х₁ = - 4, х_2;3 = 2.

3) ,                                                                       

p = -21, q = 20 ,

D< 0, уравнение имеет три различных действительных корня.

Получилось, что для вычисления корня моего уравнения по формуле  надо извлечь корень квадратный из отрицательного числа. А может быть по аналогии с квадратным уравнением предположить, что в этом случае нет корней, поскольку . Ведь корни у этого уравнения есть: они легко находятся. Эти корни можно найти, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано изучается в высшей математике.

Итак, я понял, что не всё так просто и легко от того, что имеем формулу Кардано.

Конечно, мне это показалось удивительным: все коэффициенты действительные, все корни действительные, а промежуточные вычисления приводят к несуществующим числам. Из справочной литературы я узнал, что это и есть тот «неприводимый случай», который заинтересовал многих математиков в XVI веке и привел к расширению множества действительных чисел. Значит, причина непопулярности формулы  нахождения корней кубического уравнения  не только в её громоздкости, а в её ненадежности. Его способ во всём уступает теореме Виета и схеме Горнера. Тогда зачем же она нужна? Во-первых, что формула дает ответ на вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах».

Во-вторых, применяется при решении уравнений с параметрами.

Пример1. При каком наименьшем натуральном а уравнение х³-3х +4-а=0 имеет одно действительное решение?

По формуле Кардано: p= –3; q =4-a

Так как по условию найти одно решение, то это возможно , если D>0.

;                          ;;

,

Решая методом интервалов, получаем . Наименьшее натуральное число из этих промежутков –число 1. Ответ: 1

Пример2. В зависимости от параметра а найти число корней уравнения х³ -3х-а=0.

p= –3; q =-a,      ;

Решив методом интервалов, получаем: D >0 при -1 решение

                                                                 D <0 при  - 3 решения

                                                                     D =0 при а =2 и при а=-2- 2 решения

2.7.  Использование монотонности функции.

Этот способ основан на следующих утверждениях:                                                                     1) строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз; 2)если одна функция  возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение  f(х)=g(х)   имеет не более одного решения;                                     3)если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение f(х)=g(х)   либо имеет единственный корень, либо не имеет корней.                                                                                                         Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений: уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида; уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции; уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

Пример. Решить уравнение : .                                                                                     Решение: рассмотрим функцию у = и представим в виде суммы двух функций у = х³ и у = 3х – 4.Обе функции определены на множестве R и являются возрастающими. Следовательно, их сумма – возрастающая функция. А так как всякая монотонная функция каждое своё значение может принимать лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное нулю, она может принимать лишь при одном значении х. Значит, такое уравнение если имеет действительный корень, то только один. Испытывая делители свободного члена, находим, что х = 1.                 Ответ: х = 1.

Пример 2. Решить уравнение: х³ +х-2=0.                                                                  Решение. Запишем уравнение в виде: x³ =2-x.  Рассмотрим функции  у=x³ и                              у =2-x.Функция  у=x³  возрастает на всей области определения, а функция  у =2-x убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что х=1.Проверкой убеждаемся, что х=1  действительно корень уравнения. Ответ: 1

2.8. Графический способ.

Для решения уравнения запишем его в виде . Построим в одной системе координат графики функций и  . Графики пересекаются в точке, с абсцисс0й   

С помощью графического метода можно приближенно находить корни уравнения или решать вопрос о количестве рациональных корней уравнения.

I I I. Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности способов решения.

Решить уравнение:  x ³ – 3x ² – 13x + 15 = 0 . 

Р е ш е н и е .   1 способ: метод понижения степени                                                                 Из делителей свободного члена    находим, что 1 является корнем. Делим левую часть этого уравнения на двучлен  x – 1,  и получаем: x ² – 2x – 15    Решая квадратное уравнение:  x ² – 2x – 15 = 0, находим корни:  x₁ = – 3  и  x₂ = 5 .                                                                          Ответ : 1; -3; 5.
2 способ: Tеорема Виета:                                                       Методом подбора:х=1; х=-3; х-5   

3 способ: Формула Кардано:

Ввести замену х=у+1(), получим , откуда у=0,у=4,у=-4. Подставив значения у в замену, получим значения х:                                х=1, х=5, х=-3.

           4 способ: Метод неопределенных коэффициентов.

   

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором.

Так как а·d =15 , то будем искать решения среди вариантов:

Из равенства с-а=-3 получаем , что а=-5;с=2, а из  d-10=-13 , d=-3, т.е. после разложения  корнями будут числа х=1, х=5, х=-3.

Решая уравнения различными способами, я показал   универсальность каждого  метода, его оригинальность и рациональность.                                                                                    Сравнения различные способы решения кубических уравнений, можно сделать вывод:                                                                                                                                                      В каждом из методов решения есть свои плюсы и минусы, во многом они дополняют друг друга, например если у кубического уравнения слишком большие коэффициенты, его можно решить с помощью схемы Горнера и проверить теоремой Виета и каждый способ нужен для решения своих задач в математике. Ясно одно, что формулу Кардано нужно применить лишь в самом крайнем случае,  когда все остальные способы не дадут точного ответа.

                                      Заключение.

Просмотрев множество способов решения кубических уравнений я остался верен двум, на мой взгляд,  самым надёжным и практичным способам - это теорема Виета и схема Горнера, они позволяют быть уверенным в своем ответе.

Я выдвинул гипотезу о существовании связи между коэффициентами кубического уравнения и его корнями и убедился, что такая формула существует.

В данной работе достигнуты цель и выполнены основные задачи: показаны и изучены новые, ранее неизвестные формулы. Я рассмотрел много примеров. Были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени.

Предлагаемая работа рассчитана на учеников 9 – 11 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, узнать больше о кубических уравнениях  и способах их решения

                  Литература

1.     Алгебра и начала анализа, 10-11классы. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М.Москва. Просвещение, 2014г.

2.     Глейзер Г.И. История математики в школе 9-11кл.

3.     Математический энциклопедический словарь/гл. ред. Ю.В. Прохорова.— М. Современная энциклопедия, 1988.

4.     Электронная энциклопедия «Википедия»: http://wikipedia.org.

5.     Интернет.