Исследовательская работа по математике " Линейная функция"

II Республиканская научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку»

МБОУ «Мордовско-Паевская средняя общеобразовательная школа»

    Линейная функция

                        Исследовательская работа

                                    Подготовил:  Сорокин Данила Андреевич,

                                                                учащийся  7 класса                                                                          

                             Руководитель:    Кадышкина Надежда Васильевна,                                   

                                                       учитель   математики                                                

с. Мордовская Паевка    

 2019 г.

                             Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

Основное содержание………………………………………………………   …4

I.  Линейная  функция

          1.1. Линейная  функция  и её график …………….…………………… ..9

1.2. Геометрический смысл коэффициентов ……………………..…… .5

1.3. Свойства линейной функции ………………………………………..6

1.4. Общее уравнение прямой ……………..…………………………......7

1.5. Каноническое  уравнение прямой …………………………………..8

1.6. Взаимное расположение двух прямых на плоскости .......…………9

1.7. Угол между заданными прямыми ……..……………………………9

1.8. Признаки перпендикулярности прямых на плоскости ………........9

 II.  Примеры применения линейных функций в практических задачах

2.1. Задачи на построение графика линейной функции с модулем …..10

2.2. Задания из открытого банка ОГЭ …………………………………11

Заключение……………………………………………………………………..13

Источники…………………………………………………………………..….14

                             ВВЕДЕНИЕ

Все течёт, всё изменяется в окружающем нас мире, как заметили ещё древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет ночь. Земля вершит свой вечный бег вокруг Солнца, Солнце вместе со своими планетами вечно летит в космические дали…  Кажется, причём здесь математика, графики и функции, а тем более линейная функция, которой я посвятил свою работу. Но, как образно заметил великий Г.Галилей, книга природы написана на математическом языке и её буквы – математические знаки и геометрические фигуры. А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе. Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в труде французского математика Р. Декарта «Геометрия» (1637 г.), и её появление послужило поворотным пунктом в математике. Без переменных величин нельзя выразить законы динамики, описывающие процессы движения небесных и земных тел, современные учёные не могли бы рассчитывать  траектории космических кораблей.                                                                                                                                             На уроках алгебры в этом учебном году я познакомился с понятием линейной функции, её графиком, узнал частные случаи линейной функции. Однако, встретившись с более сложными заданиями по данной теме, я понял, что для их решения тех знаний, которые я получил на уроках, недостаточно. И я решил  углубить знания по этой теме.

Цель работы: изучить как можно больше сведений, связанных с линейной функцией и её графиком, научиться решать экзаменационные задачи по данной теме.

 Для достижения поставленной цели были определены основные задачи:

- расширить собственные знания о линейной функции;

– найти новые сведения о линейной функции и её свойствах из различных источников информации;

-научиться строить график линейной функции, содержащей модуль;                                       - провести отбор заданий из КИМ-ов

Актуальность исследования: Линейная функция является начальным этапом в  систематическом изучении функции, одного из глобальных понятий математического анализа, а также  начальным этапом работы с функциональными зависимостями. Теоретического материала  по данной теме в школьном курсе алгебры недостаточно, чтобы раскрыть  все многообразие этого понятия. Кроме того, его недостаточно для успешного их решения заданий ОГЭ, особенно заданий из второй части, требующих дополнительных знаний.                                                                                                                               Поэтому, можно сделать вывод о необходимости подробного изучения данной темы.

Практическая ценность: Я считаю, что эта работа  будет полезна учащимся, желающим расширить свои знания о линейной  функции.

 Методы исследования: Работа с литературой, работа в сети Интернет, сбор информации, анализ, обобщение.                                                                                      Гипотеза исследования: есть дополнительные сведения по теме, позволяющие углубить знания                                                                                                                         Объект исследования: линейная функция                                                                         Предмет исследования: график линейной функции

     ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

 2. Линейная функция, её график.

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,  где x – независимая переменная, аргумент, у – функция, k и b – некоторые числа.

Основное свойство линейной функции: равным изменениям одной величины соответствуют равные изменения другой величины (приращение функции пропорционально приращению аргумента).  

Графиком линейной функции y = kx + b является прямая, располагающаяся относительно координатных осей различным образом в зависимости от постоянных коэффициентов к и b, которые могут принимать положительные или отрицательные значения или быть равным нулю.

                2. Геометрический смысл коэффициентов

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат, то есть коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

если b >0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY

если b<0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

При k > 0, прямая образует острый угол с осью абсцисс,

При k < 0, прямая образует тупой угол с осью абсцисс:

ри k = 0, получается  постоянная  функция y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0;b)

Если b = 0, то получим функцию y =kx, которая является     прямой пропорциональностью.

Угловой коэффициент прямой — коэффициент k k {\displaystyle k}  в уравнении y = k x + b {\displaystyle y=kx+b}  прямой                        y = kx + b на координатной плоскости, численно равен тангенсу угла  между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой, то есть k=tg α

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему,  то есть

, где ∆у= у-b, ∆х=х

3. Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции: D(y): x- любое число;

2) Область значений линейной функции: Е(у): если k ≠ 0, то у- любое,    если k = 0, то область   значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: у =0;  kx + b = 0, x =  , следовательно (; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: х = 0; k·0 + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание: Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > .

y = kx + b – положительна при x из (;

y = kx + b – отрицательна при x из ).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < .

y = kx + b – положительна при x из (-∞;),

y = kx + b – отрицательна при x из ( ; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

4. Общее  уравнение прямой на плоскости.

Ах + Ву + С = 0, где А, В, С не равны 0 одновременно.

5. Каноническое  уравнение прямой, проходящей через две заданные точки   плоскости

Вывод  в общем виде уравнения прямой, выраженное через координаты М₁(x₁; y₁) и М₂(x₂; y₂), если x₁ ≠ x₂.

  

b = y₂ – kx₂
y₁ = kx₁ + y₂ – kx₂
y₁ – y₂ = kx₁ – kx₂
y₁ – y₂ = k(x₁ – x₂)

Зная b и k, можно теперь получить уравнение в общем виде:

Выполнив алгебраические преобразования, это  уравнение можно привести к более простому  виду:

Задача1. Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с

координатами M1(1, 1)и M2(4, 2) в системе координат Оху.

Решение: Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:.                                                                             Ответ:  x−3y+2=0.

6. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Знания о взаимном расположении прямых и плоскостей лежат в основе изучения свойств геометрических фигур, как в планиметрии, так и в стереометрии.

Прямые, находящиеся в одной плоскости, будут либо пересекающимися, либо параллельными.  В ходе работы  над исследовательской работой узнал много фактов о коэффициенте к, позволяющим взаимное выяснить условия, позволяющих устанавливать взаимное расположение  двух прямых.

 Пусть две прямые заданы уравнениями: y=k₁x+b₁ и  y=k₂x+b_2. (1)

Поскольку угловой коэффициент определяет наклон прямой к оси абсцисс, то очевидно, что равные углы наклона соответствуют параллельным прямым. Поэтому условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями  (1) является равенство их угловых коэффициентов  k₁=k₂.

Если k₁≠ k₂, то прямые пересекаются.

Если k₁·k₂=-1, то  прямые  перпендикулярны, т.е. ,

Если k₁=k₂ и b₁=b₂, то прямые совпадают.

7. Угол между заданными прямыми

Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как    

8. Признаки  перпендикулярности прямых на плоскости

Прямая, проходящая через точку М₁ (х₁ , у₁ ) и перпендикулярная к прямой                                  у = kx + b представляется уравнением:

9. Задачи на построение графика линейной функции с модулем

Задача 2. Построить график функции: а) у=4-|х|      б) у=|х-4|   в) y= ||х–1|–2|

а)  у=4-|х|     

а) у=4-|х|     

1. Построить график функции у = х;

 2. Построить график у=|х|   (сохранить ту его часть, которая расположена выше оси абсцисс, зеркально отразить относительно оси абсцисс ту часть графика, которая находится ниже оси х);

 3) Построить график функции у=-|х|  (график функции неотрицательных значений х  зеркально отразить относительно оси ординат);

 4) Построить график функции  у=4-|х|      ( сдвинуть график функции у=-|х|  на 4 единицы вверх по оси ординат)   

б) у=|4-х|  

1. Построить график функции у = х;

2. Построить график функции у = х - 4 ( сдвиг графика функции у = х на 4 единицы вниз по оси ординат);

3. Построить график функции у=|4-х| (сохранить ту его часть, которая расположена выше оси абсцисс, зеркально отразить относительно оси абсцисс ту часть графика, которая находится ниже оси х);

 в) y= ||х–1|–2|

1. Построить график функции y= |х –1|

2.  затем y= |х –1| – 2

3. y= ||х–1|–2

Преобразования графиков функций можно делать с помощью программы «Advanced Grapher», которые я представил в презентации.

             10.  Задания из открытого банка ОГЭ

1.      На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида у = kх + b. Уста­но­ви­те соответ-  ствие между гра­фи­ка­ми и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b.

А                 Б                                            В              1)у=2х+4                2) у= - 2х+4                           3) у= 2х – 4 2.    2. На  рисунке изображены графики функций вида y=kx+b.  Установите соответствие между     знаками коэффициентов k и b и графиками функций.                     А Б В            Коэффициенты        1) k>0,  b<0              2)     k<0, b<0           3)   k<0,   b>0      4) k>0, b>0

3.  Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

А               Б                  В

1)                        у=-3      2) у = х – 3           3) у = - 3х

4. Постройте гра­фик функ­ции:

 и определите, при каких зна­че­ни­ях с пря­мая   имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Решение:

График функ­ции со­сто­ит из двух лучей и отрезка.

На ри­сун­ке видно, что гра­фик имеет ровно две общих точки с го­ри­зон­таль­ны­ми пря­мы­ми y=-2  и  y=1.
Ответ: 1; −2.

5. Постройте гра­фик функ­ции  и най­ди­те зна­че­ния m, при ко­то­рых пря­мая  y=m  имеет с ним ровно две общие точки.

Решение.

Раскрывая модули, получаем, что гра­фик функ­ции сов­па­да­ет с пря­мой  y=x+1 при, сов­па­да­ет с пря­мой y=- x-1  при  и сов­па­да­ет с пря­мой                              y= x - 5 при .
График изоб­ра­жен на рисунке.

Прямая y=m  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно две общие точки при m = - 3 и m = 0. .

Ответ:  m = - 3; m = 0.

Решение.

Функция представляет собой параболу, следовательно, с прямой парабола имеет только одну общую точку, если дискриминант квадратного уравнения равен 0.

Построим график функции

Ответ: 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

Целью данной работы было изучение применения графиков линейной функции. Были изучены материалы  из дополнительной литературы, материалы из интернета. Проведан обзор заданий ОГЭ, решено множество задач из экзаменационных материалов. По результатам исследования можно сделать следующие выводы:

Настоящее исследование значительно расширило представление о линейной функции, способствовало глубокому пониманию взаимосвязи  графика этой функции с коэффициентами к и в.

Результаты работы можно использовать на уроках и дополнительных занятиях по математике при подготовке обучающихся к экзаменам.

Все поставленные перед собой задачи я выполнил. Приобретены новые знания и новые умения. В своей работе я представил 6 основных вариантов типичных задач на соответствие из Открытого банка экзаменационных задач. В результате самостоятельно решены задачи повышенной сложности ОГЭ. Теперь я могу решать задачи на установление соответствия между графиками функций и формулами, строить график линейной функции, содержащей модуль. Знание углового коэффициента  поможет при изучении геометрического смысла производной функции.

Конечно, проведенные мной исследования нельзя считать исчерпывающими. Но, я считаю, что цель моей работы достигнута и выдвинутая мною гипотеза о том, есть дополнительные сведения по теме, позволяющие углубить знания нашла свое подтверждение.

Литература

·           Г.И. Саранцев: Методика обучения математике в средней школе- М.: Просвещение, 2002.

·           Алгебра 7 класс, Макарычев Ю. Н.–М.: Просвещение, 2003.

·           Алгебра 7 класс с углубленным изучением математики, Макарычев Ю. Н.–М.: Мнемозина, 2004.

·         Открытый банк заданий ОГЭ и материалы КИМ-ов;

·         Википедия

• Тренировочное пособие для подготовки к ОГЭ. Математика 9 класс под редакцией Д.А. Мальцева.
• Тренировочное пособие для подготовки к ОГЭ. Математика 9 класс Лысенко Ф.Ф., Иванова С.О.
• Диагностические работы для подготовки к ЕГЭ. Математика профильный уровень Кисловская В.Д., ФГОС.

Краткое описание документа:

Все течёт, всё изменяется в окружающем нас мире, как заметили ещё древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет ночь. Земля вершит свой вечный бег вокруг Солнца, Солнце вместе со своими планетами вечно летит в космические дали… Кажется, причём здесь математика, графики и функции, а тем более линейная функция, которой я посвятил свою работу. Но, как образно заметил великий Г.Галилей, книга природы написана на математическом языке и её буквы – математические знаки и геометрические фигуры. А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.