Исследовательская работа по математике "Линейная функция" (7 класс)

• 1 слайд

  «Линейная функция
  вокруг нас»
  Автор работы: Семенова Екатерина ученица 7 «А» класса, МКОУ СОШ №15 г. Лиски.
  Руководитель работы: Гнусова Марина Александровна, учитель математики.
   
  

• 2 слайд

  Актуальность:
  основное, базовое, фундаментальное понятие алгебры 7 класса.
  Рассмотрение прикладных задач подтверждает практическое применение математических знаний.
  Цель:
  Изучить функциональные зависимости между величинами и выявить среди них линейные зависимости.
  Гипотеза: в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями.
  Объект исследования: функциональные зависимости величин.
  
   
  
  Задачи:
  Добыть новые знания по теме проекта;
  Выяснить, находит ли применение линейная функция в других областях знаний, в повседневной жизни;
  Провести работу по выявлению зависимостей;
  По результатам исследования выявить линейные зависимости.
  

• 3 слайд

  Практическая ценность.
  Я считаю, что этот проект будет полезен моим сверстникам, желающим расширить свои знания о линейных функциях и их приложениях.
  Методы исследования:
  Работа с литературой,
  работа в сети Интернет,
  сбор информации,
  наблюдение, анализ, обобщение.
  
  

• 4 слайд

  История развития понятия функции
  с древнейших времён до 19 века
  Вавилонские учёные - задание функции: площадь круга является функцией от радиуса
  Вавилоняне, индийцы, древние греки - табличное задания функции:
  астрономические таблицы
  Словесное задание функции: теорема о постоянстве
  отношения площадей круга и квадрата на его диаметре
  
  Аналитическое определение функции
  (17 век – начало 19 века)
  Франсуа Виет (1540 – 1603гг.)
  Рене Декарт
  (1596-1650гг.)
  
  
  Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
  (1646 – 1716).
  Бернулли
  Леонард Эйлер
  (1707 – 1783).
  

• 5 слайд

  Применение линейной функции
  Выход спутника на космическую орбиту
  Взлёт ракеты
  Дверной замок
  Точные науки. Физика. Астрономия. Оптика;
  Естественные науки. Биология. Химия;
  В истории;
    В экономике;
  В филологии;
  Применение функции в жизни.
  
  
  
  
  

• 6 слайд

  График равномерного прямолинейного движения.
  Зависимость силы тока I от напряжения U для 3 резисторов.
  
  I – cила тока
  U – напряжение
  R1,R2,R3 – сопротивление
  
  
  y=kx+m, графиком является прямая прямая.
  Применение функции в физике
  

• 7 слайд

  Зависимость давления жидкости на дно сосуда (P) от высоты столба жидкости (h) – линейная зависимость и задаётся формулой:
  p=gρh,
  где ρ – плотность жидкости, g≈10.
  
  
  
  p=1000∙10 ∙h, т. е. p=10000 ∙h.
  
  График зависимости давления на дно сосуда.
  1
  h
  P
  Линейная зависимость
  

• 8 слайд

  Биология.
  Зависимость роста волос от времени
  V=0,4 мм в сутки.
  имеет место формула: l=l0+0,4t, где
  l – длина в мм,
  l0 – первоначальная длина волос в мм,
  t – количество дней.
  За 10 дней- 4 мм
  За 30 дней – 12мм
  За год- 48 мм
  Линейная зависимость
  

• 9 слайд

  Формула для расчета идеальной массы тела по методу Devine:
  L – рост (в сантиметрах)
  мужчины:
  (1) m=50+2.3·(0.394·L-60)
  m= 0,9·L-88;
  женщины:
  (2)m=45.5+2.3·(0.394·L-60)
  m=0,9·L-92,5;
  
  
  
  
  
  Анатомия.
  Зависимость идеальной массы тела взрослого человека в от роста
  Линейная зависимость
  

• 10 слайд

  Мои расчёты.
  Итак, я рассчитала свой идеальный вес, по формуле m=0,9·L-92,5;
  Где L – рост (в сантиметрах).
  m= 0,9·162-92,5=53.3 кг
  Следовательно, мой идеальный вес составляет 53.3 кг, на данный момент мой вес 49 кг. Чтобы достичь идеального веса для моего роста мне нужно набрать 4 кг 300 гр.
  

• 11 слайд

  Медицина
  Медиками установлено, что для нормального
  развития, ребёнок или подросток,
  которому Т лет (Т ≤ 18),
  должен спать в сутки t часов,
  где t определяется по формуле
  t =17- Т/2.
  
  Зависимость времени сна от возраста ребенка.
  Линейная зависимость
  

• 12 слайд

  «Каково проживёшь,
  такую славу наживёшь»
  Применение функции в литературе
  1
  Количество гвоздей
  Крепость дома
  «Чем больше гвоздей,
  тем крепче дом»
  

• 13 слайд

  Рождаемость и смертность в Воронежской области
  Демографическая ситуация в Лискинском районе с 2009 г. по 2015г.
  2009 г 2010 2015 г
  

• 14 слайд

  Исследование уровня школьной мотивации
  2015-2016 учебный год
  2015-2016 учебный год
  

• 15 слайд

  Поиск линейных зависимостей в повседневной жизни
  

• 16 слайд

  63= 1,5 к + m
  103= 2,9 к + m
  
  
  У= 28х+21
  
  
  Зависимость калорийности молочного продукта от его жирности
  1,5
  63
  77
  90
  100
  жир, %
  Ккал.
  2
  2,5
  3
  Линейная зависимость
  

• 17 слайд

  Зависимость цены билета от зоны пункта назначения
  Представлена таблица стоимости проезда в пригородном транспорте Лиски-Воронеж, где
  n – номер зоны;
  m – стоимость проезда.
  Так как чем больше номер зоны, тем больше проезд, то n независимая переменная, а m – зависимая. Здесь прямая зависимость.
  У= 18х
  M=18N
  Линейная зависимость
  

• 18 слайд

  График стоимости проезда: Лиски- Воронеж-1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  18h
  36
  54
  72
  90
  108
  126
  144
  162
  180
  N
  зона
  M,
  Цена,р
  M=18N
  Линейная зависимость
  

• 19 слайд

  
  Отправляя телеграмму, мы платим по 2,75р. за каждое слово и З,75 р. дополнительно. Общая стоимость телеграммы выражается линейной функцией
  у = 2,75x+З,75
  x
  1
  5
  2,75Р
  17,5 Р
  У
  Зависимость стоимости телеграммы от количества слов.
  Линейная зависимость
  

• 20 слайд

  Зависимость стоимости букета от количества цветов
  Линейная зависимость
  

• 21 слайд

  Зависимость стоимости торта от количества купленных кг .
  Линейная зависимость
  

• 22 слайд

  Зависимость стоимости изготовления фото от их количества
  Линейная зависимость
  

• 23 слайд

  Зависимость стоимости оформления зала от количества шаров
  Линейная зависимость
  

• 24 слайд

  Расчет стоимости тротуарной дорожки 15 м * 0,8 м= 12 кв.м
  Тротуарная плитка (12 кв.м)
  Асфальт ( 2.5 т)
  4500 р
  812 р
  3600 р
  8912 р
  5250 р
  4500 р
  9750 р
  Линейная зависимость
  

• 25 слайд

  Заключение
  Конечно, проведенные мной исследования нельзя считать исчерпывающими. Остается много вопросов о линейности и нелинейности окружающих величин. Но, я считаю, что цель моей работы достигнута и выдвинутая мною гипотеза о том, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями нашла свое подтверждение. Надеюсь, что этот проект будет полезен моим сверстникам, желающим расширить свои знания о линейных функциях и их приложения 
  

• 26 слайд

  Литература.
  Муравин Г. К., «Исследовательские работы в школьном курсе алгебры»,
  Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры / книга для учащихся./ - М.: Просвещение, 1990 г.
  Савин А. П.. Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989 г.
  Савин и др. Я познаю мир: математика: детская энциклопедия: математика – М.: АСТ, 1995 г.
  Сайты сети Интернет
  
  

Муниципальное казенное  общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15»

города Лиски

 

 

 

 

Тема: «Линейная функция вокруг нас».

Автор работы: Семенова Екатерина ученица 7 «А» класса,

МКОУ СОШ №15 г. Лиски.

Руководитель работы: Гнусова Марина Александровна,

учитель математики ВКК.

 

На уроках алгебры в этом учебном году я познакомилась с понятием линейной функции, ее графиком и свойствами,  взаимном расположение графиков линейных функций. Но я мало знала о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой математической моделью.

Моя исследовательская работа посвящена изучению практического применения линейной функции в науке и  жизни человека.

Я  поставили перед собой цель выявить и изучить области, в которых применяется функция и её свойства.
Данная работа содержит результаты исследования, поиска и решения  прикладных задач, в которых зависимость переменных выражена линейной функцией. Работа показывает многогранность математических инструментов, связывающих воедино различные области познания.

Актуальность исследования заключается в следующем:

·        Понятие линейной функции является основным, базовым, фундаментальным материалом курса алгебры 7 класса.

·        Рассмотрение прикладных задач подтверждает практическое применение математических знаний.

Новизна работы.

В своей работе я постаралась найти на практике подтверждение существования линейной функциональной зависимости между величинами и установила связь между теоретическим материалом и реальными ситуациями окружающего мира.

Гипотеза: Я предположила, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями.

Объект исследования:

Таким образом, объектом моего исследования стали функциональные зависимости величин.

Цель:

Изучить функциональные зависимости между величинами и выявить среди них линейные зависимости.

Задачи:

·        Изучить историю появления линейной функции;

·        Обобщить имеющиеся знания о линейной функции;

·        Добыть новые знания по теме проекта из различных источников информации;

·        Выяснить, находит ли применение линейная функция в других областях знаний, в повседневной жизни;

·        Провести работу по выявлению зависимостей;

·        Сделать вывод по результатам исследования.

Практическая ценность.

Я считаю, что этот проект будет полезен моим сверстникам, желающим расширить свои знания о линейных функциях и их приложениях.

Методы исследования:

·        Работа с литературой,

·        работа в сети Интернет,

·        сбор информации,

·        наблюдение, анализ, обобщение.

1.     История развития понятия «функция».

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре.

Начиная с 17 века, французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; разработали единую буквенную математическую символику. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z,.

У Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (флюента).

В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница - понятие функции , носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсциссы(x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п.

Развитие механики и техники потребовало введения общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г.Лейбницем. Впервые ввёл термины «константа» и «переменная».

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».

2.     Применение линейной функции  в физике

       1. График равномерного прямолинейного движения.
       Равномерное прямолинейное движение - движение, при котором тело двигается прямолинейно с      постоянной  скоростью.

      2. Зависимость силы тока I от напряжения U для 3 резисторов

3.  Я рассчитала Зависимость давления жидкости на дно сосуда (P) от высоты столба жидкости (h) – линейная зависимость и задаётся формулой: P=gρh, где ρ – плотность жидкости, g≈10

Я построила  график зависимости, взяв в качестве жидкости воду: P=1000∙10 ∙h, т. е. P=10000 ∙h. Эта зависимость – линейная.

h	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	10000	20000	30000	40000	50000	60000	70000	80000	90000	100000

3. Применение линейной функции в биологии, анатомии и медицине

1. В биологии тоже встречаются линейные функции.

Так, например, из энциклопедии я узнала, что волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Таким образом, имеет место формула: l=l₀+0,4t, где l – длина в мм, l₀ – первоначальная длина волос в мм, t – количество дней.

Я построила график такой зависимости.  Я  рассчитала, на сколько см вырастут мои волосы за 1 год. Почти на 5 см.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
l	0,4 мм	0,8 мм	1,2 мм	0,6 мм	2   мм	2,4 мм	2,8 мм	3,2 мм	3,6 мм	4 мм

3.      Мне стало интересно, какой должен быть идеальный мой вес.

Я нашла  формулу для расчета идеальной  массы тела по методу Devine: Одна из формул, рекомендующих «идеальную»

массу тела взрослого человека (ИМТ) по методу Devine 

m , выраженную в килограммах при данном его росте L (в сантиметрах)

мужчины:  (1)  m=50+2.3·(0.394·L-60)= 0,9·L-88
женщины: (2)m=45.5+2.3·(0.394·L-60)= 0,9·L-92,5;
Построила графики и нашла идеальную массу мужчин и женщин при росте 150, 160, 171,180 см.

 

Итак, я рассчитала свой идеальный вес, по формуле m=0,9·L-92,5;

Где L – рост (в сантиметрах).

m= 0,9·162-92,5=53.3 кг

Следовательно,  мой идеальный вес составляет 53.3 кг, на данный момент мой вес 49 кг. Чтобы достичь идеального веса для моего роста мне нужно набрать 4 кг 300 гр.

3.Медиками установлено, что для нормального развития ребёнок или подросток, которому Т лет должен спать t часов. Зависимость продолжительности сна t (ч) от возраста человека T (лет) задаётся формулой t =17- Т/2.

.Таким образом, для нормальной работоспособности в моем возрасте надо спать 11 часов.

 

4. Применение линейной функции в литературе

Есть ли линейные функции в устном народном творчестве, например, в поговорках? Вероятно, да! Вот как, на мой взгляд, можно изобразить некоторые из них с помощью графиков линейных функций.

1.Каково проживёшь, такую славу наживёшь.

2.Чем больше гвоздей, тем крепче дом.  ( прямая пропорциональность, к – больше нуля)

3.Больше почёт, больше хлопот.(прямая пропорциональность, к – больше нуля)

4.Как аукнется – так и откликнется. (y=x)

5.Тише едешь – дальше будешь (прямая пропорциональность, к – меньше нуля)

6.Светит, но не греет (ось абсцисс)

5.  Применение линейной функции в статистике.

Здесь, конечно же, не обошлось без функции.  Например, чтобы узнать, как изменяется демографическая ситуация в Воронежской области и Лискинском районе. Можно построить графики. Данные взяты с официальных сайтов. Построенные графики, представляющие кусочно- линейную функцию.

 

6.Исследование уровня школьной мотивации

 Мною было проведено анкетирование учащихся 8-9 классов нашей школы по выявлению уровня школьной мотивации. Построенные графики, представляют кусочно- линейную функцию.

И сделаны соответствующие выводы о мотивации учащихся к учебе и применению линейной функции.

Поиск линейных зависимостей в повседневной жизни.

ИССЛЕДОВАНИЕ

Открытия, сделанные в первой части работы, подтолкнули меня к мысли, что линейные зависимости окружают нас и в повседневной жизни. Я отправился собирать необходимую информацию и проводить новые исследования. Эта работа оказалась не менее увлекательной и интересной. Она побудила меня к творческому процессу: мне захотелось самой найти линейные зависимости в нашей реальной жизни, вывести их задающие формулы, построить графики этих зависимостей.

1.Зависимость калорийности молочного продукта от его жирности

Чтобы ответить на вопрос «Как зависит калорийность йогурта от его жирности?» я отправилась в магазин. После сбора информации я увидела, что с увеличением процента жира в продукте калорийность продукта увеличивается.

Массовая доля жира в продукте, (х)	Калорийность продукта, (у)
1.5%	63,0
2%	77,0
2.5%	90,0
3.2%	107,0
Активиа 2,5 %	75,0
Данон  2.9%	103,0

Тогда я предположила, что эта зависимость линейная и сделала подсчёты. Решив систему уравнений, нашла к и m, составила формулу зависимости.

63=1,5к+m           Вычтем из1уравнения 2 уравнение.

103=2,9к+m

                           -40=-1,4к

                             к=28

                            63=1,5•28+m

                             к 28

                         m=63-1,5•28

                         к 28

                            к 28

                            m=21

у=28х+21

После чего сделала проверку остальных значений по формуле и построила точки в координатной плоскости. Сделала вывод: эта зависимость линейная.

2.Зависимость цены билета от зоны пункта назначения

Для проведения следующего исследования мне пришлось отправиться на железнодорожный вокзал города Лиски и познакомиться со схемой расположения остановочных пунктов в пригородных направлениях. Так я выяснила, что стоимость проезда одной зоны составляет 18 рублей. Не трудно было заметить, что У=18х. Зависимость цены билета от зоны пункта назначения – линейная зависимость.

N (х)	2	3	4	5	6	7	8	9	10
M (у)	18р.	36р.	72р.	90р.	108р.	126р.	144р.	162р.	180р.

3. Зависимость стоимости поездки в пригородном автобусе от расстояния

Как зависит стоимость поездки в пригородном автобусе от расстояния? Для ответа на этот вопрос достаточно знать, Стоимость одного километра поездки. 1 км стоит 2 рублей. Тогда у=2х.Таким образом, зависимость стоимость поездки в пригородном автобусе (у) от расстояния (х) – линейная функция.

4.Зависимость стоимости телеграммы от количества слов.

Я отправилась на почтамп и узнала следующее. Отправляя телеграмму, мы платим по 2,75 р. за каждое слово и З,75 р. дополнительно. Общая стоимость телеграммы выражается линейной функцией  у = 2,75x+З,75.

x	0	5
у	2,75	17,5

  5. Зависимость  цены букета от количества цветов

Мое первое исследование должно было ответить на вопрос: «Как зависит цена букета (у)  от количества цветов (х)?» .Мной была собрана информация, произведены подсчёты, составлена формула зависимости,  по полученным данным построены диаграмма и график зависимости.

Стоимость упаковки	Стоимость одного тюльпана
30 рублей	70рублей

х	3	5	7	9
у	240	380	520	660

После чего мной был сделан вывод: «Зависимость цены букета от количества цветов – линейная зависимость».

6. Зависимость  стоимости  торта от количества купленных кг

Цена 1 кг ( работа у частника)	Стоимость подставки
450 рублей	200 рублей

х	1	2	2,5
у	650	1100	1325

7. Зависимость  стоимости  изготовления фото  от их количества .

Цена 1 фото	Скорость
9 рублей	50 рублей

х	10	12
у	140	158

8. Зависимость  оформления  зала от количества шаров .

Цена 1 шара	Стоимость работы
8 рублей	1000 рублей

х	20	2 5
у	1160	1200

9. Провели исследование дома с родителями. Предворительно узнали все данные в магазине на асфальтном заводе и у специалистов-рабочих. Нам дома необходимо выложить дорожку во дворе 15 м * 0,8 м= 12 кв.м.

Мы поставили цель рассчитать самый выгодный вариант.

Расчет стоимости тротуарной  дорожки  15 м * 0,8 м= 12 кв.м

Заключение.

Конечно, проведенные мной исследования нельзя считать исчерпывающими. Остается много вопросов о линейности и нелинейности окружающих величин. Но, я считаю, что цель моей работы достигнута и выдвинутая мною гипотеза о том, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями нашла свое подтверждение. Надеюсь, что этот проект будет полезен моим сверстникам, желающим расширить свои знания о линейных функциях и их приложения                                                 Литература.

1. Муравин Г. К., «Исследовательские работы в школьном курсе алгебры»,
2. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры / книга для учащихся./ - М.: Просвещение, 1990 г.
3. Савин А. П.. Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989 г.
4. Савин и др. Я познаю мир: математика: детская энциклопедия: математика – М.: АСТ, 1995 г.
5.  Сайты сети Интернет