Исследовательская работа по математике на тему "Быстрый счет"

МБОУ СОШ №128

Ленинского района городского округа город Уфа

Республики Башкортостан

Секция: Математика

Номинация: прикладная математика

    Тема: 

                                                                    Выполнила :

                                                                ученица 5-А МБОУ СОШ №128

                                                     Ленинского района городского округа

                                                             Г.Уфа Республики Башкортостан

                       Руководитель: Нафикова Тагзима Габдулкадировна 

                                            г. Уфа

                                     Содержание.

1)Введение......................................................................................................................3

2)Исторические сведения..............................................................................................4

3)Из Страны пирамид....................................................................................................5

4)Умножение на пальцах..............................................................................................6

5)Признаки делимости чисел.......................................................................................7

6)”Русский” способ умножения.................................................................................10

  7)Формулы сокращенного  умножения.....................................................................12

 8)Три девятки................................................................................................................15

  9)Вывод.........................................................................................................................16

                             Введение.

Человечество говорит более чем на 2000 языках. Каждая народность имеет свой язык и культуру, но есть язык, который понятен каждому грамотному человеку – это язык математики. Любая формула, любое математическое выражение, записанное с помощью цифр и знаков, имеет один и тот же смысл  для всех. Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивают память, быстроту реакции, воспитывает умение сосредоточиться. Навыки устных вычислений важным элементом общего и математического развития.

Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц или калькулятора.

 На уроках математики мы много умножаем, делим, складываем, вычитаем и т.д. Конечно, некоторые школьники, увидев большие числа, начинают считать на калькуляторе. Мы решили продемонстрировать вам некоторые примеры быстрого счёта, чтобы ученики отказались от калькуляторов и начали считать самостоятельно.

Цель нашей работы – познакомить вас с некоторыми методами быстрого счёта и показать, как они интересны. А так же продемонстрировать различные способы умножения.

Методы исследования – изучение дополнительной литературы по данному вопросу.

                                  Исторические сведения.

Устным счётом люди начали пользоваться ещё в далёком прошлом. Крестьяне применяли этот метод в земельных расчётах. Это можно понять по картине русского художника  Н. П. Богданова-Бельского "В народной школе С. А. Рачинского", написанная в 1895 году. На картине изображена деревенская школа XIX века во время урока устного счёта. Учитель — реальный человек, Сергей Александрович Рачинский. Он был ботаником, математиком и профессором Московского университета. Он разработал уникальную методику обучения устному счёту. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского.

         На доске написана задача, которую необходимо решить ученикам:

             

                            

                                   Из Страны пирамид.

Мы мало знаем, как производили арифметические действия обитатели древней Страны пирамид. Но сохранился любопытный документ - папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта - это так называемый "папирус Ринда", относящийся ко времени между 2000 и 1700 годом до нашей эры  и представляющий собой копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец  Аамес, найдя "ученическую тетрадку" этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера - вместе с их ошибками и исправлениями учителя - и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде:

„Наставление, как достигнуть 

знания всех темных вещей... 

всех тайн, сокрытых в вещах.

Составлено при царе Верхнего 

и Нижнего Египта Ра-а-усе, 

дающем жизнь, по образцу 

древних сочинений времен царя 

Ра-ен-мата писцом Аамесом".

В этом интересном документе, насчитывающем за собой около сорока веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера умножения, выполненные по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):

Мы видим  из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, довольно сходным с нашим крестьянским, и что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней Страны пирамид в современную эпоху. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 X 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17

и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком +, то есть 17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 X 17) + (16 X 17) = 19 X 17. Легко видеть, что подобный прием по существу весьма близок к нашему крестьянскому (замена умножения рядом последовательных удвоений).

Трудно сказать, у одних ли наших крестьян был в ходу такой древний способ умножения; английские авторы называют его именно "русским крестьянским способом"; в Германии крестьяне кое-где хотя и пользуются им, но также называют его "русским".  

                                     Умножение на пальцах.

Люди в прошлом не знали таблицу умножения, и тогда им приходилось считать на пальцах.

Например, им  надо было узнать, сколько будет 7х7. Для этого они загибали на левой руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5. В рассмотренном примере на каждой из рук будет загнуто по 2 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (получается 4) и перемножить количество не загнутых (получается 9), то получается соответственно числа десятков и единиц искомого произведения (в данном примере 4 десятка и 9 единиц, то есть 49).

Если этим способом вычислять произведение 6х7, то получим 3 десятка и 12 единиц, то есть 30+12=42.   

                  Таблица умножения на 9 с помощью пальцев рук.

Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример: пусть надо найти произведение 4х9.

Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца (десятки), а после поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.

      

                            Признаки делимости чисел.

В школе мы изучаем правила о признаках делимости на 2, 4, 5, 6, 8, 3, 9, 10, 11, 25. Они помогают нам быстрее сориентироваться в различных подсчетах. Рассмотрим некоторые из этих признаков.

Признаки делимости на 2 
Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся — нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях — не делится.

Примеры:

52 делится на 2 . Последняя цифра 2 делится на 2 нацело (2/2=1).

300 делится на 2 . Последняя цифра 0.

11 не делится на 2 . Последняя цифра 1 не делится на 2.

Признаки делимости на 3 и на 9 
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 — только те, у которых сумма цифр делится на 9.

 Примеры:

1 + 5 + 9 = 15
(пятнадцать) делится на 3 (три)
15 : 3 = 5
и дает в результате 5 (пять). Если разделить на 3 (три) взятое нами число
159 : 3 = 53
получится пятьдесят три.

Признаки делимости на 4 
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях — не делится.

       Примеры:

548 делится на 4. Две последние цифры 48 делятся на 4 нацело (48/4=12).

600 делится на 4. Две последние цифры нули.

755 не делится на 4. Две последние цифры 55 не делятся на 4.

Признаки делимости на 5 
На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие — не делятся.

Примеры:

Число 590 (пятьсот девяносто) делится на 5 (пять), поскольку оно оканчивается на цифру 0 (ноль):
590 : 5 = 118

Признаки делимости на 6 
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае — не делится.

Примеры:

Число 948 (девятьсот сорок восемь) делится на 6 (шесть), поскольку оно является четным и сумма его цифр делится на 3 (три):
9 + 4 + 8 = 21
Снова находим сумму цифр числа 21 (двадцать один):
2 + 1 = 3
В математике деление взятого нами числа 948 (девятьсот сорок восемь) на 6 (шесть) можно записать так:
948 : 6 = 158
в результате получается число сто пятьдесят восемь.

Признаки делимости на 8 
Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях — не делится.

         Примеры:

1128 делится на 8. Три последние цифры 128 делятся на 8 нацело (128/8=16).

7000 делится на 8. Три последние цифры нули.

6755 не делится на 4. Три последние цифры 755 не делятся на 8.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000 
На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 — только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули. Чтобы было проще делить на 10, 100 и 1000, просто зачеркивайте одинаковое количество нулей в обоих числах.

Примеры:

Признаки делимости на 11 
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

       Примеры:

Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и б +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 —7 = 4 на 11 не делится. 

                      

               "Русский" способ умножения.

Старинные способы умножения были неуклюжи и неудобны, но так ли хорош наш нынешний способ, чтобы в нем невозможны были уже никакие дальнейшие улучшения? Нет, и наш способ не является совершенным; можно придумать еще более быстрые или еще более надежные. Из нескольких предложенных улучшений укажем пока только одно, увеличивающее не быстроту выполнения действия, а его надежность. Оно состоит в том, что при многозначном множителе начинают с умножения не на последнюю, а на первую цифру множителя. Выполненное умножение 8713 X 264 примет при этом такой вид:

Как видим, последнюю цифру каждого частного произведения подписывают под той цифрой множителя, на которую умножают. Преимущество подобного расположения в том, что цифры частных произведений, от которых зависят первые, наиболее ответственные цифры результата, получаются в начале действия, когда внимание еще не утомлено и, следовательно, вероятность сделать ошибку меньшая. Мы не можем выполнить умножение многозначных чисел, хотя бы даже двузначных, если не помним наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, то - есть того, что называется таблицей умножения. В старинной "Арифметике" Магницкого необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - чуждых для современного слуха - стихах:

Аще кто не твердит таблицы и гордит,

Не может познати числом что множати

И во всей науки, несвобод от муки,

Колико не учит туне ся удручит

И в пользу не будет аще  ю забудет.

Автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

Вот пример:  32 Х  13  =  416                                          

   32 Х  13                                             

 16 X  26                                                                

  8 Х  52 

  4 Х 104 

  2 X 208 

  1 X 416 

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:

32 X 13 = 1 X 416.

Теперь я попрошу из зала кого-нибудь проделать ту же самую работу, умножим 32 на 17:

32 X 17 = 544

32 X 17

16 X 34

8 X 68

4 X 136

2 X 272

1 X 544

Деление множимого продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, одновременно удваивая множитель. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Значит 32∙17=1∙544=544. В предлагаемом примере, все числа делятся на 2 без остатка.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?

Народный способ легко выводит из этого затруднения. Надо - гласит правило - в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца; сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):19 X 17

  9 X 34 

  4 X 68* 

  2 X 136* 

  1 X 272 

Сложив не зачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

17 + 34 + 272 = 323.

На чем основан этот прием?

Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что

 19 Х 17 = (18 + 1)17 = 18 X 17 + 17, 

 9 X 34 =  (8 + 1)34 =  8 X 34 + 34 и т. д.

                     Формулы сокращенного умножения.

При решении задач на вычисления для лёгкого расчёта можно использовать формулы сокращенного умножения:     

  1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)²=a²+2ab+b²

  2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)²=a²-2ab+b²

  3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a²-b²

  4. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

  5. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

На применении формул сокращённого умножения в учебно-методическом пособии под редакцией Ф. Ф. Лысенко по подготовке к итоговой аттестации 2008г. были предложены следующие задания в 1 части:  

1)    Упростите выражение:

Числитель дроби можно записать, используя переместительный закон сложения в виде:

  , а теперь применив формулу разности квадратов, получим:

В итоге получаем дробь     

2)Упростите выражение:

Распишем числитель дроби, используя формулу квадрат суммы:

)-+

Приведём подобные слагаемые:

Итак, дробь имеет значение  В тематических тестах под редакцией Ф.Ф.Лысенко для подготовки к ГИА 2010 предложены следующие примеры:

1)Вычислите

 

Применим в числителе формулу разности квадратов, а в знаменателе квадрат разности:

2)Вычислите

Данный пример можно решить двумя способами.

1 способ:

 Возведём первый множитель в квадрат и внесём его под корень:

Выражение под корнем сворачивается по формуле разность квадратов:

2 способ:

Выражение под корнем свернём по формуле квадрат суммы:

Опять пришли к формуле разностей квадратов:

)=

А пособие «Задание по математике» авторы Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов и т.д. для подготовки к письменно экзамену в 9 классе 2007г. даны следующие примеры. Вычислите, используя формулы сокращённого умножения.

1)Раскроем скобки:

2)Разность  найдём, используя формулу «разность квадратов»:

=))=

3)В полученном выражении  вынесем общий множитель -3,25 за скобки:

Применим формулу «разность кубов»:

Приведём подобные слагаемые  и вынесем -1 за скобочки:

Свернём полученное выражение по формуле «квадрат суммы»:

Используя формулу «сумму кубов» преобразуем дробь:

Получим:

Использовали при умножении дробей разложение одного числа на слагаемое и правило распределительного закона умножения относительно сложения.

                                    Три девятки.

И напоследок, мы хотим познакомить вас со свойством трёх девяток. Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Получается шестизначное произведение; первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры - "дополнения" первых до 9. Например:

Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:

Зная эту особенность, мы можем "мгновенно" умножать любое трехзначное число на 999.

947 X 999 = 946053,  

          509 X 999 = 508491, 

          981 X 999 = 980019 и т. д.  

                                       Вывод.

Знать технику быстрого счета полезно взрослым и детям. Сколько раз приходилось наблюдать ситуацию, когда человек мучится с тем, чтобы правильно отсчитать сдачу на рынке, или пробует высчитать, на сколько грядок ему хватит купленной рассады на даче или задумчиво чешет затылок. В проделанной работе мы привели вам только несколько примеров быстрого счёта. Эти знания  пригодятся нам на уроках алгебры, а также и при сдаче Государственной Итоговой Аттестации в этом год. 

Секция: математика.

Номинация: алгебра

Тема: Быстрый счёт.

  Закирова Елена ,           Берсина Валерия               ученицы 9 А класса     МОУ  СОШ   №128       

                                                 Ленинского района Городского округа

                                                                                           Город Уфа РБ

                                                                 Руководитель:   Нафикова Т. К.

Мы занимались научной работой на тему «Быстрый счёт», потому что это очень важно и интересно. Быстрый счёт – развивает память, быстроту, воспитывает умение сосредоточиться, повышает культуру вычислений. Использование некоторых примеров «быстрого счёта», помогает повысить интерес у учащихся.

Мы надеемся, что наша работа поможет нам и на ГИА, и послужить неплохим справочным материалом на уроках алгебры.