Исследовательская работа по математике на тему "Геометрия танграма" (6 класс)

В чем секрет танграма?

Безделева Анна Аркадьевна

г. Красноярск

Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №72 с углубленным изучением отдельных предметов»

5 класс

Место выполнения работы МБОУ СОШ №72

Руководитель: учитель математики Солдатова Елена Аркадьевна

[e-mail]

Районный конкурс творческих и исследовательских работ

«Самовенок»

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №72

с углубленным изучением отдельных предметов»

В ЧЕМ СЕКРЕТ ТАНГРАМА?

Автор: Безделева Анна Аркадьевна, 5 класс, МБОУ СОШ №72

Руководитель:

Солдатова Елена Аркадьевна,

учитель математики МБОУ СОШ №72

КРАСНОЯРСК 2015

Содержание

Краткая аннотация ……………………………………………………… 3

Введение ………………………………………………………………… 4

1. История возникновения танграма…………………………………… 6

2. Что такое танграм ………………………………………………… 9

3. Геометрия танграма ………………………………………………… 12

4. Танграм в дизайне …………………………………………………… 15

Заключение ……………………………………………………………… 16

Список литературы ……………………………………………………… 16

Приложение ……………………………………………………………… 17

Краткая аннотация

Цель работы: исследовать геометрию танграма. Показать занимательность, увлекательность, многозначность известной с древних времен головоломки ТАНГРАМ. Составить классификацию танграмов по способам построения. Используя методы конструирования новых моделей, из частей танграма танов, составить различные геометрические фигуры, различающиеся размером, но одинаковые по форме. Сконструировать новые по форме танграмы. Найти какую часть от площади основного танграма составляют эти фигуры. Составить сравнительную таблицу площадей. Показать ценность головоломки в развитии логического мышления, изобретательности. Показать, что игра танграм является одним из шагов к изучению геометрии для дошкольников и младших школьников.

Введение

Головоломки ещё с древних времен стали развлечением. Они пользовались популярностью, приобщали людей к занимательным задачам, сочетали способность развлекать и заниматься математикой. В решениях этих задач важен не столько сам результат, сколько процесс. Такие задания доставляют удовольствие, развивают творческие способности, тренируют интеллект, воспитывают наблюдательность. Занимательная математика тренирует ум. Задачи с геометрическими фигурами увлекательны и разнообразны. Одной из древних увлекательных головоломок является танграм. В этой игре важен не только результат, но и процесс. Головоломка тренирует интеллект и развивает умственные способности. Она является прекрасным пособием для усвоения начал геометрии.

Цель работы узнать секреты танграма. Показать занимательность, увлекательность, многозначность известной с древних времен головоломки. Рассмотреть геометрические фигуры, составленные из частей танграма. способы получения их при помощи моделирования.

Версии появления этой популярной головоломки различны. По одной из них головоломку придумали китайские мудрецы для сына императора для развития математических способностей у мальчика. По другой - мудрец Тан создал семь книг, в которых фигуры располагались соответственно семи стадиям эволюции Земли. Головоломке около 4000 лет.

Танграм – это игра. Головоломка представляет собой квадрат, разрезанный на 7 частей. Эта игра математическая, поскольку она представлена из набора геометрических фигур. Игра полезна не только для развития логического мышления, изобретательности, но и для совместного отдыха и творчества.

1. История возникновения танграма

Люди с древности любили головоломки. Корни их премудрости ведут к древнейшим очагам мировой культуры. Это Междуречье и Египет, Древняя Греция и Рим, Африка и Индия, цивилизации майя и инков и – главное – непредсказуемый Восток. Древнейшей китайской головоломкой считают танграм.

Танграм - одна из первых древних игр головоломок [4]. Родина возникновения - Китай, возраст - более 4 000 лет. Головоломка представляет собой квадрат, разрезанный на 7 частей: 2 больших треугольника, один средний, 2 маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. Суть игры - собирать всевозможные фигурки из данных элементов по принципу мозаики. Всего насчитывают более 7 000 различных комбинаций. Самые распространенные из них - фигуры животных и человека. Игра способствует развитию образного мышления, воображения, комбинаторных способностей, а также умения делить целое на части.

По одному из мифов давным-давно жил-был китайский мудрец Тан, создавший семь книг, в которых фигуры располагались соответственно семи стадиям эволюции Земли: хаос, простейшие виды жизни, фигуры рыб, птиц, животных и человека. По пути в различных местах попадаются изображения того, что создано человеком: орудию труда, мебель, одежда и архитектурные сооружения [5].

Некоторые историки рассказывают красивую легенду. Почти две с половиной тысячи лет тому назад у немолодого императора Китая родился долгожданный сын и наследник. Шли годы. Мальчик рос здоровым и сообразительным, но не хотел учиться. Мальчику доставляло большее удовольствие целый день забавляться игрушками. Император позвал к себе трех мудрецов. Один из них был известен как математик, другой прославился как художник, а третий был знаменитым философом. Властелин повелел им придумать игру, забавляясь которой, его сын постиг бы начала математики, научился смотреть на окружающий мир пристальными глазами художника, стал бы терпеливым, как истинный философ. Три мудреца придумали "Ши-Чао-Тю" - квадрат, разрезанный на семь частей.

А вот ещё одна легенда. Четыре тысячи лет назад у одного мужчины выпала из рук керамическая плитка и разбилась на 7 частей. Взволнованный, он посохом попытался её собрать. Но из вновь составленных частей каждый раз получал новые интересные изображения. Это занятие вскоре оказалось настолько захватывающим, головоломным, что составленный квадрат из семи геометрических фигур назвали Доской Мудрости.

В России игра сейчас распространена под названием "Пифагор" [1]. Жизнь головоломки продолжается.

2. Что такое танграм

Танграм - старинная китайская игра-головоломка (приложение, рис.1). Она возникла 4 тысячи лет назад. Сущность её заключается в складывании из 7 частей, полученных разрезанием квадрата определённым образом, различных фигурок, а также придумывании новых (приложение, рис.2). Правила этой игры просты. В состав каждой фигурки должны входить все семь частей; при этом они не должны перекрываться. Элементы фигур должны примыкать один к другому.

Танграм – это игра, представляющая собой части – таны - разрезанного квадрата, из которых составляют разные фигуры и силуэты. Это два больших треугольника, два маленьких, один средний, один квадрат и один параллелограмм. Все 7 танов разбиваются на 16 одинаковых элементарных треугольников. Элементарным треугольником называется маленький прямоугольный равнобедренный треугольник, из экземпляров которого сложены все таны. Уложить таны в виде первоначального квадрата означает собрать танграм. Фигура, сложенная из танов, также называется танграмом.

Все элементы танграма зеркально симметричны, кроме одной. Это параллелограмм. Но его можно укладывать при составлении фигур любой стороной. Углы всех танов равны или .

В игре танграм можно выделить 3 основных типа заданий:

• • поиск способа построения фигуры из танов по силуэту;

  • придумывание выразительных фигур людей. предметов, животных

  • Решение различных задач на составление геометрических фигур из 7 танов.

Танграмы делятся на связные и несвязные. Связный танграм - это танграм, в котором части танов соприкасаются сторонами (приложение, рис. 3).

Несвязный танграм – это танграм, не являющийся связным. Части такого танграма соприкасаются вершинами (приложение, рис. 4). Среди связных танграмов выделяется точно подогнанный танграм (приложение, рис.5). Это танграм без дыр. Он составлен так, что если два тана соприкасаются, то совпадают в элементарных треугольниках либо катеты, либо гипотенузы (рис. 5). Он же является выпуклым многоугольником. Точно подогнанные танграмы удобно вычерчивать на листах в клетку. Таким образом, все целочисленные стороны располагаются по линиям сетки, а стороны, не кратные целому числу клеток, располагаются по диагоналям сетки.

Танграмы бывают выпуклые и невыпуклые. Если через каждую сторону многоугольника провести прямую линию, и многоугольник будет лежать по одну сторону от этой линии, то танграм выпуклый. Выпуклый танграм всегда является точно подогнанным, все внутренние углы его меньше . (приложение, рис. 6).

Задачи на разрезание одни из древнейших в занимательной математике. Плоские фигуры разрезают на части, из которых складывают новые фигуры. Танграмы похожи на мозаику. Но в мозаике из многих кусочков неправильной формы нужно сложить одну фигуру правильной формы. В танграмах же, наоборот, из нескольких кусочков правильной формы можно сложить много необычных фигурок. Это развивает воображение и логическое мышление.

3. Геометрия танграма

Чтобы понять причину удивительного долголетия этой старинной китайской игры, был изготовлен танграм: квадрат из плотного картона разрезан на 7 частей определённым образом. Были выложены и придуманы новые фигурки. В каждой фигуре использованы все семь элементов танграма. Базовым элементом танграма является тан. Таны возможно получить при разрезании квадрата первоначально на два больших равных треугольника, два маленьких равных треугольника, один квадрат, один параллелограмм и один средний треугольник. При конструировании танграма получены модели выпуклых многоугольников (приложение, рис. 6), Связных и несвязных танграмов (приложение, рис. 4, рис. 5).

Также рассмотрены геометрические фигуры, составленные из различных элементов танграма (приложение, рис.7, рис. 8, рис. 9). С помощью моделирования получены новые треугольники, квадраты, трапеции, прямоугольники. Вычислены площади составленных фигур. За единицу принята площадь большого квадрата. Составили таблицу зависимости их площадей от набора элементов танграма, входящих в состав этих фигур.

При этом выявили следующие факты.

• Площади различных фигур, составленные из равных элементов, равны.

• При увеличении размеров треугольников площади их изменяются в таком отношении: 1) площадь маленького (элементарного) треугольника составляет часть квадрата; 2) площадь среднего треугольника составляет часть квадрата; 3) площадь большого треугольника составляет часть квадрата (приложение, рис.10).

Это легко проверить и доказать, разбив таны на элементарные треугольники. Каждый большой треугольник вмещает в себя четыре элементарных треугольника, параллелограмм, квадрат и средний треугольник вмещают по два элементарных треугольника. Это еще один из видов доказательства равенства площадей параллелограмма, маленького квадрата и среднего треугольника.

Равенство площадей составленных фигур было доказано двумя способами: способом наложения; способом перекроя, способом подсчета элементарных треугольников в фигуре (приложение, рис.11, рис.12).

Способом наложения было доказано, что отношение длин сторон маленького треугольника к длинам соответственны сторонам большого треугольника равно ½. А площади их относятся, как ¼.

Площади фантазийных фигур равны, так как фигуры по правилу составлены из всех семи частей танграма (приложение, рис. 13). Результаты вычислений приведены в таблице (приложение, рис. 14).

При анализе результатов получены следующие выводы:

• • • фигуры, составленные из одинакового набора танов, имеют равные площади.

    • площади равных по форме, но отличающихся по линейным размерам фигур в 2 раза, различаются в 4 раза. Если линейные размеры различаются в 4 раза, то площади фигур различаются в 16 раз. Можно предположить следующее. Если линейные размеры различаются в n раз, то площади фигур будут различаться в раз.

• фигуры, составленные из одинакового количества элементарных треугольников, имеют равные площади;

• площади многоугольников равны сумме площадей танов, из которых они составлены.

Для вычисления длин сторон элементарных треугольников и гипотенузы среднего треугольника нужны определенные знания в области геометрии. Способом наложения проверено, что гипотенуза среднего треугольника равна половине диагонали танграма и катету большого треугольника. Исследования можно продолжить. Интересна идея составления связных танграмов и вычисления их периметров.

4. Танграм в дизайне

Танграм во всех его проявлениях можно встретить в дизайна одежды, мебели, в архитектуре и ландшафтном дизайном. Самое удачное применение танграма в качестве мебели. Есть и столы танграмы и трансформируемая мягкая мебель и настенные полки. Комбинируя и сочетая геометрические формы, дизайнеры применяют в своих работах удивительные свойства танграма.

Вся мебель построенная по принципу танграма очень удобна и функциональна. Каждый раз она может видоизменяться в зависимости от настроения и желания хозяина. Такая модель была представленна на выставке в Милане в 2009 году (приложение, рис. 15).

Компания Bertolat придумала выпускать шоколадные плитки в виде древней головоломки танграм, которую придумали китайцы.

Перекраивание квадрата в другие фигуры может быть осуществлено не единственным способом. Выкладывание различных геометрических фигур напоминает геометрический конструктор. Упражнения в конструировании фигур из частей квадрата являются не только геометрической забавой, но и имеют практический смысл. Они могут помочь на производстве для более рационального раскроя материалов, в использовании отходов производства – обрезков кожи, ткани, дерева – и превращении их в полезные вещи, украшения. Например, можно достичь экономии использования материалов на производстве.

Заключение

Логическая и творческая ценность головоломки дают возможность для ее применения на уроках математики, на занятиях математических кружков. Игра помогает в понимании геометрии, позволяет лучше узнать свойства геометрических фигур. Танграм увлекает своей простотой и необычностью.

Головоломка интересна для людей любого возраста. В неё можно играть одному и группой. Она способствует сплочению коллектива, укреплению дружбы в семье.

Головоломка воспитывает усидчивость, развивает память и логическое мышление. Эта игра развивает воображение. Эта игра развивает сообразительность и пространственные представления.

Она во много раз лучше, чем известные всем пазлы. Пазлы собираются единственным образом, а из элементов танграма можно бесконечно создавать новые фигуры. Это увлекательный процесс.

Исследование танграма только началось. Не знакомы теоремы из геометрии, которые вероятно помогут увидеть ещё более интересные свойства удивительной игры. Какая закономерность скрыта в элементах танграма? Каковы соотношения между сторонами и углами танов? Как можно вычислять площади танов и составленных из них фигур, используя формулы? Надеемся в будущем найти ответы на эти вопросы.

Список литературы

1. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1989. – С. 148

2. Кордемский Б. А., Русалев Н. В. Удивительный квадрат. – М.: АО «Столетие», 1994. – С. 26

3. Шарыгина И. Ф., Ерганжиева Л. Н., Наглядная геометрия: Учебное пособие для V – VI кл. – Смоленск: Русич, 1995. – С. 45

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Танграм

5. http://www.axel.nm.ru/tangram/about/history.html

Приложение

Рис. 1. Танграм

Рис. 2. Фигурки, сложенные из танграма.

Рис. 3. Связный танграм

Рис. 4. Несвязный танграм

Рис.

Рис. 5

Рис. 5. Точно подогнанный танграм, он же является выпуклым многоугольником.

Рис. 6. Выпуклые многоугольники, составленные из танграма.

21 22 23

24 12 25

Рис. 7. Треугольники, составленные из танов.

6 7 8

1010

11

10 11 13

Рис. 8. Четырехугольники, составленные из танов.

2 4 9

15 16 17

Рис. 9. Четырехугольники, составленные из танов

Рис. 10. Сравнение площадей треугольников

Рис. 11. Сравнение площадей квадратов наложением и с помощью вычисления

Рис. 12. Сравнение площадей треугольников наложением и с помощью вычисления

ракета космическая краб

станция

самбист ракета девочка

лебедь красавица кораблик

Рис. 13. Фантазийные фигуры из танграма имеют равные площади

№ фигуры

формула

площадь

1, 3, 4, 5

М + М + П + С+ Б + Б + К

1

2, 8, 25

М + М + К + Б

½ Т

6, 11, 12, 17

М + М + К

¼ Т

7, 9, 10

Б + Б + М + М + К

¾ Т

13, 19

М + М

1/8 Т

14

Б + Б + М + М + П

¾ Т

15

М + М + П

¼ Т

16

М + М + П + К

¾ Т

18, 24

С + М + М

¼ Т

20, 21

Б + М + М + П

½ Т

22

М + М + М + С + П

½ Т

23

Б + Б

½ Т

Рис. 14. Сравнительная таблица вычисления площадей геометрических фигур

Рис. 15, Танграм в дизайне мебели, диваны-трансформеры