Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по математике на тему "ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ"

Исследовательская работа по математике на тему "ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m646c8d51.gifhello_html_m646c8d51.gifhello_html_m646c8d51.gifhello_html_m646c8d51.gifhello_html_542586da.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_m646c8d51.gifhello_html_m646c8d51.gifhello_html_m646c8d51.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_m646c8d51.gifhello_html_m646c8d51.gifhello_html_58258ea9.gifhello_html_462bcdeb.gifhello_html_m2ba4374b.gifhello_html_m5b280b04.gifhello_html_m3d8ec77d.gifhello_html_m4b493541.gifhello_html_m4b493541.gifhello_html_m44edc295.gifhello_html_m44edc295.gifhello_html_m4f969de5.gif

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«Гимназия № 2»









ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ,

НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ


НАУЧНАЯ РАБОТА





ИСПОЛНИТЕЛИ:

Лукашевич Михаил,

учащийся 10 «Б» класса

Ткаченко Юлия,

учащаяся 10 "Б класса


НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Учитель математики

высшей категории

Садовник Марина Викторовна







БАРАНОВИЧИ 2011

Научный аппарат исследования


Объект изучения

Нестандартные уравнения, неравенства и системы.

Предмет изучения

Производные функций.

Цель исследования

Показать, как с помощью производной решать некоторые нестандартные

уравнения и неравенства.

Задачи

Познакомить с историей появления понятия производной функции.

Рассмотреть применение производной при решении нестандартных

уравнений и неравенств.

Показать значимость функционального видения математических

объектов.

Гипотеза

Дифференцирование функций существенно облегчает решение

некоторых уравнений, неравенств и доказательство неравенств.

Научная новизна

Новые способы решение некоторых уравнений и неравенств.

Методы исследования

Анализ.

Исследование.

Структурирование.

Обобщение.

Функциональный метод.

Практическое применение

Работа может быть использована на уроках математики для классов с

углубленным изучением математики, а также на факультативных

занятиях с целью подготовки учеников к конкурсным испытаниям.

Актуальность темы

Решение некоторых нестандартных уравнений и неравенств с

использованием дифференцирования функций становится красивым,

оригинальным и менее громоздким.






Содержание


Введение------------------------------------------------------------------------------------3

Глава 1. Понятие производной-------------------------------------------------------4

1.1.Исторические сведения----------------------------------------------------4

1.2.Понятие производной------------------------------------------------------5

Глава 2.Использование производной при решении уравнений

и неравенств и их систем--------------------------------------------------------6

2.1.Некоторые теоремы о непрерывных и дифференцируемых

функциях-----------------------------------------------------------------------------6

2.2.Примеры решения уравнений и неравенств и их систем---------- 7

Заключение---------------------------------------------------------------------------------18

Список использованной литературы----------------------------------------------19

Приложение--------------------------------------------------------------------------------20





ВВЕДЕНИЕ



Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований может быть сведено к уравнению или неравенству, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях ключевую роль могут сыграть такие свойства функций, входящих в уравнение или неравенство, как ограниченность и монотонность. Эти свойства функций очень удобно исследовать с помощью производной. Поэтому мы решили в своей работе показать, как с помощью производной можно решать некоторые нестандартные уравнения и неравенства и их системы.

Работа разбита на главы. В первой главе мы обращаемся к истокам возникновения дифференциального исчисления, созданного Ньютоном и Лейбницем, после чего излагаем современную трактовку понятия производной.

Во второй главе приводятся важные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях, которые мы использовали при решении уравнений и неравенств, а затем на примерах иллюстрируем метод дифференцирования функций при решении уравнений и неравенств.

В конце работы помещен список используемой литературы и приложение с правилами дифференцирования и таблицей производных основных элементарных функций.














Глава 1. Понятие производной


    1. Исторические сведения


Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1)о разыскании касательной к произвольной линии;

2)о разыскании скорости при произвольном законе движении;

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500-1557гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Робервиля, английского ученого Л.Грегори, а также в работах Ньютона.

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны. Таким образом, «новая» математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок.















    1. Понятие производной


Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a;b), а точка hello_html_3b5fed95.gif(a;b) и величина ∆x такова, что hello_html_69b83015.gif+∆x hello_html_m2e28bbd1.gif (a;b).

Разность f(hello_html_69b83015.gif+∆x)-f(hello_html_69b83015.gif) называется приращением функции f(x) в точке, а ∆x-приращением аргумента в точке hello_html_69b83015.gif. Приращением функции f(x) в точке hello_html_69b83015.gif принято обозначать ∆f(hello_html_69b83015.gif) или ∆y(hello_html_69b83015.gif).

Производной функции y=f(x) в точке x0 называют предел отношения приращения функции ∆f(hello_html_69b83015.gif) к приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x стремится к нулю. Если предел существует, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0. Производная функции y=f(x) в точке hello_html_69b83015.gif обозначается y’(hello_html_69b83015.gif), или f’(hello_html_69b83015.gif). Итак, по определению



hello_html_7508a084.gif



























Глава 2. Использование производной при решении уравнений, неравенств и их систем.



2.1. Некоторые теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.

Теорема 1. Пусть функция hello_html_m7eced531.gif непрерывна на промежутке [a; b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда найдётся такая внутренняя точка hello_html_m56d84833.gif \in (a; b) , что hello_html_137d637.gif

Теорема 2. Всякая непрерывная на промежутке [a; b] функция hello_html_m7eced531.gif имеет на этом промежутке своё наибольшее значение hello_html_m1fd67f5d.gif и наименьшее значение hello_html_m6fcfd213.gif, причём свои значения hello_html_m6fcfd213.gif и hello_html_m1fd67f5d.gif она принимает на концах отрезка [a; b] или в критических точках, принадлежащих [a; b].

Теорема 3. Если функция hello_html_m7eced531.gif непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b) и во внутренней точке hello_html_m56d84833.gif \in (a; b) hello_html_30e45ec0.gif или hello_html_m6eb28330.gif, где hello_html_m6fcfd213.gif– наименьшее, а hello_html_m1fd67f5d.gif – наибольшее значение функции, то hello_html_m7b406736.gif

Теорема 4. Пусть hello_html_m7eced531.gif непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b). Для того чтобы функция hello_html_m7eced531.gif была возрастающей (убывающей) на [a; b] , необходимо и достаточно, чтобы hello_html_m755aa6a3.gif (hello_html_m3d7de39f.gif) в каждой точке hello_html_m4f3a936b.gif \in (a; b) .

Теорема 5. Если уравнение hello_html_m1270c89.gif имеет решение hello_html_m4f3a936b.gif0 , и функция hello_html_m7eced531.gif – возрастающая, а функция hello_html_m4a248562.gif – убывающая, то это решение hello_html_m4f3a936b.gif0 – единственное.

Теорема 6. Если функция hello_html_m7eced531.gif непрерывна и монотонна на [a; b] и на концах отрезка [a; b] принимает значения разных знаков, то уравнение hello_html_m7fee0c88.gif имеет единственный корень hello_html_m4f3a936b.gif0\in [a; b].

Теорема 7. Если функция hello_html_m7eced531.gif непрерывна и монотонна на промежутке [a; b], то уравнение hello_html_m643d6742.gif, где hello_html_m6fcfd213.gif – данная константа может иметь не более одного решения на промежутке [a; b].

Теорема 8. Если hello_html_m7eced531.gif – монотонная непрерывная функция, то уравнение hello_html_349a9a10.gif равносильно уравнению hello_html_m32011cba.gif, а уравнение hello_html_m28a2515f.gif равносильно hello_html_2289a9f0.gif.




2.2 Примеры решения уравнений, неравенств и их систем.


Пример 1.



Решить уравнение

hello_html_6eb5f3ad.gif+3hello_html_m15264eec.gif+7x – 11 = 0



Решение.

I способ.

Заметим, что сумма коэффициентов многочлена P(x)=hello_html_6eb5f3ad.gif+3hello_html_m15264eec.gif+7x – 11 равна нулю, т.е. P(1)=0. Значит, x=1 является корнем уравнения P(x)=0. По теореме Безу многочлен P(x)=hello_html_6eb5f3ad.gif+3hello_html_m15264eec.gif+7x – 11 делится на x-1 без остатка. Разделим P(x) на x-1.

Уравнение принимает вид:

(x-1)(hello_html_m6cc5a6fd.gif=0

Дальнейшего решения не видно.

II способ.

Решим это же уравнение с помощью производной. Рассмотрим функцию P(x)=hello_html_6eb5f3ad.gif+3hello_html_m15264eec.gif+7x – 11.

Найдем производную этой функции: p′(x)= hello_html_73d8f115.gif

Так как P′(x)>0 при любых x, то функция P(x) возрастает при любых xhello_html_m2e28bbd1.gifR. Следовательно, данное уравнение P(x)=0 имеет не более одного корня. Поэтому, x=1 – единственный корень.

Ответ: x=1.






Пример 2.



При каких значениях a корни уравнения (1+a)hello_html_7a2a5240.gif-3ax +4a=0 принадлежат интервалу (2;5)?

Решение.

Из уравнения (1+a)hello_html_7a2a5240.gif-3ax +4a=0 выразим a.

a(hello_html_m46061404.gif + hello_html_7a2a5240.gif = 0,

a = hello_html_m23efcf57.gif (1).

Рассмотрим функцию a(x)=hello_html_m23efcf57.gif.

Исследуем эту функцию с помощью производной.

a′(x)=hello_html_7d1aaf92.gif = hello_html_6245458a.gif = hello_html_25ed01ee.gif = hello_html_m7c28d1d1.gif.

На отрезке [2;5] функция a(x) непрерывна и достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка или в критических точках.

Критическая точка x= hello_html_1bcba676.gif hello_html_m2e28bbd1.gif [2;5].

Найдем значение функции a(2); a(hello_html_1bcba676.gif) и a(5) :

a(2) = -2; a(hello_html_1bcba676.gif) = -hello_html_39c56f6e.gif; a(5) = hello_html_m3fdc1cd1.gif.

Изобразим график функции a(x) на отрезке [2;5]


work.jpg

Получим ответ ahello_html_m2e28bbd1.gif[hello_html_m6d1a236e.gif).

Ответ: ahello_html_m2e28bbd1.gif[hello_html_m6d1a236e.gif).




Пример 3.



Найти сумму S=1+2hello_html_521b6c2b.gif+3hello_html_70d95b74.gif



Решение.

Рассмотрим функцию 1+2hello_html_521b6c2b.gif+3hello_html_70d95b74.gif

Тогда искомая сумма hello_html_4b4d5400.gif.

Заметим, что при hello_html_74083633.gif указанная функция hello_html_mb93dfec.gif является производной функции hello_html_m18250024.gif.

Т.е., hello_html_m207b1db0.gif.

Функция hello_html_758f3af0.gif представляет собой сумму 100 членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен x и знаменатель равен x.

Так как hello_html_m1484f5f4.gif

Найдем производную


hello_html_m32c8a09a.gif.

Подставим hello_html_70f7ba36.gif, получим hello_html_4ec36bd2.gif.



Ответ: hello_html_m5603780b.gif.







Пример 4.



Решить неравенство hello_html_m7018f9a4.gif, где

n – натуральное число.



Решение.

Перенесем в левую часть и рассмотрим функцию hello_html_md92516d.gif.

Найдем производную hello_html_1cd9fcc8.gif hello_html_862776c.gif.

Очевидно, что hello_html_m71f65211.gif. Следовательно, функция hello_html_m7eced531.gif монотонно возрастает на всей области определения.

Значит, множеством решений исходного неравенства будет промежуток [hello_html_69b83015.gif;+∞), где hello_html_m449a3b5.gif (если такое hello_html_69b83015.gif существует).

Подставим hello_html_m1c7b9ae5.gif в hello_html_m7eced531.gif:

hello_html_26681a73.gif, где hello_html_5e88fe5c.gif - сумма арифметической прогрессии с первым членом hello_html_m1c3148fd.gifс последним членомhello_html_5ad95be.gif и разностью hello_html_30aa14e8.gif.

По формуле суммы арифметической прогрессии находим

hello_html_34b1a0b2.gif. Получаем, что hello_html_56eb55ed.gif.

Значит, hello_html_338b9857.gif

Ответ: hello_html_338b9857.gif







Пример 5.



Решить неравенство hello_html_75ad97be.gif.



Решение.
Перепишем неравенство в виде:
hello_html_md53a13c.gif.

Рассмотрим функцию hello_html_1c54ef86.gif hello_html_1c73c5cf.gif и найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную: hello_html_m5edbae11.gif. Так как дискриминант квадратного трехчлена hello_html_m6b5a1fef.gif является отрицательным числом и коэффициент при hello_html_1f84427b.gif этого квадратного трехчлена больше нуля, то для любого действительного y выполняется неравенство hello_html_334b8d49.gif, а , значит, для каждого действительного hello_html_m8f522f9.gif имеет место неравенствоhello_html_m6943878a.gif

Таким образом, функция hello_html_1c54ef86.gif hello_html_1c73c5cf.gif является непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой, поэтому ее график может пересекать ось Ox не больше чем в одной точке.

Заметим, что hello_html_70015d4d.gif.

hello_html_54e677e9.gif hello_html_57ee814d.gif



1



Итак, получаем, что решениями этого неравенства являются все числа x из промежутка hello_html_m1fd1be21.gif

Ответ: hello_html_m1fd1be21.gif




Пример 6.


Решить систему уравнений hello_html_6d81ef72.gif



Решение.

Перепишем данную систему в виде: hello_html_m278f7d50.gif

Из первого уравнения этой системы следует, что y>0. Тогда из второго уравнения системы получаем, что x>y>0.

Введем подстановку t=hello_html_m49d15b12.gif. Из первого уравнения системы находим: hello_html_m688b969c.gif и так как x + y>0, то x + y = hello_html_41ddf431.gif или x = hello_html_1abd893f.gif.

Подставим во второе уравнение системы hello_html_1abd893f.gif вместо x и t вместо y.

Получаем hello_html_m16456740.gif, hello_html_6ce35235.gif, hello_html_m6b26f245.gifили hello_html_m799c5dc5.gif

Рассмотрим функцию f(t) =hello_html_70894442.gif.

Найдем производную f′(t):

f′(t) = hello_html_m25e93f8b.gif

Т.к. f′(t)<0, то f(t)=0 является убывающей функцией, поэтому уравнение f(t)=0 имеет не более одного корня.

Замечаем, что число t=1 является корнем уравнения (1) и этот корень единственный. Отсюда находим, что решением системы может быть только пара x=2 и y=1. Проверкой убеждаемся в этом.

Ответ: x=2, y=1.



Пример 7.


Существует ли такое значение a, при котором уравнение

hello_html_m276433cf.gif- hello_html_5613ccb6.gifa = 0 имеет более одного корня?



Решение.

Рассмотрим функцию f(x)= hello_html_m276433cf.gif - hello_html_5613ccb6.gifa, определенную на промежутке xhello_html_m2e28bbd1.gif(1;+hello_html_m190a6000.gif).

Найдем производную этой функции fhello_html_m4c72c43f.gif(x):

fhello_html_m4c72c43f.gif(x)=hello_html_m1b9f31ca.gif = hello_html_50c56416.gif

Так как fhello_html_m4c72c43f.gif(x)<0 при любых xhello_html_m2e28bbd1.gif(1;+hello_html_m190a6000.gif), то функция убывает на всем промежутке xhello_html_m2e28bbd1.gif(1;+hello_html_m190a6000.gif). По теореме о непрерывной монотонной функции f(x) уравнение вида f(x)=0 имеет не более одного корня.

Ответ: не существует.




Пример 8.



Доказать, что для любых hello_html_695bfd0f.gif справедливо неравенство hello_html_m193e668b.gif



Решение.

Рассмотрим функцию hello_html_mfc9023c.gif Найдем производную hello_html_3732013b.gif hello_html_m58fdd8a8.gif.

Найдем критические точки:

hello_html_m8847ce0.gif.

Последнее уравнение равносильно уравнению hello_html_m3a971173.gif. hello_html_m14df9641.gif точка минимума, т.е. hello_html_m58e2008b.gif.




Пример 9.



Пусть x и y – вещественные числа отрезка [0;hello_html_6eec8aff.gif].

Докажите неравенство: hello_html_d27679e.gif + hello_html_593c7b72.gif



Решение.

Используем неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратичном

hello_html_24a4148.gifhello_html_m6d1256d7.gifhello_html_m699c73ca.gifили hello_html_m20f62a32.gif + hello_html_m4b51c6b6.gif или hello_html_7e2b7566.gif

Для a>0 и b>0 hello_html_m5a046a48.gif.

Тогда hello_html_79943d1c.gif

Поэтому hello_html_d27679e.gif + hello_html_m2583ce42.gif hello_html_m54ea4251.gif hello_html_694561c3.gif (*).

Рассмотрим функцию f(x) = hello_html_m32cd4cc9.gif на промежутке [0;hello_html_6eec8aff.gif]. Продифференцируем ее по x. fhello_html_m4c72c43f.gif(x) = hello_html_22ddccfc.gif - hello_html_5672eaa4.gif = hello_html_22ddccfc.gif - hello_html_5199d22d.gif.

Заметим, что нуль производной на [0;hello_html_6eec8aff.gif] может быть только минимумом. Значит максимум функции f(x) достигается при x=0 или при x=hello_html_6eec8aff.gif. Аналогично, в точке максимума y=0 или y=hello_html_6eec8aff.gif. Теперь нетрудно установить, что правая часть неравенства (*) не превосходит числа hello_html_73ca8c00.gif.





Пример 10.



Решите неравенство hello_html_67d3df18.gif + hello_html_5e2baa91.gif hello_html_m6d1256d7.gif 2.




Решение.


Рассмотрим функцию f(x) = hello_html_m7c4933ee.gif + 2hello_html_64e39a60.gif ,

определенную на промежутке x hello_html_m2e28bbd1.gif (0;+∞).

Найдем производную этой функции f′(x):

f′(x) = -3hello_html_24cf7c91.gif - 2hello_html_64e39a60.gif hello_html_m41c5bbfd.gif hello_html_m219474f3.gif = -(hello_html_62524aa6.gif + hello_html_7bb06052.gif).

Так f′(x)<0 при любых x hello_html_m2e28bbd1.gif (0;+∞),

то функция f(x) монотонно убывает на своей области определения.

Заметим, что f(1)= hello_html_6866b50b.gif + hello_html_5e2baa91.gif = 2.

Значит при x hello_html_m2e28bbd1.gif (0;1) f(x)hello_html_m6d1256d7.gif2, а при x hello_html_m2e28bbd1.gif (1;+∞) f(x)<2.

Итак, решением исходного неравенства является интервал (0;1].

Ответ: x hello_html_m2e28bbd1.gif (0;1].






Пример 11.




При каких значениях a неравенство hello_html_m737d310a.gif выполняется для любых hello_html_m4f3a936b.gif из ОДЗ?


Решение.

Найдем ОДЗ: hello_html_24ab4142.gif\inhello_html_7a5f83c1.gif Рассмотрим функцию hello_html_da9b839.gif. Условие задачи равносильно тому, что hello_html_m12fa7dce.gif hello_html_m5c4329d9.gif . Найдем производную функции hello_html_m654e66de.gif: hello_html_m5cd1256d.gif . Найдем критические точки, принадлежащие hello_html_m5c4329d9.gif : hello_html_527b62db.gif = 0, hello_html_794c73e1.gif hello_html_22e55431.gif , hello_html_291a53ca.gif , hello_html_6fcfe493.gif hello_html_ddb4101.gif Так, как функция hello_html_m7eced531.gif непрерывна на hello_html_m5c4329d9.gif , то свое наибольшее значение она принимает на концах отрезка hello_html_m5c4329d9.gif или в критической точке hello_html_ddb4101.gif hello_html_7a740869.gif Итак, hello_html_344256ad.gif hello_html_377d6882.gif т.е. hello_html_m36d9a4a1.gif hello_html_m5c4329d9.gif . Ответ: hello_html_6039e2ee.gif hello_html_m4cdd2341.gif





Пример 12.


Решить неравенствоhello_html_5633070e.gif


Решение. ОДЗ: hello_html_4ee5e81f.gif Рассмотрим функцию hello_html_mf9e797a.gif Найдем производную функции hello_html_1cd9fcc8.gif hello_html_66e46656.gif Найдем критические точки: hello_html_5d6402cd.gif

hello_html_10be5f6a.gifx=0 не является критической, так как не является внутренней точкой из ОДЗ

hello_html_mb687e53.gif= 0. hello_html_m71f65211.gif при hello_html_m831b88f.gif hello_html_m4a0fc2ed.gif , hello_html_m72fea4b5.gif при hello_html_m831b88f.gif hello_html_m7b9d4dc9.gif В силу непрерывности функции, hello_html_m7eced531.gif возрастает на hello_html_m2334336.gif и убывает на

hello_html_23f79b18.gifи точка hello_html_6502e3b2.gif есть точка максимума. Поэтому при hello_html_m831b88f.gif hello_html_4f4673a7.gif, hello_html_m562ada45.gif hello_html_m7ed7b549.gif

Ответ: hello_html_66dffbe2.gif; hello_html_3b88a430.gif hello_html_48d46fa3.gif hello_html_m7758926a.gif .
































ЗАКЛЮЧЕНИЕ


По нашему мнению, данная научная работа предназначена для учащихся старших классов общеобразовательных учебных заведений для самостоятельной подготовки к конкурсным испытаниям, таким как централизованное тестирование и олимпиады, а также может быть полезной учителям для работы на факультативных занятиях в школах, лицеях, гимназиях.

Мы благодарны нашему научному руководителю и учителю математики высшей категории М.В.Садовник за помощь в поиске и составлении нестандартных уравнений и неравенств и конструктивные рекомендации по улучшению решений.

Авторы будут признательны читателям за любые замечания и пожелания, которые можно прислать по адресу MSadoynik@mail.ru.

















Литература


1.А.И.Азаров, О.И.Тавгень, В.С.Федосенко/Функциональные методы решения задач. -Минск: Академия последипломного образования, 1998.-185с.

2.А.И.Азаров, В.С.Федосенко, С.А.Барвенов/Экзамен по математике: задачи с параметрами: функциональные методы решения. –Минск: Полымя, 2001.-352с.

3.В.В.Амелькин, К.С.Филипович/ Математика: просто о сложном: способы решения алгебраических задач. –Минск: Аверсэв, 2009.-224с.

4.В.В.Амелькин, К.С.Филипович, В.И.Чесалин, Н.И.Юрчук/Задачи вступительных экзаменов по математике. –Минск: ТетраСистемс, 2002.-160с.

5.П.А.Вакульчик/Задачи математических олимпиад школьников. –Минск: УниверсалПресс, 2006.-416с.

6.А.Б.Василевский, О.А.Леончик/Упражнения по алгебре и началом анализа. –Минск: Лексис, 2000.-301с.

7.В.С.Малаховский/Введение в математику. –Калининград: Янтарный сказ, 1998.-440с.

8.А.П.Назаретов/Конкурсные задачи по математике для поступающих в вузы. –Москва: Книжный дом ЛОКУС, 2001.-512с.

9.О.И.Тавгень, А.И.Тавгень/Математика в задачах. Теория и методы решений. –Минск: Аверсэв, 2005.-511с.

10.О.И.Тавгень, А.И. Тавгень/Методы решения задач по математике.

М-во образования Республики Беларусь, БГУ, Академия последипломного образования. –Минск, 2000.-407с.












Приложение



Правила дифференцирования

Функция

Производная

hello_html_68d59393.gif= Cu, C = const

hello_html_6f56cf0a.gif=hello_html_3300c96d.gif

hello_html_68d59393.gif= u ± hello_html_m64704aae.gif

hello_html_m17eb11ef.gif= uhello_html_m4c72c43f.gif ± hello_html_m42e7d621.gif

hello_html_68d59393.gif= uhello_html_m64704aae.gif

hello_html_m617592d9.gif

hello_html_m145448dd.gif

hello_html_455397fe.gif





Формулы дифференцирования функций

Функция

Производная

hello_html_68d59393.gif= c

hello_html_m5226faa2.gif

hello_html_68d59393.gif= hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m339241ec.gif

hello_html_23557d10.gifα, α ≠ 1

hello_html_2e5e6bee.gifα)hello_html_mdbec1bc.gif α-1

hello_html_17d85d9d.gif

hello_html_494a1015.gif

hello_html_m55a844cf.gif

hello_html_m6ef26304.gif

hello_html_68d59393.gif= hello_html_65a3f892.gif

hello_html_m718746e3.gif


hello_html_68d59393.gif= hello_html_3649ce36.gif

hello_html_m62143320.gif




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 28.08.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров421
Номер материала ДA-020181
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх