Исследовательская работа по математике на тему "Красивые и быстрые способы вычислений"

Дистанционный конкурс с международным участием

учебно-исследовательских работ и творческих проектов

«Первые шаги в науку»

Направление: ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ (математика)

КРАСИВЫЕ И БЫСТРЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Фокеев Кирилл МОБУ «СОШ № 46», 5 класс Научный руководитель: Фокеева Виктория Петровна, учитель первой квалификационной категории Школьный учитель: Колодина Наталья Александровна,  математика

2017

Оглавление:

Введение …………………………………………….………………….....................3

Глава I. Нестандартные приемы устного счета………………………..…………..4

1.1            Различные методы сложения и вычитания………………………………….4

2.1 Различные методы умножения и деления……………………………………...6

1. Таблица умножения на пальцах…………………………………………...6

2.                 Приёмы быстрого счета………………………………………………..9

3.                 Быстрое возведение в квадрат ……………………………….….…...17

4.                 Приемы перекрестного умножения чисел, которые близки к 100………….……………………………………………………………….………19

Заключение ……………………………………………………….………………...20

Список литературы …………………………………………..………….................21

Приложения…………………………………………………………………………22

Введение.

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Владение навыками устного счета способствуют улучшению памяти, развитию речи, мышления, смекалки.

Выбрав тему «Красивые и быстрые способы вычислений», я задался вопросом: можно ли овладеть такими приемами и улучшить свои вычислительные способности. Я думаю, что знание таких приемов помогает человеку не только на уроках математики, но и в обыденной жизни.    

Цель исследования: овладеть приемами устного счета для повышения качества и скорости вычислений.

Объект  исследования: вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно – математического цикла.

Предмет исследования: нестандартные приёмы и навыки устного счёта  при работе с натуральных чисел.

Задачи: изучить  литературные источники, в которых встречаются различные приемы быстрого счета; сделать подборку наиболее распространенных и доступных приемов.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что  нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны  на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

Методы исследования:

1.                   теоретический (поиск и анализ информации в литературе и Интернет-ресурсах);

2.                   эмпирический (из опыта работы учителя);

3.                   математический (систематизация и обобщение).

Глава I. Нестандартные приемы устного счета.

1.2             Различные методы сложения и вычитания.

Существует огромное множество приемов ускоренного вычисления арифметических действий, предназначенных для бытовых вычислений. Мы ограничимся самыми интересными приемами вычислений, которые наиболее удобны в применении.

1.                 Сложение.

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1; чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д.

Например:          56+8=56+10-2=64;                      65+9=65+10-1=74.

2.                 Сложение в уме двузначных чисел.

Если цифра единиц в  прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы.  Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы.

Например:          34+48=34+50-2=82;                  27+31=27+30+1=58.

3.                 Сложение трехзначных чисел.

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы.

Например:        359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

                          456+298=400+200+50+90+6+8=754.

4.                 Вычитание.

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

5.                 Вычитание числа меньше 100 из числа больше 100.

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме.

Например:                         134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.                                             

                                              152-88=64

88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит

                                        152-88=12+52=64.

6.                 Вычисления с помощью числовой оси.

Например, сколько будет 11232-9889? Конечно, можно подсчитать это столбиком, каждый раз занимая и ставя точки по этому поводу над каждой цифрой, но ведь можно сосчитать и в уме. Представим себе числовую ось или можно сделать схематический рисунок:

Сколько не хватает числу 9889 до 10000? – 111. А на сколько 11232 больше, чем 10000? На 1232. А теперь складываем 1232 и 111 и получаем результат: 1232+111=1343.

7.                  Как вычитать из 100, 1000, 10000, 1000000 и т.д.

Вместо того чтобы вычитать справа налево, вам нужно делать это слева направо.

Начиная с той цифры, которая располагается левее всех, вы вычитаете, её (и все последующие) из девятки, планомерно продвигаясь вправо. Последнюю, и только последнюю вы вычитаете из 10.

Например, если бы вам вдруг захотелось вычесть 58 из 100, вы отняли бы 5 от 9, что дало бы вам 4, а затем 8 из 10, что дало бы вам 2, и получите 42.

Вычитание из 1000.

1000-489=(9-4)_(9-8)_(10-9)=511

  С миллионом это ничуть не сложнее. Если бы вам вдруг захотелось вычесть 795 238 из 1 000 000, вы отняли бы 7 от 9 =2, затем 9 от 9 = 0, затем 5 от 9 = 4, затем 2 от 9 = 7, затем 3 от 9 = 6, и, наконец, 8 от 10 = 2. И вот вам правильный ответ: 204 762.

1 000 000 – 795 238 = 204 762

2.1 Различные методы умножения и деления.

1. Таблица умножения на пальцах.

Таблица умножения — это те необходимые знания, которые требуются человеку в любом возрасте. Кроме того, знание таблицы Пифагора для школьника — залог успеха в дальнейшей учебе.

Существует немало способов запоминания — в стихах, картинках, играх. Я предлагаю вам один интересный способ — таблицу умножения на пальцах. Этот метод подходит для заучивания правил умножения на девятку. Зачастую примеры с умножением на 9 даются детям труднее всего.

1.1 Пальчиковая таблица умножения на 9.

Итак, всё, что вам понадобится — это десять пальцев рук. Положите ладони на стол. Мысленно дайте каждому пальцу, начиная от мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой, свой номер от 1 до 10.

Допустим, нам надо умножить 3 на 9. Чтобы вычислить ответ, надо найти палец под номером 3 и загнуть его. А затем посмотреть, сколько пальцев осталось справа и слева. Количество пальцев слева от поднятого пальца (в нашем случае их 2) — это десятки, количество пальцев справа (у нас это 7) — это единицы. Итого, получаем — 2 и 7, то есть 27 (см. Приложение № 1, рис.1).

Умножение двузначного числа на 9 на пальцах.

Нам надо умножить 37 на 9. Расположите руки ладонями  вверх.

Отсчитаем число десятков (у нас 3 десятка) нашего двузначного множителя от большого пальца левой руки. Раздвинем пальцы так, чтобы палец «десятков» и следующий за ним образовали «V» (галочку). Палец, соответствующий единицам множителя (7), загнем, как и в первом способе (начиная считать от большого пальца левой руки).

Количество пальцев от большого пальца левой руки до «галочки» равно количеству сотен в произведении (для нашего примера их 3).

Количество пальцев от «галочки» до загнутого пальца равно количеству десятков в произведении (3).

Количество пальцев от загнутого пальца до большого пальца правой руки равно количеству единиц в произведении(3).

Загнутый палец в подсчетах не участвует.

Перед нами три группы пальцев: сотни, десятки, единицы произведения.

                               37×9=3×100+3×10+3=333

Следующий способ умножения на 9.

1×9=9 2×9=18 3×9=27

4×9=36 5×9=45 6×9=54

7×9=63 8×9=72 9×9=81 10×9=90

Вглядитесь внимательно. Сумма цифр полученного числа всегда равна 9. На первом месте (в числе десятков) в ответе будет стоять цифра на один меньше множителя, не равного 9. По такому приему можно запомнить таблицу умножения на «9».

Можно выделить наиболее простой способ умножения на 9.

Чтобы число умножить на 9. Нужно заменить 9=10-1.

Например:      15×9=15×(10-1)=15×10-15=150-15=135;

                        24×9=24×10-24=240-24=216.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число [8. С. 7].

Умножение на 9 с помощью клеток тетради.

Возьмём, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит, 9 · 8 = 72. Все очень просто!

Рассмотрели наиболее простые и быстрые способы умножения, но существуют и другие интересные зависимости, которые также помогут выучить таблицу умножения на 9 (см. Приложение № 1, рис. 2, 3).

1.2 Умножение на 5.

Положите ладони на стол. Мысленно дайте каждому пальцу, начиная от мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой, свой номер от 1 до 10.

Допустим, нам надо умножить 7 на 5. Чтобы вычислить ответ, надо отчитать 7 пальцев, а 3 остальных загнуть. Каждый палец равен 5 единицам. А затем посчитаем, сколько десятков получилось, группируем по два пальца. Итого, получаем — 3 десятка и 5 единиц, то есть 35.

 

7 × 5 = 10 + 10 + 10 + 5 = 35

1.3 Древнеславянский метод счета на пальцах. Умножение числа на 6, 7 и 8.                                             

Поверните кисти ладонями к себе и присвойте каждому пальцу цифры от 6 и до 10, начиная с мизинца.

Теперь попробуем умножить, например, 7×8. Для этого соедините палец №7 на левой руке с пальцем №8 на правой (см. Приложение № 1, рис 4).

А теперь считаем пальцы: количество пальцев под соединенными, включая соединенные — это десятки. А пальцы левой руки, оставшиеся сверху, умножаем на пальцы правой — это и будут наши единицы (3×2=6). Итог равен 56.

Иногда бывает так, что при умножении «единиц» результат получается больше 9. В таких случаях нужно плюсовать оба результата в столбик.

Например, 7×6. В этом случае получается, что «единицы» равны 12 (3×4). В десятки равны 3.              3 (десятки) + 12 (единицы) = 42.

Второй способ умножения чисел от 6 до 10.

Пусть нам нужно умножить 6 на 7. Руки сожмем в кулаки. На одной руке разогнем столько пальцев, насколько 6 больше 5, т.е. на 1 палец, а на другой столько, насколько 7 больше 5, т.е. на 2.

Количество разогнутых пальцев покажет число десятков произведения. Один палец на одной руке, да два пальца на другой составят десятки, получаем три десятка.

Перемножим загнутые пальцы левой руки с загнутыми пальцами правой руки. На одной четыре, а на другой три. Их произведение равно 3×4= 12.

Теперь сложим результаты двух действий: 30+12=42.

2.                 Приёмы быстрого счета.

2.1 Умножение и деление числа на 4 и на 8.

Таблица умножения на 2 всеми быстро запоминается и легка в применении. Нет сложности, удвоить любое число. Это действие можно применить к числам, которые кратны 2.

Чтобы устно умножить число на 4 его дважды удваивают.

Например: 112 • 4 = 224 • 2 = 448;            335 • 4 = 670 •  2 = 1340.

Чтобы устно умножить число на 8 его трижды удваивают.

Например: 217 • 8 = 434 •  4 = 868 •  2 = 1736

(Еще удобнее: 217 • 8 = 200 •  8 + 17 •  8 = 1600 •  136 = 1736).

Чтобы устно разделить число из 4, его дважды делят пополам.

Например: 76 : 4 = 38 : 2 = 19;                 236 : 4 = 118 : 2 = 59.

Чтобы устно разделить число из 8, его трижды делят пополам.

Например: 464 : 8 = 232 : 4 = 116 : 2 = 58.

Самым сложным примером в таблице умножения считается 7∙8. Для его запоминания есть неплохое мнемотехническое правило «пять шесть семь восемь», которое означает 56 = 7∙8.

2.2 Признак делимости на 4 и на 8.

На 4 делятся только те числа, которые заканчиваются на два нуля или на две цифры, которые выражают число, которое делится на 4 [8. С. 19].

124 (24 : 4 = 6)  = 31

103 456 (56 : 4 = 14) = 25 864

Если число, составленное из трех последних цифр в записи целого числа a (в порядке их следования), делится на 8, то и число a делится на 8; если же это число, составленное из трех последних цифр, не делится на 8, то и число a не делится на 8 [8. С. 19].

125808 : 8 (808 : 8) = 15726

2.3 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

53 • 11 = 583

Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8

Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами данного двузначного числа: 583

Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше или равна 10.

86 • 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946.

2.4 Умножение чисел на 111 ,1111 , 11111 и т. д. 

Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.

Примеры:                32 • 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552;

52 • 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772.

Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами.

42 • 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662.

Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.

Пример:

86 • 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

76 • 1 111 111 = 7(13)(13)(13)(13)(13)(13)6 = (7+1)(3+1)(3+1)(3+1) (3+1) (3+1)36 = 84444436 

2.5 Умножение чисел на 22, 33,… ,99. 

 Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 • 11; 44 = 4 • 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

 18 • 44 = 18 • 4 • 11 = 72 • 11 = 792; 

13 • 55 = 13 • 5 • 11 = 65 • 11 = 715.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого:
28 • 33 = (28 • 3) • (33:3) = 84 • 11 = 924, 

48• 22 = (48 • 2) • (22:2) = 96 • 11 = 1056. 

2.6 Умножение на двенадцать по Трахтенбергу.

Правило умножения на 12 заключается в следующем: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее “соседа”. 

Рассмотрим это на примере. Умножим 413 на 12.

1)                413 × 12 Удваиваем самую правую цифру и  под ней пишем ответ (“соседа” нет). 6

2)                413 × 12 Удваиваем 1 и прибавляем 3. 56

3)                413 × 12 Удваиваем 4 и прибавляем1. 956

4)                413 × 12 Удвоенный нуль есть нуль, прибавляем 4. 4956

Ответ: 4 956.

Проделав это самостоятельно, мы убедимся, что действие производится очень быстро и легко.

Умножим 63 247 на 12 (см. Приложение № 2). Напишите цифры множимого через интервал и каждую цифру результата пишите точно под той цифрой числа 63 247, из которой она образовалась. Такой порядок нужен не только ради красоты, он ценен тем, что гарантирует от ошибок. При данном методе умножения это особенно важно и потому, что так удобнее распознавать цифру и “соседа”.

Свободное место для следующей цифры ответа находится прямо под цифрой (в этом примере - под цифрой, которая должна быть удвоена). Цифра рядом справа - “сосед”, который должен быть прибавлен [3. С. 13-14]. 

2.7 Умножение двузначных чисел на 101.

Умножим двузначное число на 101.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.

57 • 101 = 5757                    63 • 101=6363

2.8 Умножения чисел 37 и 77.

ПОЛЕЗНО ЗАПОМНИТЬ: 37 • 3 = 111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9,12 и т.д.

                            37 • 6 = 37 • 3 • 2 = 222

                            37 • 9 = 37 • 3 • 3 = 333

                            37 • 12 = 37 • 3 • 4 = 444

                            37 • 15 = 37 • 3 • 5 = 555 и т.д.

Если взять числа, кратные трём, от 3 до 27, и умножить их на 37, то произведения будут трёхзначные числа, в каждом из них три раза повторяется то число, которое получится, если множимое разделить на 3:

3 • 37 = 111 6 • 37 = 222 9 • 37 = 333

12 • 37 = 444 15 • 37 = 555 18 • 37 = 666

21 • 37 = 777 24 • 37 = 888 27 • 37 = 999

Запомнив это, 7 • 11 • 13 = 1001 вы легко выполнять устно умножение следующего рода:

77 • 13 = 1001               91 • 11 = 1001               143 • 7 = 1001

77 • 26 = 2002               91 • 22 = 2002               143 • 14 = 2002

77 • 39 = 3003               91 • 33 = 3003               143 • 21 = 3003

2.9 Умножение на 9, 99, 999 и т.д.

Чтобы умножить любое число на число, написанное девятками, надо к первому множителю приписать справа столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Например:    167×9=1670-167=1503

                      26×99=2600-26=2574

2.10 Умножение трехзначного числа на 999.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Например:

     573 •  999 = 572 427 

     256 • 999 =   255 744.

Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:

573×999=573×(1000-1)=573000-573=572427.

Зная эту особенность, мы можем «мгновенно» умножать любое трехзначное число на 999. [7. С. 84].

2.11 Умножение и деление на 5, 25, 50

Трудно не согласиться с тем, что разделить произвольное число на 2 в уме легче, чем умножить его на 5. Воспользуемся этим обстоятельством, чтобы облегчить умножение чисел на 5. Для этого мы число умножим сначала на 10, а затем поделим на 2.  Аналогично вместо деления числа на 5 можно, наоборот, умножить его на 2 и разделить на 10. [8. С. 13]

1. 48 • 5=48 • 10/2=240 2. 48 • 25=48 • 100/4=1200 3. 48 • 50=48 • 100/2=2400

4. 725 : 5=725 • 2/10=145 5. 725 : 25=725 • 4/100=29 6. 1250 : 50=1250 • 2/100=25

2.12       Умножение на  0,5;  0,25;  0,125;  1,5;  2,5.

·                   Чтобы число умножить на 1,5, нужно к этому числу прибавить его половину   84 •1,5 =84+42=126.

·                   Чтобы число умножить на 2,5, нужно к числу прибавить его же и его половину: 84 • 2,5 =84+84+42=210.

·                   Чтобы число умножить на 0,5; 0,25; 0,125 надо это число разделить

на 2, на 4, на 8:    98 • 0,5=49   124 • 0,25=31     168 • 0,125=21.

2.13 Вычислить 15% от числа.

Если вам нужно в уме вычислить 15% от какого-либо числа, то есть простой способ, как это сделать. Возьмите 10% от числа (разделив число на 10) и добавьте к этому числу половину от полученных 10%.

15% от 884 рублей = (10% от 884 рублей)+((10% от 884 рублей)/2)=88.4 рубля + 44.2 рубля = 132.6 рублей.

2.14 Нахождение процентов от числа.

Данный метод работает, если оба числа кончаются на ноль. Уберите последнюю цифру и у числа, от которого нужно получить процент, и у искомого процента и перемножьте получившиеся числа друг на друга.

40% от 300

4×30 = 120

40% от 300 будет 120

2.15 Использование обыкновенных дробей при умножении натуральных чисел.

Следует подсчитать, сколько будет 375 умножить на 48. Произвести вычисления столбиком — это значит потратить уйму времени. Тем не менее, такое произведение можно найди в уме.

 Что такое 375? – Это 125×3. Число 125 – это 1/8×1000. Следовательно, 375 =3/8×1000.

Далее 48 делим на восемь и умножаем на 3. Итого получается 48:8×3=18. И приписываем три ноля. Получается 18000. Казалось бы, подобные вычисление не менее сложны, чем подсчет столбиком. Однако при постоянной практике быстрого счета «сокращенные» вычисления можно довести до автоматизма.

2.16 Умножение обыкновенной дроби  на натуральное число, равное произведению числителя и знаменателя.

При умножении обыкновенной дроби  на натуральное число, равное произведению числителя и знаменателя данной дроби, в результате получаем квадрат числителя.

Примеры:

2/5 • 10 = 2² =4

3/7 • 21= 3² =9

9/4 • 36 = 9² =81

13/6 • 78 =13² =169

2.17 Сложение двух дробей с одинаковыми числителями.

При сложении двух дробей с одинаковыми числителями в результате получаем дробь, числитель которой равен произведению суммы знаменателей и числителя, а знаменатель равен произведению знаменателей.

Примеры:

1/2 + 1/3 = (2+3) • 1/2 • 3= 5/6

1/9 + 1/6= (9+6) • 1/9 • 6= 15/54 = 5/18

3/4+3/7=(4+7) •3 / 4• 7=33/28=15/28

2.18 Сложение и вычитание обыкновенных дробей методом бабочки.

Метод бабочки при сложении и вычитании обыкновенных дробей для учащихся очень удобен и прост.

Допустим надо сложить 3/4 с 2/5 (см. Приложение № 3, рис. 1).

Шаг 1. Умножим числитель первого слагаемого со знаменателем второго слагаемого (3×5=15). И умножим знаменатель первого слагаемого с числителем второго слагаемого (4×2=8).

Шаг 2. Умножаем знаменатели дробей (4×5=20).

Шаг 3. Складываем два числа, полученные в первом шаге, это числитель новой дроби (15+8=23). А знаменателем будет результат второго шага (20).

Полученная дробь и есть результат сложения (23/20).

3/4 + 2/5 = 23/20

Выполняя вычитание, применяем аналогичный алгоритм, только в шаге 3 вычитаем числа.

2.19 Умножение двух чисел  с одинаковым числом десятков и суммой единиц,  равной 10.

Чтобы перемножить два числа, у которых цифры десятков одинаковы, а сумма единиц равна 10, надо число десятков первого числа умножить на число на 1 большее, а к полученному результату справа приписать двумя цифрами произведение единиц данных чисел.

62 ∙ 68 = 4216

Число десятков в обоих числах равно 6,  сумма единиц - 10 

6 ∙ 7 = 42

 

2 ∙ 8 = 16

4216

2.20 Умножение двух чисел  с одинаковым числом единиц и суммой десятков,  равной 10.

Чтобы перемножить два числа, у которых цифры единиц одинаковы, а сумма десятков равна 10, надо перемножить числа десятков, и к полученному произведению  прибавить число единиц, а к полученному результату справа приписать двумя цифрами произведение единиц данных чисел.

72 ∙ 32 = (7 ∙ 3 + 2) + 2∙2 = 2304;

64 ∙ 44 = (6 ∙ 4 + 4) + 4 ∙ 4 = 2816;

53 ∙ 53 = (5 ∙ 5 + 3) + 3 ∙ 3 = 2809;

2.21 Умножение больших чисел

Если вам нужно перемножить большие числа в уме и одно из них четное, то вы можете воспользоваться методом упрощения множителей, уменьшая четно число в два раза, а второе, увеличивая в два раза:

32×125 это

16×250 это

8×500 это

4×1000=4000

3                   Быстрое возведение в квадрат.

3.1 Возведение в квадрат чисел состоящих только из 1.

11 х 11 =121

111 х 111 = 12321

1111 х 1111 = 1234321

11111 х 11111 =123454321

111111 х 111111 = 12345654321

1111111 х 1111111 = 1234567654321

11111111 х 11111111 = 123456787654321

111111111 х 111111111 = 12345678987654321 

3.2 Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающего цифрой 5.

 Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Для возведения в квадрат числа, оканчивающегося на 5, достаточно отбросить у него последнюю цифру, а затем перемножить полученное число с числом, большим на 1, и приписать к результату 25 [8. С.9, 17].

85² = 7225

Шаг 1 — умножить цифру  десятков на следующую за ней цифру:

8 × (8 + 1) = 72

Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25, получаем 7225.

45 × 45 = 2025

Шаг 1 — 4 × (4 + 1) = 20

Шаг 2 — 2025

3.3 Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Приведем примеры:

56² = (25+6), приписываем 6² = 36, получаем 56² = 3136

58² = (25+8), приписываем 8² = 64, получаем 58² = 3364

53² = (25+3), приписываем 3² = 09, получаем 53² = 2809.

3.4 Возведение в квадрат чисел пятого и шестого десятка.

Чтобы возвести в квадрат число пятого десятка (41,42,….49), надо к числу единиц прибавить 15, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат – однозначное число, то перед ним приписывается 0).

Например:           43² = (15 + 3) ∙ 100 + 7² = 1849,

                            48² = (15 + 8) ∙ 100 + 2² = 2304.

Еще проще возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,…59). Для этого надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.                          54² = (25 + 4) ∙ 100 + 4² = 2916,

57² = (25 + 7) ∙ 100 + 7² = 3249.

3.5 Алгоритм возведения в квадрат чисел, близких к 50.

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но больше 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка этого числа над 50.

Примеры:

58² = 3364 Пояснение: 58 – 25 = 33, 8² = 64, 58² = 3364.

64² = 4096 Пояснение. 64 – 25 = 39, 64 – 50 = 14, 14² = 196, 64² = 39и196 = 4096. 

4. Прием перекрестного умножения чисел, которые близки к 100.

4.1 Прием умножения «Крест накрест».

Под каждым из чисел напишем дополнение до ста (т.е. сколько не хватает до 100). Числу 94 до ста не хватает 6, числу 97 не хватает 3. Соединяем числа крест накрест.

    Выберем любой из множителей (97 или 94). Допустим 94, противоположное число 3, вычитаем, получается 91,это первая цифра ответа. Вторая цифра равна произведению остатков 6 • 3=18. Ответ 9118 [7. С. 132].

Заключение

Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень…..

В своей работе я рассказал лишь о немногих упрощённых красивых приёмах устных вычислений быстрого счёта при работе с натуральными числами из тех, которые существуют. Эти приёмы способствуют развитию памяти и повышению математической культуры мышления.

На основании своих исследований я сделал вывод о том, что знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. 

Все рассмотренные мной методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Работа, проведенная мною, доказывает, что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора.

Мне было интересно работать над данной темой. Пока я только изучил и анализировал уже известные способы быстрого счета. Но кто знает, возможно, в будущем я сам смогу открыть новые способы быстрых вычислений.

Список литературы

1.                        Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга для учащихся. -  М.: Просвещение, 1986.

2.                        Бикташева Л.В. Алгоритмы ускоренных вычислений. // Библиотечка «Первое сентября» - 2013.

3.                        Катлер Э.,  Мак-шейн Р.  Система быстрого счета по Трахтенбергу. - М.:  Книга по требованию, 2012. - С. 13-14. 

4.                        Козлова Е.Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Математика для школьников // МЦНМО (Московский центр непрерывного математического образования). Издание 2-е, исправленное и дополненное – 2009.

5.                        Мельникова Н. Развитие вычислительной культуры учащихся // Математика в школе.- 2001.- №18 - С. 9-14.

6.                        Перельман Я. И. Занимательная арифметика. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. – С. 84-85, 132-33.

7.                        Сергеев И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. Б. Примени математику. – М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит.,1989. – С. 6-17.

8.                        Федотова Л. Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. - 2004. - №43. - С. 2-5.

9.                        Филиппов Г. А. Устный счет – гимнастика ума // Математика. - 2001. - №3. - С. 25-27.

10.                   Интернет – ресурсы: http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm; http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html.

Приложение № 1

Пальчиковая таблица умножения на 9

Рис.1

Интересные зависимости в запоминании таблицы умножения на 9

	9 × 1 = 10 – 1 = 9 9 × 2 = 20 – 2 = 18 9 × 3 = 30 – 3 = 27 9 × 4 = 40 – 4 = 36 9 × 5 = 50 – 5 = 45 9 × 6 = 60 – 6 = 54 9 × 7 = 70 – 7 = 63 9 × 8 = 80 – 8 = 72 9 × 9 = 90 – 9 = 81 9 × 10 = 100 – 10 = 90
Рис. 2	Рис. 3

Древнеславянский метод счета на пальцах.    

Умножим 7 на 8. 5 – это десятки, единицы 3х2=6. Итог равен 56.                   

	3 пальца
				Десятки (пальцев 5)

 

Рис. 4

Приложение № 2

Умножение на 12 по Трахтенбергу

63247 × 12 = 758964

063247 × 12 Дважды 7 будет 14; переносим 1.

4

063247 × 12 Дважды 4 плюс 7 плюс 1 будет 16; переносим 1.

64

063247 × 12 Дважды 2 плюс 4 плюс 1 будет 9.

964

063247 × 12 Дважды 3 плюс 2 будет 8.

8964

063247 × 12 Дважды 6 плюс 3 будет 15; переносим1

58964

063247 × 12 Дважды 0 плюс 6 плюс 1 будет 7.

758964

Приложение № 3

Сложение и вычитание дробей методом бабочки

Рис. 1