Исследовательская работа по математике на тему "Математические софизмы"

IV региональная научная конференция учащихся

Секция: математика

Математические софизмы

Закирова Айгуль Маратовна,

МОУ «Гимназия №25»,

6 а класс,

г.Нижнекамск

Научный руководитель:

Ткачёва Наталия

Николавена,

учитель математики,

высшая квалификационная

категори

Нижнекамск, 2011г

Содержание работы

-введение

-основная часть

-заключение

-список используемой литературы

-приложения

Математические софизмы

-Введение

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каково бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют не преднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. И.П. Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой. Можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, т.е вывести из остальных аксиом геометрии, многие выдающиеся математики разных времен и разных народов. Все эти попытки не увенчались успехом. Многочисленные «доказательства», какие были найдены, оказались ошибочными.

«Строгое доказательство сей истины, -писал великий русский математик Н.И.Лобачевский в 1823 году в своем учебнике геометрии, - до сих пор не могли сыскать; какие были даны. Могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическим

доказательствами». И все же , несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Были основательно выяснены связи между различными теоремами геометрии. Можно сказать, что эти «доказательства» подготовили одно из важнейших достижений в области и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему соотечественнику Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н.И.Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных прямых, но скоро понял, что этого сделать нельзя. В 1826 году он пришел к заключению, что утверждение, выраженное аксиомой о параллельных прямых, при помощи остальных аксиом геометрии доказать нельзя. Путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, и привел его к созданию новой геометрии. И этот замечательный вклад в математику был одним из тех. Которые прославили русскую науку.

Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать?

Разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и важно.

Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в её правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

Имеется не мало разных книг, в которых собраны различные софизмы. В конце XIX – начале XX в. особенно большой известностью среди учащихся пользовалась книга Обреимова «Математические софизмы». Этой книжкой зачитывались

В нашей работе приводятся разбор некоторых софизмов. При разборе их постарайтесь самостоятельно найти допущенные ошибки и отчетливо понять их. Ну, а если ошибки вы не обнаружите и указания, данные в конце книги, вам не помогут, то обратитесь за разъяснениями. Помните, что важно добиться отчетливого понимая ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.

Наблюдательный и вдумчивый читатель, конечно, заметит, что во многих софизмах допущенные одинаковые ошибки. Отчетливое понимание сути таких ошибок значительно облегчит решение последующих аналогичных задач.

-Основная часть:

Цель данной работы:

1. развивать логическое и критическое мышление, культуру речи, способность к умственному эксперименту;

2. формировать качество мышления, необходимое для адаптации в современном информационном обществе;

3. развивать интерес к математическому творчеству и математические способности.

4. Задачи:

1) уметь выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

2) уметь применять на практике математические умения и навыки к решению нестандартных задач;

3) уметь видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни.

1. 4р.= 40 000к.

Возьмем верное равенство: 2р. = 200 к. и возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р. = 40 000 к. В чем ошибка?

2. 5 = 6.

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2–9) = 6 (7+2–9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5 = 6. В чем ошибка?

3. 2∙2 = 5.

Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1) = 5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4=5, или 2 ∙2 = 5.

4. 4=5.

Где допущена ошибка в следующей цепочке равенств: 16-36=25-45,

16-36+20 ¼ = 25-45+20 ¼, ( 4 - 9/2)² = (5 – 9/2)², 4- 9/2=5-9/2, 4=5?

5. 2=3.

Имеем: 4-10=9-15, 4-10 + 6 ¼ =9 – 15 + 6 ¼, (2 – 5/2)² = (3 – 5/2)², 2- 5/2 = 3 – 5/2 и окончательно 2=3. В чем ошибка?

6. Все числа равны между собой.

Пусть m ≠ n. Возьмем тождество:

m² - 2 m n + n² = n² - 2 m n + m². Имеем: (m – n)² = (n – m)^2. Отсюда m – n = n – m,

или 2 m = 2 n, а значит, m = n. В чем ошибка?

7.Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.

Пусть a – длина спички (дм) и b – длина столба (дм). Разность между b и a обозначим через c. Имеем: b – a = с,

b= a + с. Перемножая два эти равенства по частям, находим: b² – ab = сa+ с² . Вычтем из обеих частей bc. Получим: b² – ab – bc = сa+ с² - bc, или b (b- a – с) =

= - с (b- a – с), откуда b = - с, но с = b – a, поэтому b = а – b, или а= 2b.

8. 1 = -1.

Начнем с верного числового равенства: 16-24+9=4-12+9. Перепишем его в виде: (4-3)² = (2-3)² . Значит, 4-3=2-3, т.е. 1=-1. Где ошибка?

9. Отрицательное число больше положительного.

Возьмем два положительных числа a и b. Сравним два отношения:

а и - а а

- b b Они равны, так как каждое из них равно b. Можем составить пропорцию : а = - а

- b b .

Но если в пропорции предыдущий член второго отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а > - b; следовательно, должно быть - а > b, т.е. отрицательное число больше положительного. В чем ошибка?

10. Катет равен гипотенузе.

∟С = 90^о , BD- биссектриса угла СВА, СК = КА ОК СА, О – точка пересечения прямых ОК и ВD, ОМ АВ, ОL ВС. Имеем:

∆ LВO = ∆ MВO, BL = BM , ОМ = ОL = СК = КА , ∆ КОА = ∆ ОМА (ОА –общая сторона, КА = ОМ , ∟ОКА = ∟ ОМА = 90^о), ∟ОАК= ∟МОА, ОК = МА = CL , ВА = ВМ + МА , ВС = ВL + LС , но ВМ = ВL , МА = СL , и поэтому ВА = ВС . Где допущена ошибка?

11. 64= 65.

Квадрат со стороной, равной 8 единицам длины, разрезан на 4 части. Из этих частей сложен прямоугольник. Основание этого прямоугольника оказалось равным 13 единицам длины, а высота – 5 единицам. Площадь исходного квадрата равна 64 квадратным единицам, а получившегося из него прямоугольника – 65 квадратным единицам. Значит, 64=65. В чем ошибка?

12. «Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами а и b, гипотенузой с и острым углом а, противолежащим катету а. Имеем: а =с sin α, b = с cos α, откуда а² = с² sin² α,

b ² = с² cos² α. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: а² + b ² =

= с² (sin² α + cos² α). Но sin² α + cos² α = 1, и поэтому а² + b ² = с² . Подвергните критике это «доказательство».

13. Квадрат любого числа равен 1.

Пусть m – какое угодно число. Обозначим:

x = m⁴ / 4. Имеем: √ х = √ y и х - √ х = y, или х – y = √ х - √ y что можно переписать так: (√ х + √ y) (√ х - √ y) = √ х - √ y. Из полученного равенства находим: √ х + √ y = 1. Следовательно, 2 √ х = 1, но х = m⁴ / 4, и поэтому

2√ m⁴ / 4 = 1, или m² = 1. Где ошибка?

14. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах. Построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярен АС и ВД перпендикулярен АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС. В чем ошибка?

15. Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска.

Пусть а(м) – расстояние от Земли до Солнца, а в(м)- толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через М. Имеем: а+в=2М, а=2М-в, а-2М=-в. Перемножив по частям два последних равенства, получаем: а²-2аМ=в²-2вМ. Прибавим к каждой части М². Получим а²-2аМ+М²=в²-2вМ+М², или (а-М)²=(в-М)², т.е (а-М)=(в-М), и, значит, а=в. Где мы ошиблись?

16. Любое число равно его половине.

Возьмем два равных числа а и в, а=в. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведения по в². Получим: а²-в²=ав-в², или (а-в)(а+в)=в(а-в). Отсюда а+в=в, или а+а=а, так как в=а. Значит, 2а=а, или а=а/2. Какая ошибка допущена в рассуждениях?

17. Любое число равно нулю.

Найдите ошибку в таком рассуждении. Каково бы не было число а, верны равенства: (+а)²=а² и (-а)²=а². Следовательно, (+а)²=(-а)², а значит, +а= -а, или, 2а=0, и поэтому, а=0.

18. Любое число равно числу, в два раза большему его.

Пусть а- какое угодно число. Возьмем тождество а²-а²=а²-а². В левой части его вынесем а за скобки, а правую разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: а(а-а)=(а-а)(а+а). Упростив это тождество, получим:а=2а. В чем здесь ошибка?

Заключение:

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то в последствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так, изучающий математику, впоследствии проявит больше осторожности.

Используемая литература.

1. Задачи для подготовки к олимпиадам. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Автор Н.В.Заболотнева.-Волгоград: Учитель, 2006.-99с.

2. Предметные недели в школе. Математика, 2001. Издательство «Учитель».

3. Фарков А.В. Внеклассная работа по математике. 5-11 классы-М: Айрис-пресс, 2006.-288с.

4. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы/5-е издание.-М-пресс,2006.-176с.

5. Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы /-2-е изд.-М: Айрис-пресс,2006.-144с.

6. А.Шатилова, Л.Шмидова. Занимательная математика. КВН, викторины. 4-е издание/М6 Айрис-пресс,2006.

7. Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся.-4-е изд., перераб. и допол.-М.: Просвещение, 1984.-160с.,ил.

Тезисы работы

« Математические софизмы»

Автор: Закирова Айгуль, 6а класс,

МОУ «Гимназия №25» , г.Нижнекамск

Научный руководитель: Ткачева Наталия Николаевна,

учитель математики высшей квалификационной категории.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каково бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют не преднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. И.П. Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать?

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то в последствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так, изучающий математику, впоследствии проявит больше осторожности.

Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и важно.

Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в её правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

В нашей работе приводятся разбор некоторых софизмов. При разборе их постарайтесь самостоятельно найти допущенные ошибки и отчетливо понять их. Помните, что важно добиться отчетливого понимая ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.