Исследовательская работа по математике "Овалы Кассини"

Цель: познакомится с основными свойствами овалов Кассини и проявлениями ее в жизни.

Задачи:

·         Изучить научно-методическую литературу по данной теме исследования.

·         Выяснить историю происхождения овалов Кассини.

·         Познакомиться с его свойствами.

·         Определить с какой целью Кассини разработал теорию овалов.

·         Узнать о значении и применении овалов Кассини в жизни.

Овал Кассини — кривая, являющаяся геометрическим местом точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа .

Этот необычайный вклад в науку внес Джова́нни Домени́ко Касси́ни(1625-1712) - итальянский и французский астроном и инженер. Именно он был одним из тех, кто сомневался в том, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам Кассини искал и нашел кривую(хотя она не всегда овальна), определяемую как множество точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) F₁ и F₂ постоянно. Ученый обнаружил, что в зависимости от величины этой постоянной форма кривой может принимать различные очертания. Если постоянное произведение

больше , где а – половина расстояния между фокусами, то образуется кривая, показанная на рисунке1 под а. Если постоянная равна а², кривая превращается в «бантик» (рис.1б).  Когда постоянная становится меньше а, кривая распадается на два маленьких овала, охватывающих фокусы (рис.1в). Это семейство кривых теперь называют овалами Кассини.

Овалы Кассини Древние греки превозносили сферу, считая ее законченной самодостаточной идеальной формой, лежащей в основании мироздания («Культ сферы»). Именно это представление о движении планет вокруг Солнца лежало в основе «астрономии Птоломея». Однако в 17 в. эта многовековая «птоломеевская идиллия» была разрушена новыми астрономическим законами, установленными Иоганном Кеплером. В 1680 г. он начал изучать кривую, названную овалом Кассини, которая является геометрическим местом точек, чье произведение расстояний от двух фиксированных фокусов постоянно. Если обозначить через а половину расстояния между фокусами овала, а через b 2 – величину произведения расстояний от точек овала к фокусам, то легко вывести следующее выражение для овала Кассини: 2 2 2 2 4 [(x − a) + y ][(x + a) + y ] = b (2) После раскрытия скобок и приведения подобных членов мы получим уравнение овала Кассини в следующем виде: 2 2 2 2 2 2 4 (x + y + a ) − 4a x ] = b (3) Геометрические фигуры, соответствующие уравнению овала Кассини, имеют вид, представленный на Рис.2.

Как следует из Рис. 2, овалы Кассини имеют четыре характерных формы, которая зависит от соотношения между a и b. Если b≥2a, то овал Кассини представляет собой выпуклую кривую (Рис.2 синий). Если a<b<2a,  тогда в овале Кассини возникает вогнутая перемычка.Если a = b, тогда перемычка смыкается и овал Кассини превращается в фигуру , напоминающую перевернутую цифру 8 ( Рис.2 черная).

Свойства овалов Кассини:

• Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
• При  имеет два абсолютных максимума и два минимума:

(Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба)

Из всех овалов Кассини, пожалуй, наиболее интересен «бантик». Эту кривую, имеющую сходство с бантиком, которым в Древнем Риме привязывали лавровый венок к голове победителя, называют лемнискатой Бернулли (от греч. «лемнискатус» - «украшенный лентами»).

Лемниската Бернулли известна инженерам – железнодорожникам. Она служит переходной линией между участками железнодорожного полотна прямолинейной и округлой формы, обеспечивая плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, скачком, доставляя неудобства и пассажирам, и железнодорожникам.

 В зависимости от того, сколько фокусов и как они расположены на плоскости, чему равно произведение расстояний от фокусов до точки М, возникают фигуры с самыми причудливыми контурами.

 Применение: При двухпозиционной радиолокации областью обнаружения цели является фигура, ограниченная овалом Кассини, если принять в качестве одного его фокуса позицию источника излучения, а другого – позицию приемника. Аналогично, в астрономии при наблюдении, например, астероидов, светящих отражённым светом Солнца, условия их обнаружения при заданной чувствительности телескопа описываются формулой овала Кассини. В этом случае границей обнаружимости будет поверхность, образованная вращением овала вокруг оси, соединяющей Солнце и наблюдателя.

Теперь попробуем выяснить с какой целью Кассини разработал теорию овалов Кассини? Оказывается, он заинтересовался этими кривыми, преследуя чисто практические цели. Он пришел к этим кривым, пытаясь найти оптимальную математическую модель движения Земли вокруг Солнца. При этом он показал, что выпуклый вариант этой кривой для планетарных орбит подходит больше, чем эллипс, предложенный Кеплером. Кто же все-таки прав: Кеплер или Кассини? По каким орбитам движутся планеты – эллипсам Кеплера или овалам Кассини? При маленьком эксцентриситете  линии эллипса и овала Кассини практически совпадают… Так что вопрос остается открытым.

Выводы:

Из данного исследования можно сделать выводы, что

·         Овалы Кассини играют огромную роль в нашей жизни.

·         Они имеют множество применений в мире.

·         Теория Кассини остается как не подтвержденной, так и не опровергнутой.

Литература:

·         Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.

·         Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.

·         Интернет ресурсы.