Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по математике: "Последовательность Фибоначчи"

Исследовательская работа по математике: "Последовательность Фибоначчи"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Название документа Последовательность Фибоначчи 2015г.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_5681f723.gifhello_html_14390d31.gifмуниципальное бюджетное образовательное

учреждение «Лицей»









Исследовательская работа по математике

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ



Выполнила:

Шкарина Августина Алексеевна

ученица 9 «Б» класса

Руководитель:

Романова Татьяна Владимировна

учитель математики


Почтовый адрес школы:

607220, Нижегородская область,

г. Арзамас, ул. Пушкина, д. 138/1,

тел: 7-40-50

е-mail: licey-arzamas@mail.ru





Арзамас, 2015 г.

Содержание








Введение

Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку.

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словамистихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной hello_html_51c06bc4.gif может быть построен путём добавления hello_html_538d18a6.gif к образцу длиной hello_html_m7c1f5762.gif, либо hello_html_61c1a0f.gif к образцу длиной hello_html_3f4b8c57.gif; и просодицисты показали, что число образцов длиною hello_html_51c06bc4.gif является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202).

Если в ряду чисел Фибоначчи взять отношение последующего члена к предыдущему или наоборот, то получим уже знакомые нам числа: 1,618 и 0,618. Причем, чем больше порядковые номера членов, тем точнее выполняется "золотое" соотношение.

Цель работы: изучить последовательность чисел Фибоначчи, исследовать окружающий нас мир, − растения, животные, человек, искусство, − на предмет последовательности Фибоначчи.



Глава I. Последовательность Фибоначчи в математике

1.1. Последовательность Фибоначчи в алгебре

Числа Фибоначчи − элементы числовой последовательности в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Таким образом, числа Фибоначчи представляет собой рекуррентную последовательность, то есть такую, в которой каждый следующий член определяется значением предыдущего.

Ряд чисел Фибоначчи выглядит следующим образом:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Алгебраическая запись последовательности Фибоначчи выглядит так:

hello_html_m60673ee9.gif, hello_html_356f5ed7.gif.

Для чисел Фибоначчи справедливы тождества:

hello_html_343b9306.gif

hello_html_m187ed86a.gif

hello_html_6de5d2ee.gif

hello_html_m54eb509a.gif

hello_html_7fce03da.gif

Математические свойства чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи (или последовательность Фибоначчи Fn) обладают целым рядом интересных и важных свойств:

hello_html_m14c1a252.gif

hello_html_m7d588b43.gif

hello_html_1d84a3f2.gif



1.2. Последовательность Фибоначчи в геометрии

В геометрии последовательность Фибоначчи можно увидеть в соотношении площадей квадратов, которые в свою очередь заворачиваются в спираль. Эту спираль назвали "Спиралью Фибоначчи".

Можно заметить, что каждый новый квадрат строится так, что его сторона равна сумме сторон смежных с ним квадратов (см. рисунок 1 и 2).

fibonaccigoldenrectangle.jpg

Рис. 1

fibonacci_spiral1.jpg

Рис. 2.

Спираль Фибоначчи или логарифмическая спираль − самая красивая из математических кривых. Эта спираль обычное явление в природе в течение многих миллионов лет.

Глава 2. Последовательность Фибоначчи в природе

2.1. Последовательность Фибоначчи во флоре

Во многих растениях можно встретить последовательность Фибоначчи. Например в тысячелистнике (см. рис. 3), его ствол ветвится в соответствии с данной последовательностью.

Другой пример шишка (см. рис. 4), ее "чешуйки" составляют 8 спиралей, а 8 это одно из чисел Фибоначчи.

Еще один пример, расположение листьев на цветах и деревьях. Листья появляются на стебле по спирали, как по часовой стрелке, так и против неё, под определённым углом расхождения. В угле расхождения замечена точная последовательность Фибоначчи. Такая последовательность ограничена полным оборотом в 360°.

1306315101_forex_fibonacci-branches.jpg 06.Pinecone.jpg

Рис. 3 Рис. 4



2.2. Последовательность Фибоначчи в фауне

Также последовательность Фибоначчи можно встретить в животном мире. Яркий тому пример раковина ракушки, она заворачивается по спирали Фибоначчи (см. рис. 5).

1f384e50cbec7dd14bb9b31bbbed8ddf.jpg

Рис. 5

Еще один пример последовательности Фибоначчи в животном мире − это паук, а точнее его паутина (см. рис. 6), она тоже заворачивается по спирали Фибоначчи.

15568_6405_11072012_5.jpg

Рис. 6

Сам Леонард Пизанский построил последовательность, решая задачу про кроликов.

Задача: Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.

Последовательность Фибоначчи и Кролики

В итоге получается такой ряд цифр: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Его можно продолжать бесконечно долго. Его суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.

2.3. Последовательность Фибоначчи анатомии человеческого тела

Оказывается, мы и сами являемся ярким примером последовательности Фибоначчи. Посмотрим на наши ладони, размеры фаланг пальцев равны 8, 5, 3 и 2 см (см. рис.7). А если посмотреть на наши отпечатки, то можно увидеть, что они заворачиваются в спираль Фибоначчи (см. рис. 8).

Bi-an-Ti-le-Vang-Mat-ma-cua-vu-tru-III_Tin180.com_007.jpg VYLc1.jpg

Рис. 7 Рис. 8

Так же эту спираль можно увидеть и в строении нашей ушной раковины (см. рис. 9).

c3e5c3cb6d9ccc6dc0988ed639adf698_w427.jpg

Рис. 9

2.4. Последовательность Фибоначчи во вселенной

Логарифмическая спираль объясняет универсальный принцип роста, некий закон − общий для всей нашей вселенной.

Еловые шишки, морские коньки, раковины моллюсков и улиток, океанские волны, папоротник, рога животных и расположение семечек подсолнуха или маргаритки — все это образует логарифмические спирали. Ураганы, водовороты и галактики внешнего космоса закручиваются в логарифмические спирали. Даже человеческий палец, составленный из трех костей, образующих по отношению друг к другу золотое сечение, принимает спиральную форму в согнутом виде. На рис. 10 мы видим космическую спираль, по которого закручивается наша галактика. Миллионы лет и световые годы разделяют еловую шишку и спираль Млечного Пути, но устройство их одинаково, вероятно, есть первичный закон, управляющий динамикой природных явлений.


http://wscdn.bbc.co.uk/worldservice/assets/images/2012/10/09/121009020255_sp_galaxia_12.jpg

Рис. 10

Спираль как плавная бесконечная линия символизирует развитие, непрерывность, центростремительное и центробежное движение, ритм дыхания и самой жизни. Особое значение имеет двойная спираль, символизируя отношения между противоположностями.


Глава 3. Последовательность Фибоначчи в искусстве

Также последовательность Фибоначчи называют золотой последовательностью. И человек интуитивно стремиться к золотой последовательности, через божественную (золотую) пропорцию. Везде, где человек ощущает гармонию − в звуках, в цвете, в размерах, − всюду присутствует "Золотое число" или Ф=1,618.

Например, конструкция пирамиды в Гизе основана на пропорции Ф=1,618.

Грань пирамиды в Гизе имеет длину 783.3 фута (238.7 м), ее высота составляет 484.4 фута (147.6 м). Разделив длину грани на высоту, вы придем к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13), а это не что иное, как числа последовательности Фибоначчи (см. рис. 11).

http://img.tourister.ru/files/2/9/0/0/7/6/5/clones/650_532_fixed.jpg

Рис. 11

Леонардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны с числом Ф. Именно он назвал деление отрезка в отношении Ф золотым сечением. В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к Ф.

Витрувианский человек (см. рис. 12) — рисунок, сделанный Леонардо Да Винчи примерно в 1490-1492 годах, как иллюстрация для книги, посвященной трудам Витрувия. Леонардо изображает обнаженную мужскую фигуру в двух наложенных положениях с разведенными руками, одновременно вписанную и в круг, и в квадрат. Центр круга, находящийся в пупке, делит тело на большую и меньшую верхнюю часть в золотой пропорции. Среди изобилия исследований да Винчи в одном из его журналов "витрувианская архитектура" есть знаменитый "Витрувианский человек" − изучение пропорций человека.

Vitruvian

Рис. 12.

12


Название документа Последовательность Фибоначчи.pptx

Последовательность фибоначчи Выполнила: Шкарина Августина Алексеевна ученица...
 Последовательность Фибоначчи в алгебре
Последовательность Фибоначчи в геометрии Рис. 1 Рис. 2
 Последовательность Фибоначчи во флоре Рис. 3 Рис.4
 Последовательность Фибоначчи в фауне Рис. 5 Рис. 6
 Задача:
 Последовательность Фибоначчи в анатомии человеческого тела Рис. 7 Рис. 8
 Последовательность Фибоначчи во вселененной Рис. 10
 Последовательность Фибоначчи в искусстве Рис. 11 Рис. 12
 Спасибо за внимание!
1 из 10

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Последовательность фибоначчи Выполнила: Шкарина Августина Алексеевна ученица
Описание слайда:

Последовательность фибоначчи Выполнила: Шкарина Августина Алексеевна ученица 9 «Б» класса МБОУ «Лицей»

№ слайда 2  Последовательность Фибоначчи в алгебре
Описание слайда:

Последовательность Фибоначчи в алгебре

№ слайда 3 Последовательность Фибоначчи в геометрии Рис. 1 Рис. 2
Описание слайда:

Последовательность Фибоначчи в геометрии Рис. 1 Рис. 2

№ слайда 4  Последовательность Фибоначчи во флоре Рис. 3 Рис.4
Описание слайда:

Последовательность Фибоначчи во флоре Рис. 3 Рис.4

№ слайда 5  Последовательность Фибоначчи в фауне Рис. 5 Рис. 6
Описание слайда:

Последовательность Фибоначчи в фауне Рис. 5 Рис. 6

№ слайда 6  Задача:
Описание слайда:

Задача:

№ слайда 7  Последовательность Фибоначчи в анатомии человеческого тела Рис. 7 Рис. 8
Описание слайда:

Последовательность Фибоначчи в анатомии человеческого тела Рис. 7 Рис. 8

№ слайда 8  Последовательность Фибоначчи во вселененной Рис. 10
Описание слайда:

Последовательность Фибоначчи во вселененной Рис. 10

№ слайда 9  Последовательность Фибоначчи в искусстве Рис. 11 Рис. 12
Описание слайда:

Последовательность Фибоначчи в искусстве Рис. 11 Рис. 12

№ слайда 10  Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Краткое описание документа:

В данном архиве находятся исследовательская работа реферативного характера на тему: Последовательность Фибоначчи. И хотя данная тема общеизвестна в науке, ученица смогла вновь переоткрыть ее для себя и подать окружающим в своем понимании ее красоты и величия.

Автором работы является ученица 9Б класса МБОУ "Лицей" г.Арзамас, Шкарина Августина.

Работа демонстрирует математический склад ума ученицы, которая обнаруживает, что все в нашей Вселенной подчиняется математическим закономерностям, в частности - последовательности Фиббоначчи, которая обнаруживает себя во флоре, фауне, человеке и даже галактике.

Следует отметить логичность и лаконичность поданного материала, структурированность работы. Работа сопровождается мультимедийной презентацией и видеороликом, взятым с сайта

Руководитель, учитель математики, Романова Татьяна Владимировна.

Автор
Дата добавления 25.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров946
Номер материала 254309
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх