Исследовательская работа по математике "Приём быстрого счёта"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №5

имени героя Советского Союза Михаила Григорьевича Малика

п. Маго Николаевского муниципального района Хабаровского края

Математика

 Приёмы быстрого счета

                                                                       

Автор работы: Жигайлов Егор ученик 3 класса

Руководитель:

Ринчинова Венера Цырендашиевна

учитель начальных классов

п. Маго

2022 год

СОДЕРЖАНИЕ

Введение                              

1. Глава I. История счёта

1.1. Как появились числа         

1.2. Зачем нужно уметь считать в уме? Виды устного счёта  

2. Глава II. Как считали в старину

2.1. Умножение на пальцах

2.2. Крестьянский способ умножения на Руси  

2.3. Счёт методом «решётки»

3. Глава III. Приёмы устного счёта

3.1. Приёмы сложения и вычитания

3.2. Приёмы умножения и деления

3.3. Немного истории

4. Заключение  

5. Библиографический список

6. Приложение

Введение

В системе учебных предметов математике принадлежит особая роль. Ведь математика одна из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата коммунальных услуг, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам  необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса,  необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать. 

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера  телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения. Они были бы попросту невозможны,  если бы не наука о числах.

Цель: изучить и показать различные приемы быстрого счета, доказать  необходимость их применения для упрощения вычислений.

Задачи:

1. Изучить различные приёмы быстрого счёта.

2. Выяснить, пользуются ли учащиеся 3-5 классов приёмами быстрого счёта и если да, то какими.

3. Показать учащимся приёмы быстрого счёта.

4. Провести исследование качества устного счёта до применения приёмов и после. Сделать выводы.

5. Составить рекомендации для учащихся 3-5 классов «Как научиться быстро считать».

Объект исследования: приемы быстрого счета, учащиеся 3-5 классов.

Предмет исследования: процессы быстрых вычислений.

Гипотеза исследования: если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится качество знаний учащихся, и  им будет легче решать практические задачи.

Приёмы и методы: изучение специальной литературы по теме, посещение сайтов, анкетирование, тренинги для быстрого счёта, анализ и обработка данных в электронных таблицах, практическая работа, наблюдения.

Работа относится к прикладным исследованиям, т.к. в ней показывается роль  применения приемов быстрого счета для практической деятельности.

При работе над  докладом я пользовалась следующими методами:

-поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

-практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

-анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность моего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием. Именно использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Из моих одноклассников мало кто умеет считать быстро устно и мне захотелось выяснить, а знают ли они приемы быстрого счета, если нет, то помочь им освоить эти приемы, с этой целью составить для них памятку с приемами быстрого счета.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был  проведен тестовый опрос.

Я провел анкетирование в 3-5 классах нашей школы, задавая ребятам простые вопросы. Зачем вообще нужно уметь считать? При изучении, каких школьных предметов требуется правильный счет? Знают ли они приемы быстрого счета? Хотели бы научиться быстро, считать устно?

(прил.6.1. Анкета для учащихся).  

Было опрошено 20 учащихся. Проанализировав результаты, я пришёл к выводу, что  большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро, считать. Результаты я представил в виде диаграммы,  (прил.6.2)

Проведя статистическую обработку данных,  сделал вывод, что не все учащиеся знают приемы быстрого счета, поэтому необходимо сделать памятки с приемами быстрого счета, чтобы использовать их при выполнении вычислений. Раздал памятки всем ребятам.

Затем, показал, учащимся несколько приёмов быстрого счёта и предложила ими воспользоваться. Скорость счёта увеличилась, количество правильных ответов возросло, учащиеся стали меньше допускать ошибок. Все данные я обработал в электронных таблицах и представил в виде диаграмм и таблиц.

Глава I. История счёта

1.1. Как появились числа

Считать люди научились давно - ещё в каменном веке - десятки тысяч лет назад. Каким образом они делали подсчёты? По всей видимости, они использовали метод сравнения различных количеств одинаковых предметов и выстраивали соотношения «больше – меньше – равно». Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
       И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит:  «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…»,  «ибон–али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

1.2. Зачем нужно уметь считать в уме? Виды устного счёта

      Многие, наверное, согласятся, что это вопрос риторический. Современный ребёнок часто возмущается, когда в школе его заставляют учить на память таблицу умножения. «Ну, зачем???», - удивлённо вскидывают они свои глаза к небу. Ведь сейчас век информационных технологий, существуют калькуляторы.

На самом деле существует не одна причина знать таблицу умножения и уметь быстро считать в уме. Во-первых, это в значительной мере тренирует память, особенно в период развития интеллектуальных способностей человека, когда закладывается база его логического способа мышления. Во-вторых, умение производить в уме логические математические операции способствуют формированию абстрактного мышления, что в принципе необходимо при изучении математики и других точных наук.

Уметь быстро считать полезно взрослым и детям. Сколько раз приходилось наблюдать ситуацию, когда человек мучится с тем, чтобы правильно отсчитать сдачу на рынке, или пробует высчитать, на сколько грядок ему хватит купленной рассады, или задумчиво чешет затылок, высчитывая, на какие именно числа придутся начальная и конечная даты его отпуска.

Виды устного счёта

Следует различать два вида устного счёта:

 Первый – это тот, при котором примеры и задания записаны в виде карточек или на доске. Подкрепляя слуховые восприятия учащихся, зрительный ряд фактически делает не нужным удерживание данных чисел в уме, чем существенно облегчает процесс вычислений. Однако, именно запоминание чисел, над которыми производятся действия, - важный момент устного счёта. Тот, кто не может удержать числа в памяти, в практической работе оказывается плохим вычислителем.

 Поэтому нельзя недооценивать второй способ – когда числа воспроизводятся только на слух. Учащиеся, при этом, ничего не записывают и ни какими наглядными пособиями не пользуются. Естественно, что второй вид устного счёта сложнее первого. Но он эффективнее, при том условии, что удается увлечь всех ребят. Последнее обстоятельство очень важно, поскольку при устной работе трудно контролировать каждого ученика.

Глава II. Как считали в старину

2.1. Умножение на пальцах

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении, которое придавали древние  этому способу выполнения  умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).

Умножали на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример:  8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

2.2. Крестьянский способ умножения на Руси

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример:  умножим  47 на 35

Ø запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;

Ø левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

Ø деление заканчивается, когда слева появится единица;

Ø вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;                           35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

Ø далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

2.3. Счёт методом «решётки»

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал  в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

	2	5
1	1        2	3      0	6
5	0      6	1      5	3
	7	5

В своей  «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).   

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

-рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

-затем квадратные клетки делим по диагонали;

-вверху  таблицы записываем число 987;

-слева таблицы число 12;

-теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;

-после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;

результат читаем по стрелке.

              

Глава III. Приёмы устного счёта

3.1. Приёмы сложения и вычитания

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;           65+9=65+10-1=74.

СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в  прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы.  Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;  456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ВЫЧИТАНИЕ

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;       436-87=436-100+13=349.

ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЛА МЕНЬШЕ 100 ИЗ ЧИСЛА БОЛЬШЕ 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме. 134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

3.2. Приёмы умножения и деления

Изучив литературу по данной теме, мною был сделан отбор, из множества приемов быстрого счета, я выбрал приемы умножения и деления, которые просты в понимании и применении для любого ученика. Эти приемы я и включил в памятку (Приложение III), которая будет полезна для учеников 5-6-х классов. 

1)      Умножение и деление числа на 4.

Чтобы умножить число на 4, нужно его дважды умножить на 2.

Например:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;       417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Чтобы разделить число на 4, нужно его дважды разделить на 2.

Например:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

2)      Умножение и деление числа на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2.

Например:

236·5=(236·10):2=2360:2=1180.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить 2 и разделить на 10, т.е. отделить запятой последнюю цифру.

Например:

236:5=(236·2):10=472:10=47,2.

3)    Умножение числа на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например: 34·1,5=34+17=51;        146·1,5=146+73=219.

4)    Умножение числа на 9.

Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать  0 и отнять исходное число.

Например: 72·9=720-72=648.

5)    Умножение на 25 числа, делящегося на 4.

Чтобы умножить на 25 число, делящееся на 4, нужно его разделить на 4 и получившееся число умножить на 100. 

Например: 124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

6)    Умножение двузначного числа на 11

При умножении двузначного числа на 11, нужно между цифрой единиц и цифрой десятков вписать сумму этих цифр, причем, если сумма цифр больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре).

Например:
23·11=253, т.к. 2+3=5, поэтому между 2 и 3 ставим цифру 5;
57·11=627, т.к. 5+7=12, цифру 2 ставим между 5 и 7, а к 5 прибавляем 1, вместо 5 пишем 6.

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

7)    Умножение двузначного числа на 101.

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе.

Например:34·101 = 3434.

Поясним, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

3.3. Немного истории

Тренинг по устному счёту, обучая нас считать в уме, учит в первую очередь думать. В качестве примера можно привести картину русского художника Н.П.Богданова-Бельского «Устный счёт в народной школе С.А.Рачинского», 1895 г. (прил.6.4). Её наверняка помнят все, кто учился в школе особенно в советское время, из учебника «Математика». На картине деревенская школа XIX века, учитель – реальный человек по имени Сергей Александрович Рачинский.

На классной доске картины написан пример, который ученики должны решить устно:

Ведь если предложить такой пример современным ребятам, то большинство из них взяли бы в руки калькуляторы, так как разучились думать и напрягаться, другие же расписали бы всё решение на бумаге. Но ведь можно обойтись и без этих вычислений, если знать свойство чисел – сумма квадратов трёх последовательных чисел равна сумме квадратов двух за ним следующих.

4. Заключение

Описывая  старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой я обнаружила более быстрые и надежные способы вычислений.

 Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Результаты своей работы я оформила в виде памятки. Возможно, что с первого раза не у всех  получится научиться считать быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки быстрого счета.

         Проведя статистическую обработку данных, были получены следующие результаты:

1.     Уметь считать нужно, потому, что это пригодится в жизни, считают 87% учащихся, чтобы хорошо учиться в школе – 74%, чтобы быстро решать – 59%, чтобы быть грамотным – 41% и не обязательно уметь считать – всего 5%.

2.     Навыки хорошего счета необходимы при изучении математики, считают 97% учащихся, а также при изучении физики – 92%, химии – 81%, информатики – 36%.

3.     Приемы быстрого счета знают 11% (много приемов), 25% (несколько приемов), не знают приемов быстрого счета – 64% учащихся.

4.     Применяют приемы быстрого счета 22% учащихся,  иногда применяют – 12%.

5.     Хотели бы  узнать приемы быстрого счета 96% учащихся.

Выводы:

·        Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.

·     В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся 5-7 классов.

5. Библиографический список

1.     Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В и др. Математика: Просвещение, 2007

2.     Ракитина М.Г. Математика: Тесты. Дидактические материалы. – М.: Айрис-пресс, 2007

3.     Считай без ошибок: справочник школьника по математике. / Сост. Н.Е.Точная. – СПб: Литера, 2007

4.     Узорова О.В., Нефедова Е.А. 3000 примеров по математике: Счёт в пределах десятка: 2 класс. – М.: Астрель, 2008

5.     Свечников  А.А. Числа, фигуры, задачи.  М., Просвещение,  1977г.

6.     http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm

7.     http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html

Приложение 6.1. Анкета для учащихся

1. Нужно ли уметь современному человеку выполнять любые арифметические действия? 

□ Да      □ Нет    □ Не знаю

2. Умете ли вы в уме быстро складывать и вычитать?

□ Да      □ Нет    □ Не знаю

3. Умеете ли вы в уме быстро умножать и делить?

□ Да      □ Нет    □ Не знаю

4. Умеете ли вы быстро возводить числа в квадрат?

□ Да      □ Нет    □ Не знаю

5. Пользуетесь ли вы приёмами быстрого счёта?

□ Да      □ Нет    □ Не знаю

6. Если вы пользуетесь приёмами быстрого счёта, то какими именно?

__________________________________________________________

__________________________________________________________

7. Хотели бы вы научиться быстро, считать?

□ Да      □ Нет    □ Не знаю

Приложение 6.2. Анализ результатов анкетирования до изучения приёмов быстрого счёта

Таблица 1.

№	Вопрос	Ответы
		Да	Нет	Не знаю
1.	Нужно ли уметь современному человеку выполнять любые арифметические действия?	9	9	2
2.	Умеете ли вы в уме быстро складывать и вычитать?	7	10	3
3.	Умеете ли вы в уме быстро умножать и делить?	2	17	1
4.	Пользуетесь ли вы приёмами быстрого счёта?	2	17	1
5.	Если вы пользуетесь приёмами быстрого счёта, то какими именно?	Не знали, что ответить
6.	Хотели бы вы научиться быстро, считать?	15	4	1

Диаграмма 1.

Приложение 6.3. Анализ результатов анкетирования после изучения приёмов быстрого счёта

Таблица 2.

№	Вопрос	Ответы
		Да	Нет	Не знаю
1.	Нужно ли уметь современному человеку выполнять любые арифметические действия?	19	1	0
2.	Умеете ли вы в уме быстро складывать и вычитать?	10	10	0
3.	Умеете ли вы в уме быстро умножать и делить?	8	12	0
4.	Пользуетесь ли вы приёмами быстрого счёта?	15	5	0
5.	Если вы пользуетесь приёмами быстрого счёта, то какими именно?	Приёмами из памятки
6.	Хотели бы вы научиться быстро считать?	15	5	0

Диаграмма 2.

Приложение 6.4. Картина Н.П.Богданова-Бельского « «Устный счёт»

Приложение 6.5. Памятки для быстрого счёта.

СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в  прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы.  Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЛА МЕНЬШЕ 100 ИЗ ЧИСЛА БОЛЬШЕ 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме. 134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

Умножение и деление числа на 4.

Чтобы умножить число на 4, нужно его дважды умножить на 2.

Например:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;

417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Чтобы разделить число на 4, нужно его дважды разделить на 2.

Например:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

Умножение и деление числа на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2.

Например:

236·5=(236·10):2=2360:2=1180.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить 2 и разделить на 10, т.е. отделить запятой последнюю цифру.

Например:

236:5=(236·2):10=472:10=47,2.

Умножение числа на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например: 34·1,5=34+17=51;

146·1,5=146+73=219.

Умножение числа на 9.

Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать  0 и отнять исходное число.

Например: 72·9=720-72=648.

Умножение на 25 числа, делящегося на 4.

Чтобы умножить на 25 число, делящееся на 4, нужно его разделить на 4 и получившееся число умножить на 100.

Например: 124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

Умножение двузначного числа на 11

При умножении двузначного числа на 11, нужно между цифрой единиц и цифрой десятков вписать сумму этих цифр, причем, если сумма цифр больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре).

Например:
23·11=253, т.к. 2+3=5, поэтому между 2 и 3 ставим цифру 5;
57·11=627, т.к. 5+7=12, цифру 2 ставим между 5 и 7, а к 5 прибавляем 1, вместо 5 пишем 6.

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

Умножение двузначного числа на 101.

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе.

Например:34·101 = 3434.

Поясним, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.
Например: 35²=1225, т.е. 3·4=12 и к 12 приписываем 25, получаем 1225.

Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например:
52²= 2704, т.к. 25+2=28 и 2²=04;
58²= 3364, т.к. 25+8=33 и 8²=64.

Краткое описание документа:

В системе учебных предметов математике принадлежит особая роль. Ведь математика одна из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата коммунальных услуг, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникамнеобходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса,необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать. Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номерателефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения. Они были бы попросту невозможны,если бы не наука о числах.