- 26.02.2016
- 662
- 0
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №72
с углубленным изучением отдельных предметов»
СЕКРЕТЫ ЛАБИРИНТА
Выполнил:
Лапенко Петр Денисович, 6 класс
Научный руководитель:
учитель математики МБОУ СОШ №72
Солдатова Елена Аркадьевна
КРАСНОЯРСК 2016
Содержание
Краткая аннотация ………………………………………………………….. 3
Введение …………………………………………………………………….. 4
История возникновения лабиринтов …………………………….………... 5
Геометрия лабиринта …...………………………………………………….. 9
Лабиринт в математических моделях …..………………………………... 13
Лабиринты в жизни ...……………………………………………………... 15
Заключение ..………………………………………………………………. 17
Литература …………………………………………………………………. 18
Приложение ……………………………………………………………….. 19
Краткая аннотация
Цель исследовательской работы: использование лабиринтов в играх и обучении, как способа развития у обучающихся геометрических представлений и логического мышления. Задачи: изучить способы прохождения лабиринтов. Познакомиться с различными видами лабиринтов. Для этого рассмотреть простейшие правила решения заданий с лабиринтом, все стены которого имеют вид одной, нигде не пересекающей себя замкнутой линии: правило одной руки, правило закрашивания тупиков [1], [2]. Изучить способы прохождения лабиринтов при помощи графов. Научиться составлять лабиринты. Придумать логические задания с использованием принципа лабиринта [3], [4].
В результате изучения литературы найдены интересные исторические факты об использовании в древности лабиринтов в играх детей. Изображении рисунков лабиринтов как украшений в архитектуре, ландшафтном дизайне парков. Раскрыты секреты составления лабиринтов, логических задач с замысловатыми ходами. Древние задачу о лабиринтах считали вообще неразрешимой. Человек, попавший в лабиринт, не мог уже из него выйти, если только какое-либо чудо или случай не приходили ему на помощь. Найдено доказательство, что безвыходных лабиринтов нет, разобраться и найти выход из самого запутанного лабиринта не составляет особого труда [5], [6]. Достаточно лишь знать правила прохождения лабиринтов. Решение математических лабиринтов развивает внимание, тренирует память, воспитывает усидчивость, учит логике и анализу.
Введение
Лабиринт – это сложная, запутанная сеть проходов, соединяющих помещения или друг друга. Лабиринты интересовали людей издавна. Они были известны задолго до нашей эры. Происхождение задачи о лабиринтах относится к глубокой древности. Геродот описал египетский лабиринт, состоящий из 3000 комнат. Лабиринты могут запутывать, пугать и даже доводить до отчаяния тех, кто в них попадает.
В настоящее время лабиринты встречаются в виде мозаик и узоров на полах и мостовых, на тканях, в садах, парках. Встречаются лабиринты в компьютерных играх, в занимательных математических задачах.
Лабиринты бывают разные. В одних извилистые дорожки сообщаются между собой и ведут к единому центру [7]. В других одновременно с проходами могут быть и тупики, и для идущего по нему задача состоит в том, чтобы, минуя тупики, найти выход в противоположном конце лабиринта.
Цель работы познакомиться с историей возникновения лабиринтов. Исследовать способы прохождения лабиринтов [8]. Рассмотреть простейшие правила решения задач с лабиринтом, все стены которого имеют вид одной, нигде не пересекающей себя замкнутой линии. Описать, как отыскивать маршрут следования в лабиринте. Рассмотреть правило движения вглубь лабиринта и выхода из него. Показать при помощи графов, что безвыходных лабиринтов нет. Разобраться, где можно применять лабиринты в жизни. Придумать игру-лабиринт для учащихся школы на уроке математики. Предложить шаблон игры-лабиринта преподавателям на итоговых уроках на любом предмете.
История возникновения лабиринтов
Главной неразгаданной загадкой древнего символа остается его происхождение. Возможно, этот образ был подсказан самой природой — спиралевидные и лабиринтные формы характерны для раковин некоторых моллюсков, различимых в колонии кораллов, подземных ходов муравейников. Быть может, древние художники, часто рисовавшие простые спирали и извилистые линии, постепенно совершенствуя и усложняя эти геометрические фигуры, тем самым пришли к символу лабиринта. Лабиринтный рисунок мог появиться при попытках древнего человека изобразить сложное движение солнца и планет.
Простое изображение лабиринта с петляющими дорожками было знакомо многим культурам. Возраст глиняной таблички с рисунком из семи концентрических линий, которая найдена на греческом острове Пилос, а также сирийской глиняной посуды, украшенной изображением классического лабиринта - 3,5 тысячи лет (приложение, рис. 1).
Самой выдающейся постройкой египтян, были не пирамиды, а огромный лабиринт. Он размерами превосходит пирамиды. Сложная система коридоров, комнат была такой запутанной, что без проводника нельзя было найти выход.
В древнегреческом мифе о Минотавре подземный лабиринт был построен Дедалом на острове Крит по приказу царя Миноса. В лабиринте было запрятано чудовище - Минотавр, с человеческим телом и головою быка. Каждый год Минотавр требовал из Афин дань - семь девушек и семь юношей, которых пожирал. Но однажды юноша по имени Тесей вызвался добровольно отправиться в Лабиринт, чтобы сразиться с чудовищем. Дочь Миноса Ариадна дала ему острый меч и клубок ниток. Привязав один конец нити у входа, разматывая клубок, Тесей пошел вглубь дворца на бой с Минотавром. Меч Ариадны помог ему победить чудище, а ее нить - найти выход из Лабиринта (приложение, рис. 2).
Вскоре лабиринты появились у греков и римлян. В городе Помпеи, был дом с лабиринтом. На мозаичном полу была изображена борьба Тесея с Минотавром (приложение, рис. 3).
На протяжении длительного времени, используя идею лабиринта, люди сооружали крепости и целые города, в Европе стали высаживать садовыми лабиринты (приложение, рис.4).
Слово «лабиринт» произошло от слова «лабрис» - секира с двойным лезвием. Древний бог Арес-Дионис спустился с неба на Землю и прокладывал себе путь, рассекая лабрисом темноту, описывая круги. Так родился лабиринт, то есть «путь.
Существует теория, согласно которой термин «лабиринт» первоначально обозначал танец. Движения в этом танце подчинялись строгой графической схеме.
Каждый лабиринт представляет общий план с заданной схемой движения округлой или прямоугольной формы или же формы многоугольника (приложение, рис.5). в лабиринте только один вход, он же выход. Должны соблюдаться следующие обязательные условия:
— дорожка постоянно изменяет направление движения;
— дорожка заполняет все внутреннее пространство лабиринта;
— неизбежно выводит к центру, где и заканчивается;
— вернуться к месту входа можно только по этой же самой дорожке.
Иначе устроены ходы-головоломки мейзы (приложение, рис.6). Мейзы по своему строению более запутанные фигуры, чем лабиринты. В таких головоломках заложены несколько дорог к цели, два или более входов и выходов. Дорожки сообщаются между собой и образуют развилки. Решить мейз, значит пройти к его центру или какой-либо цели. Задача: выбрать правильный вход, угадать направление на развилке или не попасть дважды на одну и ту же дорожку. Лабиринты - это запутанные коридоры с тупиками, входами и выходами. Существует наука - лабиринтология о методах прохождения через лабиринты.
Геометрия лабиринта
Лабиринты бывают разные. Не имея плана, отыскать маршрут совсем нелегко. Существует три основных метода прохождения лабиринтов: метод зачеркивания тупиков, метод проб и ошибок, правило одной руки.
Если имеется план лабиринта, то выход из любой его точки найти легко - надо зачеркнуть карандашом все тупиковые ходы. Этот метод получил название метода зачеркивания тупиков. Не зачеркнутая часть коридоров будет выходом или маршрутом от входа к выходу. А если плана нет, то надо воспользоваться методом проб и ошибок. Если вы попали в тупик, то возвращайтесь назад и начинайте все сначала.
Один из вариантов воспользоваться правилом одной руки. Двигаясь в глубь лабиринта. Нужно касаться его стены одной и той же рукой. А выходя наружу, надо идти, касаясь той же стены другой рукой. Таким образом, можно всегда вернуться в исходную точку.
Правила могут иметь названия по названию руки: правило левой руки и правило правой руки. Если лабиринт имеет один выход, то идти по нему надо, не отрывая от стены правой (левой) руки.
Иногда стены в лабиринте не связаны с центром. Тогда, используя правило одной руки, не дойти до центра. В одном и том же лабиринте может действовать правило левой руки и не работать правило правой руки (приложение, рис. 7).
Классический вариант имеет семь концентрических линий, плотно закрученных вокруг центрального ядра. Вход только один. Длинный путь от него обязательно приводит к центру. Соприкасаясь вплотную, дорожки лабиринта нигде не пересекаются и никак не сообщаются друг с другом. Покинуть центр сооружения можно только одним путем — тем же, что привел к цели. Других выходов из лабиринта нет. Таким образом, нужно идти по дорожке, которая приведет к центру и выведет обратно.
Начало решения задачи о многосвязных лабиринтах положено выдающимся математиком XVIII века Леонардом Эйлером (1707 - 1783). Эйлер полагал, что выход из любого лабиринта может быть найден, и притом сравнительно простым путем.
Лабиринт - это граф. Графом называют фигуру, состоящую из точек и линий. Точки называют вершинами, а линии – ребрами графа. Исследовать лабиринт, значит найти путь в этом графе. Все тупики и перекрестки считаются вершинами графа, а коридоры лабиринта – это ребра графа. Если обойти весь лабиринт, побывав в каждом коридоре на пути туда и обратно, то все ребра графа удвоятся. Тогда каждая вершина будет четной. Такой граф можно обойти за один обход. Таким образом, начав с входа, закончим обход в той же точке, т.к. все вершины графа четные. Во время обхода лабиринта в любой вершине графа мы побываем не меньше двух раз.
Чтобы без плана лабиринта обойти все коридоры, пройдя по каждому дважды, туда и обратно, нужно соблюдать правила:
1) При входе в коридор ставим на стене черточку, при выходе ее перечеркиваем;
2) Если подошли к перекрестку, на котором ни разу не были, то дальше идем по любому коридору (приложение, рис. 8). Если такого коридора нет, то это тупик. Возвращаемся обратно (приложение, рис.9);
3) Если подошли к перекрестку, на котором уже побывали, и шли по новой дороге в первый раз, то возвращаемся обратно;
4) Если подошли к перекрестку таким путем, которым уже однажды шли, но есть коридоры, по которым еще не ходили, то идем по любому из них (приложение, рис. 10). Если таких коридоров нет, то идем по коридору пройденному один раз (приложение, рис.11).
Известны правила решения задач с лабиринтом, все стены которого имеют вид одной нигде не пресекающей себя замкнутой линии.
Если обе точки находятся либо внутри, либо снаружи лабиринта, то любая, соединяющая их линия, пересечет границу этого лабиринта четное число раз.
Если одна точка находится снаружи лабиринта, а другая внутри, то любая. Соединяющая их линия, пересечет границу лабиринта нечетное число раз.
Возьмем точку А внутри лабиринта, точку В снаружи лабиринта. Соединим эти точки линией. Она пересекает границу лабиринта пять раз, т.е. нечетное число раз (приложение, рис. 12). На рисунке 13 изображен обводной канал, который представляет собой замкнутую, нигде не пересекающую себя линию. Цветок растет на берегу. Линия, соединяющая дерево и цветок, пересечет границу четное число раз.
Лабиринтные задачи пользуются популярностью среди занимательных задач в математике.
Лабиринты в математических моделях
Идея лабиринта встречается в задачах по математике. Лабиринты бывают разные: словесные, числовые, лабиринты на внимание.
Числовые лабиринты могут иметь несколько задач, которые нужно решить, а также множество способов решения. Они используются как для развлечения, так и в целях обучения и развития детей. Для активизации мышления учащихся особое внимание уделяется логическим играм, решению числовых кроссвордов, лабиринтов, нахождение закономерностей, изучаются интересные свойства чисел для быстрого умножения и сложения. В каждом занятии тесно переплетаются логика, творчество, интеллект каждого игрока.
В числовом лабиринте надо запомнить числа и их местонахождение. На запоминание дается 5 минут. Далее рисунок убирается, а испытуемому предлагается его воспроизвести. Как правило, запомнить механически эти числа не удается никому. Количество правильно воспроизведенных чисел зависит от того, какие закономерности составления данного лабиринта нашел играющий, (приложение, рис.16).
Существует много задач изображения непрерывного маршрута движения через свободные клетки.
Изобразить продвижение по свободным клеткам поля ломаной линией, не имеющей точек пересечения (приложение, рис.15, 16, 17, 18).
Придумать два возможных маршрута, которые начинаются в клетке q и заканчиваются в клетке p. При этом маршруты нужно изобразить непрерывными ломаными линиями, которые проходят через середины всех свободных клеточек и не имеет точек пересечения и самопересечения, (приложение, рис. 21, 22).
Используя признаки делимости, пройти по лабиринту. Обводя кружками числа, которые делятся на семь, закрашивая тупики (приложение, рис. 23), пройти из центра лабиринта наружу.
Изобразить ломаную линию из верхнего левого угла в нижний правый угол. Сумма перечеркнутых цифр должна быть равна 48
Одной из разновидностей геометрических или лингвистических лабиринтов являются шифры (приложение, рис. 20). Линии обозначают последовательность букв и слов, которые образуют смысловое содержание, или можно сказать, что линии обозначают путь лабиринта, в котором зашифрованы слова. Начальная точка лабиринта, заглавная буква шифра отмечена специальным символом. Конечная точка лабиринта (последняя буква шифра) специально не обозначена, то есть последовательность слов в лабиринте имеет неопределённое окончание. Каждая точка лабиринта может быть пройдена несколько раз, то есть буквы шифра могут повторяться, и в результате путь лабиринта может проходить одни и те же точки несколько раз. Каждая линия лабиринта тоже может быть пройдена несколько раз. Но выполняется правило, согласно которому нельзя выйти из точки лабиринта по той линии, по которой совершён вход.
С помощью движения по геометрическому лабиринту получилось зашифровать высказывания известных людей о математике. Альберт Эйнштейн: «Математика - наиболее совершенный способ водить самого себя за нос». Ломоносов М.В.: «Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит».
.Применяя правила лабиринта, удалось придумать игру-лабиринт для обучающихся 5-6 классов, в нее можно играть на уроках математики, использовать во внеклассной работе на математических праздниках. Это несколько заданий, соединенных таким образом, что ответ одного задания служит номером другого. Выполнив одно задание, следует перейти к другому, и так до тех пор, пока ответ задания не совпадет с его номером. В результате решения получается цепочка чисел, по которой, как по ориентиру, ученик выходит из лабиринта. Решение таких математических лабиринтов требует большого внимания, умения быстро и безошибочно совершать сложные арифметические действия, а также очень хорошей памяти и способности к анализу.
Мой шаблон игры-лабиринта можно предложить преподавателям школы для изучения новых тем по предмету или для интересного проведения итогового урока.
Лабиринты в жизни
Лабиринты оказались удобным средством для изучения сложных механизмов памяти, а также поведения живого организма в экстремальных ситуациях. Механизмы этих сложных процессов моделируются сначала на поведении животных.
Летучая мышь без тренировок ловко ориентируется в темном лабиринте. Она посылает в пространство ультразвуки и ловит их отражение от возникающих на пути преград.
Муравьи после короткого обучения легко преодолевают лабиринт с 10 разветвлениями. Потому, что любой муравейник - объемный лабиринт.
Идея лабиринта нашла многочисленные применения в технике. Один из первых самообучающихся роботов получил имя "Тесей". Его сконструировал сотрудник Массачусетского технологического института К. Шеннон, применив вариант алгоритма Тремо. На первой Российской Олимпиаде Роботов проводились соревнования, целью которых было прохождение своеобразного лабиринта за наиболее короткое время.
Лабиринтология используется психологами для изучения поведенческих реакций человека. «Большие лабиринты» используются в авиации, при подготовке космонавтов и в других случаях, требующих концентрации внимания (приложение, рис. 27). Появление стационарных лабиринтов на территории больниц, хосписов и медицинских школ в Америке один из врачей объяснил следующим образом: «Медицина может врачевать тело, а лабиринт является орудием, врачующим душу». Лабиринт воспринимается как островок спокойствия в хаотичном мире, тихое место, предназначенное для раздумий и созерцания. Извилистая тропа лабиринта приглашает посетителя очистить свой разум, освежить душу, умерить пыл.
Игры с лабиринтами часто используются в детских изданиях. Они развивают ум, пытливость, воспитывают усидчивость, повышают интерес к познанию нового (приложение, рис. 28, 29, 30, 31).
Лабиринты используются в спелеологии. Спелеологи разбивают лабиринт на части, составляют план, прокладывают удобные пути для быстрого продвижения в его дальние части. Опытные спелеологи советуют использовать «нить Ариадны», чтобы выйти из пещеры. Естественные лабиринты несут не только математическую, но и геологическую информацию. К любому перекрестку может подходить четное или нечетное количество ходов.
Лабиринты с живой изгородью из деревьев и кустарников особенно любят англичане (приложение, рис. 32). В Европе особенное распространение получили лабиринты из дерна (приложение, рис. 33). Использовались такие лабиринты для народных игр.
Каменные лабиринты выкладывали либо под открытым небом на земле или песке, либо в качестве украшений на полах дворцов, замков, церквей, театров и других публичных зданий (приложение, рис. 34).
Самое известное изображение мозаичного лабиринта в соборе французского города Шартр (приложение, рис. 35, 36). Мозаика была выложена в XIII веке, она представляет собой четыре соединенных между собой квадрата с семью резкими поворотами в каждом, при этом весь лабиринт можно пройти по одной непрерывной дорожке.
Лабиринтные игры несут на себе черты эпохи, в которой они создаются. В 20-х годах нашего века один английский журнал предпринял сбор средств для устройства площадки детям рабочих. Чтобы привлечь внимание читателей к этому мероприятию, журнал напечатал оригинальный лабиринт (приложение, рис. 37). У входов в лабиринт дымят заводские трубы. Детям предстоит сложный путь к месту с чистым воздухом.
В XX столетии мотив лабиринта используется в рекламе, компьютерных играх и фильмах. Таким образом, лабиринт востребован.
Заключение
Рассмотрены правила прохождения лабиринтов, способы решения простейших задач с лабиринтами. С помощью теории графов можно пройти все тупики и перекрестки, отыскать маршрут следования в лабиринте.
Занимательные задачи с лабиринтами развивают логическое и аналитическое мышление. Составлены задания с лабиринтами. Зашифрованы при помощи дорожек лабиринта высказывания известных людей о математике. Придумана игра-лабиринт для урока математики в нашем классе. Шаблон этого лабиринта можно использовать на уроках по любым дисциплинам. Необычная форма выполнения задания будет вызывать интерес у учащихся, а значит повышать качество знаний и успешнось. Созданы модели лабиринтов-шифровок, модели лабиринтов для выполнения упражнений по теме «Делимость чисел». Использование лабиринтов актуально в игровых и учебных ситуациях, способствует активизации работы левого и правого полушарий мозга, повышению интеллекта, развивает внимание, тренирует память.
Наше перемещение в пространстве можно тоже рассмотреть, как движение по дорожкам лабиринта. Мы, люди следуем по лабиринту жизни, попадаем в тупики, возвращаемся на нехоженые дорожки. Движемся к неизведанному.
Литература
Шарыгина И. Ф., Ерганжиева Л. Н., Наглядная геометрия: Учебное пособие для V – VI кл. – Смоленск: Русич, 1995. – С. 131
Быльцов С.Ф. Занимательная математика. – СПб.: Питер, 2005. С.89-90, С. 248-249
Асарина Е.Ю., Фрид М.Е. Математика выводит из лабиринта. – М. «Контекст», 1995.С. 16-27
Ожегов С. И. Словарь русского языка: 70000 слов, под ред. Н. Ю. Шведовой. – М. «Русский язык», 1989. С. 317
Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М.К. Задачи на смекалку. – М.: Дрофа, 2005. С. 104
Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1989. – С. 263
П
риложение
Рис. 1. Глиняная дощечка с лабиринтом.
Рис. 2. Лабиринт и «нить Ариадны» Слева: лабиринт критского типа, состоящий из семи кругов. Справа: «нить Ариадны» — маршрут выхода из лабиринта.
Рис.3. Мозаика. Борьба Тесея с Минотавром.
Рис. 4. Лабиринт из живой изгороди.
Рис. 5. Киосский Дворец
Рис. 6. Расположение точек внутри и снаружи лабиринта.
Рис. 8 Цветок находится на берегу, снаружи лабиринта.
Рис. 9 Правило левой руки не работает. По правилу правой руки дойдем до центра.
Рис.10. Путь от перекрестка по любому коридору.
Рис. 11. Попали в тупик. Возвращаемся обратно.
Рис.12 Попали на перекресток, где уже были. Выбираем коридор, где не ходили.
Рис. 13. Возвращаемся по любому коридору, пройденному один раз.
Рис. 14. Простейший лабиринт.
Рис. 15. Мейз — построение, которое предлагает несколько ходов на выбор
124
428
469
582
142
248
649
528
241
842
496
825
214
828
949
852
421
284
994
285
Рис. 16. Числовой лабиринт
1
Рис. 17 Нарисовать ломаную, проходящую через середины каждой клетки, не имеющую самопересечений.
1
Рис. 18 Ответ к заданию на рис. 17
1
2
Рис.19. Нарисовать ломаную, проходящую через середины каждой клетки, не имеющую самопересечений
1
2
Рис. 20. Ответ к заданию на рис. 19.
q
p
Рис. 21. Придумать два возможных маршрута из q в p
q
p
Рис. 22. Ответ к заданию на рис. 21
2
4
6
8
2
4
6
8
8
2
4
6
8
2
4
6
6
8
2
4
6
8
2
4
4
6
8
2
4
6
8
2
Рис. 24. Провести ломаную линию без самопересечений из левого верхнего угла в правый нижний. Сумма цифр должна быть равна 48.
2
4
6
8
2
4
6
8
8
2
4
6
8
2
4
6
6
8
2
4
6
8
2
4
4
6
8
2
4
6
8
2
2
4
6
8
2
4
6
8
8
2
4
6
8
2
4
6
6
8
2
4
6
8
2
4
4
6
8
2
4
6
8
2
Рис. 25. Ответ к заданию на рис. 24
Рис. 26. Лингвистический лабиринт
Рис. 27. Большой лабиринт–тренажер.
Рис. 28. Лабиринт-игра.
Рис. 29 Лабиринт-игра. Достань сыр.
Рис. 30. Лабиринт-игра. Закрась тупики
Рис.31. Лабиринт-игра. Достань яблоко.
Рис. 32 Живая изгородь
Рис. 33. Лабиринт из дерна
Рис. 34. Лабиринт на полу готического храма
Рис. 35. Лабиринт на полу Шартрского собора, Франция
Рис. 36 Шартр. Собор
Рис. 37. Плакат-лабиринт
ИГРА_ЛАБИРИНТ
Решение уравнений
I вариант: 1 —> 9 —> 6 —> 7 —> 3
II вариант: 2 —> 10 —> 4 —> 8 —> 5
1. Решите уравнение:
25 (у + 56) = 1625
6. При каком значении переменной у число 661 меньше разности 800 и у на 132?
2. Решите уравнение:
28 - t + 35 = 53
7. Решите уравнение:
13х + 15х - 24 = 60
3. При каком значении переменной х 8х в 11 раз меньше, чем 264?
8. Решите уравнение:
(16х + 3х - х) : 15 = 6
4. При каком значении переменной а сумма а и 408 больше числа 312 на 104?
9. Решите уравнение:
528 : а - 24 = 64
5. При каком значении переменной m 360 в 12 раз больше 6 m?
10. Решите уравнение:
(3722 + р) : 54 = 69
Секреты лабиринта
Лапенко Петр Денисович
г. Красноярск
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №72
с углубленным изучением отдельных предметов»
6 класс
Место выполнения работы МБОУ СШ №72
Руководитель: учитель математики Солдатова Елена Аркадьевна
1
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 653 536 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Солдатова Елена Аркадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.