Исследовательская работа по математике "Секреты умножения чисел"

Секция математики

Секреты умножения чисел

Исследовательская работа

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.      Введение  -   стр.

2.      Историческая справка

3.      Интересные способы выполнения умножения –   стр.

4.      Авторский способ - линейное умножение

5.      Какой же способ лучший? (Практическая часть)

6.      Заключение -   стр.

7.      Список литературы –   стр.

Введение

Каждый  школьник в нашей стране сталкивается с изучением таблицы умножения и выполнением умножения многозначных чисел в столбик. Триста лет назад  в  Англии  человек, знающий таблицу умножения и умеющий умножать, уже  считался учёным человеком.  А сейчас ученики начальной школы, не научившиеся умножать, считаются неуспешными в изучении математики. Между тем, прошли столетия, одна эпоха сменяла другую, а всё та же таблица умножения смотрит на нас с обложки тетради в клеточку, все также мы пользуемся одной и той же записью решения. Кто придумал, открыл для нас правила умножения? Почему деятельность, с которой сталкиваются все люди практически ежедневно, не испытала за сотни лет практически никаких изменений? Неужели 300 лет назад раз и навсегда был найден единственный способ письменного умножения или он такой совершенный, что искать другие способы нет нужды?  Может потому, что со времен изобретения счетной машины Паскалем и до сегодняшнего дня, сам процесс умножения стал делом калькулятора, а не ума человека, и прогресс идет только в характеристиках электронного устройства?  В результате поиска ответов на эти вопросы и появилась моя исследовательская работа «Секреты умножения чисел».

Казалось бы, что увлекательного можно найти в обыкновенном умножении чисел? За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека.

Целью данной работы является исследование различных способов умножения чисел

Объект исследования:  Способы письменного умножения многозначных чисел

Предмет исследования:

Процесс выполнения умножения многозначных чисел с помощью ручки и бумаги

Гипотеза: Можно предположить, что существуют различные способы выполнения умножения многозначных чисел и среди них найдется способ, альтернативный классическому, изучаемому в школе.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие поставленные задачи:

1.      Изучить литературу по выбранной теме, определить наиболее интересные способы выполнения умножения многозначных чисел.

2.      Проанализировать полученные результаты и систематизировать их.

3.      Провести практическую работу по выполнению умножения чисел различными способами.

4.      Подобрать способ умножения, альтернативный классическому способу, изучаемому в курсе школьной программы.

Методы исследования

Изучение литературы по выбранной теме, математическое моделирование, практические занятия с учащимися, анализ и классификация полученных результатов.

Актуальность проблемы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес к математике и содействует развитию математических способностей.

Новизна проекта

Новизна данного проекта заключается в получении автором нового способа умножения двузначных чисел, нигде пока не опубликованного.

Практическая значимость

Выполнение умножения несколькими способами позволяет учащимся сформировать представление о свойствах этого математического действия, позволяет в каждом конкретном случае решить задачу рационально, а также проверить полученный результат.

1.      Историческая справка

Когда точно появилась первая таблица умножения, неизвестно. Около четырёх тысяч лет назад таблицей умножения уже пользовались древние вавилоняне, но её основанием было число 60, а не 10. Японская таблица умножения была заимствована у китайцев, которые, согласно некоторым гипотезам, и были одними из создателей первой арифметической системы, о чем свидетельствуют археологические находки, содержащие фрагменты таблицы умножения, возраст которых ученые оценили в 2700-3000 лет. Старейшая, из известных до настоящего времени, китайская таблица умножения относится к правлению династии Цинь (221-206 года до н.э). Записана она была в форме коротких предложений, таких как, например, «шесть восьмёрок порождает сорок восемь».

При раскопках здания административных служб в городе Нара, древней столице Японии (VIII век), археологами была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения. Самое интересное, что, судя по всему, ею пользовались вовсе не дети, а взрослые. Предполагается, что подобные таблицы были необходимы императорским чиновникам для того, чтобы легче освоить одно из основных арифметических действий. А вот самая ранняя европейская таблица умножения относится к эпохе Средних веков.

Кто же был изобретателем таблицы умножения? Скорее всего, узнать имя гениального математика, который первым додумался записать результаты умножения в виде таблицы не удастся. Просто потому, что это пришло в голову сразу нескольким людям. В европейской культуре авторство таблицы умножения приписывается знаменитому греческому математику Пифагору (570-490 годы до н. э.), хотя, никаких доказательств этому нет. Этот математический гений не оставил после себя ни одного письменного трактата. Тем не менее впервые таблица умножения, — примерно в том виде, в каком ее печатают на обложках школьных тетрадей, появилась в сочинении неопифагорейца Никомаха Геразского (I-II века н. э.) "Введение в арифметику". По словам Никомаха, эта таблица восходит "к самому Пифагору". Неудивительно, что во времена поздней Античности, Средневековья и Возрождения ее называли по имени создателя — "таблицей Пифагора".

 Впервые же в школьную программу она была введена в Англии в конце эпохи Возрождения. Это была таблица умножения до 12, которую, юные британцы проходят и по сей день. А вот в Индии ученики до сих пор зубрят исходный вариант таблицы — до 20. Может быть, именно поэтому эта страна в последнее время подарила миру множество талантливых математиков и программистов…

Автором привычного нам  способа умножения многозначного числа на многозначное следует считать Адама Ризе, популярного немецкого педагога (1492–1559). В его руках он получил последнюю отделку и завершение, и теперь он считается самым удобным. Главное отличие способа Адама Ризе заключается в том, что разряды всех чисел и множимого, и множителя, и произведения стоят один под другим в одном вертикальном столбце; благодаря этому сразу видно, к какому разряду принадлежит известная цифра, и следовательно сбиться в этом почти нельзя

В  глубокой древности и почти до восемнадцатого века русские люди в своих вычислениях обходились без таблицы умножения, и вообще без умножения и деления: они применяли лишь два арифметических действия - сложение и вычитание, да ещё так называемые «удвоения» и «раздвоение».  Шло время. В ходу появилась одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения– приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. «Умножение – мое мучение», - говорили в старину

Во времена М.Ломоносова действие умножения уже записывали почти так, как и в наше время. Только множимое называли «еличество», а произведение — «продукт» и, кроме того, не писали знак умножения.

За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются. Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно. В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «по частям или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником», «кубком или чашей», «алмазом» и прочие, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. 

2.       Интересные способы выполнения умножения

Крестьянский способ умножения

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат.

Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам нечётное число? В этом случае от нечётного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечётных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением
Иными словами все строки с чётными левыми числами зачёркиваем; оставляем, а затем суммируем не зачёркнутые числа правого столбца.

Крестьянский  способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно.

Умножение способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК»

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494 г.) приводит восемь различных способов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».

Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.

Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.

Умножение чисел способом «Ревность»

Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, — пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».

Японский (китайский) способ умножения

Суть метода состоит в визуализации произведения с помощью графического изображения процесса умножения. Другими словами, числа изображаются в виде прямых линий, сотни, десятки и единицы отделяются промежутками и располагаются параллельно друг другу на плоскости. Один из множителей располагается горизонтально сверху вниз, второй — вертикально слева направо. Количество пересечения линий, образующих десятки при умножении двузначных чисел, будет первой цифрой в произведении. Точки пересечения десятков и единиц — вторая цифра результата, количество точек, образовавшихся при пересечении всех единиц - третья цифра.

Многим покажется, что такой способ японского или китайского умножения слишком сложен и запутан, но это только на первый взгляд. Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых (множителей) на одной плоскости, дает нам зрительную поддержку, тогда как традиционный способ умножения подразумевает большое количество арифметических действий только в уме. Китайское или японское умножение помогает не только быстро и эффективно умножать двухзначные и трехзначные числа друг на друга без калькулятора, но и развивает эрудицию. Согласитесь, не каждый сможет похвастаться тем, что на практике владеет древнейшим китайским способом умножения, который актуален и прекрасно работает и в современном мире.

«Новый» способ умножения

Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35

Левую цифру (в нашем примере — ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.

В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.

Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

3.      Авторский способ  - линейное умножение

Из всех изученных способов умножения меня заинтересовал  последний, предложенный В. Оконешниковым.  Только при освоении этого способа я выяснила, что можно обойтись и без предложенной автором  таблицей. В этом случае можно использовать знакомую всем школьникам со второго класса таблицу умножения, тогда  в строчку записывать произведения данного однозначного числа поочередно на цифры многозначного числа, начиная справа. Если частичное произведение получается однозначным, то справа дописывается 0. Этот способ имеет преимущества перед классическим умножением в столбик более компактной записью и тем, что не нужно держать «в уме» десятки получившихся сумм.

В найденной мной литературе в качестве примера был приведен только способ умножения однозначного числа на многозначное. Меня заинтересовал вопрос: а можно ли этот способ применить  для умножения многозначных чисел?

Сначала я решила разбить первое многозначное число  на разряды и применить несколько раз изученный способ,  добавляя нули в конце полученных произведений, а потом их сложить. Этот способ работает, но запись вычислений по объему получилась примерно такая же, как и при классическом умножении,  и аналогично пришлось выполнять сложение нескольких многозначных чисел в столбик с переходом через разряд.

Далее я решила отдельно рассмотреть  умножение двузначных чисел. И для этого случая умножения у меня получилось вывести очень удобный способ умножения, который я назвала «Линейное умножение». Правило выполнения линейного умножения я сформулировала в виде алгоритма:

1.      Запишите результат умножения  цифр десятков данных чисел в виде двузначного числа

2.      Найдите сумму произведений крайних цифр на произведение средних цифр  чисел. Запишите рядом с предыдущим результатом. Если получилось однозначное число, припишите 0 перед ним.

3.      Далее запишите произведение единиц этих чисел в виде двузначного числа.

4.      Сформируйте ответ: первая справа цифра переписывается, вторая складывается с третьей и записывается левее, если осталось 3 цифры, то записывается сумма  следующих двух и  потом крайняя слева. Если осталось 4 цифры, то следующие 2 пары чисел складываются друг с другом как двузначные числа, и результат дописывается слева.

5.      Если в результате сложения получается двузначное число, то в ответ пишем только единицы, а к следующей сумме прибавляем 1.

Кроме этого, способ линейного умножения позволяет возводить двузначные числа в квадрат.

Для этого вместо  второго пункта алгоритма нужно вычислить  и записать  удвоенное произведение цифр числа.

Вывод: придуманный мною способ линейного умножения требует знания  изучаемой в школе таблицы умножения, как и классический способ. Но, в отличие от записи произведений в столбик со сдвигом здесь все промежуточные вычисления записываются в строчку из 6-7 чисел и сразу формируется результат. При выполнении промежуточных вычислений, если и требуется удерживать в памяти цифры для перехода через разряд, то это только цифра один. Особенно возведение в квадрат «Линейным» способом легко запоминается, компактно в записи, просто при выполнении промежуточных вычислений.

Недостаток моего способа в том, что еще не найден компактный универсальный алгоритм умножения многозначных чисел. Это тема моего дальнейшего исследования.  И тогда линейное умножение сможет занять место наравне с привычным нам умножением в столбик, хотя бы для проверки выполненных действий или даже как самостоятельный способ.

4.      Какой же способ лучший? (Практическая часть)

Для ответа на вопрос о выборе способа умножения я провела небольшое социологическое исследование предпочтений учащихся 7-9 классов нашей школы. В проведении исследования приняло участие 20 человек. В течение урока учащиеся были ознакомлены с изученными мной способами умножения. По окончанию занятия всем было предложено самостоятельно выполнить примеры на умножение  двузначных чисел каждым из изученных способов и заполнить вопросы анкеты:

1.      Оцените доступность освоения данного способа (максимально 5 баллов)

2.      Оцените компактность записи решения  (максимально 5 баллов)

3.      Оцените простоту получения результата (максимально 5 баллов)

4.      Хотели бы вы решать примеры школьного курса математики этим способом вместо классического?

5.      Запишите, какими достоинствами, на Ваш взгляд, обладает данный способ

6.      Запишите недостатки данного способа умножения

Проанализировав полученные данные, мы выявили следующее:

1.      Общий рейтинг способов умножения: Победителями в общем рейтинге по оценке учащихся оказались «линейный» и способ «ревность». На втором месте – «крестьянский» и классический. Меньше всего баллов набрал способ «китайский».

2.       

3.      Желание учащихся заменить традиционный способ умножения в школьном курсе оказалось присуще  55% опрошенных, причем мнения разделились между линейным способом (20%), способом «Ревность» (15%), крестьянским (10%), китайским и «Маленький замок» (по 5%).

4.      У каждого способа были названы достоинства и недостатки:

N п/п	Название способа	Достоинства	Недостатки
1.	Классический	Понятен и привычен всем, универсален для многозначных чисел.	Нужно складывать числа в уме, записывать со сдвигом, учитывать нули
2.	Крестьянский	Не требует знания таблицы умножения	Громоздкая запись, вызывает сложности в делении в уме пополам числа с нечетными цифрами
3.	Китайский	Не требует знания таблицы умножения, умения делить, самый необычный из всех	Громоздкие построения для цифр больше 5 и с разрядами выше трёх
4.	Ревность	Удобный, прост в освоении, похож на решение кроссворда	Приходится чертить таблицу для каждого примера
5.	Маленький замок	Похож на классическое умножение	Сложно перестроиться на умножение с правой цифры, из-за этого возникают ошибки
6.	Линейный	Удобен, прост в освоении, просто возводить в квадрат, компактная запись, не нужно держать цифры «в уме»	Применим только для двузначных чисел или умножения на однозначное.

Заключение

Умение считать является необходимым элементом образования, так как ошибки в расчётах сбивают с пути и внимание, нужное для осмысления хода решения какой-то задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с расчётами.

В работе рассмотрены старинные способы умножения и выявлено, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда, но он достаточно быстр, компактен и хорошо усваивается школьниками. Старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта показывают, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки, созданной разумом человека, не обойтись.

Данное исследование можно использовать для проведения математических кружков и факультативов, для подготовки учащихся к математическим олимпиадам и турнирам.

Своей исследовательской работой мне хотелось бы доказать своим зрителям, что умножение чисел очень интересное и познавательное занятие, совсем не сложное и монотонное, как может показаться на первый взгляд.

Поработав с материалом и подготовив его к применению на практике, я сделала следующие выводы:

1.      Существует множество разнообразных способов умножения, причем каждый из них имеет свои достоинства и недостатки.

2.      Современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел достаточно быстр и наиболее удобен для изучения.

3.      Владение несколькими способами позволяет при решении конкретной задачи применить самый рациональный из них или выполнить проверку полученного результата.

4.      На собственном примере я убедилась, что существуют еще не открытые способы выполнения умножения и можно найти способы, более быстрые или надежные, чем всем привычный классический способ. Может быть, и мой линейный способ умножения когда-нибудь станет одним из них.

Список литературы:

1.      В.В. Вавилов, А.В. Устинов. Задачи на клетчатой бумаге. – М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, 2006. – 183 с

2.      Ганьшин В.Н. Простейшие измерения на местности. 3-е изд., перераб. и доп., М., Недра, 1983, 108 с., ил.

3.      Смирнов В.А, Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге. М., МЦНМО, 2009

Список интернет-ресурсов:

1.      http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/ сайт «Математика, которая мне нравится»

2.      http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0%EC%F3%EB%E0_%CF%E8%EA%E0 свободная энциклопедия «Википедия»

3.      http://kvant.ras.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm журнал «Квант», статья Н.Б. Васильева «Вокруг формулы Пика»

4.      http://sm-shihova.ucoz.ru/Komu_interesno/Komuinteresno_6.pdf - Математика, 5-6: книга для учителя.  Автор/создатель: Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О.

Краткое описание документа:

Каждый школьник в нашей стране сталкивается с изучением таблицы умножения и выполнением умножения чисел в столбик. Триста лет назад в Англии человек, знающий таблицу, уже считался учёным.А сейчас второклассники, не научившиеся умножать, считаются неуспешными в изучении математики. Между тем, прошли столетия, одна эпоха сменяла другую, а всё та же таблица умножения смотрит на нас с обложки тетради в клеточку, все также мы пользуемся одной и той же записью решения.

Кто придумал, открыл для нас правила умножения? Почему то, с чем сталкиваются все люди ежедневно, за сотни лет практически не изменилось? Неужели 400 лет назад раз и навсегда был найден единственный способ письменного умножения или он такой совершенный, что искать другие способы нет нужды? В результате поиска ответов на эти вопросы и появилась наша исследовательская работа «Секреты умножения»