Исследовательская работа по математике "Старинные способы умножения"

Республиканская научно-практическая конференция

«Шаги в науку – 2016»

Секция: математика

Исследовательская работа

Тема: Старинные способы умножения

Краснова Екатерина Ивановна, МБОУ «Богдашкинская ООШ»,

8 класс

Тайманова Елена Александровна, учитель математики.

2016 год

Содержание

1.Введение 3

2.Старинные способы умножения.

§1.Различные приемы умножения на пальцах. 4

§2.Индийский способ умножения 6

§3.Египетский способ умножения. 6

§4.Русский способ умножения. 7

§5.Умножение методом Ферроля. 8

§6.Итальянский способ умножения. 9

§7.Японский способ умножения. 10

3.Заключение. 12

4. Литература 13

Кто хочет ограничиться настоящим,

без знания прошлого,

тот никогда его не поймет…

Лейбниц.

Введение

Актуальность данной темы заключается в том, что исследование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей. Объектом исследования являются алгоритмы счета., а предметом исследования выступает процесс вычисления. Методы исследования: посковый, практический и анализ

Цели:

1. Изучить нестандартные приемы вычислений .

2. Расширить умственный кругозор учащихся.

3. Использовать полученные знания на уроках и на экзаменах.

Задачи:

1. Описать старинные способы вычислений и опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании.

2. Рассмотреть приемы вычислений на конкретных примерах и показать преимущества их использования.

2.Старинные способы умножения.

§1.Различные приемы умножения на пальцах\

Счет на пальцах широко применялся в старину. Пальцы и их суставы, а также загибания и разгибания пальцев, складывание и вытягивание рук давали возможность людям не только считать до десятков и сотен тысяч, но и производить некоторые арифметические действия. Вот, например, как умножали древние римляне на пальцах числа, содержащиеся между 5 и 10.

Пусть требуется умножить 7 на 8. Так как 7=5+2, 8=5+3, то из пяти согнутых пальцев левой руки два разгибаем, а на пальцах правой руки из пяти согнутых пальцев три разгибаем. Всего пять разогнутых пальцев, это - 5 десятков - 50. Согнутые пальца левой руки (их у нас 3) перемножаются согнутыми пальцами правой руки (их у нас 2), получаем 6.

Итак, 50+6=56.

Это же можно продемонстрировать с помощью таблицы.

Пусть требуется умножить 8 на 9.

разогнутые

согнутые

Левая рука (число 8=5+3)

3

2

Правая рука (число 9=5+4)

4

1

3+4=7 (десятков)-70

2*1=2

Итак,70+2=72.

Так же имеется другой способ умножения на 9. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, используем обе руки. Пусть требуется умножить 9 на 6. Для этого сгибаем шестой палец, начиная с левой руки. Посчитаем число пальцев до сгибания (их у нас 5) и после ( их у нас 4).

Значит, 9*6=54.

Пальцевый счет был широко распространен в практической жизни и в средние века.

Вот как производилось умножение 12 на 13 .

1, 10*10=100.

2. Загибаем на одной руке 2 пальца, на другой – 3. 3+2=5(десятков)-50.

3. 2*3=6, это единицы.

Итак: 100+50+6=156

§2.Индийский способ умножения

под названием «молниеносного»

Пусть требуется умножить 64 на 49.

1

Пишем

64*49=

2

Говорим: 4*9=36;

3

Пишем: 6, в уме 3

64*49= 6

4

Говорим: 9*6=54; 54+3=57; 57 в уме, 4*4=16;

16+57=73;

5

Пишем 3, в уме 7;

64*49= 36

6

Говорим: 6*4=24; 24+7=31

7

Пишем: 31 и получаем произведение 3136

64*49=3136

Этим способом удобно пользоваться и в настоящее время.

§3.Египетский способ умножения

Рассмотрим пример, 35*19. Составляем два столбца, во главе первого стоит 1, а второго – 35. Эти числа последовательно удваиваются до тех пор, пока, складывая некоторые числа левого столбца, становится возможным получить 16. Числа правого столбца, которые надо сложить, чтобы получить искомое произведение, соответствуют отмеченным косой чертой числам левого столбца.

/

1

35

/

2

70

4

140

8

280

/

16

560

35*19=(1+2+16)*35=35+70+560=665

§4.Русский способ умножения

Староегипетскому близок так называемый «русский способ умножения», применявшийся крестьянами в дореволюционной деревне. Он основан на последовательной замене произведения двух сомножителей, при котором один из них повторно удваивается, а другой раздваивается до единицы.

Рассмотри пример 35*16

35

16

70

8

140

4

280

2

560

1

Итак,35*16=560

Рассмотри другой пример 75*21, когда при делении остаётся остаток 1.

Если при раздвоении сомножителя получается остаток, то в соответствующих местах пишем в скобках 1.

75

21 (1)

150

10

300

5(1)

600

2

1200

1

Для получения произведения следует добавить к последнему числу первого столбца те же числа того же столбца, которые соответствуют числам с отмеченным остатком второго столбца, т.е.75*21=1200+300+75=1575

§5.Умножение методом Ферроля

Для умножения двухзначных чисел этим методом поступаем следующим образом:

Перемножаем последние цифры, результат пишем в ответе на месте единиц. Перемножаем цифры крест накрест и найдем их сумму, результат пишем в ответе на месте десятков. Перемножаем первые цифры, результат пишем в ответе на месте сотен.

Например: 13*12=156

1. 3*2=6

2. 1*2+1*3=5

3. 1*1=1

Рассмотрим другой пример, когда при умножении получается двузначное число 16*18=288.

1. 6*8=48 (8 пишем 4 в уме)

2. 1*8+1*6=14 (14+4=18, 8 пишем 1 в уме)

3. 1*1=1 (1+1=2, 2 пишем)

Этот способ используем во время устного счета на уроках и при подготовке к экзаменам. Простой удобный способ.

§6.Итальянский способ умножения

(способ умножения «решеткой»)

Рассмотрим пример: 7523 на 123. Начертим таблицу. Верхнюю строчку пишем первое число, а справа в столбик второе. Каждую клетку делим пополам с помощью диагонали. На пересечении цифр пишем их произведение. Десятки на верху, внизу единицы.начинаем складывать по диагонали с правого нижнего угла. В ответе получаем число 925329.

7

5

2

3

0

7

0 5

0

2

0 3

1

1

4

1 0

0

4

0 6

2

2

1

1 5

0

6

0 9

3

0

9

2
5 3 2 9

§7.Японский способ умножения

Рассмотрим конкретно пример. 26*17=442

Число26 состоит их двух цифр 2 и 6. В горизонтальном положении начертим 2 линии, немного отступа и ещё 6 линий. Число 17 состоит из двух цифр 1 и 7. В вертикальном положении в начале одну линию, затем немного отступая ещё семь линий. Далее считаем точки пересечений. Найдём сумму пересечений левого нижнего с правым верхним, т.е.6+14=20

Левый верхний угол

2

2

Левый нижний угол

6

6+14=20

Правый верхний угол

14

Правый нижний угол

42

42

Получили: 2, 20 и 42.

Ответ начинаем с конца:

1. 2 пишем, 4 в уме;

2. 20+4=24, 4 пишем, 2 в уме 4;

3. 2+2=4

Получили: 442.

14 точек

2 14

6

42

Заключение

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, “экономическую - ситуацию” в стране, погоду на “завтра”, описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - “Всё есть число!”.

Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

“Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели”. (А.Маркушевич)

Литература

1. Г.И.Глейзер. История математики в школе 4-6 кл. Москва «просвещение» 1981 г..

2. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка 5-6 кл./ О.С.Шейнина, Г.М. Соловьева – М.: Изд-во НЦЭНАС, 2007.

3. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

4. Арифметика Магницкого. Издание П. Баранова. Москва-1914.