Исследовательская работа по математике «Свойства педального треугольника. Точка Брокара».

• 1 слайд

   
  Свойства педального треугольника. Точка Брокара
  
  Выполнила работу: ученица 10 «а» класса
  МКОУ «Исилькульский общеобразовательный лицей» Хованская Екатерина
  Преподаватель: Федотова Татьяна Николаевна
  

• 2 слайд

  Актуальность исследования обусловлена ежегодным усложнением заданий ЕГЭ, что требует углубленных знаний не только в алгебре, но и геометрии.
  Цель: Рассмотреть теоретические аспекты педального треугольника, точки Брокара и их практическое применение.
  
  

• 3 слайд

  Задачи:
  Дать общую характеристику треугольнику как геометрической фигуры.
  Рассмотреть педальный треугольник как разновидность треугольника, точку Брокара.
  Показать практическое применение свойств педального треугольника и расположения точки Брокара.
  
  

• 4 слайд

  Объект исследования: треугольник - как геометрическая фигура.
  Предмет исследования: свойства педального треугольника.
  Гипотеза: если выяснить свойства педального треугольника, месторасположение точки Брокара и овладеть ими, то возникает объективная возможность для решения задач повышенной сложности.
  
  

• 5 слайд

  Педальный треугольник как разновидность треугольника. Точка Брокара
  

• 6 слайд

  Свойства педального треугольника и их применение в решении задач
  10. Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z, то длины сторон педального треугольника
  равны где R–радиус описанной окружности.
  20. Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.
  
  

• 7 слайд

  Свойства педального треугольника и их применение в решении задач
  30. Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры la, lb, lc, соответственно на стороны а, b, с треугольника, то
  50. Третий педальный треугольник подобен исходному.
  
  

• 8 слайд

  Свойства педального треугольника и их применение в решении задач
  40. Перпендикуляры, опущенные их точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков.
  
  

• 9 слайд

  Задачи о педальном треугольнике,
  месторасположении точки Брокара
  Задача 4. Найти площадь педального треугольника точки Брокара, если стороны треугольника равны 4, 7 и 5 см.
  Решение.
  

• 10 слайд

  Терминологический словарь.
  Педальный треугольник - треугольник, вершинами которого является основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника. А сама эта точка называется педальной точкой.
  Если педальную точку взять на описанной окружности, то основания перпендикуляров, опущенных от данной точки к сторонам треугольника, лежат на одной прямой, которая называется прямой Симсона.
  Точкой Брокара называется такая педальная точка, которая при соединении с вершинами треугольника образует равные чередующиеся углы. А такие углы называются углами Брокара.
  

• 11 слайд

  Задача 7. Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р, АР=12. Найдите периметр этого треугольника
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Решение.
  I способ
  
  Пусть BCF – равнобедренный треугольник с основанием BF. Проведем высоту CH. Тогда BH=HF и BF=2BH=36. Следовательно, FH=BH=18. Тогда по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, AB=BH=HF=FP=18. Поскольку СН – ось симметрии треугольника ВСF, то центр вписанной окружности лежит на СН, а AB=FP. Следовательно, точки А и Р симметричны относительно прямой СН и поэтому АР||BF. Значит, треугольники АСР и BCF подобны. Отсюда следует, что треугольник АСР равнобедренный и АС=АР. Пусть АС=х. Из подобия треугольников ACP и BCF следует
  
  
  
  
  значит, х=9. Поэтому, ВС=СР=х+18=27. Следовательно, искомый периметр треугольника BCF равен BF+2BC=36+54=90.
  Отсюда получаем
  

• 12 слайд

  Задача 7. Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р, АР=12. Найдите периметр этого треугольника.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  II способ
  Так как дана вписанная окружность, то J – есть педальная точка, тогда треугольник АРН – педальный.
  , BC=CF, так как треугольник BCF- равнобедренный, ВС=х
  По изученным свойствам педального треугольника
  ,
  ВС=27, CF=27, BF=36.
  PBCF=27+27+36=90.
  Таким образом, знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач.