Инфоурок Другое Научные работыИсследовательская работа по математике «Теорема Пифагора и 15 способов её доказательства»

Исследовательская работа по математике «Теорема Пифагора и 15 способов её доказательства»

Скачать материал

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №19 г. Новоалтайска»

















Исследовательская работа по математике



«Теорема Пифагора и 15 способов её доказательства»





Выполнила: Басманова Софья

ученица 7а класса

Руководитель: С. В. Куличенко

учитель математики,

высшей квалификационной категории





Новоалтайск 2020



Содержание:

Введение

1.1Пифагор Самосский

1.2Немного из истории создания теоремы

2.1Древнекитайское доказательство

2.2 Доказательство Бхаскари

2.3 Доказательство древних индусов

2.4 Доказательство Евклида

2.5 Доказательство Нильсена

2.6 Доказательство Глюка

2.7 Доказательство через косинус

2.8 Доказательство Берштейна

2.9 Доказательство Герона

2.10 Алгебраическое доказательство

Заключение

Приложения



























Введение

Проблема: меня давно интересовала знаменитая теорема Пифагора, я изучив ее задалась вопросом «А есть-ли еще способы ее доказательства?»

Актуальность: на сегодняшний день теорема Пифагора имеет большую популярность, и многим людям, проникшимся изучением этой теоремы, интересны способы доказательства.

Цель: узнать способы доказательства теоремы, помимо изучаемого в школьной программе

Задачи:

  • Разобрать решение отобранных способов доказательства.

  • Провести анализ полученных в ходе решения результатов.

































Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век...

Адельберт фон Шамиссо

1.1 Пифагор Самоссский

(570-490г до н.э)

великий греческий учёный, философ.

Его имя знакомо каждому школьнику. Если попросят назвать одного древнего математика, то абсолютное большинство назовёт Пифагора. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, мы по-прежнему называем её по имени этого древнего учёного.

Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего не известно, но с его именем связано большое количество легенд.



























1.2Немного из истории создания теоремы.

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или "натягиватели веревок",строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3,4 и5.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.







2.1 Древнекитайское доказательство.

Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

Если мысленно отрезать от чертежа на два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты». Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной а.

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе



2.2Доказательство Бхаскари

Этот индийский математик в пояснении к рисунку написал только одну строчку: "Смотри!".

Учёные считают, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь внутреннего квадрата

(a - b)²: c² = 4ab/2 + (a - b)²;

c² = 2ab + a² -2ab + b²;

c² = a² + b².

Теорема доказана.













2.3 Доказательство древних индусов

Квадрат со стороной (a+b),

можно разбить на части.

А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные,

т.е. с2 = а2 + b2.

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом: Смотри!



2.4 Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.









2.5 Доказательство Нильсена

Нильсен предложил такое разбиение. Многоугольники равных площадей (равновеликие фигуры) одинаково пронумерованы.

2.6 Доказательство Глюра

Доказательство методом разложения квадратов, на равные части называемое «колесом с лопастями». Здесь: 
· ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом С; О – центр квадрата, построенного на большем катете; пунктирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе. Легко видеть, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.



2.7 Доказательство через косинус

Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла соs A = AD/AC = AC/AB, отсюда следует

AB·AD = АС2

Аналогично

соs B = BD/BC = BC/AB, значит AB·BD = ВС2

Сложив полученные равенства почленно, получим: АВ= АС2 + ВС2



2.8 Доказательство Бернштейна

Разложение, предложенное Бернштейном, состоит из 5 треугольников, 1 четырехугольника и 1 пятиугольника 







2.9 Доказательство Герона

Здесь за исходные фигуры, из которых путем вычитания равных частей хотят получить искомые квадраты, мы будем брать не две различные фигуры, а одну и ту же. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника . Продолжим некоторые из отрезков фигуры, при этом прямоугольник распадется на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим сначала из прямоугольника несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие: 
1) треугольники 1,2,3, 4;
2) прямоугольник 5; 
3) прямоугольник 6 и квадрат 8; 
4) прямоугольник 7 и квадрат 9. 
Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут: 
1) прямоугольники 6 и 7; 
2) прямоугольник 5; 
3) прямоугольник I (заштрихован); 
4) прямоугольник II (тоже заштрихован). 
Доказательство:
1) Четыре треугольника 1, 2, 3, 4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7. 
2) Прямоугольник 5 равновелик самому себе. 
3) Прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику I. 
4) Прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику II.



2.10 Алгебраическое доказательство

Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с. Докажем, что с222.
Построим квадрат Q со стороной а+Ь На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т
1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со стороной с. 



Заключение

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Обобщенность и систематизированность данных позволяет заинтересовать учащихся для более глубокого изучения геометрии и сделать ее привлекательней и интересней.





































Список интернет-ресурсов

https://урок.рф/library/«razlichnie_sposobi_dokazatelstva__teoremi_pifagor_191407.html

https://pandia.ru/text/77/308/50928.php

https://multiurok.ru/files/razlichnye-sposoby-dokazatelstva-teoremy-pifagora.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора

https://urokimatematiki.ru/doklad-po-geometrii-po-teme-teorema-pifagora-i-razlichnie-sposobi-eyo-dokazatelstva-4133.html

https://studfile.net/preview/7327497/page:4/

https://science-start.ru/ru/article/view?id=44







Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 878 735 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Презентация к открытому уроку по спец. предмету Технология монтажа освещения Тема: Концевая заделка кабелей"
  • Учебник: «Электротехника, учебник для нач. проф. образования», П.А, Бутырин, О.В. Толчеев и др.
  • Тема: 10.3. Электрические сети, распределение электрической энергии
  • 16.05.2020
  • 334
  • 11
«Электротехника, учебник для нач. проф. образования», П.А, Бутырин, О.В. Толчеев и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 16.05.2020 143
    • DOCX 26.8 кбайт
    • 0 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Куличенко Светлана Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Пожаловаться на материал
  • Автор материала

    • На сайте: 5 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 25200
    • Всего материалов: 49

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой