Исследовательская работа по математике "Теория графов " (7 класс)

Муниципальное казенное  общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15»

города Лиски

Тема: «Графио» и математический граф

Автор: Вазенмиллер Юлия ученица 7«А» класса, МКОУ СОШ №15 г. Лиски.

                                     Руководитель: Гнусова Марина Александровна,

учитель математики ВКК

 

 При подготовке к олимпиаде по математике мне попалась такая  задача.

 Задача.

Шахматный турнир проводится по круговой системе, при которой каждый участник встречается с каждым ровно один раз,  участвуют семь школьников. Известно, что в настоящий момент:

1)      Ваня сыграл шесть партий;

2)      Толя сыграл пять партий;

3)      Леша и Дима сыграли  по три партии;

4)      Семен и Илья сыграли  по две партии;

5)      Женя сыграл  одну партию.

Найдите,  с кем сыграл   Леша.

 Потом я нашла решение этой задачи, она была решена  с помощью теории графов.

 Меня заинтересовали вопросы.  Что такое граф? Нужен ли граф? Какие задачи можно решить при помощи графов? Где встречаются графы в повседневной жизни?

 Цель: освоение приемов решения задач с помощью графов. Найти применение в решении различных головоломок, математических и логических задач и задач ЕГЭ.

задачи:

• Изучить информацию по теории графов;

• Определить приемы использования теории графов в решении задач разного класса;

• Исследовать практические навыки учеников в применении элементов теории графов;

 • Найти применение теории графов в жизни.

Актуальность и новизна:

Теория графов позволяет решать наиболее легким способом, наглядно многие логические задачи, которые способствуют развитию мышления и интеллекта.

Гипотеза:

Если метод графов так важен, то обязательно найдется его широкое применение в различных областях науки и жизнедеятельности человека.

 Методы исследования:

Для достижения поставленных задач были использованы методы:

- анализ источников информации по проблеме.

- сбор и анализ  различных типов задач.

- исследование различных способов решения.

- вывод, что решить данные задачи можно более просто, если использовать теорию графов.

Введение.

С дворянским титулом «граф» эту тему связывает  только общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.

Графы - это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по  физике, химии, электронике, автоматике.

Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.

В математике определение графа дается так: графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.

Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.

      Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 год), хотя термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг.

Теория графов как математическая дисциплина стала активно развиваться со времен Эйлера  (1707-1783 гг.), который в 1736 году решил задачу о Кёнигсбергских мостах.

Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены. Кенигсбергцы предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз.

 Можно ли побывать на всех четырех участках суши, пройдя по каждому мосту один раз и оказаться в той части суши, с которой началось движение? Эйлер отождествил с точкой (вершиной) графа каждую часть суши, а мост – с линией (ребром). Анализируя этот граф, Эйлер доказал, что сформулированная выше задача не имеет решения. Граф имеет четыре нечетные вершины, то такой граф начертить «одним росчерком» невозможно.

Примерами графов могут служить схемы авиалиний, метро, дорог, электросхемы, чертежи многоугольников. Использует графы и дворянство. Например, в генеалогическом дереве, вершины – члены рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности.

 Используют графы и при построении генеалогических деревьев.

Виды графов

1.Граф-вершина. Элемент (точка) графа, обозначающий объект любой природы, входящий в множество объектов, описываемое графом. То же: узел, точка.

2.Граф-ребро. Линия, соединяющая пару смежных вершин графа.

3. Пустой граф. Пустым называется граф без ребер

4. Неориентированный граф. Если ребра не имеют ориентации, граф называется неориентированным.

5. Ориентированный  граф. Если ребра ориентированы, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом.

6. Граф - дерево. Деревом называется всякий связный граф, не имеющий циклов

7.Полный плоский граф. Граф называется полным, если каждые две различные вершины его соединены одним и только одним ребром.

9.Изолированная вершина. Вершины, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

10. Связный граф. Две вершины А и В графа называются связными, если в графе существует путь с концами А и В. Граф называется связным, если каждые две вершины его связные.

11. Несвязный граф. Две вершины графа называются несвязными, если в графе не существует ни одного пути, связывающего их. Граф называется несвязным, если хотя бы две вершины его не­связные.

Циклом называется путь, в котором совпадают его начальная и конечная вершины.

Длиной пути называется число ребер этого пути.

Длиной цикла называется число ребер в этом цикле.

Степени вершин и подсчет числа ребер.

Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.

Если степени всех вершин графа равны, то граф называется однородным. Таким образом, любой полный граф — однородный.

рис.

На рисунке изображен граф с пятью вершинами. Степень вершины А обозначим Ст.А.
На рисунке : Ст.А = 1, Ст.Б = 2, Ст.В = 3, Ст.Г= 2, Ст.Д= 0.

Сформулируем некоторые закономерности, присущие определенным графам.

Закономерность 1.

Степени вершин полного графа одинаковы, и каждая из них на 1 меньше числа вершин этого графа.

Доказательство:

Эта закономерность очевидна уже после рассмотрения любого полного графа. Каждая вершина соединена ребром с каждой вершиной, кроме самой себя, т. е. из каждой вершины графа, имеющего n вершин, исходит n—1 ребро, что и требовалось доказать.

Закономерность 2.

Сумма степеней вершин графа число четное, равное удвоенному числу ребер графа.

Эта закономерность справедлива не только для полного, но и для любого графа.                                                                                           Доказательство:

Действительно, каждое ребро графа связывает две вершины. Значит, если будем складывать число степеней всех вершин графа, то получим удвоенное число ребер 2R (R — число ребер графа), т. к. каждое ребро было подсчитано дважды, что и требовалось доказать.

Эйлеровы графы.

Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. Такими графы названы в честь учёного Леонарда Эйлера.

Закономерность 3 (вытекает из рассмотренной нами теоремы).
Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.
Закономерность 4.

 Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.
Закономерность 5.

 Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.
Закономерность 6.

Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».
Фигура (граф), которую можно начертить не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной.

рис. (эйлеровы графы)

Решение задач с  практическим применением понятия граф.

(ИССЛЕДОВАНИЕ)

Я нашла задачи на каждый вид графа , которые нашли применение в жизнидеятельности меня, класса и школы.

Задача№1. В нашем классе 5 человек изучает французский язык, остальные- английский. На уроке учитель опрашивает каждый урок одновременно 2 учеников (вопрос- ответ).Сколько пар можно составить , чтобы ученики в паре не повторялись? (9)

Задача №2. 4 человека из нашего класса захотели поздравить друг друга с новым годом. Сделать это решили с помощью SMS-ок. Сколько всего SMS-ок было отправлено? (12)

Задача №3. В нашем классе Александра, Никита и Валерия по медицинским показаниям  могут занимать только средний ряд , 1-ю,2-ю или 3-ю парту.  Чтобы помочь учителю решить спор, как рассадить учеников. Я составила граф.  И ответила на вопрос , Сколькими способами они могут занять имеющиеся места? (6)

Задача №4. В нашем школе пять человек  из 7 А  и 7 Б классов по итогам школьной олимпиады стали призерами (Юля, Саша, Катя, Алексей, Влад). Для участия в муниципальной олимпиаде нужно  было выбрать 2 человек из  5 .. Решили выбрать Одного из 7 А и один из 7Б . Сколькими способами это можно сделать? (6)

Задача №5. К учебному году  мне купили школьную форму : брюки , юбка, 3 блузки ( белая, голубая, розовая) , две пары туфлей , жилетка. Сколько дней я могу комбинировать обувь и одежду, чтобы не повторить набор. Жилетка обязательна всегда. (12 дней)

Задача №6. Каждую неделю по пятницам 3-ий час физкультуры  для 7А,7Б, 7В,8А.8Б проходит в бассейне и на катке в Ледовом дворце. Посещают сразу каток и бассейн одновременно три класса. Один идет на каток ,а два в бассейн .Как можно составить тройки.

Задача №7. Сколькими способами можно доехать из А в С, затем вернуться обратно, если нельзя проезжать дважды по одной и той же дороге?

1)      5 · 3=15 способами можно выбрать путь из А в С.

2) 5 · 3 · 2 ·4 =120 способами можно доехать из А в С, затем вернуться обратно, если нельзя проезжать дважды по одной и той же дороге.

Я расчитала маршрут от школы до дома. И в этом мне помогла теория графов.

Задача №8. От дома до школы мне можно добраться на  маршрутке   №6, 6Б, 6 А. Я решила посчитать,  какой  номер транспорта мне будет выгодней и сколько времени мне требуется, чтобы добраться от дома до школы.

Зная,  последовательность остановок я составила граф и посчитала минуты. (32 мин)

Задача № 10.  Я помогла учителю , как быстрее доносить необходимую информацию для учащихся класса с минимумом затрат времени для классного рководителя.

Цепочка оповещения  учеников 7 А класса .

Задача№11 .Задача на практическое применение графа-дерево.

Построила схему математических объектов , которые мы изучили в школе. С ее помощью проще повторить пройденный материал по геометрии.

Задача№10 . Я построила с помощью графа-дерева, генеалогическое дерево своей семьи.

Задачи –исследование.

Задача№11.   Мне стало интересно кто с кем дружит в классе. Чтобы это выяснить, я задала вопрос.

Кого бы ты пригласил к себе на день рожденья?

	Юля В.	Саша Ф.	Катя Сем.	Катя Сав.	Лера Д.	Настя В.	Настя К.	Алина П.	Катя Л.
Юля В.		+	+	+		+
Саша Ф.	+		+		+
Катя Сем.	+	+		+	+
Катя Сав.	+		+		+		+	+
Лера Д.		+	+	+			+	+	+
Настя В.	+			+				+
Настя К..			+			+		+
Алина П				+	+	+
Катя Л.					+		+

Сделала вывод, кто самый популярный и нет,ученик нашего класса.

Задача№12. Задача - исследование.

Код пароля на школьном  компьютере состоит из 8 знаков. Первые 4 знака мы знаем . Последние 4 знака , это цифры 1,3,4,7.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

1.Задание было предложено одноклассникам. И 15%- решили задание правильно, нашли все варианты ответов , а 85%- не нашли все варианты ответов.

2. Затем класс я разбила на 4 группы.Каждая группа составляла код для определенной цифры.

3. Я предложила решение с помощью теории графов. Как правильно перебрать и найи=ти все правильные ответы.

4. Учитель предложил другой способ решения задачи

Задача №12.Необходимо составить фрагмент расписания для одного дня занятий с учетом следующих обстоятельств:

В пятницу у нас 6 уроков: алгебра, русский, физика, история, география и  технология.  Сколькими способами можно составить расписание на один день ?

Я нашла , в каких задачах ОГЭ, можно применить графы.

Задача №13. Применение теории графах в задачах ОГЭ.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз

Задача №14. Применение теории графах в задачах ОГЭ.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Сколько раз  в сумме выпадет 6 очков. .

При решении практических задач мне очень помогла изученная теория по теме «Графы».

Заключение.

Рассмотрев решение задач с помощью графов,  я убедилась, что  теория графов имеет широкое применение,  как в различных науках, так и в повседневной жизни. С помощью графов значительно упрощается решение математических задач.  Считаю, что эта  работа поможет учащимся получить начальные знания и умения по очень перспективному разделу математики «Теория графов» и применить их в решении прикладных задач.

Таким образом, в результате проделанной работы гипотеза подтвердилась-

Многие задачи комбинаторики можно решить намного проще, если изучить теорию графов.

Литература.

1.Т. Варга Математика 2. Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и вероятность: (Математические игры и опыты).  Пер. с нем. – М.: Педагогика, 1978.– 112 с. с ил.

2.Л. Ю. Березина Графы и их применение: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1979. – 143 с. с ил.

3.А. Г. Ванцян  Математика: Учеб для  5 кл. -  Самара, «Федоров», 1999.

• 1 слайд

  Автор работы:
  Вазенмиллер Юлия ученица 7 «А» класса, МКОУ СОШ №15 г. Лиски.
  Руководитель работы: Гнусова Марина Александровна, учитель математики.
  «Графио» и математический граф.
  

• 2 слайд

  Олимпиадная задача
  Известно, что в настоящий момент:
  Ваня сыграл шесть партий;
  Толя сыграл пять партий;
  Леша и Дима сыграли по три партии;
  Семен и Илья сыграли по две партии;
  Женя сыграл одну партию.
  Требуется определить:
  с кем сыграл Леша.
  Шахматный турнир проводится по круговой системе, при которой каждый участник встречается с каждым ровно один раз, участвуют семь школьников.
  Ваня (6)
  Толя (5)
  Леша (3)
  Дима (3)
  Семен (2)
  Илья (2)
  Женя (1)
  ОТВЕТ: Леша играл с Толей, Ваней и Димой
  

• 3 слайд

  Цели и задачи:
  -Освоить приемы решения задач с помощью графов;
  --Найти применение в решении задач, встречающихся в жизни.
  Актуальность :
  -Теория графов позволяет решать наиболеее легким способом многие задачи.
  Гипотеза:
  
  Если метод графов так важен, то обязательно найдется его широкое применение в жизнедеятельности человека.
  
  
  Методы исследования:
  Анализ
  - сбор задач
  - исследование различных способов решения.
  
  

• 4 слайд

  С дворянским титулом «граф» эту тему связывает только общее происхождение от латинского слова
  «графио».
  «Графио»
  Что такое ГРАФ?
  
  в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.
  Рёбра графа
  Вершина графа
  

• 5 слайд

  ВПЕРВЫЕ ПОНЯТИЕ «ГРАФ» ВВЕЛ В 1936 г. ВЕНГЕРСКИЙ МАТЕМАТИК ДЕННИ КЁНИГ.
  История возникновения графов
  
  НО ПЕРВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ГРАФОВ ПРИНАДЛЕЖАЛА ПЕРУ ВЕЛИКОГО ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА И БЫЛА НАПИСАНА ЕЩЕ В 1736 г.
  

• 6 слайд

  Задача о Кёнигсбергских мостах
  В городе два острова, соединенные семью мостами. Можно ли побывать на всех четырех участках суши, пройдя по каждому мосту один раз и оказаться в той части суши, с которой началось движение?
  
  Эйлеров
  граф
  граф в котором существует циклический эйлеров путь
  Кенигсберг
  (ныне Калининград) расположен на реке Прегель.
  

• 7 слайд

  Виды графов и виды соединений.
  
  Неориентированный (простой)
  граф
  неупорядоченная пара вершин
  
  Ориентированный
  граф
  Упорядоченная пара вершин
  
  Граф-дерево
  Деревом называется связный граф без циклов.
  Планарный граф
  Планарный граф - граф, который может быть изображён как плоский, но его ребра не пересекаются
  Эйлеров
  граф
  Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги
  

• 8 слайд

  Примеры решения задач с практическим применением.
  
  Практическая задача
  Задача №1
  В нашем классе 5 человек изучает французский язык, остальные- английский. На уроке учитель опрашивает каждый урок одновременно 2 учеников (вопрос- ответ).Сколько пар можно составить , чтобы ученики в паре не повторялись?
  
  1
  4
  3
  5
  1, 2,
  1,3,
  1, 5,
  1, 4,
  И т д,
  Неориентированный
  граф
  2
  

• 9 слайд

  
  
  Практическая задача
  Задача №2
  4 человека из нашего класса захотели поздравить друг друга с новым годом. Сделать это решили с помощью SMS-ок. Сколько всего SMS-ок было отправлено?
  Ю-С Ю-К
  Ю-Н С-Ю
  С-Н С-К и т.д
  Ю
  К
  С
  Н
  ориентированный
  граф
  

• 10 слайд

  Практическиая задача
  Задача№3
  В нашем классе Александра, Никита и Валерия по медицинским показаниям могут занимать только средний ряд , 1-ю,2-ю или 3-ю парту. Чтобы помочь учителю решить спор ., как рассадить учеников. Я составила граф. И ответила на вопрос , Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?
  
  1 парта 2 парта 3 парта
  способы
  А
  Н
  В
  Н
  В
  А
  В
  А
  Н
  В
  Н
  В
  А
  Н
  А
  

• 11 слайд

  Практическая задача
  Задача№4
  В нашей школе пять человек из 7 А и 7 Б классов по итогам школьной олимпиады стали призерами(Юля, Саша, Катя, Алексей, Влад). Для участия в муниципальной олимпиаде нужно было выбрать 2 человек из 5 .. Решили выбрать Одного из 7 А и один из 7Б . Сколькими способами это можно сделать?
  
  Полный граф
  Граф каждая вершина одного подмножества, соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
  Ю
  С
  К
  А
  В
  

• 12 слайд

  Практическая задача
  Задача№5
  Каждую неделю по пятницам 3-ий час физкультуры для 7А,7Б, 7В,8А.8Б проходит в бассейне и на катке в Ледовом дворце .Посещают сразу каток и бассейн одновременно три класса. Один идет на каток ,а два в бассейн .Как можно составить тройки?
  
  7А
  7Б
  7В
  8Б
  8А
  7А
  7Б
  7В
  8Б
  8А
  Планарный граф
  

• 13 слайд

  Практическая задача
  Задача№6
  К учебному году мне купили школьную форму : брюки , юбка, 3 блузки ( белая, голубая, розовая) , две пары туфлей , жилетка. Сколько дней я могу комбинировать обувь и одежду, чтобы не повторить набор. Жилетка обязательна всегда.
  
  Планарный граф - граф, который может быть изображён как плоский, но его ребра не пересекаются
  

• 14 слайд

  Маршрут от школы домой.
  
  ДОМ
  ШКОЛА
  8 мин
  9 мин
  5 мин
  5 мин
  5 мин
  8 мин
  6 мин
  6 мин
  7мин
  5 мин
  5 мин
  5 мин
  11 мин
  7 мин
  5 мин
  5 мин
  № 6
  № 6 А
  № 6 Б
  Расчет кратчайшего пути.
  Задача № 7
  От дома до школы мне можно добраться на маршрутке №6, 6 Б, 6 А. Я решила посчитать, какой номер транспорта мне будет выгодней и сколько времени мне требуется, чтобы добраться от дома до школы. Зная, последовательность остановок я составила граф и посчитала минуты.
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  

• 15 слайд

  
  Практическая задача
  Задача № 8
  Цепочка оповещения учеников 7 А класса
  Семенова
  Шмулев
  Куликовв
  Попов
  Савенко
  Орехов, Раев, Костюченко, Пелагина
  Филипцова, Иванов, Вазенмиллер,Тормосов
  Власова, Давыдова, Нечай,
  Цугунян, Люкова, Бондаренко,
  УЧИТЕЛЬ
  Деревом называется связный граф без циклов.
  

• 16 слайд

  Практическое применение графов
  
  Геометрические
  фигуры
  Линия
  Прямая
  Отрезок
  Луч
  Треугольники
  Углы
  тупой
  острый
  Прямой
  равнобедренный
  Равносторонний
  Прямоугольный
  

• 17 слайд

  Генеалогическое дерево моей семьи.
  
  Граф-дерево
  Деревом называется связный граф без циклов.
  Давыд
  Вазенмиллер
  Александр
  Вазенмиллер
  Людмила
  Авдеева
  Павел
  Ваземиллер
  Елена
  Мирошникова
  Юлия
  Вазенмиллер
  Сергей
  Вазенмиллер
  Татьяна
  Неумывакина
  Милана
  Вазенмиллер
  Михаил
  Вазенмиллер
  

• 18 слайд

  ПАПА
  МАМА
  Я
  ДЕДУШКА
  

• 19 слайд

  Задача -исследование
  
  

• 20 слайд

  Юля В.
  Катя Л.
  Лера Д.
  Саша Ф.
  Катя Сем.
  Катя Сав.
  Настя В.
  Настя К.
  Алина П
  Задача -исследование
  
  

• 21 слайд

  Код пароля на школьном компьютере состоит из 8 знаков. Первые 4 знака мы знаем . Последние 4 знака , это цифры 1,3,4,7.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
  Задача -исследование
  
  

• 22 слайд

  1
  3
  4
  7
  КОД
  1 группа
  2 группа
  3 группа
  4 группа
  

• 23 слайд

  Задача исследование
  
  число
  1
  2
  3
  4
  2
  3
  4
  1
  3
  4
  1
  2
  4
  1
  2
  3
  Граф-дерево
  3
  4
  4
  3
  4
  2
  2
  4
  4!=1•2•3•4=24
  

• 24 слайд

  Р
  Ф
  И
  А
  Ф
  И
  И
  Ф
  Р
  И
  И
  Р
  Ф
  Р
  Р
  Ф
  Практическая задача
  Расписание на один день.
  6 уроков: алгебра, русский, физика, история, география и технология. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу?
  Ф
  И
  Р
  Г
  О
  6!=1•2•3•4•5•6=720
  Т
  О
  Р
  И
  И
  Р
  Ф
  Р
  Р
  Ф
  

• 25 слайд

  В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
  Задачи ОГЭ
  2/4=0,5.
  В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Сколько раз в сумме выпадет 6 очков. .
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  2
  3
  4
  5
  1
  1
  6
  1+5
  2+4
  3+3
  4+2
  5+1
  

• 26 слайд

  Выводы.
  Рассмотрев решение задач с помощью графов, я убедилась, что теория графов имеет широкое применение в повседневной жизни. С помощью графов значительно упрощается решение математических задач. Считаю, что эта работа поможет учащимся получить начальные знания и умения по очень перспективному разделу математики «Теория графов» и применить их в решении прикладных задач.
  Таким образом, в результате проделанной работы гипотеза подтвердилась-
  Если метод графов так важен, то обязательно найдется его широкое применение в жизнедеятельности человека.
  
  

• 27 слайд

  Литература.
  1.Т. Варга Математика
  2. Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и вероятность: (Математические игры и опыты). Пер. с нем. – М.: Педагогика, 1978.– 112 с. с ил.
  2.Л. Ю. Березина Графы и их применение: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1979. – 143 с. с ил.
  3.А. Г. Ванцян Математика: Учеб для 5 кл. - Самара, «Федоров», 1999.