Исследовательская работа по математике "Золотое сечение в природе" учащихся 7 класса Алимбоевой Нурафшон и Козловой Анастасии (руководитель Соловьева Светлана Николаевна)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Основная общеобразовательная

православная школа №2

имени благоверного князя Димитрия Донского»

ЭМР Саратовской области

Исследовательская работа

«Золотое сечение в природе»

Авторы работы:

Алимбоева Нурафшон,

Козлова Анастасия

учащиеся 7 класса.

Руководитель:

Соловьева С.Н.

учитель математики

г. Энгельс

2016 г.

Цель работы: доказать, что «золотое сечение» существует в природе, архитектуре, искусстве.

Задачи:

1)изучить понятие «золотое сечение»

2)рассмотреть применение «золотого сечения» в архитектуре, искусстве и зоологии.

3)исследовать присутствие «золотого сечения» в окружающей природе.

Методы исследования:

1)работа с учебной литературой, ресурсами сети Интернет

2)наблюдение, измерение, сравнение.

       Что такое «золотое сечение».

«Золотым сечением» и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части относится  к меньшей.

Это отношение выражается бесконечной десятичной непериодической дробью, то есть не является рациональным числом. Приближённо равно 1,6.  Часто это отношение обозначают  греческой буквой   — фи, в честь Фидия, древнегреческого скульптора, который использовал золотое сечение при оформлении Парфенона. Золотое сечение было известно ещё в древней Греции. В дошедшей до нас античной литературе впервые это понятие встречается в «Началах» Евклида (3 век до н.э.). Но термин «Золотое сечение» появился только в 16 веке, его ввёл Леонардо да Винчи.

Золотое сечение

С:В=В:А

Построение золотого сечения

В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причем характерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрические фигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1:2.

1способ.

Рассмотрим произвольный квадрат.

Если из середины стороны квадрата провести окружность радиусом, равным диагонали  полуквадрата, то на ее пересечении с продолженной стороной квадрата получим отрезок, который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией.

2способ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один катет в 2 раза меньше другого, то есть отношение длин катетов равно 1:2.

Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе, и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией.

«Золотые фигуры».

                             Золотое сечение можно увидеть и в пентаграмме - так называли греки звездчатый многоугольник (см. приложение).

Он служил символом Пифагорейского союза. Пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими,  нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют  правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности. Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций, в ней, как говорится, «где ни копни — везде золото». Пятиконечная звезда — пентаграмма — очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны. Ее красота, оказывается, имеет математическую основу. Множество «золотых» фигур дополняет золотой прямоугольник, отношение  сторон  которого равно числу Ф. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от него  квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Попробуйте начать рисовать пейзаж и проведите на листе бумаги — будущей картине — линию горизонта. Отношение высоты картины к расстоянию от верхнего края до линии горизонта равно отношению расстояния от верхнего края до горизонта к расстоянию от линии горизонта до нижнего края. Это отношение и есть отношение золотого сечения.

«Золотое сечение в пропорциях человеческого тела».

Особенно заинтересовало нас золотое сечение в пропорциях человеческого тела. Знаменитый зодчий Ле Корбюзье нашёл его во многих соотношениях размеров человеческой фигуры. Эти пропорции использовали художники и скульпторы для изображения совершенного человеческого тела. Считается, например, что если рост человека принять за  AВ, то точка X ,которая делит отрезок в отношении «золотого сечения», у правильно сложенного человека совпадет с талией. Нам показалось интересным проверить это. Мы проанализировали результаты соответствующих измерений учеников нашего класса.

В таблицах приведены результаты измерений роста учащихся 6 класса (март 2015 года) и 7 класса (январь 2016 года). Те ребята, у которых пропорции тела близки к золотому сечению, на наш взгляд, действительно имеют хорошую фигуру (приложение).

У многих ребят отношения величин различны : в течение года рост изменился, а пропорции остались без изменения; части тела развиваются не пропорционально. Но можно сделать вывод: золотое сечение в пропорциях человеческого тела в основном соблюдается. Причём, с взрослением  ребёнка эти пропорции становятся более совершенными с точки зрения математики и общепризнанных классических  законов красоты. Проверьте, получается ли у вас это совпадение? Только не расстраивайтесь, если окажется, что вы не соответствуете средневековому эталону красоты,— наверное, не в этом счастье.

Практическое применение изученной теории и проведённых исследований.

Построение пятиконечной звезды.Золотое сечение может пригодиться и при практическом делении окружности на пять частей. Например, вам понадобилось разбить на школьном дворе клумбу в виде пятиконечной звезды. Постройте сначала круг — это сделать нетрудно с помощью колышка, веревки и лопаты.

Разделите теперь длину радиуса на 21 часть и постройте хорды, длина каждой из которых составляет 13 таких частей. Окружность разобьется на 10 равных частей. Все остальное понятно. Можно сделать менее точное, но вполне удовлетворительное построение, разделив радиус не на 21, а на 13 или даже на 8 частей. Какой длины тогда надо брать хорду? Исходя из золотой пропорции если на 13, то 8, а если на 8, то 5! Конечно, можно сказать, что проще воспользоваться приближенным делением окружности на пять частей, чем столь тонким точным методом. Да, но ведь вовсе не обязательно «привязать» себя к какому-нибудь методу решения задачи — важнее знать многие способы и уметь выбрать из них тот, который удобнее всего в конкретном случае...  

Окраска стен.

Иногда в этом же отношении размечают снизу вверх стены в помещении, желая покрасить одну часть стены одним цветом, а вторую другим. Конечно, не только золотым сечением определяются пропорции, доставляющие удовлетворение человеческому взору, но все же оно довольно распространено.

Считается также, что если необходимо разбить на две части цветочный газон (например, одну полосу засеять травой, а вторую — цветами), то не следует делать эти полосы равными по ширине, красивее будет, если взять их в отношении 5:8 или 8:13, т. е. воспользоваться рассматриваемой пропорцией.

Заключение.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

В литературе встречается очень много материала о золотом сечении в архитектуре, в живописи, в природе и других областях, но не всё это нам доступно, так как мы учимся только в 7 классе.

Мы взяли за основу своей работы материал школьного учебника и постарались проверить на практике те примеры золотого сечения, которые в нём приводятся.

Нас очень заинтересовала эта тема, поэтому можно будет продолжить её изучение. В ходе работы над этим проектом мы приобрели не только много новых знаний, но и научилась проводить простейшие исследования, наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать гипотезы и делать выводы.

Список литературы.

1.Виленкин Н. и др. «Математика», 5, «Мнемозина», 2001

2. Виленкин Н. и др. «Математика», 6, «Мнемозина», 2001

3.«За страницами учебника алгебры»

4. «За страницами учебника математики»

5. «Энциклопедический словарь юного математика», Москва, «Педагогика», 1985

6. «Электронная энциклопедия Кирилла и Мефодия», 2007

7.«Я познаю мир». Математика. Детская энциклопедия., Москва, «Астрель», 2005.

(приложение)

Золотое сечение

Отрезок АВ – рост человека

Отрезок АX – длина тела от макушки до талии

Отрезок ВХ – длина тела от талии до ступни ноги

АВ: ВХ=ВХ:АХ

Данные отношения должны быть равными 1,6

Список 6 класса

Рост уч-ся

АВ

Длина от макушки до талии, АХ

Длина от талии до ступни, ВХ

«Золотое сечение»

1) Титов Дмитрий

152

64

88

1,7=1,5

2)Гельманова Зарина

155

61

94

1,6=1,5

3)Шопен Елена

151

57

94

1,6=1,6

4)Павлова Екатерина

161

61

100

1,6=1,6

5)Алимбоева Нурафшон

166

64

102

1,6=1,6

6)Клюев Александр

158

64

94

1,7=1,6

7)Карпушкин Кирилл

143

58

85

1,7=1,5

8)Ильин Алексей

147

63

84

1,7=1,4

9)Урусова Татьяна

148

60

88

1,7=1,5

10)Кирюшкин Виктор

152

60

92

1,6=1,5

11)Чудов Никита

157

56

101

1,6=1,8

12)Коляченко Андрей

147

60

87

1,7=1,5

13)Фомина Ольга

165

62

103

1,6=1,7

14)Кулиева Анфиса

168

62

106

1,6=1,7

15)Александрова Екатерина

156

60

96

1,6=1,6

Список 7 класса

Рост уч-ся

АВ

Длина от макушки до талии

АХ

Длина от талии до ступни

ВХ

«Золотое сечение»

1) Титов Дмитрий

162

65

97

1,7=1,5

2)Гельманова Зарина

158

63

95

1,7=1,5

3)Шопен Елена

155

59

96

1,6=1,6

4)Павлова Екатерина

165

64

101

1,6=1,6

5)Алимбоева Нурафшон

171

66

105

1,6=1,6

6)Клюев Александр

161

65

96

1,7=1,5

7)Карпушкин Кирилл

148

60

88

1,7=1,5

8)Ильин Алексей

149

64

85

1,7=1,4

9)Урусова Татьяна

155

64

91

1,7=1,5

10)Кирюшкин Виктор

154

61

93

1,7=1,5

11)Чудов Никита

167

69

98

1,7=1,5

12)Коляченко Андрей

151

61

90

1,7=1,5

13)Фомина Ольга

170

64

106

1,6=1,7

14)Кулиева Анфиса

173

64

109

1,6=1,7

15)Александрова Екатерина

161

62

99

1,6=1,6

8