Исследовательская работа по прикладной математике на тему: «Загадка удивительных превращений»

МБОУ «Новоозерновская основная общеобразовательная школа»

Ломоносовские чтения

«МОИ ЛИЧНЫЕ ОТКРЫТИЯ»

Исследовательская работа по прикладной математике на тему:

«»»»»«Загадка удивительных превращений»

Выполнили: Дамир Кузнецов

Дмитрий Поплыко

                                                                  обучающиеся 6 класса

                                                                  МБОУ «Новоозёрновская ООШ»

Руководитель: Скибина Н. И.

                                                                  учитель математики

2018 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ:                                                                               

1.     Введение                                                                                                   3 стр.

2.     Вопрос 1 – Почему лента носит название «Мебиуса»?                           4 стр.

3.     Вопрос 2 - «топологический», это какой?                                                  4стр.

4.     Вопрос 3 «односторонняя», «неориентируемая» - это как?                  5 стр.

5.     Моделирование объекта исследования.                                                   5 стр.

6.     Экспериментальные выводы.                                                                    7 стр.

7.     Список используемой литературы.                                                          8 стр.

1.     Введение

Актуальность исследования:

Однажды в гараже у папы я заметил шлифовальный ремень, он был необычный – какой-то весь перекрученный. Я сказал об этом папе, но он только усмехнулся и сказал: «И чему вас только в школе учат?»  Я с другом решили доказать папе,  да и самим интересно узнать для чего ремни скручивают, что за удивительные превращения у этой загадочной ленты? Сначала мы обратились к учителю математики Наталье Ивановне с вопросом «Что вы слышали о скрученных лентах?» « Да это же лист Мебиуса!» - сказала она.

Что же такое лист Мебиуса? Как же он возник? Мы сразу «окунулись» в Википедию. Оказывается, «Ле́нта Мёбиуса— топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство»! Но вопросов стало еще больше! Почему именно «Мебиуса»,  «топологический», «не ориентируемая», «односторонняя»? Нам ничего не оставалось, как заняться этой темой серьезно. И вот что у нас получилось!

Гипотеза – если существуют  ремни, являющиеся моделью ленты Мебиуса, то существуют такие свойства  данной модели, позволяющие повысить производительность ремня в работе.

Цель исследования – исследовать и систематизировать некоторые свойства модели «лист Мебиуса», рассмотреть использование свойств при изготовлении шлифовального ремня.

Для этого нам необходимо решить следующие задачи:

·        Познакомиться с историей появления листа Мебиуса.

·        Выявить и исследовать свойства листа Мебиуса.

·        Анализ и выбор свойств, влияющих на работу ремня.

·         Установить области применения.

·        Сделать  вывод.

Объект исследования –модель « лист Мебиуса».

Предмет исследования – свойства модели  «лист Мебиуса».

Методы проведенных исследований: анализ информации по теме,  моделирование, эксперимент, анализ, обобщение.    

Новизна: в ходе выполнения исследования мы расширили свои знания о прикладной стороне математики. А ведь знание ее мотивирует и значительно упрощает процесс обучения.

Работа с аудиторией.

Ребята! Подумайте над вопросом: можно ли  склеить лист Мебиуса из квадратного листа?

2.     Вопрос 1 – Почему лента носит название «Мебиуса»?

Потому, что ее открыл один из великих геометров Август Фердинанд Мѐбиус (1790-1868) немецкий математик и астроном. Начальное образование Мѐбиус получил дома и сразу показал интерес к математике. Посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем прослушал курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате он получил глубокие знания по астрономии и математике.

 Уже в 26 лет, только представьте себе, Мѐбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил поражать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе.

Существует версия его бездарной служанки, которая неправильно сшила ленту, что натолкнула профессора на идею создания данной ленты.  Математические исследования Мѐбиуса принесли ему известность в научном мире. После смерти  в честь даже назван астероид 28516 (Möbius).

3.     Вопрос 2 - «топологический», это какой?

Сама топология началась именно с листа Мѐбиуса. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь! Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всѐ, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все еѐ свойства остались неизменными. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – ―взрыва фигуры. Поэтому иногда топологию называют ―геометрией непрерывности‖. Ну что ж – проверим! Мы взяли резиновый шарик и нарисовали на нем нашу ленту  и без конца меняли его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. И то, что она меняла форму -  для нас, как топологов, было глубоко безразлично. Дальше мы взяли пластилин и провели эксперимент – слепили  баранку и исправили на кружку. С точки зрения топологии баранка и кружка одно и то же. А баранка и шар, как вы думаете? (не одно и то же)

Нет  - это разные объекты; чтобы сделать отверстие, надо разорвать шар.  Итак, приняли для себя, что топология (гр. топос - место, местность + логия) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. А вот Родоначальниками топологии были немецкий учѐный Георг Кантор (1845-1918), Феликс Хаусдорф, Павел Сергеевич Александров (1896- 1982).

4.     Вопрос 3 - «односторонняя», это почему?

И вот мы перешли к практической части. Что же это за «односторонняя» поверхность – Лента Мебиуса? Самое удивительное то, что сделать еѐ своими руками совсем несложно. Возьмем бумажную ленту и склеим концы в кольцо. Возьмем вторую ленту и перекручиваем на 180⁰ один конец ленты.

1 Эксперимент. Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придѐм снова в отмеченную точку:

Обычное кольцо. Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая остаѐтся чистой.

Лист Мёбиуса. Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

2 Эксперимент. Закрасим полностью только одну сторону колец.

Обычное кольцо. Одна сторона закрашена, другая нет.

Лист Мёбиуса. Закрашенной оказалась весь лист целиком. А ведь мы его даже не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Лист Мѐбиуса имеет одну поверхность.

3 Эксперимент. Закрасим непрерывной линией только один край колец .

Обычное кольцо. Один край кольца закрашен, второй край нет.

Лист Мёбиуса. Линия края получилась, непрерывно закрашена на всѐм кольце.

4 Эксперимент – лента «неориентируемая», это как? Здесь уже проще. Мы просто представили, что если по ней пройдем, то произойдет полная дезориентация, то есть вернемся в начало пути, да еще и вверх ногами. 100% заблудимся! Так вот почему ее называют не ориентируемой?

Вывод: Поверхность листа Мѐбиуса является не только непрерывной и односторонней, но и имеющей только один край, даже не придѐтся «переползать» через край ленты. Разрывов нет – непрерывность полная.

5.     Моделирование объекта исследования.

Сейчас мы ненадолго забудем про топологию и будем разрезать нашу ленту Мебиуса!

Разрежем ленту вдоль, отступив от края на 1/3 ширины ленты. Получились два перекрученные сцепленные между собой кольца: диаметр первого в два раза больше диаметра второго, ширина первого кольца в два раза меньше. Снова исследуем - поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придѐм снова в отмеченную точку.

Вывод. Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца (не лист Мѐбиуса), по всей поверхности маленького кольца будет проходить линия с двух сторон (Лист Мѐбиуса).

Общий вывод: нам не подходят свойства с разрезанием. А из остальных свойств выбрали свойство односторонней поверхности. И сразу стало понятно, так вот для чего скручивают шлифовальный ремень – чтобы он «работал» вдва раза дольше.

Работа с аудиторией.

Ребята! Ответьте, так можно ли  склеить лист Мебиуса из квадратного листа? Ответ: сложить лист гармошкой.

А теперь, кто готов ответить на вопрос, заданный на первом слайде? Что общего между мужским аксессуаром и шлифовальным ремнем?

6.     Практическое применение. В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на  художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих… В результате появились картины, скульптуры, марки, наколки и прочие произведения искусства с изображение ленты Мёбиуса.

7.     Экспериментальные выводы.

Главная ценность листа Мѐбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики. Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности, мы рассмотрели лишь некоторые его свойства. Лист Мѐбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мѐбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски. Мы это доказали. Надеемся, что мы вас заинтересовали и вы продолжите исследования этого непредсказуемого листа.

В результате выполнения данной работы мы пришли к следующим выводам: выдвинутая нами гипотеза подтвердилась, действительно, шлифовальный ремень перекручен для того, чтобы рационально использовать не одну сторону, а всю поверхность ремня и это увеличивает срок службы ремня в 2 раза. А еще и даст ощутимую экономию материалов. Об этом я и рассказал папе. Мы  изложили эту работу доступным и понятным языком для наших одноклассников.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ

Использование данных топологических свойств ленты Мебиуса позволяют учащимся значительно расширять свои творческие способности, уметь рационально подходить к решению практических задач, да и просто делают свою жизнь проще.  Например – оказывается, с помощью ленты Мебиуса у нас получилось выразить чувства к вам. Угадайте какие? (мы вас любим)  (демонстрация модели)

Также рекомендуем ознакомиться с нашей работой тем сверстникам, которые хотят знать о прикладной направленности математики больше, чем просто школьник 6 класса.

8.     Список используемой литературы.

1.     Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. – М.: Дрофа, 1999.

2.     Интернет –ресурсы:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Лента_Мёбиуса

https://kalkpro.ru/interesting-facts/lenta-mebiusa/

https://www.syl.ru/article/172135/new_chto-takoe-lenta-mebiusa-lenta-mebiusa---zagadka-sovremennosti

Краткое описание документа:

Ломоносовские чтения

«МОИ ЛИЧНЫЕ ОТКРЫТИЯ»

Исследовательская работа по прикладной математике на тему:

«Загадка удивительных превращений»

Однажды в гараже у папы я заметил шлифовальный ремень, он был необычный – какой-то весь перекрученный. Я сказал об этом папе, но он только усмехнулся и сказал: «И чему вас только в школе учат?» Я с другом решили доказать папе, да и самим интересно узнать для чего ремни скручивают, что за удивительные превращения у этой загадочной ленты?