Исследовательская работа по теме : "Биссектриса параллелограмма"

• 1 слайд

  Биссектрисы параллелограмма
  Ученики 9Б класса
  МОУСОШ №35
  Инейкин Александр
  Тимшин Владислав
  Горин Алексей
  Борголов Никита
  Руководитель
  Криушина Галина Михайловна
  

• 2 слайд

  Задача №425
  14 см
  A
  Дано:
  P=46 см
  AB=14 см
  
  Найти отрезки которые образуются при пересечении
  B
  C
  D
  E
  F
  

• 3 слайд

  Цель работы:
  
  Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма
  Задачи:
  Сформулировать и доказать свойства биссектрис углов параллелограмма
  Составить задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма
  Решение задач по данной теме на экзамене по геометрии в 9 классе и ЕГЭ
  Составление тестовой работы по теме
  

• 4 слайд

  Свойства биссектрис параллелограмма.
  
  1.Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2.Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом
  3.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.
  4.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны
  5.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны
  6.Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение
  7.Биссектрисы противоположных углов параллелограмма равны и параллельны
  8.Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.
  

• 5 слайд

  Биссектриса угла параллелограмма отсекает
  от параллелограмма равнобедренный треугольник
  Доказательство:
  Т.к. АМ – биссектриса угла А, то <1 = < 2.
  Т.к. АВСD – параллелограмм, то АD ‌ ‌‌ ВС , значит <2 = <3 как внутренние накрест лежащие углы для секущей АМ.
  Значит, < 1 = < 3, тогда ∆ АВМ – Равнобедренный.
  Дано:
  АВСD - параллелограмм
  АМ – биссектриса <А
  
  Доказать:
  ∆ АВМ – равнобедренный.
  
  А
  В
  С
  D
  1
  2
  3
  М
  

• 6 слайд

  Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом
  Доказательство:
  Рассмотрим ∆ АОD: < 1 = < 2 = ½ < А, < 3 = < 4 = ½ < D (по свойству биссектрис)
  < А + < D = 180˚ (сумма соседних углов).
  < 2 + < 3 = ½ < А + ½ < D = ½ (< А + < D) = ½ * 180˚ = 90˚
  Значит, <АОD - прямой .
  
  Дано:
  АВСD – параллелограмм
  АК и DЕ – биссектрисы
  Доказать:
  <АОD - прямой
  
  А
  В
  С
  D
  О
  Е
  К
  1
  2
  3
  4
  

• 7 слайд

  Биссектрисы соседних углов пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в 2 раза больше смежной стороны
  Доказательство:
  Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): АВ = ВО.
  Рассмотрим ∆СDО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): CD = CO.
  Т.к. СD = АВ (противоположные стороны параллелограмма), то ВО = СО. Т.к. АВ = ВО, а ВО = СО, значит АВ = ½ ВС, т.е. ВС в 2 раза больше АВ.
  Дано:
  АВСD – параллелограмм
  АО и DО – биссектрисы
  О є ВС
  Доказать:
  ВС в 2 раза больше АВ.
  А
  В
  О
  D
  С
  

• 8 слайд

  Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:
  Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны (рис. 1)
  Биссектрисы соседних углов в параллелограмме пересекутся вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины соседней стороны (рис. 2)
  А
  В
  С
  D
  О
  А
  В
  С
  D
  О
  Рис. 1
  Рис. 2
  

• 9 слайд

  Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону
  или её продолжение
  a
  b
  M
  K
  M
  K
  a
  b
  a>b
  a>b/2, a<b
  

• 10 слайд

  Биссектрисы противоположных углов равны и параллельны
  Доказательство:
  Рассмотрим прямые АК и СМ:
  < 2 = < 6 (соответственные)→ АК // СМ
  Так как АМ // КС (по свойству противоположных сторон параллелограмма), а АК // СМ, то АКСМ – параллелограмм. Из этого следует, что АК = СМ (по свойству противоположных сторон параллелограмма).
  Дано:
  АВСD – параллелограмм
  АК и СМ – биссектрисы
  АВ = ВК = СD = DМ
  Доказать:
  АК = СМ; АК // СМ
  А
  В
  К
  С
  D
  М
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  

• 11 слайд

  Все биссектрисы, пересекаясь, образуют прямоугольник
  По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом» АК и DО, пересекаясь, образуют прямой угол; АК и ВF, пересекаясь, образуют прямой угол; ВF и CF, пересекаясь, образуют прямой угол; ОD и СЕ, пересекаясь, образуют прямой угол. Значит, образовался четырёхугольник, у которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник.
  Дано:
  АВСD – параллелограмм
  АК, ВF, CE, DО – биссектрисы
  Доказать:
  Образовался прямоугольник
  А
  В
  О
  К
  С
  D
  F
  E
  

• 12 слайд

  Задача № 1
  Задача № 2
  Дано:
  АВСD – параллелограмм
  АК – биссектриса
  АВ = 5 см.
  Найти: ВК =?
  Дано:
  АВСD – параллелограмм
  АК и DЕ – биссектрисы
  АD = 8 см, ОD = 4 см.
  Найти: <АОD и < ОDА.
  
  А
  В
  К
  С
  D
  А
  В
  Е
  К
  С
  D
  О
  Мы предлагаем решить несколько задач на применение этих свойств
  

• 13 слайд

  Задача № 3
  В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN, которые пересекутся на стороне BC, АВ = 5 см. Чему равно BC?
  В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 16 см, ВС = 30 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN?
  В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 8 см, ВС = 18 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN?
  
  А
  В
  М
  D
  С
  N
  

• 14 слайд

  Задача № 4
  А
  В
  К
  D
  М
  С
  ЗАДАЧА №5
  В параллелограмме АВСD проведены 2 биссектрисы АК и СМ. АВ = 10 см. Найти MD.
  Периметр параллелограмма AВCD равен 46 см, АВ = 14 см. Найдите наибольший из отрезков, на который биссектриса делит сторону параллелограмма.
  

• 15 слайд

  Ответы
  

Ïîëüçîâàòåëü
­

---

>

---

;

---

L

---

7

---

>

---

2

---

0

---

B

---

5

---

;

---

L

---

DocumentTitleðua

       IV Научно-практическая конференция городского научного общества учащихся

                            Биссектриса параллелограмма

                                     Секция: математика

Авторы:

Тимшин Владислав Владиславович

МОУ СОШ № 35,8 Б класс

Домашний адрес:    

Стасова д.8, кв. 18

Телефон: 63-10-03;

Инейкин Александр Сергеевич

МОУ СОШ № 35,8 Б класс

Домашний адрес:

Станкостроителей д.8, кв. 83

Телефон: 68-63-91

Научный руководитель:

Криушина Галина Михайловна,

МОУ СОШ № 35,

Учитель математики высшей квалификационной категории.

   г.Ульяновск

2011год.

1.Мотивация.

         В 8 классе мы начали изучать параллелограмм. Наиболее интересным в данной теме для меня показался не сам параллелограмм, а его свойства. На одном уроке у нас была тема «Применение свойств параллелограмма». Оказалось, что задачу на применение этих свойств можно решить двумя или трёмя способами.

И тут нам захотелось расширить свой кругозор по данной теме: какие ещё задачи можно решить с помощью биссектрисы параллелограмма и как?

Начали мы исследование с истории возникновения параллелограмма.  Термин "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ" греческого происхождения и был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцам.

В "Началах" Евклида доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.

В свою научную работу мы включили:

1). Проблему расположения биссектрисы относительно сторон параллелограмма

2). Свойства биссектрис параллелограмма

3). Доказательство свойств параллелограмма

4). Мини-доклад про Софью Ковалевскую

Актуальность выбранной темы заключается в том, что биссектриса параллелограмма имеет широкое применение в теории, что и является прикладной значимостью. Исследовательский характер работы состоит в решении задач с применением свойств биссектрисы параллелограмма, выходящих за рамки школьной программы.

                                             Исследовательский проект

                                      «Биссектриса параллелограмма».

   Мотивация.  При решении задачи №425 ("Геометрия 7-9" Л.С.Атанасян) появились   разногласия по построению рисунка к задаче. Возникла проблема: какую сторону пересечет биссектриса соседнюю или противоположную? В теоретических знаниях, полученных нами на уроках геометрии, нигде не встретились свойства биссектрисы параллелограмма. И тогда мы решили исследовать эту проблему, а наряду с этим попытаться отыскать ещё какие-нибудь свойства биссектрисы параллелограмма.

 Актуальность.    При более подробном знакомстве с данной темой, появляется возможность расширить полученные в школе знания о параллелограмме и его биссектрисах, и надеемся, в дальнейшем сможем применять эти знания при решении геометрических задач.

Цель: изучить свойства биссектрисы параллелограмма.

    Задачи

1.Изучить литературу по выбранной проблеме;

2.Научиться применять полученные знания при решении геометрических задач;

   3.Подобрать различные задачи, связанные с использованием свойств биссектрисы параллелограмма;

Объект исследования: биссектриса параллелограмма.

Мы попытались подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводили в них биссектрисы, анализировали рисунки и пытались сделать выводы. Так же использовали бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила нам сформулировать и свойства биссектрис параллелограмма, а затем и доказать их.

Свойства биссектрис параллелограмма.

1.Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2.Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.

4.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны.

5.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны.

6.Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение.

7.Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны.

8.Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Доказательства этих свойств мы оформили в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся.

Заключение:

В процессе выполнения работы были:

1.Сформулированы и доказаны свойства биссектрисы параллелограмма. 

2. Составлен ряд несложных заданий для устного решения, которые предложили своим одноклассникам.

3.Составлена тестовая работа по теме "Биссектрисы параллелограмма";

4.Сделана подборка задач по данной теме из различных сборников для подготовки к экзаменам и сборников олимпиадных заданий.

Мы увидели необходимость применения этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе мы не только сами сформулировали, доказали свойства, но и попыталась применить их к решению задач. Я думаю, что на следующий год этот материал будет необходим нам при подготовке к экзамену по геометрии. Будем рады, если другие ребята воспользуются им.