Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Исследовательская работа по теме : "Биссектриса параллелограмма"

Исследовательская работа по теме : "Биссектриса параллелограмма"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Название документа pril1_(1).pptбиссектрисы.ppt

Ученики 9Б класса МОУСОШ №35 Инейкин Александр Тимшин Владислав Горин Алексей...
Задача №425 14 см A Дано: P=46 см AB=14 см Найти отрезки которые образуются п...
Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма Задачи: Сформулировать и дока...
Свойства биссектрис параллелограмма. 1.Биссектриса угла параллелограмма отсек...
Доказательство: Т.к. АМ – биссектриса угла А, то
Доказательство: Рассмотрим ∆ АОD: < 1 = < 2 = ½ < А, < 3 = < 4 = ½ < D (по св...
Доказательство: Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы п...
Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая...
a b M K M K a b a>b a>b/2, a
Доказательство: Рассмотрим прямые АК и СМ: < 2 = < 6 (соответственные)→ АК //...
По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямы...
ЗАДАЧА № 1 ЗАДАЧА № 2 Дано: АВСD – параллелограмм АК – биссектриса АВ = 5 см....
ЗАДАЧА № 3 В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN, которые пересе...
ЗАДАЧА № 4 А В К D М С ЗАДАЧА №5 В параллелограмме АВСD проведены 2 биссектри...
Ответы
1 из 15

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Ученики 9Б класса МОУСОШ №35 Инейкин Александр Тимшин Владислав Горин Алексей
Описание слайда:

Ученики 9Б класса МОУСОШ №35 Инейкин Александр Тимшин Владислав Горин Алексей Борголов Никита Руководитель Криушина Галина Михайловна

№ слайда 2 Задача №425 14 см A Дано: P=46 см AB=14 см Найти отрезки которые образуются п
Описание слайда:

Задача №425 14 см A Дано: P=46 см AB=14 см Найти отрезки которые образуются при пересечении B C D E F

№ слайда 3 Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма Задачи: Сформулировать и дока
Описание слайда:

Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма Задачи: Сформулировать и доказать свойства биссектрис углов параллелограмма Составить задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма Решение задач по данной теме на экзамене по геометрии в 9 классе и ЕГЭ Составление тестовой работы по теме

№ слайда 4 Свойства биссектрис параллелограмма. 1.Биссектриса угла параллелограмма отсек
Описание слайда:

Свойства биссектрис параллелограмма. 1.Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. 2.Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом 3.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны. 4.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны 5.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны 6.Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение 7.Биссектрисы противоположных углов параллелограмма равны и параллельны 8.Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.

№ слайда 5 Доказательство: Т.к. АМ – биссектриса угла А, то
Описание слайда:

Доказательство: Т.к. АМ – биссектриса угла А, то <1 = < 2. Т.к. АВСD – параллелограмм, то АD ‌ ‌‌ ВС , значит <2 = <3 как внутренние накрест лежащие углы для секущей АМ. Значит, < 1 = < 3, тогда ∆ АВМ – Равнобедренный. Дано: АВСD - параллелограмм АМ – биссектриса <А Доказать: ∆ АВМ – равнобедренный. А В С D 1 2 3 М

№ слайда 6 Доказательство: Рассмотрим ∆ АОD: &lt; 1 = &lt; 2 = ½ &lt; А, &lt; 3 = &lt; 4 = ½ &lt; D (по св
Описание слайда:

Доказательство: Рассмотрим ∆ АОD: < 1 = < 2 = ½ < А, < 3 = < 4 = ½ < D (по свойству биссектрис) < А + < D = 180˚ (сумма соседних углов). < 2 + < 3 = ½ < А + ½ < D = ½ (< А + < D) = ½ * 180˚ = 90˚ Значит, <АОD - прямой . Дано: АВСD – параллелограмм АК и DЕ – биссектрисы Доказать: <АОD - прямой А В С D О Е К 1 2 3 4

№ слайда 7 Доказательство: Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы п
Описание слайда:

Доказательство: Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): АВ = ВО. Рассмотрим ∆СDО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): CD = CO. Т.к. СD = АВ (противоположные стороны параллелограмма), то ВО = СО. Т.к. АВ = ВО, а ВО = СО, значит АВ = ½ ВС, т.е. ВС в 2 раза больше АВ. Дано: АВСD – параллелограмм АО и DО – биссектрисы О є ВС Доказать: ВС в 2 раза больше АВ. А В О D С

№ слайда 8 Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая
Описание слайда:

Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны (рис. 1) Биссектрисы соседних углов в параллелограмме пересекутся вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины соседней стороны (рис. 2) А В С D О А В С D О Рис. 1 Рис. 2

№ слайда 9 a b M K M K a b a&gt;b a&gt;b/2, a
Описание слайда:

a b M K M K a b a>b a>b/2, a<b

№ слайда 10 Доказательство: Рассмотрим прямые АК и СМ: &lt; 2 = &lt; 6 (соответственные)→ АК //
Описание слайда:

Доказательство: Рассмотрим прямые АК и СМ: < 2 = < 6 (соответственные)→ АК // СМ Так как АМ // КС (по свойству противоположных сторон параллелограмма), а АК // СМ, то АКСМ – параллелограмм. Из этого следует, что АК = СМ (по свойству противоположных сторон параллелограмма). Дано: АВСD – параллелограмм АК и СМ – биссектрисы АВ = ВК = СD = DМ Доказать: АК = СМ; АК // СМ А В К С D М 1 2 3 4 5 6

№ слайда 11 По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямы
Описание слайда:

По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом» АК и DО, пересекаясь, образуют прямой угол; АК и ВF, пересекаясь, образуют прямой угол; ВF и CF, пересекаясь, образуют прямой угол; ОD и СЕ, пересекаясь, образуют прямой угол. Значит, образовался четырёхугольник, у которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник. Дано: АВСD – параллелограмм АК, ВF, CE, DО – биссектрисы Доказать: Образовался прямоугольник А В О К С D F E

№ слайда 12 ЗАДАЧА № 1 ЗАДАЧА № 2 Дано: АВСD – параллелограмм АК – биссектриса АВ = 5 см.
Описание слайда:

ЗАДАЧА № 1 ЗАДАЧА № 2 Дано: АВСD – параллелограмм АК – биссектриса АВ = 5 см. Найти: ВК =? Дано: АВСD – параллелограмм АК и DЕ – биссектрисы АD = 8 см, ОD = 4 см. Найти: <АОD и < ОDА. А В К С D А В Е К С D О Мы предлагаем решить несколько задач на применение этих свойств

№ слайда 13 ЗАДАЧА № 3 В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN, которые пересе
Описание слайда:

ЗАДАЧА № 3 В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN, которые пересекутся на стороне BC, АВ = 5 см. Чему равно BC? В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 16 см, ВС = 30 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN? В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 8 см, ВС = 18 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN? А В М D С N

№ слайда 14 ЗАДАЧА № 4 А В К D М С ЗАДАЧА №5 В параллелограмме АВСD проведены 2 биссектри
Описание слайда:

ЗАДАЧА № 4 А В К D М С ЗАДАЧА №5 В параллелограмме АВСD проведены 2 биссектрисы АК и СМ. АВ = 10 см. Найти MD. Периметр параллелограмма AВCD равен 46 см, АВ = 14 см. Найдите наибольший из отрезков, на который биссектриса делит сторону параллелограмма.

№ слайда 15 Ответы
Описание слайда:

Ответы

Название документа Применение_биссектрисы_параллелограмма.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

IV Научно-практическая конференция городского научного общества учащихся









Биссектриса параллелограмма

Секция: математика



Авторы:

Тимшин Владислав Владиславович

МОУ СОШ № 35,8 Б класс

Домашний адрес:

Стасова д.8, кв. 18

Телефон: 63-10-03;

Инейкин Александр Сергеевич

МОУ СОШ № 35,8 Б класс

Домашний адрес:

Станкостроителей д.8, кв. 83

Телефон: 68-63-91

Научный руководитель:

Криушина Галина Михайловна,

МОУ СОШ № 35,

Учитель математики высшей квалификационной категории.



г.Ульяновск

2011год.

1.Мотивация.

В 8 классе мы начали изучать параллелограмм. Наиболее интересным в данной теме для меня показался не сам параллелограмм, а его свойства. На одном уроке у нас была тема «Применение свойств параллелограмма». Оказалось, что задачу на применение этих свойств можно решить двумя или трёмя способами.

И тут нам захотелось расширить свой кругозор по данной теме: какие ещё задачи можно решить с помощью биссектрисы параллелограмма и как?

Начали мы исследование с истории возникновения параллелограмма. Термин "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ" греческого происхождения и был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцам.

В "Началах" Евклида доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.

В свою научную работу мы включили:

1). Проблему расположения биссектрисы относительно сторон параллелограмма

2). Свойства биссектрис параллелограмма

3). Доказательство свойств параллелограмма

4). Мини-доклад про Софью Ковалевскую

Актуальность выбранной темы заключается в том, что биссектриса параллелограмма имеет широкое применение в теории, что и является прикладной значимостью. Исследовательский характер работы состоит в решении задач с применением свойств биссектрисы параллелограмма, выходящих за рамки школьной программы.





















Исследовательский проект

«Биссектриса параллелограмма».

Мотивация. При решении задачи №425 ("Геометрия 7-9" Л.С.Атанасян) появились разногласия по построению рисунка к задаче. Возникла проблема: какую сторону пересечет биссектриса соседнюю или противоположную? В теоретических знаниях, полученных нами на уроках геометрии, нигде не встретились свойства биссектрисы параллелограмма. И тогда мы решили исследовать эту проблему, а наряду с этим попытаться отыскать ещё какие-нибудь свойства биссектрисы параллелограмма.

Актуальность. При более подробном знакомстве с данной темой, появляется возможность расширить полученные в школе знания о параллелограмме и его биссектрисах, и надеемся, в дальнейшем сможем применять эти знания при решении геометрических задач.

Цель: изучить свойства биссектрисы параллелограмма.

Задачи

1.Изучить литературу по выбранной проблеме;

2.Научиться применять полученные знания при решении геометрических задач;

3.Подобрать различные задачи, связанные с использованием свойств биссектрисы параллелограмма;

Объект исследования: биссектриса параллелограмма.

Мы попытались подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводили в них биссектрисы, анализировали рисунки и пытались сделать выводы. Так же использовали бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила нам сформулировать и свойства биссектрис параллелограмма, а затем и доказать их.

Свойства биссектрис параллелограмма.

1.Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2.Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.

4.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны.

5.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны.

6.Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение.

7.Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны.

8.Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Доказательства этих свойств мы оформили в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся.

Заключение:

В процессе выполнения работы были:

1.Сформулированы и доказаны свойства биссектрисы параллелограмма.

2. Составлен ряд несложных заданий для устного решения, которые предложили своим одноклассникам.

3.Составлена тестовая работа по теме "Биссектрисы параллелограмма";

4.Сделана подборка задач по данной теме из различных сборников для подготовки к экзаменам и сборников олимпиадных заданий.

Мы увидели необходимость применения этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе мы не только сами сформулировали, доказали свойства, но и попыталась применить их к решению задач. Я думаю, что на следующий год этот материал будет необходим нам при подготовке к экзамену по геометрии. Будем рады, если другие ребята воспользуются им.


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров419
Номер материала ДВ-006984
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх