Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по теме : "Числа Фибоначчи"

Исследовательская работа по теме : "Числа Фибоначчи"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Цели конкурса: повысить интерес учеников к математике, усилить внутреннюю мотивацию, веру в себя и свои силы. Ученики отвечают на задания прямо на сайте конкурса, учителю не нужно распечатывать задания. Для каждого ученика конкурс по математике «Поверь в себя» - это прекрасная возможность проявить себя и раскрыть свой потенциал.

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ЗАПАДНЫЙ

ФИЛИАЛ РАНХиГС


hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m325155cb.gif







ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА


Тема: «ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ »













Научный руководитель:

преподаватель Горская Н.В.

















Калининград , 2015



СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Глава I. Леонардо из Пизы 4

Глава II. Последовательность чисел Фибоначчи 5

§1. Задача о кроликах 5

§2. Последовательность Фибоначчи и пирамиды. 7

§ 3. Золотое сечение и числа Фибоначчи 8

§ 4. Спираль и числа Фибоначчи. 10

П 4.1 Построение спирали 10

П 4.2 Галерея спиралей вокруг нас 11

§ 5 Числа Фибоначчи в математике 13

П 5.1. Треугольник Паскаля 13

П 5.2. Парадокс с площадью 15

П 5.3. Интересные свойства чисел Фибоначчи 17

Заключение 19

Список литературы 20

Интернет ссылки 20
















Введение

Высшее назначение математики … состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Винер Н.

Эти слова Винера как нельзя лучше отражают назначение математики. Считается, что математика – это наука неоспоримых фактов, строгих формул и законов. Именно в этой строгости, лаконичности скрывается порой удивительная красота математики. В простых, привычных для нас предметах, явлениях мы совсем не замечаем математических закономерностей. В своей работе я хочу обратить внимание на то, как ряд чисел, полученный достаточно простым способом, предстает перед нами в удивительных образах.Ракушка

Еще Гёте говорил о спиральности окружающего мира. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны, цветении розы, проявляет себя ряд Фибоначчи. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Получается, же эта спираль с использованием последовательности чисел Фибоначчи. Эта последовательность даёт такое соотношение, которым пользовались в Древнем Египте при строительстве одного из чудес света – пирамид в Гизе.

В данной работе мы рассмотрим числа последовательности Фибоначчи, их свойства, связь этих чисел с золотым сечением и спиралью Архимеда. Но не будем забегать вперед, расскажем обо всем по порядку.




Глава I. Леонардо из Пизы.

Пусть каждый математик работает в том направлении, к которому лежит его сердце.

Клейн Ф.


hello_html_4b034248.jpgЛеонардо Пизанский

(Фибоначчи)

Около 1170 — 1250 г.



Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение. Такие имена как, Евклид, Архимед, Герон известны каждому образованному человеку.

Математика в эпоху средневековья развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало. Одним из выдающихся математиков того времени, можно считать итальянца Леонардо из Пизы, более известного под прозвищем Фибоначчи.

Родился Леонардо в итальянском городе Пиза, в семье купца. С детства он часто путешествовал с отцом по разным странам. Поэтому мальчик получил начальное образование в Алжире, где его наставниками были арабы.

От арабов Леонардо узнал о существовании индийской (ныне арабской) десятичной системы счисления с ее позиционными обозначениями и нулем. В то время в Европе была развита громоздкая римская система счисления. Фибоначчи видел превосходство десятичной системы над римской, поэтому горячо отстаивал преимущество десятичной системы и даже написал трактат по математике. Назывался он «Книга об абаке», его можно считать математической энциклопедией того времени. Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения известные на тот момент. Этот трактат сыграл значительную роль в развитии математики в Западной Европе. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими цифрами. В ней Фибоначчи впервые в Европе привел отрицательные числа, которые рассматривал, как “долг”, дал приемы извлечения кубических корней.

На современников его аргументы не произвели особого впечатления. Позднее в Европе книга стала учебником по десятичной системе счисления. Работа над книгой была закончена в 1202 году, но до нас дошло издание 1228 года.

Не смотря на то, что Фибоначчи внес существенный вклад в развитие математики, в наши дни он известен в основном потому, что живший в XIX веке французский математик Эдуард Люка назвал именем Фибоначчи последовательность чисел.

Глава II. Последовательность чисел Фибоначчи.

§1. Задача о кроликах.

Эта последовательность появляется в одной задаче, которую рассматривал Леонардо в «Книге об абаке». Вот эта задача, в том виде как её формулировал сам Фибоначчи.

"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения".

hello_html_31e79d62.gifhello_html_31e79d62.gif- пара, дающая потомство

- пара, не дающая потомство

hello_html_6a5399a1.gifhello_html_6a5399a1.gifhello_html_me6bc360.gifhello_html_me6bc360.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gifhello_html_m34d872e3.gif1

1

2

3

5

8

1-й месяц

2-й месяц

3-й месяц

4-й месяц

5-й месяц

6-й месяц

РЕШЕНИЕ:












Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц – 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары (так как из двух имеющихся пар потомство даёт лишь одна пара); на 5-й месяц – 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц – 5+3=8 пар (потому что потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и так далее.

Итак, записывая количество пар кроликов в конце каждого из месяцев, получим такую последовательность

a1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8, а9, а10, а11, …

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Тогда количество кроликов в конце года, будет соответствовать 12-му члену полученной последовательности, т. е. числу 144.

Суть последовательности Фибоначчи в том, что, начиная с третьего члена, следующее число получается сложением двух предыдущих.

1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; … аn-1+an=an+1

В таблице приведены первые сорок чисел Фибоначчи.

номер

число

номер

число

номер

число

номер

число

1

1

11

89

21

10 946

31

1 346 269

2

1

12

144

22

17 711

2

2 178 309

3

2

13

233

23

28 657

33

3 524 578

4

3

14

377

24

46 368

34

5 702 887

5

5

15

610

25

75 025

35

9 227 465

6

8

16

987

26

121 393

36

14 930 352

7

13

17

1 597

27

196 419

37

24 157 817

8

21

18

2 584

28

317 811

38

39 088 169

9

34

19

4 181

29

514 229

39

63 245 986

10

55

20

6 785

30

832 040

40

102 334 155


§2. Последовательность Фибоначчи и пирамиды.


На самом деле данная последовательность чисел была известна еще древним грекам и египтянам. Об этом свидетельствует одна из загадочных пирамид в Гизе.http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/All_Gizah_Pyramids.jpg/300px-All_Gizah_Pyramids.jpg

высота

ребро

Пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты. Длина ребра пирамиды в Гизе равна 783,3 фута (238,7 м), высота пирамиды составляет 484,4 фута (147,6 м). Длина ребра, делённая на высоту, приводит к соотношению Ф=1,618.

Высота 484,4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) – это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Некоторые современные ученые считают, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Исследования пирамиды в Гизе показали, какие обширные были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1,618 играет центральную роль. Это число напрямую связано с последовательностью Фибоначчи, вернее с одним из ее свойств.

Рассмотрим это свойство:

Найдем отношение числа последовательности к следующему за ним числу:

1: 1 = 1

1: 2 = 0,5

2: 3 = 0,666…

3: 5 = 0,6

5: 8 = 0,625

8 : 13 = 0,61538…

13: 21 = 0,61904…

21: 34 = 0,61764… 0,618

34: 55 = 0,(618)


Таким образом, при увеличении порядкового номера отношение каждого числа к последующему стремится к числу 0,618 .

Найдем отношения числа к предыдущему.

1: 1 = 1

2: 1 = 2

3: 2 = 1,5

5 : 3 = 1,(6)

8 : 5 = 1,6

13 : 8 = 0,625

21: 13 = 0,6154…

34: 21 = 0,619…

55: 34 = 0,618

Отношение же каждого числа к предыдущему стремится к 1,618 (обратному к 0,618). Число 1,618 называют ФИ. Это число замечательно тем, что оно напрямую связанно с золотым прямоугольником.

§ 3. Золотое сечение и числа Фибоначчи

Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением.

Иоганн Кеплер


Золотым прямоугольником называют такой прямоугольник, у которого длина примерно в 1,6 раза больше ширины. Другими словами стороны прямоугольника образуют так называемое золотое сечение. Слово «сечение» обозначает «деление на части». Золотое сечение отрезка – это деление его на части длиной а и b так, что (а+b):a = a: b.

a

b



http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTPiZCdDwOU9uPZLup52OxTeJygKaL-HuHinK9MFpzOs6eX_3AmKQ

Более точное значение отношения длины к ширине золотого прямоугольника и есть число Фи. Древние греки считали, что прямоугольники, стороны которых образуют золотое сечение, имеют наиболее приятную для глаз форму. Многие архитектурные сооружения того времени можно образно вписать в золотой прямоугольник.

Посмотрим теперь, как можно использовать числа Фибоначчи для построения золотого прямоугольника.



1

1

2

3

5

8




1

1

2

3

5




1

1

2

1

1



1






Сначала начертим единичный квадрат. Добавим второй такой же квадрат. Построим на длинной стороне ещё один квадрат, потом ещё и ещё. Чем дольше продолжать этот процесс, тем ближе подойдёшь к золотому прямоугольнику. Дело в том, что длины сторон этих прямоугольников равны соседним числам в последовательности Фибоначчи и как мы уже говорили, отношение каждого числа Фибоначчи к предыдущему стремится к 1,618 (к числу ФИ)

Интересные закономерности наблюдаются, если связывать золотое сечение, числа Фибоначчи и строение человеческого тела. Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев…

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название “Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве”. В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга.

В конце XIX, начале XX вв. появилось немало теорий о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики применение закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели…


§ 4. Спираль и числа Фибоначчи.

Спираль – это «кривая жизни»

Гёте

П 4.1 Построение спирали

Как известно, многое в мире развивается спиралеобразно. Винты и спирали, часто можно наблюдать в окружающем нас мире:

  • расположение листьев на ветках деревьев;

  • расположение семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах;

  • расположение иголок в кактусах;

  • плетение паутины;

  • форма раковины многих улиток;

  • ураган и смерч;

  • испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали;

  • молекула ДНК закручена двойной спиралью;

  • галактика и многое другое.

Выяснилось, что спираль таит в себе ряд Фибоначчи.

Рассмотрим строение спирали с математической точки зрения.

Построим прямоугольник 144х233 (12 и 13 числа в последовательности Фибоначчи). Отделим от этого прямоугольника квадрат со стороной 144, останется прямоугольник со сторонами 89 и 144, от него отделяем квадрат со стороной 89, тогда оставшаяся часть это прямоугольник со сторонами 89 и 55, то есть каждый получаемый прямоугольник имеет стороны соответствующие соседним числам ряда Фибоначчи. Этот процесс деления продолжаем, пока не получим два квадрата со стороной единицы. Итак, внутри данного прямоугольника выстроилась последовательность квадратов, стороны, которых соответствуют ряду Фибоначчи. Дуги, проведенные в каждом квадрате, вместе образуют спираль. С точки зрения математики данная спираль не представляет собой ничего особенного. Но удивительно то, что в природе эта спираль встречается на каждом шагу!fibonacci-spiral

П 4.2 Галерея спиралей вокруг нас.

Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики.

Фурье Ж.

hello_html_m44b33fa6.jpg1. «Корзинка» подсолнуха. Головка подсолнуха как бы соткана из спиралей, образующих два семейства: к одному относятся спирали закручивающиеся по часовой стрелке, к другой – против часовой стрелки. Число спиралей в семействах различно и приблизительно совпадает с двумя последовательными числами Фибоначчи. У подсолнуха среднего размера корзинка содержит 34 спирали одного и 55 другого типа. У более крупных экземпляров число спиралей достигает 89 и 144.

hello_html_m24356c71.jpg2. Сосновая ветка. Взяв молодую сосновую веточку легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие справа снизу налево вверх. На многих шишках «чешуйки» расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. В крупных шишках удается разглядеть 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей.

3. Ананас. Хорошо видны эти же спирали и на ананасах: обычно их бывает 8 и 13

4. Цветы и стебли растения. улитка%20роза

У многих сложноцветных (розы, маргаритки, ромашки) заметно, что спиральное расположение отдельных цветков. Число спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом, или 21 и 34. спираль%20развития

Молодые побеги папоротника, закручены в спираль, усики огурца тоже демонстрируют спиралеобразное строение. Если посмотреть на многие кактусы сверху, то можно и здесь обнаружить ту же спираль. кактус

whieldon

5. Раковина, закрученная по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной - 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.





6. Животный мир.сороконожка

Рассмотреть спираль так же можно в паутине или в том, как свернулась сороконожка. Модель ДНК представлена в виде двух закрученных спиралей.общее%20о%20спирали

паук%20и%20паутина





7. Космос. Форма галактики тоже спиралевидная. Ещё из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., при помощи ряда Фибоначчи нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.115_903300302511459


§ 5 Числа Фибоначчи в математике.

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.

Александров А. Д.

П 5.1. Треугольник Паскаля.

Ряд Фибоначчи может возникнуть при рассмотрении тем на первый взгляд не связанных с этой последовательностью чисел.

Для примера рассмотрим знаменитый арифметический треугольник Паскаля. Он представляется в виде треугольной таблицы, строки которой задают коэффициенты при возведении в степень двучлена. Строится он по такому принципу: Первое число единица, в каждая следующая строка начинается и заканчивается 1. Числа, стоящие между единицами получаются сложением чисел стоящих в строке над ними. Номер строки есть показатель степени, в которую возводится двучлен.


Треугольник Паскаля

Номер строки

Возведение в степень двучлена

1

0

(a +b)0 = 1

1 1

1

(a +b)1 = a + b

1 2 1

2

(a +b)2 =a2+ 2ab+ b2

1 3 3 1

3

(a +b)3 =a3+ 3a2b + 3b2a+b3

1 4 6 4 1

4

(a +b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

1 5 10 10 5 1

5

(a +b)5=a5 +5a4b+10a3b2 +10a2 b3 +5ab4+b5

1 6 15 20 15 6 1

6

и т. д.



Если записать треугольник Паскаля в прямоугольном виде и провести прямую под углом 45°, то окажется, что сумма чисел, попавших на эту прямую дает число Фибоначчи.


1

21

3

8

2

5

13

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

…………………………………














П 5.2. Парадокс с площадью.квадрат

В качестве второго примера рассмотрим парадокс с площадью.

Разделим квадрат 8х8 на два прямоугольника 3х8 и 5х8. Эти прямоугольники разрезаются на две части, которые после распределения образуют новый большой прямоугольник с кажущимся приростом площади в одну квадратную единицу. Sквадрата= 8*8=64, Sпрямоугольника=13*5=65. Квадрат и прямоугольник составлены как бы из одинаковых фигур, следовательно их площади должны быть равны.

Суть парадокса состоит в следующем:

hello_html_74084d7f.gifПри аккуратном построении чертежа квадрата строгой диагонали большого прямоугольника не получается. В место нее появляется ромбовидная фигура, настолько вытянутая, что стороны ее кажутся почти слившимися. С другой стороны, при аккуратном проведении диагонали большого прямоугольника высота верхнего из двух прямоугольников, составляющих квадрат, будет чуть больше, чем это должно быть, а нижний прямоугольник – чуть шире. Заметим, что Неаккуратное смыкание частей фигуры при втором разрезании больше бросается в глаза, чем неточности вдоль диагонали в первом.

Оказывается, что длины сторон четырех частей, составляющих фигуры, являются членами ряда Фибоначчи. Расположение частей, на которые был разделен квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ….

12 = 1*2-1; 22 = 1*3 + 1; 32 = 2*5 – 1; 52 = 3*8 +1 и т. д.

В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну единицу.

Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать его в соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.

Если, например, взять квадрат 13*13 то три его стороны следует разделить на отрезки длиной в 5 и 8, а затем разрезать. Площадь этого квадрата равна 169 квадратным единицам. Стороны прямоугольника, образованного частями квадрата, будут 21 и 8, что дает площадь в 168 квадратных единиц. Здесь благодаря перекрыванию частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а теряется.

Можно сформулировать и общее правило: приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из «первой» последовательности расположенных через одно чисел Фибоначчи (3, 8, 21…) и составить из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим вдоль его диагонали просвет и как следствие прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из «второй» последовательности (2, 5, 13…), мы получим вдоль диагонали прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы площади.

Чем дальше мы продвигаемся по ряду чисел Фибоначчи, тем менее заметным становится перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже мы спускаемся по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить парадокс на квадрате со стороной в 2 единицы, но тогда в прямоугольнике 3х1 получится столь очевидное перекрывание, что эффект парадокса полностью теряется. Используя для парадокса другие ряды Фибоначчи, можно получить бесконечное множество вариантов.






П 5.3. Некоторые свойства чисел Фибоначчи.

I свойство: Вычислим сумму n первых чисел Фибоначчи. Докажем что

a1 +a2+…an=an+2–1.

В самом деле

a1= a3-a2 1=2- 1

a2=a4-a3 1=3-2

a3=a5-a4 2=5-3

………

an-1=an+1-an

an=an+2-an+1

Сложив все эти равенства почленно, мы получим:

a1+a2+…+an=an+2-a2= (т.к. a2=1) = an+2-1,

что и требовалось доказать. ■

Например, найдем сумму первых 6-ти слагаемых ряда чисел Фибоначчи.

Имеем ряд: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Сложим первые шесть 1 + 1+ 2+ 3+ 5 +8 = 20, но, используя свойство 1 можно вычислить быстрее. Для этого берем восьмой член ряда и отнимаем 1, т.е. 21 – 1=20, получаем тот же результат.◄

II свойство: Рассмотрим два частных случая.

1. Сумма чисел Фибоначчи с нечётными номерами

a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n

Для доказательства этого равенства напишем

a1=a2

a3=a4-a2

a5=a6-a4

………

a2n-1=a2n-a2n-2

Сложив почленно, получим:

a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n


2.Сумма чисел Фибоначчи с чётными номерами:

a2+ a4+a6+ …+ a2n=a2n+1-1

На основании свойства I мы имеем. Вычитая из этого равенства почленно равенство (2) мы получим:

a1+ a2+a3+…+ a2n =a2n-1

Вычитая из этого равенства почленно равенство (2) мы получим:

a2+ a4+a6+ …+ a2n=a2n+2-1- a2n=a2n+1-1


III свойство: Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи равна произведению n-го и следующего за ним члена.

a12+ a22+a32+…+ an2= an•an+1

Заметим для этого, что

an•an+1- an-1•an= an (an+1- an-1) = an2

Сложив равенства a12= a1•a2

a22= a2•a3- a1•a2

a32= a3•a4- a2•a3

………..

an2= an•an+1- an-1•an

почленно, мы получим нашу формулу. ■


IV свойство: Для любых четырёх членов ряда Фибоначчи А В С D справедливо соотношение С2- В2= АD

Например, дан ряд Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…. Выбираем любые четыре идущие друг за другом 5, 8, 13, 21, значит А=5, В = 8, С = 13, D=21. Проверим данное соотношение для этих чисел. 132 – 82 = 5•21

169 – 64 =105

105 = 105 , получили верное равенство. ◄

V свойство: Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодичную последовательность с периодом 60. Если от любого числа Фибоначчи брать по две последние цифры, то они также образуют периодичную последовательность с периодом равным 300. Периодичность наблюдается и в последних, образованных тремя, четырьмя, пятью и так далее последовательностями числового ряда Фибоначчи. Для трёх цифр период равный 1500, для четырёх – 15000 , для пяти –

150000.


Заключение.

В работе рассмотрена лишь малая часть области применения чисел Фибоначчи и их свойств. Не смотря на простоту данного ряда чисел, есть множество свойств, приводящих к интересным математическим фактам. В физике числа Фибоначчи использовались при изучении путей, проходимых лучом света, наклонно падающего на две сложенные вместе стеклянные пластинки. В информатике числа с успехом применяются при машинной сортировке и обработке информации, генерировании случайных чисел, в методах нахождения приближенных значений, минимума и максимума сложных функций. В США даже издавался специальный журнал «Fibonacci Quarterly», посвященный изучению свойств чисел Фибоначчи.

Существует даже теория, что спираль, построенная с помощью чисел Фибоначчи – это «печать Творца». Одним словом в данной теме еще многое не исследовано, и какие загадки таит в себе ряд Фибоначчи.


Список литературы:

1. Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи». – М: «Наука», 2007.

2. «Замечательные числа Фибоначчи»/Калейдоскоп «Кванта»//- М: Квант. – 2009. - №3. – с. 32.

3. «Сортировка, числа Фибоначчи, системы счисления и контекстно-свободные грамматики»/ А. Кулаков// - М: Квант. – 2009. - №3.- с.9-18.

4. Успенский В.А. «Треугольник Паскаля». – М: «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 2008.

Интернет ссылки:

  1. Элементы большой науки - http://elementy.ru

  2. Genon? Делитесь знаниями! www.genon.ru

  3. Растрепанный блокнот - http://netnotes.narod.ru

  4. Сайт видео http://www.youtube.com

  5. Умное видео, видеоролик «Загадки чисел Фибоначчи» www.smartvideos.ru/fibonacci-number

  6. Сайт учителя МОУ гимназия №1город Полярные Зори Мурманская область http://le-savchen.ucoz.ru

  7. Сайт: Человек и природа http://greenword.ru














Приложение1

hello_html_34a8c66c.png











hello_html_m24e4c092.pnghello_html_1f110030.pnghello_html_11cbf25e.pnghello_html_717fd629.pnghello_html_43a55a86.pnghello_html_2e48a75d.pnghello_html_m5a45e033.pnghello_html_2b1ed603.pnghello_html_f0fc19.pnghello_html_m236790cd.pnghello_html_33493a7b.pnghello_html_34241f87.pnghello_html_25b708f0.pnghello_html_6a7e77c1.pnghello_html_3ac67670.pnghello_html_m24db01d.pnghello_html_m2069ed4c.pnghello_html_m1c68168a.pnghello_html_m6d77813f.pnghello_html_m4cd8aab9.pnghello_html_36489383.pnghello_html_m3ccfc696.pnghello_html_m6ffce045.pnghello_html_6dccf10c.pnghello_html_4d31c71.pnghello_html_m130631f6.pnghello_html_7013a239.pnghello_html_1cd66d36.pnghello_html_m9eeeb3b.pnghello_html_1def3441.pnghello_html_27cceda9.pnghello_html_m7b72e04c.pnghello_html_m3fd0e9f4.pnghello_html_m5bdc8f79.pnghello_html_eea94b.pnghello_html_37fbe928.pnghello_html_220f53fc.pnghello_html_m401d7da8.pnghello_html_1f283eff.png







41


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 26.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров201
Номер материала ДВ-382396
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх