Исследовательская работа по теме: "Компьютерные математические модели"

VIII открытая региональная научно-практическая конференция

школьников «Эврика»

Секция Математика

«Компьютерные математические модели»

Автор: Мартынцова Юлия

              МБОУ Новотроицкая СОШ, 10 класс,

             Татарского р-на  Новосибирской области

Научный руководитель: Меняйло Юлия Васильевна,

             учитель математики

Контактный телефон руководителя:

_______89130121108_____________________________

г. Татарск, 2013

Содержание.

1.Введение.                                                                                                                                 2

2.Что изучает математика? История развития.                                                                       3

3.Математическое моделирование. Машина Тьюринга.                                                        4

4. Применение ЭВМ в математическом моделировании.                                                      6

• Вычислительный эксперимент.                                                                                    6
• Основные этапы вычислительного эксперимента.                                                     7

·         Сферы применения вычислительного эксперимента и математического       моделирования.                                                                                                               8

5.Пакеты прикладных программ.                                                                                              9

6. Интегрированные программные системы.                                                                          10

6.1 MathCAD.                                                                                                                              11

6.2 MAPLE.                                                                                                                                 11

• Maple как приложение MS Excel.                                                                                 13
• Форматы графических объектов.                                                                                  13

6.3 MATLAB.                                                                                                                              13

• Переменные и присваивающие им значения.                                                              14
• Уничтожение определений переменных.                                                                     14
• Операторы и функции.                                                                                                   14
• Сведения об ошибках и исправление ошибок.                                                            15
• Форматы чисел.                                                                                                               15

7.Заключение.                                                                                                                              17

8.Литература.                                                                                                                               18

1. Введение.

В работе современных математиков очень большую роль играет компьютер. Математика в современном мире – это далеко не то, что дети проходят в школе. В наше время математики занимаются сложным моделированием различных процессов, а такие вычисления способны выполнять только компьютеры и специальные программы, созданные для этих задач. Цели этой работы очень разнообразны:

·         Разработка крупных газовых месторождений.

·         Создание конструкций для зубных протезов.

·         Создание конструкций для пластиковых окон и проектирование узла сопряжения оконного блока и наружной стены.

·         Землеустройство, в частности ландшафтный дизайн.

·         Моделирование и разработка специальных устройств, применяемых при переломах.

·         Моделирование системы кровообращения.

·         Повышение эффективности распределения финансовых фондов.

·         Оценка эффективности инвестиций в доходную недвижимость.

·         Моделирование состояния и развития экономических объектов.

·         Моделирование финансово-экономических ситуаций.

Это лишь небольшой список того, какие задачи приходится решать математикам в современном мире. Область применения математического моделирования и сложнейших математических вычислений очень обширна: начиная медициной и заканчивая экономической сферой.
                                                   2. Математика – наука о…

Математика является одной из древнейших наук. Слово “математика” в переводе с древнегреческого означает “наука” или “знание”. Современный математический словарь высшей школы дает следующее определение математики: “Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира”. И в самом деле, предмет изучения математики настолько огромен и разнообразен, что довольно трудно дать определение математики, как науки, занимающейся тем-то и тем-то. А сами математики в шутку говорят: “Математика – это то, чем я занимаюсь”.

Почти с самого зарождения математика была неразрывно связана с практической деятельностью человека. Более того, именно из этой повседневной практики и появились первые математические понятия - натуральные числа и простейшие действия с ними: сложение, вычитание и умножение. Развитие земледелия, архитектуры дало толчок к возникновению геометрии. Древнегреческие философы и математики очень много сделали для развития этой науки. Это и практика строгих доказательств, введенная Фалесом, и теоремы Пифагора, и методы Архимеда вычисления объемов различных тел, и аксиоматическая система геометрии Евклида.

Налаживание связей между государствами (прежде всего торговых) и необходимость путешествовать как сухопутно, так и по морю, верно определяя курс движения и свое местоположение в пространстве привело к развитию астрономии, а с ней и тригонометрии. Первые таблицы синусов встречаются еще в древней Индии.

И.Кеплер, анализируя скрупулезные наблюдения Т.Браге за движением Марса, приходит к выводу, что планеты движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца. При этом он использует теорию конических сечений, открытых более тысячи лет назад древнегреческим математиком Аполлонием Пергским. Это характерный пример того, как математическая теория, не получившая популярности при жизни автора и почти забытая, находит применение в важных вопросах науки спустя много лет.

Р.Декарт известен в математике благодаря методу координат – своеобразному мостику между алгеброй и геометрией. Эта плодотворная идея, по сути, стала основным толчком для последующего развития математики. В философии Декарт известен как основатель рационализма – попытки математизировать все научное знание того времени.

Примерно в то же время два других французских математика, Б. Паскаль и П. Ферма, закладывают основы теории вероятности – важной области для математических приложений.

Настоящей революцией в математике и ее приложениях стало открытие дифференциального и интегрального исчисления И.Ньютоном и Г.Лейбницем. Это стало началом широкого проникновения математических методов в физику, механику и астрономию. Основная идея этого метода – идея предела переменной величины – берет свое начало еще в трудах Архимеда, Демокрита и других древнегреческих ученых. Но всю его мощь оценили лишь после введения удобной системы обозначений и метода координат – чего у древних греков не было. Почему же этот метод стал таким плодотворным именно для физических приложений? Дело в том, что характерной особенностью почти всех физических процессов является наличие непрерывного движения, изменения во времени некоторых числовых параметров, а пределы (а с ними и интегралы и производные) как раз и есть важнейший инструмент для исследования непрерывных функций.

Лейбницу мы также обязаны удобной системой обозначений для основных  предельных операций. Развивая символьные обозначения дальше, Лейбниц мечтает о неком универсальном исчислении, используя которое можно находить истину, механически применяя некоторые правила. “Тогда философы перестанут спорить, а начнут вычислять”. Его мечта в некотором смысле осуществится в начале XX века, когда математики формализуют логику, создав исчисление предикатов.

В чем же заключается мощь и удивительная плодотворность применения математики в различных науках?

3. Математическое моделирование. Машина Тьюринга.

Моделирование представляет собой некоторое отображение явления объективной реальности в структуры и множества математических объектов. При этом должны сохраняться необходимые для исследователя отношения между объектами предметной области. А также должно происходить некоторое упрощение (абстракция): исчезают ненужные, отвлекающие внимание детали. Но, при этом, модель не должна слишком упрощать картину. Удивительная продуктивность математического моделирования в естествознании связана с тем, что, родившись при помощи абстракции от объектов реальной действительности, математические понятия сохранили (возможно, неявно) те отношения между этими объектами, которые потом и проявляются при их моделировании.

Проще говоря, математическое моделирование состоит в том, что исследователь строит математическую модель рассматриваемой области, то есть выделяет существенные для него свойства и количественные характеристики явления, выделяет существенные отношения между ними и пытается найти какой-либо похожий объект в математике.

Из каких этапов состоит построение математической модели? Это зависит, вообще говоря, от области, в которой разрабатывается эта модель. Например, в экономике этапы можно выделить такие:

1.      Определение цели, то есть чего хотят добиться, решая поставленную задачу.

2.      Определение параметров модели, то есть заранее известных фиксированных факторов, на значение которых исследователь не влияет.

3.      Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.

4.      Определение области допустимых решений, то есть тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.

5.      Выявление неизвестных факторов, то есть величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.

6.      Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, то есть формирование целевой функции, называемой также критерием оптимальности задачи.

Помимо моделей, связанных с дифференциальными уравнениями, есть еще огромное число других моделей, в том числе и не количественных (то есть не связанных с какими-либо числовыми параметрами). Например, в математической логике и теории алгоритмов существует модель, описывающая работу человека, решающего какую-нибудь проблему по строго описанной программе (рецепту). Эта модель называется машиной Тьюринга и придумана в 1936 году английским математиком Аланом Тьюрингом в связи с проблемой формализации понятия алгоритма. Она оказалась очень полезной для разработки первых ЭВМ, и с тех пор является общепринятой математической моделью современных компьютеров.

Тьюринг исходил из следующих упрощений:

·         в процессе работы, человек (компьютер) имеет дело с наборами символов (словами) из конечного множества (алфавита)

·         в начале работы на некотором носителе информации, например в тетради (ленте) записан вход

·         в конце работы, на ленте пишется выход

·         лента разделена на ячейки, каждая либо пуста, либо там есть один символ алфавита

·         лента потенциально бесконечна и одномерна (то есть каждая ячейка имеет двух соседей: правого и левого)

·         в процессе работы человек может за один шаг записывать символ в текущую ячейку (если она занята, то предварительно стереть содержимое) и читать его, а также сдвигаться вправо или влево

·         все вышеописанные действия он выполняет в строгом соответствии с программой, которая по текущему обозреваемому символу и текущему состоянию человека (их конечное число) говорит, какой символ записать в ячейку, куда сдвинуться (вправо или влево) и как сменить состояние

·         человек останавливает вычисления, когда попадает в некоторое выделенное состояние (заключительное)

Откуда такая модель могла возникнуть? Например, из анализа работы математика, который что-то решает в тетради: на первых страницах записано условие задачи – слово в достаточно большом (но конечном!) алфавите; далее он согласно некоторым правилам своей науки (программе!) и своему внутреннему состоянию, листая тетрадь то вперед, то назад, записывая и стирая символы, постепенно решает задачу. Попав в заключительное состояние (поняв, что ответ найден), он останавливается. Есть и возможность того, что он никогда не остановится – модель это не запрещает.

Удивительно то, что эта простая модель, прекрасно описывающая работу современных компьютеров, родилась раньше, чем появились первые ЭВМ.

Можно отдельно выделить метод математизации, который неявно является частью математического моделирования: формализация.

Формализация – процесс “кодирования” объектов изучаемой реальности некоторым искусственным языком, и формулировка основных законов исследуемого явления на этом языке. Полезность этого подхода состоит в том, что изначально неясная и смутная картина заменяется строгими и точными манипуляциями с языком.

 Все изучаемые объекты реальности и отношения между ними заменяются наборами символов и отношений между ними в некотором искусственном языке. Так, в модели машины Тьюринга все объекты – слова в каком-то алфавите, и рассматриваются правила работы с этими словами. Да и вообще, система удобных обозначений – важная часть любой области математики. Этот искусственный язык должен быть по возможности компактным, недвусмысленным и простым. Это отличает его от естественных человеческих языков, для которых характерна некоторая неоднозначность и неопределенность семантики и синтаксиса. Недаром до сих пор не создано удовлетворительных автоматических систем перевода с одного языка на другой. Поэтому важнейшей частью формализации является правильный перевод предметной области на формальный язык.

Ещё один метод математизации – это аксиоматизация. Она предполагает выявление простейших понятий и аксиом области исследования, из которых посредством логических правил получаются все теоремы (истинные утверждения) данной теории. Этот метод позволяет охватывать всю изучаемую область с помощью относительно небольшого списка аксиом.

Проблемы применения математических методов в различных науках связаны с самой математикой (математическое изучение моделей), с областью моделирования (сложно построить модель из-за размытости границ явления) и c интерпретацией модели (построенная модель неправильно описывает явление).

Возможности математизации ограничиваются, скорее всего, сложностью исследуемых явлений.

4. Применение ЭВМ в математическом моделировании.

Вычислительный эксперимент.

  Ни одно техническое достижение не повлияло так на интеллектуальную деятельность человека, как электронно-вычислительные машины. Увеличив в десятки и сотни миллионов раз скорость выполнения арифметических и логических операций, колоссально повысив тем самым производительность интеллектуального труда человека, ЭВМ вызвали коренные изменения в области обработки информации. По существу, мы являемся свидетелями своего рода “информационной революции”, подобной той промышленной революции, которую породило в 18 веке изобретение паровой машины и связанное с ним резкое повышение производительности физического труда. В настоящее время вычислительные машины проникают во все сферы интеллектуальной деятельности человека, становятся одним из решающих факторов ускорения темпов научно-технического прогресса.

К концу 20 века компьютеры стали настолько совершенными, что появилась реальная возможность использовать их в научных исследованиях не только как большой арифмометр, но обратиться с его помощью к изучению таких разделов математики, которые ранее были практически не доступны для исследований. Это было осознано при решении ещё на несовершенных ЭВМ сложных математических задач ядерной физики, баллистики, прикладной небесной механики.

Подобные задачи являются сложными, в них причина и следствие не соизмеримы. Именно благодаря таким явлениям возникли электронные лампы, транзисторы, компьютеры, лазеры, появились высокоточные приборы, способные избирать нужный сигнал. В большинстве случаев такие явления очень плохо поддаются традиционным методам анализа. Описывающие такие ситуации уравнения во многих случаях не имеют решения формами записи. Такие уравнения можно изучать и исследовать с помощью компьютера.

  В дальнейшем, развиваясь и совершенствуясь при решении разнообразных задач, этот стиль теоретического анализа трансформировался в новую современную технологию и методологию проведения теоретических исследований, которая получила название вычислительного эксперимента. Основой вычислительного эксперимента является математическое моделирование, теоретической базой - прикладная математика, а технической - мощные электронно-вычислительные машины.

В проведении вычислительного эксперимента участвует коллектив исследователей - специалисты в конкретной предметной области, математики теоретики, вычислители, прикладники, программисты. Это связано с тем, что моделирование реальных объектов на ЭВМ включает в себя большой объём работ по исследованию их физической и математической моделей, вычислительных алгоритмов, программированию и обработке результатов. Здесь можно заметить аналогию с работами по проведению натурных экспериментов: составление программы экспериментов, создание экспериментальной установки, выполнение контрольных экспериментов, проведение серийных опытов, обработки экспериментальных данных и их интерпретация и т.д. Таким образом, проведение крупных комплексных расчётов следует рассматривать как эксперимент, проводимый на ЭВМ, или вычислительный эксперимент.

  Вычислительный эксперимент играет ту же роль, что и обыкновенный эксперимент при исследованиях новых гипотез. Современная гипотеза почти всегда имеет математическое описание, над которым можно выполнять эксперименты.

Вычислительный эксперимент предполагает, что вслед за построением математической модели проводится ее численное исследование, позволяющее «проиграть» поведение исследуемого объекта в различных условиях или в различных модификациях.

Численное исследование модели дает возможность определять разнообразные характеристики процессов, оптимизировать конструкции или режимы функционирования проектируемых устройств. Более того, случается, что в ходе вычислительного эксперимента исследователь неожиданно открывает новые процессы и свойства, о которых ему ранее ничего не было известно.

Так, к началу 70-х годов было обнаружено, что возникающая в условиях землетрясения или резкого взрыва уединённая волна, получившая название “Солитон”, обладает удивительной устойчивостью. Это было смоделировано в численном эксперименте и наблюдалось на практике. Математическая теория этого нелинейного явления не была известна. Численные исследования позволили уяснять числовые возникновения, распространения и свойства этого явления, этой волны. Другое важное открытие сделанное численным (или вычислительным) экспериментом – это хаос в детерминированных (описанных чёткой формулой) системах, и хотя первые наблюдения таких явлений были выполнены ещё в начале 50-х годов, долгое время они рассматривались как несовершенство компьютеров, неспособных правильно вычислять. Изучение таких явлений, привело к колоссальным сдвигам в современных научных представлениях. Возникла целая группа нелинейных наук, с которой связаны по истине удивительные открытия последних лет.

При введении понятия вычислительного эксперимента следует особо выделить способность компьютера выполнять большой объем вычислений, реализующих математические исследования. Иначе говоря, компьютер позволяет произвести замену физического, химического и т. д. эксперимента экспериментом вычислительным.

Основные этапы вычислительного эксперимента.

В общем случае, основные этапы решения задачи с применением ЭВМ можно рассматривать как один технологический цикл вычислительного эксперимента. А вообще, вычислительный эксперимент как новая методика исследования "состоялся" после того, как удалось на каждом из этапов традиционной цепочки эффективно использовать вычислительную машину.

Все этапы технологического цикла вычислительного эксперимента тесно связаны между собой и служат единой цели - получению с заданной точностью за короткое время адекватного количественного описания поведения изучаемого реального объекта в тех или иных условиях. Поэтому все этапы технологического цикла должны быть одинаково прочными. Слабость в одном звене влечёт за собой слабость в остальных звеньях технологии.

Теперь основные этапы вычислительного эксперимента:

·         Проведение натурного эксперимента

·         Построение математической модели

·         Выбор и применение численного метода для нахождения решения

·         Обработка результатов вычислений

·         Сравнение с результатами натурного эксперимента

·         Принятие решения о продолжении натурных экспериментов

·         Продолжение натурного эксперимента для получения данных, необходимых для уточнения модели

·         Накопление экспериментальных данных

·         Построение математической модели

·         Автоматическое построение программной реализации математической модели

·         Автоматизированное нахождение численного решения

·         Автоматизированное преобразование вычислительных результатов в форму, удобную для анализа

·         Принятие решения о продолжении натурных экспериментов

Видоизмененная цепочка, реализованная в виде единого программного комплекса, и составляет "технологию" вычислительного эксперимента.

В наиболее общем виде этапы вычислительного эксперимента можно представить в виде последовательности технологических операций (они реализованы в соответствующих блоках программного комплекса):

1.      Построение математической модели.

2.      Преобразование математической модели.

3.      Планирование вычислительного эксперимента.

4.      Построение программной реализации математической модели

5.      Отладка и тестирование программной реализации.

6.      Проведение вычислительного эксперимента.

7.      Документирование эксперимента.

Для проведения крупномасштабных научных исследований используется модульная технология, основанная на модульном представлении математических моделей, вычислительных алгоритмов, программ для ЭВМ, технических средств. Сборка программ из модулей проводится автоматически, с помощью специальной программы. Создаются программные комплексы и проблемно-ориентированные пакеты прикладных программ многоцелевого назначения. Характерная особенность пакетов состоит в возможности постоянного развития, расширения благодаря включению новых модулей, реализующих новые возможности. Следует отметить, что один и тот же пакет прикладных программ может быть использован в вычислительных экспериментах для исследований различных реальных объектов.

Сферы применения вычислительного эксперимента и математического моделирования.

  В современной науке и технике появляется всё больше областей, задачи в которых можно и нужно решать методом вычислительного эксперимента, с помощью математического моделирования. Обратим внимание на некоторые из них.

  Энергетическая проблема. Прогнозирование атомных и термоядерных реакторов на основе детального математического моделирования происходящих в них физических процессов. В этой области работа ведётся очень успешно. Вычислительный эксперимент тесно сопрягается с натурным экспериментом и помогает, заменяет и удешевляет весь исследовательский цикл, существенно его ускоряя.

  Космическая техника. Расчёт траекторий летательных аппаратов, задачи обтекания, системы автоматического проектирования. Обработка данных натурного эксперимента, например радиолокационных данных, изображений со спутников, диагностика плазмы. Здесь очень важной оказывается проблема повышения качества приборов, и в частности измерительной аппаратуры. Между тем, в настоящее время показано, что, используя измерительный прибор среднего качества и присоединив к нему ЭВМ, можно на основе специальных алгоритмов получить результаты, которые дал бы измерительный прибор очень высокого качества. Таким образом, сочетание измерительного прибора с компьютером открывает новые возможности.

  Технологические процессы. Получение кристаллов и плёнок, которые, кстати, нужны для создания вычислительной техники, для решения проблем в области элементарной базы (что невозможно без математического моделирования), моделирование теплового режима конструктивных узлов перспективных ЭВМ, процессов лазерной плазмы, технологии создания материалов с заданными свойствами (это одна из основных задач любой технологии).

  Экологические проблемы. Вопросы прогнозирования и управления экологическими системами могут решаться лишь на основе математического моделирования, поскольку эти системы существуют в “единственном экземпляре”.

  Гео- и астрофизические явления. Моделирование климата, долгосрочный прогноз погоды, землетрясений и цунами, моделирование развития звёзд и солнечной активности, фундаментальные проблемы происхождения и развития Вселенной.

  Химия. Расчёт химических реакций, определение их констант, исследование химических процессов на макро- и микроуровне для интенсификации химической технологии.

  Биология. Особо следует отметить интерес к математическому моделированию в связи с изучением фундаментальных проблем этой науки (генетики, морфогенеза) и разработкой новых методов биотехнологии.

  Классической областью математического моделирования является физика. До недавнего времени в физике микромира (в квантовой теории поля) вычислительный эксперимент не применялся, так как было принято использовать метод малого параметра, таким является постоянная тонкой структуры. Однако сейчас физики-теоретики пришли к выводу, что необходимо переходить к численным методам, и для этой цели даже разрабатываются специальные компьютеры.

5. Пакеты прикладных программ.

  Это важнейшее направление современного программирования. Первые программисты писали “вручную”, в командах. Однако уже тогда, зарождавшийся вычислительный эксперимент характеризовался многомодельностью. Это означало, что в процессе расчётов математическая модель, или вычислительный алгоритм, постоянно модифицировалась, видоизменялась. Всё это в первую очередь сказывалось на программе, в которую необходимо было вносить соответствующие изменения. Программист - автор программы, конечно же, не переписывал её каждый раз заново, просто в соответствующее место делалась нужная вставка. Помимо основного задания на программирование, заводилась специальная “тетрадь изменений”, куда, чтобы не запутаться, заносились все исправления и переделки.

  Если математическая модель претерпевала заметные изменения (например, в уравнениях магнитной гидродинамики требовалось учесть не одну, а две компоненты вектора напряжённости магнитного поля или дополнительно учесть излучение), то также естественно было не создавать новую программу, а “надстраивать” старую, уже хорошо зарекомендовавшую себя в расчётах.

  Программа разрасталась, разветвлялась, её возможности повышались. С помощью такого комбайна можно было решать и прежние простые задачи. Чем сложнее становился программный комбайн, чем большими возможностями он обладал, тем обширнее становилась таблица ключевых параметров.

  Постепенно программа превращалась в эдакого монстра, нашпигованного ключевыми параметрами. Одним из средств борьбы с такими непроизводительными потерями являются пакеты прикладных программ.

  Пакет прикладных программ (ППП) состоит из функционального наполнения и системной части. Функциональное наполнение представляет собой, грубо говоря, набор отдельных программ, решающих конкретные задачи. Эти задачи объединены одной направленностью, или, как говорят, предметной областью. Дело в том, что ППП не является универсальным, он проблемно-ориентирован, т.е. предназначен для решения определённого класса задач.

  Если это задачи механики сплошной среды, то в функциональное наполнение могут входить, например, программы для расчёта уравнений газовой динамики, уравнения теплопроводности, уравнений для электромагнитного поля, уравнений для излучения, фазовых переходов и т.д.

  Содержание каждой такой индивидуальной программы, или “модуля”, специфично, однако требования к оформлению входной и выходной информации унифицированы. Эти модули представляют собой своеобразные “чёрные ящики”, которые можно соединять в цепочки, ветви, так, чтобы, в конце концов, получить заданную программу.

  Системная часть выполняет функции сервисного характера. Основные задачи здесь состоят в следующем. Прежде всего, необходимо организовать хранение функционального наполнения. Но хранить в данном случае не значит ограничиться записью информации на каких-либо носителях. В этом архиве должен быть порядок: по первому требованию указанный модуль должен быть направлен “в работу”.

  Главное назначение системной части ППП - обеспечивать возможность сборки из отдельных модулей полной программы, способной решать заданную задачу. Для этого вычислитель, создающий программу, должен общаться с пакетом - давать приказы, воспринимать ответную информацию.

  Конечно же, это очень упрощённая схема работы с пакетом, но она отражает характерные этапы такой деятельности.

  Кроме того, для того чтобы пользоваться пакетом и, значит, грамотно вести расчёты, совсем не обязательно самому обладать высокой квалификацией программиста или математика-вычислителя (ведь именно они должны создавать эти пакеты). Поэтому пакеты программ должны быть такими, чтобы к их помощи могли прибегнуть не только математики, но и специалисты других сфер научной деятельности, прошедшие сравнительно небольшой курс математического обучения.

  ППП - это активное концентрированное выражение опыта, приобретённого в вычислительном эксперименте.

6. Интегрированные программные системы.

Следующим  шагом на пути облегчения труда ученых явилось создание интегрированных систем автоматизации математических расчетов. Слово «интегрированная» указывает на то, что в этих системах объединены удобная оболочка, редактор выражений и текстовых комментариев, вычислитель и графический программный процессор. Они поддерживают математические вычисления, визуализацию научной графики и программирование с использованием легко осваиваемого операционного окружения, когда задачи и их решения могут быть представлены в записи, близкой к математической. Наиболее известные области применения интегрированных  систем:

·         математика и вычисления;

·         разработка алгоритмов;

·         вычислительный эксперимент, имитационное моделирование, макетирование;

·         анализ данных, исследование и визуализация результатов;

·         научная и инженерная графика;

·         разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя.

Наибольшее распространение среди интегрированных систем автоматизации математических расчетов получили системы MATLAB, MathCAD, MAPLE. (Слайд 4)

6. 1 MathCAD.

Mathcad — это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов — MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design — системы автоматического проектирования, или САПР). Так что вполне правомерно считать Mathcad математическими САПР. (слайд 5)

Фирма MathSoft Inc. (США) выпустила первую версию системы в   1986 г. Главная отличительная особенность системы MathCAD заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе. В ходе работы с системой пользователь готовит так называемые документы. Они одновременно включают описания алгоритмов вычислений, программы, управляющие работой систем, и результат вычислений. По внешнему виду тексты мало напоминают код обычной программы.

Сегодня различные версии Mathcad являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таб­лицам. С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текста­ми, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочислен­ными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обес­печивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.

Программа очень популярна среди инженеров, она проста в использовании и не требует специальных навыков программирования. Документация и справочная система Mathcad позволяют быстро освоить приложение. С помощью руководств для опытных пользователей и новичков можно легко выполнять как простые, так и сложные операции.

Программа Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения технических задач. Приложение позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

В этой программе возможны построения двухмерных и трёхмерных графиков. Можно работать в Декартовской системе координат, строить полярные, векторные графики, карты поверхности, контурные карты, гистограммы и диаграммы рассеивания.

Также в ней можно документировать все вычисления в процессе их проведения. Он совместим со многими настольными приложениями, что обеспечивает простую интеграцию данных.

Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Ядро символьного процессора системы MathCAD — несколько упрощенный вариант ядра известной системы символьной математики Maple V.

Назначение этой программы: решение задач в численном виде.

Символьные операции разбиты на 5 характерных разделов.

1.Наиболее часто используемые операции.

2.Операции с выделенными выражениями:

·   Evaluate (вычислить) – преобразовать выражение с выбором вида преобразований из подменю.

·   Simplify (Упростить) — упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т.д.

·   Expand (Разложить)— раскрыть выражение по степеням.

·   Factor (Разложить)— разложить число или выражение на множители.

·   Collect (Разложить)— собрать слагаемые, подобные выделенному подвыражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом.

3.Операции с выделенными переменными.

·   Solve (Решить) — найти значения выделенной переменной, при которых содержащее ее выражение становится равным нулю.

·   Substitute (Заменить) — заменить указанную переменную содержимым буфера обмена.

·   Convert to Partial Fraction — разложить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной.                         

4.Операции с выделенными матрицами. Они представлены позицией подменю Matrix (Матричные операции), которая имеет своё подменю.

5.Стиль эволюции.

·   Evaluation Style – задать ввод результата символьной операции под основным выражением, рядом с ним или вместо него.

·    

6.2  MAPLE.

Программа MAPLE очень популярна. Число зарегистрированных пользователей программы перевалило за миллион. Последняя версия MAPLE V 5.1 появилась в конце 1998 года. Она продержалась очень долго, свидетельствуя о первенстве продукта среди аналогичных. Самая новая версия этой программы – MAPLE 6. (слайд 6)

Эта программа аналитических расчётов, или система компьютерной алгебры, позволяющая получать решения в точном аналитическом виде. Особое в этой программе внимание уделяется полиграфическому оформлению формул для лучшего восприятия аналитических выкладок. Эта программа больше подходит для создания научных документов, в том числе «электронных книг» с «живыми» (перевычисляемыми при изменении данных) формулами.

           В программе простой и удобный интерфейс, она способна мгновенно вычислять и упрощать громоздкие математические выражения. Обладает высоким полиграфическим качеством формул  и великолепной двух- и трёхмерной графикой.

В программе MAPLE можно:

·         Включать в систему алгебраические уравнения и неравенства.

·         Разбивать одно решение на несколько в соответствии с величинами или соотношениями между функциями либо символами, включёнными в систему в качестве параметров.

·         Более эффективно решать ОДУ (обыкновенные дифференциальные уравнения) и получать более простой ответ, а также задавать предпочтительный порядок решения.

·         Упрощать нелинейные системы ОДУ, что приводит как к значительному расширению типов решаемых систем, так и к упрощению ответов.

Быстрое выполнение расчетов с большими массивами данных дает возможность использовать Maple для обработки сигналов и изображений, при математическом моделировании сложных систем и решении различных технических задач. А для наглядного представления больших массивов данных в программу добавлены соответствующие средства визуализации.

Maple как приложение MS Excel

Если на компьютере установлена электронная таблица Excel 2000, то после инсталляции программы Maple 6 можно обнаружить в меню Сервис•Надстройка в списке подключаемых к Excel дополнений строку Maple 6 Excel Edd-in. Если активизировать ее (отметив галочкой), то в Excel автоматически станут доступны все команды Maple. Они будут представлены в виде панели, имеющей кнопки для вызова справки, разъясняющей правила работы, команды и функции. Кроме того, пользователи могут подключать и отключать специализированные пакеты и программы собственной разработки.

Форматы графических объектов.

Графики, полученные в Maple, можно сохранить (либо экспортировать) в различных графических форматах (DXF, JIF, EPS, JPEG/JPG, POV, WMF, BMP). Для экспорта картинки достаточно вызвать контекстное меню на графике и из его пункта Export as выбрать нужные формат и каталог для сохранения. Можно редактировать легенды для кривой (или нескольких кривых) на двухмерных графиках, а также изменять размеры символов в точечных графиках.

6.3 MATLAB.

MATLAB — одна из старейших, тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций. Это нашло отражение в названии системы — MATrix LABoratory — матричная лаборатория. Однако синтаксис языка программирования системы продуман настолько тщательно, что эта ориентация почти не ощущается теми пользователями, которых не интересуют непосредственно матричные вычисления. Система MATLAB была разработана Молером (С. В. Moler) и с конца 70-х гг. широко использовалась на больших ЭВМ. В начале 80-х гг. Джон Литл (John Little) из фирмы MathWorks, Inc. разработал версии системы PC MATLAB для компьютеров других классов. В дальнейшем были созданы версии для рабочих станций Sun, компьютеров с операционной системой UNIX и многих других типов больших и малых ЭВМ. Сейчас свыше десятка популярных компьютерных платформ могут работать с системой MATLAB. К расширению системы были привлечены крупнейшие научные школы мира в области математики, программирования и естествознания.  (слайд 7)

Эта программа используется для достаточно сложных вычислений. Наглядность описания этих вычислений достигается с помощью текстовых комментариев. Но русскоязычные комментарии вводить не рекомендуется, поскольку возникают нарушения в работе программы, так как официальной локализированной под Россию версии этой системы пока нет.

Считается правилом хорошего тона вводить достаточно подробные текстовые комментарии, поскольку без них даже разработчик программных модулей быстро забывает о сути собственных решений. В текстовых комментариях и символьных контактах могут использоваться буквы русского алфавита – при условии, что установлены содержащие эти буквы наборы шрифтов (о причинах этого говорилось выше).

Переменные и присваивающие им значения.

Переменные – это имеющие имена объекты, способные хранить некоторые, обычно разные по значению, данные. В зависимости от этих данных переменные могут быть числовыми или символьными, векторными или матричными.

В системе MATLAB можно задавать переменным определённые значения с помощью операции присваивания, вводимой знаком равенства =:

Типы переменных заранее не декларируются. Они определяются выражением, значение которого присваивается переменной. Имя переменной (её идентификатор) может содержать сколько угодно символов, но запоминается и идентифицируется только 31 начальный символ. Имя любой переменной должно быть уникальным, т.е. не должно совпадать с именами других переменных, функций и процедур системы.

Уничтожение определений переменных.

В памяти компьютера переменные занимают определённое место, называемое рабочей областью (workspace). Для очистки рабочей области используется функция clear в разных формах, например:

·         Clear – уничтожение определений всех переменных;

·         Clear x – уничтожение определения переменной x;

·         Clear a, b, c – уничтожение определений нескольких переменных;

Уничтоженная (стёртая в рабочей области) переменная становится неопределённой. Использовать неопределённые переменные нельзя, и такие попытки будут сопровождаться выдачей сведений об ошибке.

Операторы и функции.

Оператор — это специальное обозначение для определенной операции над данными — операндами. Например, простейшими арифметическими операторами являются знаки суммы +, вычитания -, умножения * и деления /. Операторы используются совместно с операндами. Например, в выражении 2+3 знак + является оператором сложения, а числа 2 и 3 — операндами.

Большинство операторов относятся к матричным операциям. Ниже приведён список арифметических операторов.

Arithmetic operators.

	Plus	- Plus	+
	Up! us	- Unary plus	+
	Minus	- Minus	—
	Umlnus	- Unary minus	-
	Mtimes	- Matrix multiply	*

	times	- Array multiply	*
	mpower	- Matrix power	^
	poWer	- Array power	.^
	mldlvlde	- Backslash or left matrix divide	\
	mrdlvlde	- Slash or right matrix divide	/
	Idi-vide	- Left array divide	.\
	rdlvlde	- Right array divide	./
	kron	- Kronecker tensor product	kron

Функции — это имеющие уникальные имена объекты, выполняющие определенные преобразования своих аргументов и при этом возвращающие результаты этих преобразований. Возврат результата — отличительная черта функций. При этом результат вычисления функции с одним выходным параметром подставляется на место ее вызова, что позволяет использовать функции в математических выражениях.

Со списком элементарных функций можно ознакомиться, выполнив команду help elfun, а со списком специальных функций — с помощью команды help specfun. Функции могут быть встроенными (внутренними) и внешними, или т-функциями. Так, встроенными являются наиболее распространенные элементарные функции например, sin(x) и ехр(у), тогда как функция sinh(x) является внешней функцией. Внешние функции содержат свои определения в m-файлах.

Сведения об ошибках и исправление ошибок.

Важное значение при диалоге с системой MATLAB имеет диагностика ошибок. Вряд ли есть пользователь, помнящий точное написание тысяч операторов и функций, входящих в систему MATLAB и в пакеты прикладных программ. Поэтому никто не застрахован от ошибочного написания математических выражений или команд. MATLAB диагностирует вводимые команды и выражения и выдает соответствующие сообщения об ошибках или предупреждения.

Форматы чисел.

По умолчанию MATLAB выдает числовые результаты в нормализованной форме с четырьмя цифрами после десятичной точки и одной до нее. Многих такая форма представления не всегда устраивает. Поэтому при работе с числовыми данными можно задавать различные форматы представления чисел. Однако в любом случае все вычисления проводятся с предельной, так называемой двойной, точностью. Для установки формата представления чисел используется команда » format name, где name — имя формата. Для числовых данных name может быть следующим сообщением:

·         Short — короткое представление в фиксированном формате (5 знаков);

·         Short e — короткое представление в экспоненциальном формате (5 знаков мантиссы и 3 знака порядка);

·         Long — длинное представление в фиксированном формате (15 знаков);

·         Long e — длинное представление в экспоненциальном формате (15 знаков мантиссы и 3 знака порядка);

·         hex — представление чисел в шестнадцатеричной форме;

·         bank — представление для денежных единиц.

Задание формата сказывается только на форме вывода чисел. Вычисления все равно происходят в формате двойной точности, а ввод чисел возможен в любом удобном для пользователя виде.

Система MATLAB - это одновременно и операционная среда и язык программирования. Одна из наиболее сильных сторон системы состоит в том, что на языке MATLAB могут быть написаны программы для многократного использования. Пользователь может сам написать специализированные функции и программы, которые оформляются в виде М-файлов. По мере увеличения количества созданных программ возникают проблемы их классификации и тогда можно попытаться собрать родственные функции в специальные папки. Это приводит к концепции пакетов прикладных программ (ППП), которые представляют собой коллекции М-файлов для решения определенной задачи или проблемы.

В действительности ППП - это нечто большее, чем просто набор полезных функций. Часто это результат работы многих исследователей по всему миру, которые объединяются в зависимости от области применения - теория управления, обработка сигналов, идентификация и т. п. Именно поэтому пакеты прикладных программ - MATLAB Application Toolboxes, входящие в состав семейства продуктов MATLAB, позволяют находиться на уровне самых современных мировых достижений.

7. Заключение.

Применение математических моделей и вычислительного эксперимента оказывается очень эффективным во многих областях науки и техники. Многие задачи, поставленные в современном мире, невозможно решить без помощи ЭВМ. Поэтому достижения многих областей науки напрямую связаны с развитием электронно-вычислительных машин. Развитие такой техники стимулирует разработку программного обеспечения, позволяющего более эффективно проводить вычислительный эксперимент, что приводит к снижению затрат и сокращению сроков разработок и успешно решать современные прикладные задачи из разных областей науки и жизни.

8. Литература.

http://www.masters.donntu.edu.ua/2007/fizmet/polischuk/ref.html
http://mmce-2002.narod.ru/
http://www.keldysh.ru/gorbunov/p401.htm
http://www.ucheba.ru/referats/9948.html

http://www.osp.ru/pcworld/2000/09/rub/1072586.html

http://www.zavuch.info.ru

М.И. Рагулина «Информационные технологии в математике»

Поднебесова, Матрос «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»