Исследовательская работа по теме "Лист Мебиуса"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КРЫМСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №5

Научно-исследовательская работа

«Лист Мёбиуса»

Выполнила: Асланян Роза Хачехпаровна, ученица 9-а класса МОУ Крымская СОШ №5.

Руководитель: Топалян С.В.

село Крым

2008 г.

Содержание

Введение ………………………………………………………	3
Что же такое топология   …………………………………...	5
Лист Мёбиуса и его свойства……………………………….	7
Лист Мёбиуса в искусстве…………………………………..	10
Лист Мёбиуса в технике и технологиях…………………...	14
Занимательные эксперименты……………………………..	15
Заключение……………………………………………………	16
Список использованной литературы ………………..........	17

Введение

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета. Именно он в 1858 году, будучи учеником «короля математиков» Карла Фридриха Гаусса, послал в Парижскую академию наук работу, включающую материалы по этому листу.

 Изначально Мёбиус, как и его учитель Гаусс и многие другие, благодаря кому математика получила своё развитие, был астрономом, так как в те времена изучение «Царицы всех наук» не встречало поддержки и не давало особых перспектив, в то время как занятие астрономией достаточно обеспечивало материально, чтобы не задумываться над этой проблемой, и давало время на размышления. А.Ф. Мёбиус – в течение более 15 лет наблюдатель, а потом директор Лейпцигской астрономической обсерватории, был весьма разносторонним учёным. Автор многих открытий, он стал великим геометром ХIХ века. А в возрасте 68 лет сделал поразительное открытие – односторонние поверхности, одной из которых и является объект моей работы – лист Мёбиуса. Рассказывают, что открыть этот «лист» А.Ф. Мёбиусу помогла служанка, неправильно сшившая концы ленты. В 1858 году профессор отправил в Парижскую академию наук свою работу, содержащую результаты исследований листа Мёбиуса. Прождав рассмотрения своей работы семь лет и так и не дождавшись этого, учёный опубликовал свой труд. Однако, тремя годами раньше – в 1862 году – в публикации появилась работа другого ученика Карла Фридриха Гаусса – Иоганна Бенедикта Листинга – объектом исследований которого также была односторонняя поверхность, именуемая нами листом Мёбиуса.

Лист Мёбиуса относится к «математическим неожиданностям». Это явление вызвало у меня огромный интерес, поэтому темой моей работы стала эта интересная поверхность, таящая в себе множество секретов. Я постараюсь раскрыть хотя бы некоторые из них.

Что же такое ТОПОЛОГИЯ?

Лист Мёбиуса – один из объектов топологии. Что же это такое? Дело в том, что топология – это «геометрия положения». Как оказалось, свойства листа Мёбиуса не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Такого рода свойства, несмотря на их кажущуюся непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами – алгеброй и теорией функций. В топологии объектом изучения являются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были целиком из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел к другому. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятие и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, экономике, психологии.

А.Ф Мёбиус считается одним из основателей современной топологии. Сама топология фактически началась именно с листа Мёбиуса. Слово «топология» придумал вышеупомянутый Иоганн Бенедикт Листинг, также предложивший в качестве первого примера одностороннюю поверхность – единожды перекрученную ленту. Наука это молодая, потому и озорная. Иначе и не сказать о правилах «игры», которые в ней приняты: тополог имеет право любую фигуру сгибать, сжимать, скручивать, стягивать и растягивать – делать с ней всё, что душе угодно – только не разрывать и не склеивать. Что самое интересное, при этом он будет считать, что ничего не произошло, и все свойства тела или фигуры остались неизменными. Для него не имеют значения ни углы, ни расстояния, ни площади. А что же тогда интересует тополога? Ответ на этот вопрос несложен: его интересуют общие свойства фигур, не меняющиеся ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофа – «взрыв» фигуры. Поэтому топологию иногда называют «геометрией непрерывности». Она также известна под названием «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность обыкновенного детского надувного шарика и непрерывно менять его форму, и ему остаётся только лишь следить за тем, чтобы шарик не лопнул. А тот факт, что при подобных действиях прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога не имеет ровным счётом никакого значения.

«Сотри случайные черты, и ты увидишь – мир прекрасен», - утверждал русский поэт Александр Александрович Блок. Тополог всегда с огромным энтузиазмом готов внять подобному призыву – во всех окружающих его, казалось бы, простых предметах он ищет качества, важные только ему одному. Например, непрерывность. Это ещё одно немаловажное топологическое свойство. С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой за счёт непрерывности, не нарушая её.

Лист Мёбиуса и его свойства

Чем же интересен лист Мёбиуса?

Лист Мёбиуса (также известный под названием «лента Мёбиуса») – топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем, попасть из одной точки которой в любую другую можно, не пересекая края.

В своей работе «Об объёме многогранников» А.Ф. Мёбиус описал геометрическую поверхность, обладающую невероятным свойством, которое уже неоднократно упоминалось: эта поверхность имеет только одну сторону! Пожалуй, самое удивительное при этом то, что сделать её своими руками очень просто: достаточно лишь взять полоску бумаги и склеить, предварительно повернув один из её концов на 180°. И тогда в ваших руках окажется этот самый знаменитый лист (или лента) Мёбиуса. Убедиться в односторонности данного прелюбопытного объекта не составит труда: просто попробуйте закрасить ленту двумя разными цветами с внутренней и наружной сторон. Как бы вы ни старались, что бы вы ни придумали, у вас это не получится. Зато муравьям, ползающим по листу Мёбиуса на гравюре Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II», не придётся переползать через край, чтобы попасть на другую сторону.

                      

Односторонность – это одно из свойств листа Мёбиуса. Разумеется, в его геометрическом понятии, потому что в нашем общечеловеческом понятии тяжело представить более разностороннюю геометрическую фигуру.

Но у листа есть и другие подобные свойства.

Куда интереснее его другое свойство – связность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на две части. Точно также любой удар ножом разрежет яблоко на две отдельных части. Но чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой прямой до другой, при этом он останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо – двусвязно, а всевозможные решётки, диски с отверстиями и другие сложные фигуры – многосвязны. Что же касается листа Мёбиуса, он, безусловно, двусвязный.

Связность принято оценивать числом Бетти, названным в честь известного итальянского математика и физика, то есть, у листа Мёбиуса число Бетти равно двум, так как сам лист двусвязный. Интересен тот факт, что если лист перекрутить на два оборота, число Бетти становится равно единице, на три оборота – опять двум, и так далее.

Есть ещё несколько любопытных свойств у этого листа. В частности, ориентированность. Конечно, можно было бы подробно описать, что это такое, но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у листа Мёбиуса! Представьте, что в листе заключен целый плоский мир, где есть только два измерения, а населяют его ассиметричные рожицы, как и лист, не имеющие толщины. Если они пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в родные места, то с недоумением обнаружат, что превратились в собственные зеркальные отражения. Но подобное превращение возможно только, если обитатели этого «мира» живут в листе Мёбиуса, а не на нём.

И, наконец, свойство, носящее название «хроматический номер». Он равен наибольшему (максимальному) числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми остальными. Таким образом, если каждую область выкрасить в свой цвет, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. На листе бумаги, даже склеенном в кольцо, ещё никому не удалось расположить больше четырёх цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. Это означает, что хроматический номер этих поверхностей равен четырём. А на бублике число соответствующих областей равно семи. Каков же хроматический номер листа Мёбиуса? Он, как ни удивительно, равен шести.

Лист Мёбиуса в искусстве

Лист Мёбиуса – весьма известная поверхность и загадочная. С момента своего открытия она привлекала людей творческих профессий: писателей, художников, архитекторов, даже ювелиров.

1.                Ярким примером места листа Мёбиуса в искусстве является цитата из романа коста-риканского писателя Хоакина Гутьерреса «Умрём, Федерико?».

«Сегодня учительница показала нам ленту Мёбиуса. Вот это здорово! Возьмёшь бумажную полоску – лучше от газеты, чтобы была длиннее, и увидишь, что полоска имеет две стороны; подтверждение этому – если муравей захочет поползать по одной стороне, он может сколько угодно делать это, но чтобы попасть на другую сторону, он должен обязательно перелезть через кромку. Поэтому и говорят, что полоса имеет две стороны. А вот лента Мёбиуса получается так. Надо перевернуть один конец (стороны) полосы, словно собираешься её закручивать, но делаешь всего один поворот и склеиваешь концы. Тогда бумага будет иметь только одну сторону, и любой, кто захочет, может проверить, если сомневается. Ведя пальцем, будто преследуешь муравья по всей ленте, вдруг убеждаешься, что обе стороны сошлись в одну и не надо пересекать кромку».

2.                Но ещё более романтическое описание листа Мёбиуса мы можем встретить в повести Эдуарда Успенского «Красная рука, чёрная простыня, зелёные пальцы».

«…Но больше всего поразил Рахманина какой-то старинный то ли знак, то ли вензель, то ли орден очень и очень аккуратной работы. Никогда раньше он не видел ничего похожего. Это изделие напоминало или старинный герб иностранного дворянского рода, или герб страховой компании, торгующей научными приборами, потому что основу его составляла лента Мёбиуса.

Эта вещь очень понравилась Рахманину… В знаке совершенно чётко проступал какой-то смысл, были заложены определённые пропорции и связи.

Рахманин зашёл в старую ванную и стал с мылом отмывать загадочный знак старой зубной щёткой. Знак с каждой минутой проявлялся, как хорошая цветная фотография. Он оказался многоэмалевым, тонкой, почти невозможной работы. На нём были написаны какие-то формулы и отлиты что-то означающие фигуры, как на средневековых гербах. Рука с мечом, перерубающая цепь, змея с красными глазами, цветные цветы и многое другое. Вещь была красивая, просто музейная.

3.                Лист Мёбиуса неоднократно использовался художниками и скульпторами. Достаточно таки много разнообразных рисунков с изображением листа оставил знаменитый график Мауриц Эшер (1898 - 1971). Серию вариантов листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл (род. в 1908 г.) В течение почти 20 лет он многократно обращался к листу Мёбиуса, стремясь выразить в скульптуре идею вечного движения и развёртывающейся в пространстве формы. Скульптура «Узел без конца» находится в национальном музее современного искусства в Париже.

«Узел без конца», Макс Билл                                    

    

М. Эшер

 М. Эшер

     М.Эшер

    М.Эшер

  М.Эшер

4.                Лист Мёбиуса также находит своё отражение в ювелирном искусстве.

    «Парадокс и совершенство»                 Кулон «Лента Мёбиуса»        Александр Эткало

Лист Мёбиуса в технике и технологиях

Существовали и существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде листа Мёбиуса, в результате чего поверхность равномерно изнашивается с двух сторон, то есть в два раза медленнее, чем обычная конвейерная лента.

Также в системах записи на непрерывную плёнку использовались ленты Мёбиуса, чтобы удвоить время записи.

В матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Устройство под названием резистор Мёбиуса – это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Никола Тесла запатентовал подобное устройство в начале 1900-х. Катушка для электромагнитов предназначалась для использования в его системе глобальной передачи электричества без проводов.

Кроме всего вышеперечисленного, лист Мёбиуса представляет собой международный символ переработки.

Занимательные эксперименты

Начнём резать лист Мёбиуса по линии, равноудалённой от его краёв. Казалось бы, должны получиться два листа Мёбиуса. Однако, и здесь этот удивительный объект не перестаёт преподносить нам сюрпризы: вместо ожидаемых двух, получится один, вдвое более закрученный лист Мёбиуса, называемый фокусниками афганской лентой.

Если же разрезать полученную длинную ленту по линии, равноудалённой от краёв, получатся две такие ленте, накрученные друг на друга.

Начнём резать лист Мёбиуса на расстоянии ⅓ от края ленты и, не переворачивая её, продолжим резать так до конца. Заметим, что на 3 полоски, как и на 2, лента делится разрезом, ножницы при этом не отрываются. В результате этого лист Мёбиуса разделится на один большой и на один маленький листы, накрученные друг на друга. Если теперь каждый из получившихся листов разрезать пополам вдоль, то получатся три длинных ленты Мёбиуса, накрученных друг на друга.

Теперь разрежем готовый лист Мёбиуса на пять полос, для удобства можно расчертить линии отреза на ещё не склеенном листе. Причём, в этом случае выполняется два разреза, а в результате опыта мы получим один маленький и два больших листа Мёбиуса, так же, как и в других случаях, накрученных друг на друга.

Понаблюдав и проделав несколько таких экспериментов, можно выявить закономерность: разрезая на чётное количество полос, получаем в два раза меньшее количество одинаковых больших лент Мёбиуса, чья длина в два раза больше исходной длины ленты; соответственно, разрезая на нечётное количество полос, мы получаем несколько больших лент Мёбиуса на одной маленькой, чья длина равна длине исходного листа.

Заключение

Хотелось бы закончить свою работу стихами Натальи Юрьевны Ивановой:

Лист Мёбиуса – символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нём бесконечность свёрнута кольцом.

В нём – простота, и вместе с нею – сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперёд и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,

Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай,

Ты в одночасье насладись победой

И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства

Испытывая суеверный страх,

Найдёшь свой путь. Достигнув совершенства,

Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновлённый этим дерзновеньем,

По экспоненте поднимаясь ввысь,

Ты ощутишь восторг освобожденья,

Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростёрлась Вечность,

Что взломан Мироздания пароль.

И вдруг твоё стремленье в бесконечность

Тебя вернёт к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнёшься.

Но как бы ни был прежний путь тернист,

Вновь выбирай (и ты не ошибёшься!)

Путь в бесконечность – Мёбиуса лист!

Использованные материалы

1.     Н. Буркина. Лист Мёбиуса. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика». Москва: Первое сентября, 34/2002, 32 с.

2.     А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова. Я познаю мир. Математика. Москва: АСТ, 1998, 476 с.

3.     http://canegor.urc.ac.ru/training/2/vozp.htm

4.     http://host.km.ru/sashka/ho7/lenta.htm

5.     http://portfolio.1september.ru//collection.edu.ru.htm

6.     http://ru.wikipedia.org

7.     http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm.htm

8.     http://websib.ru/noos/math/listmebiusa/index.html

9.     http://www.chinara.ru/ex_5.htm

10. http://www.mcesher.com