Исследовательская работа по теме "Нуль - это не полный ноль"

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 137

I городская научно-практическая конференция
младших школьников «Учение с увлечением – старт в науку»

Секция «Математика»

Исследовательская работа по теме: 

«Нуль-это не полный ноль!» 

 Работу выполнил Ануфриев Валерий,

                                  ученик 4 а класса

                     МОУ «Средняя общеобразовательная

                                                                        школа № 137»

      Руководитель Мастерова З.П.

      учитель начальных классов

высшей квалификационной категории

Новосибирск 2010г.

Аннотация

              В представленном исследовании рассматриваются вопросы истории возникновения  числа «0» и его трансформации в современную систему записи, закрепляются  основные навыки и умения  путем математических действий с числом.  Дается ответ на вопрос: «Почему нельзя делить на ноль?» путем доказательства. В работе представлены сферы применения числа в различных областях науки  и культуры.

Содержание

Введение……………………………………………………………………      4

1. История возникновения числа……………………………………………   6

2. Основные математические действия с числом «0»……………………     8

3. Почему нельзя делить на нуль? (доказательство)………………………   9

4. Тайны числа и человеческие качества……………………………………. 9

5. Применение числа в современных технологиях………………………… 10

6. Изображение нуля в памятниках культуры……………………………….11

Заключение  ………………………………………………………………….. 13

Список использованных источников информации…………………………15

Введение

Цель исследования: обоснование необходимости расширения логического мышление и развитие памяти  через углубленное изучение представления о нуле,  закрепление умений по применению основных действий с нулем, навыки работы с понятийным аппаратом и научной литературой.

Задачи работы: изучение истории возникновения числа нуль и его трансформации в общепринятую запись во всем мире; знание  основных математических действий с числом «0»; доказательство запрета деления на ноль; исследование тайны числа; теоретическое обоснование необходимости формирования более глубокого  знания о числе;   визуализация основных подходов к  изучение нуля  с помощью программы Power Point для представления результатов исследования.

Способы сбора, анализа и преставления информации: для решения поставленных задач изучалась литература, использовались материалы из интернета, решались примеры, строились таблицы, приводились формулы, результаты исследования представлены визуально с помощью презентации.

         В решении практических задач образовательной системы России сегодня как никогда актуальна проблема формирование  ценностных начал. Преподавание предмета «Математики» в начальной школе должно выстраивается через   внесение в практику педагогических технологий, методов на формирование не только логического  мышления и памяти, но и духовных качеств.  Многочисленные исследования ученых указывают, что в кризисных условиях общества наиболее сложные проблемы социализации испытывают учащиеся школ, что делает задачу формирования  логического мышления через  поиск формирования ценностных подходов к изучению математики наиболее актуальной.

Цифра ноль – одна из самых загадочных во всем числовом множестве: она одновременно таит в себе пустоту и бесконечность. Но без этого «пустого места» сегодня не обходится, ни один расчет.  Известный математик О.Ф. Гулдерен отмечает: «Мне представляется, что цифры всегда использовались, кроме прямого назначения, и для выражения относительных и индивидуальных ценностей человека. Умножая значение цифр и чисел, «ноль» получает удовольствие от того, что приносит им пользу и по этой причине в ответ на это не ждет никакой награды. Такое поведение «нуля» цифры все время встречают c одобрением. Но он думает, что сам по себе не имеет никакой ценности и приобретает важность, лишь находясь рядом с ними. И этим скромным поведением он заслуживает исключительное уважение каждой цифры» (2,3).  Как и у других цифр, у «нуля» тоже есть одна цель: познать бесконечное, т.е. не исчезнуть, быть вечным и обрести бесконечность. Но, к сожалению, он никак не может достигнуть бесконечности». На протяжении тысячелетий люди обходились без ноля: эта цифра была неведома ни египтянам, ни римлянам, ни грекам, ни древним евреям.

«В цифре ноль таится намек на неописуемое и невыразимое, в ней заключено беспредельное и бесконечное. Вот почему ее издавна боялись, ненавидели, а то и запрещали», - пишет американский математик Чарльз Сейф, автор книги "Биография цифры ноль"(12,25).    

Известно, что римские цифры придумали в Риме. Возможно «ноль» придумали арабы, мы же пишем арабскими цифрами. Почему нельзя делить на ноль, где эта цифра находит применение.  Чтобы ответить на все вопросы, необходимо  целое исследование.

1. История возникновения числа

Ноль это поня­тие изобретенное. Это одно из величайших дости­жений человечества, это целая теория, которая оказала влияние на историю человечества, потому что внесла большой вклад в развитие высшей ма­тематики.

      Из энциклопедии можно  узнать, что ноль можно  называть нуль и что произошел он (от латинского слова nullus – никакой) - цифровой знак, обозначающий число ноль, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда. Это то, что известно в школе. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд. Поначалу необходимость ноля была не очевидна, ведь за этим значком не скрывается никакой реальной величины. Так - пустота, ничто! Между тем ныне на этом "пустом месте" строится все здание современной математики. Припишите позади любой цифры невзрачный нолик, и значение числа возрастет в 10 раз.

Первый в истории ноль изобрели вавилонские математики и астрономы. Еще 300 лет до н. э. ученые Вавилона в своих расчетах вовсю жонглировали нолем. 
        Ноль в представлении вавилонян выглядел совсем не так, как теперь. Он изображался в виде двух поставленных наискось стрел. Значит, первоначально ноль был не цифрой, а лишь знаком пробела. Он не участвовал в математических операциях, а лишь помогал записать то или иное число. Так, тройка, за которой следовал пробел, превращалась в тридцать. Пробел был составной частью числа, но не числом. Складывать его с другими числами было невозможно. Некоторые исследователи предполагают, что нуль быль заимствован у греков, которые ввели в качестве нуля букву «о». Другие, наоборот, считают, что ноль пришёл в Индию с востока, он был изобретён на границе индийской и китайской культур.
Независимо от вавилонян ноль изобрели племена майя, населявшие Центральную Америку. Как и у вавилонян, ноль у майя был не числом, а лишь значком пробела и не участвовал в операциях сложения, вычитания. А в греческих и римских числах использовались буквы и значки.
Лишь у индийцев, впервые в истории человечества, появляется ноль как математический символ. В Индии, в отличие от Греции, никогда не испытывали ужас перед бесконечным или пустотой – наоборот, перед              этими понятиями преклонялись.

Поначалу индийцы пользовались словесной системой обозначения чисел. Ноль, например, назывался словами «пустое», «небо», «дыра»; двойка – словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы», «крылья». Например, число 102 передавалось как «луна – дыра – крылья». Вскоре вместо букв ввели особые значки – цифры.

Прежде чем «ноль» попал на Запад, он проделал долгий путь. Арабы вторглись в Испанию и завоевали почти всю ее территорию. Потом они захватили часть Индии. Там они познакомились с принятой индийцами системой счисления и переняли ее. С тех пор стали говорить (и говорят) об «арабских цифрах».

Запись чисел с выделением десятков изобрели в Индии около V века. Ученый Ариабхата изложил десятичную систему исчисления в посвященном астрономии трактате «Ариабхатиам». Через столетие другой индийский мыслитель, Брахмагупта, уже свободно оперировал достижениями предшественников, а также понятием ноля. К тому времени многие народы далеко ушли от первобытной системы счета с делением на «один, два, много», но до изобретения числа, обозначающего «ничего», додумались только в Индии.   В IX веке «Ариабхатиам» перевел на арабский язык ученый Аль-Хорезми, и это способствовало широкому распространению индийской системы цифр. В Европу она попала из Кордовского халифата в конце X века, и так уж повелось, эти цифры стали называть арабскими. Нынешний вид арабские цифры приобрели не сразу и представляют собой итог многовекового творчества разных людей. Индийцы вообще записывали их сначала буквами санскритского алфавита. Арабские математики несколько видоизменили индийские цифры под свое письмо, а европейцы уже исказили или полностью заменили начертание всех девяти цифр. Кроме ноля — его манера изображения осталась неизменной со времен изобретения, как показано на рисунке 1.

Рис.1 – Трансформация записи чисел в общепринятую систему во всем мире

         В последующие века значение ноля стремительно возрастает. Разумеется, возникает одна проблема, когда пытаются рассматривать ноль и отрицательные числа как числа: насколько корректно они введены относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления. В трех фундаментальных работах индийские математики Брахмагупта, Махавира и Бхаскара попытались преодолеть это затруднение.

Действительный ноль является границей между областью положительных и областью отрицательных чисел. Ноль не имеет знака. Иногда множество действительных чисел разделяют на три подмножества: положительные, отрицательные и беззнаковые числа. При этом беззнаковые числа — множество, состоящее лишь из ноля. Множество беззнаковых чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.

2. Математические действия с цифрой «0»

 Ноль — это нейтральный элемент для операции сложения (то есть при сложении с нулём число не меняется). Умножение любого элемента множества на ноль  даёт ноль. Деление на ноль невозможно, так как приводит к противоречию, — в самом деле, если бы результатом деления числа на ноль было бы какое-нибудь число b, то мы имели бы c одной стороны , c другой стороны . Результатом деления 0:0 могло бы считаться любое число а, так как для всех a , но так как считается, что результатом деления должно быть единственное число, то этот случай также исключается, но в численных методах ноль рассматривается как бесконечно малая величина, а не число, и тогда результат деления любого числа (величины) на 0 будет равен бесконечности, 0 или самому этому числу в зависимости от дополнительных условий.

В зависимости от множества, на котором определена операция сложения, ноль может иметь различную природу. Обычно имеют в виду действительный ноль, то есть ноль в контексте множества действительных чисел; комплексный ноль; ноль-многочлен; ноль-вектор. Основные математические действия с числом «0», представлены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1 -  Примеры   математических действий по сложению и вычитанию с числом «0»

Действие	Буквенная запись	Словесная формулировка	Мои примеры
Сложение	a + 0 = a 0 + b = b	Если  одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому.	562 + 0 = 562 0 + 275 = 275
Вычитание	с – 0 = с	Если из числа вычесть нуль, то получиться число из которого вычитали.	375 – 0 = 375
	d – d = 0	Если уменьшаемое и вычитаемое равны нулю, то разность равна нулю.	743 – 743 = 0

Таблица 2 -  Математические действия с числом «0»

Действие	Буквенная запись	Словесная формулировка	Примеры
Умножение	0 х b = 0 d х 0 = 0 С х b х 0 =0	Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.	0 х 312= 0 933 х 0 = 0 356 х 0 х 2 = 0
Деление	0 :  с = 0	Если нуль разделить любое другое число, то получиться нуль.	0 : 7 = 0

3. Почему нельзя делить на ноль?

Деление, это операция, обратная умножению. То есть, деление числа А на число Б это поиск такого числа Ц, которое при умножении на число Б дает в результате число А. То есть: если А:Б=Ц то Б*Ц=А. Посмотрим, что было бы, если бы на 0 было можно делить. Допустим, делим число 10 на 0. Мы должны найти такое число, которое при умножении на 0 даст 10.
Но: 1*0=0, 2*0=0, 3*0=0, ... , 120*0=0, 121*0=0..., да какое число ни возьми, все равно в результате его умножения на 0 так 0 и останется, никак 10 не получить. Вот поэтому и принято считать, что на ноль делить нельзя.

А почему 0 на 0 нельзя? Ведь 0*0 равно 0. Значит, если 0 разделить на 0, должен получиться 0! Правильно? Правильно, да не совсем. 1*0 то же будет ноль. И 5*0 то же будет ноль. Так почему при делении ноль на ноль должен именно ноль получиться? Ведь так рассуждая, в результате может быть любое число. А математики говорят, что получится «неопределенность». А в школьном курсе, просто считается: «На ноль делить нельзя!».

4. Тайны числа и человеческие качества

 

У людей говорят: «Не шути с огнем!» –

А у нас говорят: «Не шути с нулем!»

У нуля про запас сотни каверз и проказ,

Нужен глаз за ним да глаз!

Ноль вообще считается символом неудач. Когда он появляется в дате рождения, это приносит неудачу. Даже десятый месяц в году (октябрь), будучи 10-м, приносит неудачу, хотя и в меньшей степени. Появление нуля в году рождения также приносит неудачу. Комбинация нуля с другим числом уменьшает влияние этого числа. Люди, имеющие ноль в дате рождения, должны в своей жизни больше бороться, чем те, у которых нуля нет. Присутствие более чем одного нуля в дате рождения - например, октябрь (десятый месяц) 10, 1970 (и особенно 2000) - вынуждает очень много работать в жизни.

В нуле присутствуют все числа от 1 до 9, и когда ноль соединяется с этими числами, то развивается особая серия чисел. Например, когда ноль объединяется с числом 1, образуется серия чисел с 11 по 19. Введение нуля с целью развития математики, общей науки, и современной технологии привело человечество к веку компьютеров. Традиционные западные соответствия для этого числа: беспредельность, непознанность, безграничность, истина, чистота, любовь, альфа и омега, В русском языке известны следующие пословицы, крылатые слова:

Ноль без палочки – ничего не стоящий.

Ноль внимания – полное равнодушие, безразличие  со стороны кого-либо к кому-либо или чему-либо.

Абсолютный нуль, круглый ноль – человек ничтожный, совершенно бесполезный в каком - либо деле.

Сводить к нулю – лишать всякого смысла, значения.

Ноль – начало всех времен... Только где это начало? Может быть, это момент возникновения Вселенной? Но если такой момент и был, то очень давно, и точно сказать, сколько лет прошло с тех пор, никто не сможет – разве что примерно, с точностью до миллиардов лет. А считать годы нужно. Но раз неизвестно, когда состоялось «сотворение мира», почему не поступить так же, как и с расстояниями? Выберем какое-нибудь знаменательное событие, скажем, что оно произошло в нулевой момент времени, и от него пойдет первый год. Так мы и делаем: говорим, что первый год нашей эры начался с Рождества Христова, а все, что было до того – было до нашей эры.

5. Применение числа в современных технологиях

Во-первых,  ноль занимает почетное место на различных числовых шкалах, например на градусной. И ныне      мы постоянно оперируем относительно нулевой  отметки. Температура выше нуля, ниже нуля.                    

Во-вторых, без ноля не существовало бы современной компьютерной техники. А представить себе  современную жизнь без компьютера уже так же трудно.

В-третьих, ноль – удобное обозначение начала пути. Если вы едете по шоссе, мимо вас мелькают километровые столбы: 10 км, 11 км, 12 км... от чего? От главного почтамта того города, откуда вы выехали. Расстояние от почтамта до него самого же равно нулю – ни идти, ни ехать не надо... По железным дорогам России все расстояния считают от Москвы (кроме Октябрьской железной дороги, где отсчет идет от Санкт-Петербурга). Так что Москва – это ноль на карте железных дорог, точка, из которой все начинается.

В-четвертых, отчет времени. Круглым числом 0 заканчивается предыдущий век (до н.э.), а не начинается новый. И 2000 год – это последний год XX века, а вовсе не первый год третьего тысячелетия.

В математике :нулевое число Фибоначчи, нулевое число Мерсенна, нулевое треугольное число ; N⁰ = 1, при . 0⁰ неопределено, однако  ; 0 является целым числом и делится на все натуральные числа; 0! (ноль факториал) определяется как 1. В других областях: ASCII-код управляющего символа NUL , музыкальный интервал прима  - охватывает 0 ступеней.

6. Изображение нуля в памятниках культуры

 А точка, от которой отсчитывают расстояния в Венгрии, отмечена особо. В этом месте (оно находится в центре Будапешта) поставлен – ни много ни мало – памятник нулю. Ни одна другая цифра не удостоилась таких почестей!

Рис. 2 - Памятник в Будапеште

В Дунайском биосферном заповеднике есть место называемое «нулевым километром». Так называется место, где Дунай впадает в Черное море и откуда начинается отсчет расстояний на реке. Даже соответствующий монумент имеется. Прогуляйтесь немного по пляжу рядом с «нулем». В этот момент вы ступаете по самой молодой суше Европы, которая возникла буквально в последние годы. И обязательно пролезьте через "дырку" в памятном знаке. Лукавые гиды утверждают, что дополнительный ноль в вашей зарплате гарантирован.

На острове Анкудинов, установлен знак нулевого километра. Отсюда ведется отсчет длины Дуная, пролегающего по землям десяти государств Европы. Интересно, что Дунай — единственная река в мире, которую измеряют не от истоков, а из дельты.

Рис.  2 -  Знак «0» на Дунае

Также  это число удостоилось памятника в городе Мюнхене.

Рис.3 -  Памятник числу «0» в Мюнхене

Рис. 4 – Мое хобби - «математика для ног» и получение медалей в форме ноля

Заключение

В моем исследовании я попытался обосновать необходимость расширения логического мышление и развитие памяти через углубленное изучение представления о нуле, закрепил умения по применению основных действий с нулем, получил навыки работы с новыми понятиями, научной литературой, компьютером.

Я узнал, что «ноль» это поня­тие изобретенное. Это одно из величайших дости­жений человечества, это целая теория, которая оказала влияние на историю человечества, потому что внесла большой вклад в развитие высшей ма­тематики.

Ноль пришел к нам из Индии, а персидский математик Аль-Хорезми посоветовал ставить пустой кружок на то место где должно помещаться «ничто». На языке Древней Индии «кружок» - «сунья». Арабы перевели это слово на свой язык, и стал наш нуль называться «сифр». «Сифр» - «цифра».

С тех пор всех его братьев и сестер стали называть  арабским именем нуля. Все они теперь цифры: и 0 – цифра, и 5 – цифра, и 6 – цифра. Также я узнал, что в римской системе счисления цифру ноль не использовали, вместо этого у них были буквы и черточки. А само слово «нуль» возникло позже от латинского слова – «ничто».

Как ни странно, «ничто» - самая важная цифра нашей счетной системы! Казалось бы, пустота, воздух – а какая сила! Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд.

      Из курса математики в начальной школе нам известны математические действия с числом «0».  С помощью визуализации моих примеров я представил их наглядно на слайдах презентации.

С помощью доказательства я попытался обосновать ответ на вопрос: «Почему нельзя делить на ноль?». С помощью дополнительной литературы я узнал, какие тайны хранит в себе эта цифра.

Известные математики и психологи приписывают цифре человеческие качества: скромность и великодушие.  В религии является числом неудач, когда появляется в дате рождения человека. А философы дают такие соответствия для числа как, любовь, пространство, вечность и истина. Мне стали известны множество пословиц и  крылатых слов. С точки зрения русского языка Толковый словарь называет "нуль" устарелым, а "ноль" - более современным словом.  

Значение ноля весьма велико в современных технологиях: ноль занимает почетное место на различных числовых шкалах, например на градусной.   И ныне мы постоянно оперируем относительно нулевой  отметки. В науке говорят абсолютный ноль температуры. Без ноля не существовало бы современной компьютерной техники. А представить себе  современную жизнь без компьютера уже так же трудно.

Ноль – удобное обозначение начала пути. По железным дорогам России все расстояния считают от Москвы это ноль на карте железных дорог, точка, из которой все начинается (кроме Октябрьской железной дороги).

В отчете времени круглым числом 0 заканчивается предыдущий век (до н.э.), а не начинается новый. И 2000 год – это последний год XX века, а вовсе не первый год третьего тысячелетия. Даже памятников удостоился ноль  в городе Мюнхене и в Будапеште. Ни одна другая цифра не удостоилась таких почестей! Мое хобби – математика для ног. Так называют спортсмены спортивные бальные танцы, которыми я занимаюсь. Ну и конечно, люблю получать медали в форме ноля.

Надеюсь в старших классах еще больше узнать об этой замечательной цифре. В заключении мне хотелось привести стихи О.Емельяновой:

«Цифры все хоть что-то значат,
Только Ноль несчастный плачет –
Он не значит ничего,
Будто бы и нет его.
Девять с ним дружить не хочет,
Восемь голову морочит,
Семь, Шесть, Пять смеются вслед,
И Четверке дела нет.
Стали Три и Два дразниться.
И пошел Ноль к единице.
Позади нее он встал
И ничем быть перестал».

Список используемых источников информации

1.     Глейзер Г.И. История математики в школе: 4-6 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981, стр.80.

2.     О.Ф. Гульдерен «Тайны числа ноль», журнал «Грани», М., №10-12,2007г

3.      Зоркина А.Е., Ларионов В.В.. Математика, Санкт-Петербург. «Весь»,  2008г.

4.     М.Королева «О ноле», «Российская газета» 26.05.2006г.

5.      Моро М.И.и др. Математика. Учебник для 4 класса. Ч.2, М. Просвещение, 2008г.

6.      Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин и др. – М.: ООО «Изд. АСТ-ЛТД», 1997, стр.28.

7.     Школьный курс по основным предметам. Санкт-Петербург. ОАО «Весь», 2008г.

8.     http://www.segodnya.ua/news/238970.html

9.     http://jtdigest.narod.ru/dig2_02/null.htm

10. http://www.dobrieskazki.ru/matematika_0.htm

11. http://kosilova.textdriven.cjm/narod/studia3/math/translatio/zero.htm-электронный вариант книги Дж. Дж. О’Коннор,  Е.Ф. Робертсон «История нуля»

12. http://www.alleng.ru/d/math/math166.htm  - выдержки из книги Чарльза Сейф "Биография цифры ноль".