Исследовательская работа по теме: " Решение задач с помощью КРУГОВ ЭЙЛЕРА"

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым Малая академия наук «Искатель»

Направление: математика

Решение задач с помощью кругов Эйлера

                                  г. Красноперекопск– 2017

Работу выполнила:

Шумилина Мария Сергеевна,

ученица  7-Акласса муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 5» муниципального образования городской округ Красноперекопск

Научный руководитель:

Шеина Елена Николаевна, учитель математики  муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа №5» муниципального образования городской округ Красноперекопск

СОДЕРЖАНИЕ:

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………    3

ГЛАВА 1. Немного из истории………………………………….5

ГЛАВА 2. Из теории множеств……………………………………….7

              2.1.  Понятие множества.……………………………………..8

             2.2.   Операции над множествами. …………………………..9

ГЛАВА 3. Решение задач с помощью кругов Эйлера ………………..10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ   ИСТОЧНИКОВ ………………….23

                                                  ВВЕДЕНИЕ

                    Ничто так не способствует

                                            формированию мыслительной культуры,

                                                    как решение логических задач. Математика-

                                 не сухая и скучная наука, а  полная

                                     необычных  и интересных открытий

          Решать логические задачи очень увлекательно. Есть люди, для которых решение логической задачи - увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу они  приходят необычайно быстро. Замечательно, что при этом не могут объяснить, как пришли  к решению.

       Логические задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам.

Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным.                                                                  Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению.

 Актуальность  состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с другой стороны, уметь  выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь.

Цель  работы:

- познакомится с кругами   Эйлера – Венна;

 -научиться применять способ решения задач с помощью кругов                                                                               Эйлера;

 -составлять задачи практического содержания.

 Глава 1.   Немного из истории

Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии в 1707г. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ - первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению. В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма.

      Эйлер много работает в области математического анализа. Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции. В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку-топологию.

    Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В -Р + Г = 2. Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердого тела, а не только материальной точки или твердой пластины. Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.

       Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.

С1761 по 1768 год им были написаны знаменитые «Письма к немецкой принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения».       

  После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логика». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

Глава 2. Из теории множеств

2.1.  Понятие множества.

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты – элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы – ученики ),множестве дней недели (элементы – дни недели ), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы – числа 1, 2, 3, 6 ) и т. д.

        В курсах алгебры и алгебры начало анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

       Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество M состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: M = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество

( является элементом данного множества M) записывается с помощью специального значка  следующим образом: 2M; а то что число 5 не входит в это множество ( не является элементом данного множества M ), записывается так: 5  M.

      Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, - пустое множество. Например: множество простых делителей числа 1 – пустое множество.

     Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом , множество всех натуральных чисел – буквой N, множество всех целых чисел – буквой Z, множество всех рациональных чисел – буквой Q, а множество всех действительных чисел буквой R. С помощью кругов Эйлера – Венна это можно изобразить так:

                                                           Рис.1

 Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B.

 Это записывают следующим образом: A  B.

   

	B
			A

 

                                                         Рис.2

 2.2. Операции над множествами.

  Над множествами можно выполнять определенные действия: находить их    пересечение, объединение. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов.

       Пересечением множеств A и B называют их общую часть, то есть множество C всех элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B

  Пересечение множеств обозначают знаком ∩ и записывают  A ∩ B . 

В

                                                           Рис.3

   Объединением множеств A и B называют множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (A или B). Объединение множеств обозначают знаком  и записывают  A  B

 

 Глава3. Решение задач с помощью Кругов Эйлера

Задача № 1.

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки.

Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько  школьников не увлекаются коллекционированием.

Решение.

В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки.

чтобы легче решать задачу, представим ее данные на следующей схеме

Рис.5

На этой схеме большой круг означает всех школьников, о которых идёт речь. Круг З изображает школьников, собирающих значки (всего их 23), а круг М - школьников, собирающих марки (всего их 35). В пересечении кругов З и М стоит число 16 - это те, кто собирает и значки, и марки. Значит, только значки собирает 23 - 16 = 7 человек, только марки собирает 35 - 16 = 19 человек. Всего марки и значкисобирает19 + 7 + 16 = 42 человека. Остаётся 52 - 42 = 10 человек, не увлечённых коллекционированием. Это число можно вписать в свободное поле круга.    Ответ: 10 человек.

Задача 2.

В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимается волейболом и 9 баскетболом. Сколько мальчиков занимается и  тем, и другим?

Решение.

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера .  Этот рисунок подсказывает нам рассуждения. Разберём это рассуждение и впишем нужное число в каждую из образовавшихся на диаграмме частей .

Пусть всеми видами спорта занимаются  х мальчиков. Тогда  только волейболом  занимаются (10-х) мальчиков, а только баскетболом (9-х) мальчиков. Составим уравнение: 10-х + х+ 9-х=15, откуда х=4

 

                  В

                       10-х                            Б

                                      х               9-х

                                    Рис.6

Ответ: 4 человека.

Задача № 3.

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Чучело», 11 человек – фильм «Выше неба», из них 6 смотрели и «Чучело», и «Выше неба». Сколько человек смотрели только фильм «Выше неба»?

Решение:  Чертим два множества таким образом:  6 человек, которые смотрели фильмы «Чучело» и «Выше неба», помещаем в пересечение множеств.

15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Чучело».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Выше неба».

 Получаем:
                                  

      Рис.7

  Ответ. 5 человек смотрели только «Выше неба».

Задача № 4.

В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 - Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти в театр?

Решение.

Только большой театр посетят: 52-12=40 туристов;

только художественный театр посетят

 30-12=18 туристов;

80-(40+18+12)=10 туристов не собираются идти в театр.

                         Рис.8

      Ответ: 10 человек.

Задача № 5.

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?

Решение.

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

                         

                                                          Рис.9

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри.

Следовательно, 26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал Рон.                                          Ответ. 8 книг прочитал Рон.

Задача№6.

  В туристической группе из 100 человек 75 человек знают немецкий язык, 65 человек - английский язык, а 10 человек - не знают ни немецкого, ни английского языка. Сколько туристов знают два языка?                                              Решение.

 Изобразим условие задачи в виде кругов Эйлера.

   

Легко видеть, что 90 туристов (100-10) знают хотя бы один язык; Пусть х туристов знают и английский , и немецкий языки. Тогда (65-х) туристов знают только английскй, а (75-х) человек только немецкий. Получим уравнение 65-х+75-х+х=90, откуда х=50 – туристов знают оба языка.                                                                                      Ответ: 50 туристов.

Задача№7.

       Сколько человек  участвует в прогулке, если известно, что 16 из них взяли бутерброд с  ветчиной, 24 - с колбасой, 15 - с сыром,  11 и с  ветчиной, и с колбасой,  8 и с ветчиной, и  с сыром,  12 и с колбасой, и с сыром, 6-бутерброды всех видов, а  5- взяли пирожки?                                                                                                                            Решение:  Изобразим множества следующим образом:     Рис.11

16+24+15-11-8-12+6=30(чел)  -   участвовали в прогулке и с собой брали бутерброды или  3+2+6+5+7+6+1=30(чел)

30+5=35(чел)  -  участвовали в прогулке
Ответ. 35 человек

Задача №8

В 5 классе нашей школы 22, в 6 классе – 16, в 7 классе – 23 ребят. Известно, что кружки по лыжам, шахматам и спортивным играм ходят 4 человека.  Каждые две секции посещают 9 человек. Сколько  человек ходит из каждого класса на секции? Сколько учеников не ходит ни на какой спортивный кружок?

 Решение. Если на все три кружка ходят 4 ученика, а на каждые два – 9 человек, то две секции  с 5 и 6 класса, с 6 и 7 класса, с 5 и 7 класса посещают по 5

человек.

                                 

                                                Рис.12

Получаем 5+5+4=14 пятиклассников посещают кружки, 22-14=8 человек не ходят ни на какой кружков. Рассуждая также,  из  шестиклассников 16-14=2 ученика никуда не ходя, а из семиклассников – 23-14=9 человек.

Ответ: 14 учеников с каждого класса посещают кружки, не ходят ни на какой из 5-ого – 7, из 6-ого – 2, из 7-ого – 9 учеников.

Задача № 9.

 Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение: Воспользуемся кругами Эйлера.

                                       

                                                              Рис.13                                      

  Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде. 

Задача № 10.

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение. Д - драмкружок; Х - хор; С - спорт. В круге Д - 27 ребят, в круге Х - 32 человека, в круге С - 22 ученика. Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8-3=5

спортсменов, не поющих в хоре и 6-3=3, не посещающих драмкружок. Легко видеть, что 5+3+3=11 спортсменов посещают хор или драмкружок, 22-(5+3+3)=11 заняты только спортом; 70-(11+12+19+7+3+3+5)=10 - не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

                                                              Рис.14           Ответ: 10 человек.

Задача№11.                                                                                                                                        В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

Решение.

                            

                                                          Рис.15                                      

 Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом —(12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30.

отсюда х = 3.

Ответ: 3 человека.

Задача № 12.

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Решение:

Нам известно, что во всех трех странах было 5 сотрудников. В Англии и Италии тоже 5, значит эти же сотрудники были и во Франции и поэтому в пересечении кругов А и И ставим 0. В Франции и Италии нам неизвестно поэтому пишем х-5 в пересечении кругов А и Ф. Т.к. в Англии было 6 человек, то 6-5-1=0 пишем 0,во Франции 16-х+5-6 и Италии 10-х+5-5 и всего в фирме 19 сотрудников, то остается составить и решить уравнение: 1+16-х+5-6+5+х-5+10-х+5-5=19, отсюда х=7, значит в Италии и Франции побывало 7-5=2 сотрудника фирмы.  

                         

                                                           Рис.16

Ответ: 2 сотрудника.

Задача № 13.

Ребят, которые хотят обмениваться различного рода журналами, собралось 10 человек. Среди них выписывают К -  6 человек, Т – 5 человек, Ю – 5 человек, К и Т – 3 человека, Т и Ю -2 человека, К и Ю – 3 человека., а один человек не выписывает ни одного журнала., но читает все эти журналы в библиотеке.  Надо узнать, сколько человек выписывают все три журнала, сколько – два, а сколько – только один журнал.

Решение. Пусть большой круг, состоящий из 10 человек, – это множество всех ребят, обменивающихся журналами. Внутри большого круга нарисуем три меньших круга: К, Т, Ю, которые изображают ребят, подписавшихся на соответствующие журналы.. Известно, что один человек не выписывает ни одного журнала.

Пусть х ребят выписывают все три журнала, тогда (3-х)ребят выписывают только К и Т, (2-х) –только Т и Ю, (3-х)- только К и Ю. Значит, только журнал К выписывают 6-(3-х+х+3-х)=х человек, журнал Т   5-(3-х+х+2-х)=х, журнал Ю 5-(3-х+х+2-х)=х.

  Рис .17

Составим уравнение: х+3-х+3-х+х+х+х+х+2-х=9, 8+х=9,х=1

 Итак,  3 – это число ребят, подписавшихся только на один журнал,  5 – это число ребят, подписавшихся на два журнала, а 1 – число ребят, подписавшихся на все три журнала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

                                                           Предмет математики настолько   серьезен,

                                                       что нельзя  упускать случая сделать

                                                       его   немного  занимательным.

                                                                                                              Б. Паскаль

       Среди математических задач логические задачи занимают особое место Решение таких задач способствует развитию математического мышления. Они отличаются от большинства математических задач тем, что для их решения часто не требуется запас каких-то специальных знаний, а нужна, как правило, сообразительность. Одна из характерных черт любой логики состоит в том, что она позволяет, получив некоторую информацию, извлечь (выявить) содержащиеся в ней новые знания.

         Оказывается  приемов, с помощью которых можно решать  текстовые логические задачи, несколько. Они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения.                                                                                                                                                                    

       В моей работе рассмотрены задачи, которые состоят из множества данных.   Найденные решения подчиняются одному и тому же способу: составляем рисунок; заносим первоначальные данные в круги; анализируя и рассуждая,  записываем результаты в части кругов; ищем и записываем ответ.  Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению. Кроме того  с их  помощью  можно ответить на множество вопросов, поставленных к одному условию задачи.

Данная  тема расширила мой математический кругозор, обогатила  арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач.

                   Список используемых источников:

1. Гаврилова Т. Д..Занимательная математика. 5 - 11 классы.  Волгоград: Учитель, 2005.-96 с.

2.  Германович П.Ю. «Сборник задач по математике на сообразительность».

3. Гетманова А. Д. Логические основы математики 10 – 11 класс: учебное                      пособие. – М.: Дрофа, 2005.

4. Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — С. 232.

5. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. «Внеклассная работа по математике».                                                                 М.: Просвещение, 1984.

6. Нелин Е.П.,  Долгова О.Е.. Учебник алгебра и начала анализа 11 класс.

Тезисы к работе

Тема моей исследовательской  работы «Решение задач с помощью кругов Эйлера ». При подготовке к олимпиаде  я столкнулась с задачами, в которых большое количество данных. Оказывается, упростить решение таких  задач помогают так называемые круги Эйлера, с помощью которых можно изобразить множество элементов, обладающих определённым свойством. Целью данной работы является   изучение этого способа и умение применять его для  решения задач.

В  работе рассмотрены   задачи, решение которых подчиняются одному алгоритму: составляем  рисунок; заносим  первоначальные данные в   круги, начиная с  условия  которое содержит больше свойств;  анализируя и рассуждая    записываем результаты в части круга; записываем ответ.

Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с другой стороны, уметь  выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь. Способ, рассмотренный в работе  доступен и легок в понимании, что позволяет расширить круг его применения. Круги  Эйлера  можно встретить и в истории, и в биологии, и при изучении других предметов.

Материал,который был исследован в  работе ,а также практическая часть, могут быть применены на   дополнительных занятиях,  при  подготовке  к  математическим   олимпиадам .