Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Физика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по теме: «Сфера и шар – обычные геометрические тела».
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Физика

Исследовательская работа по теме: «Сфера и шар – обычные геометрические тела».

библиотека
материалов


‌‌‌V‌ районная научно-практическая конференция исследовательских, проектных и творческих работ учащихся «Первые шаги в науке»












Исследовательская работа по теме:

«Сфера и шар – обычные геометрические тела».





Выполнил: ученик 9 класса МБОУ

«Кочетовская средняя общеобразовательная школа» Романов Дима.



Руководитель: учитель математики и физики Тремаскина В.С.















Содержание


Введение ___________________________________________________________3

1. История изучения геометрических тел: шар, сфера_______________________3

2. Сфера и шар.

2.1. Понятие сферы и шара___________________________________________3-4

2.2. Уравнение сферы________________________________________________4

2.3. Взаимное расположение сферы и плоскости_________________________4-6

2.4. Касательная плоскость к сфере____________________________________6-7

2.5. Площадь сферы и объём шара____________________________________ 7

2.6. Получение сферы_______________________________________________ 7-8

2.7. Нахождение сферы и шара в природе______________________________ 9-13

2.8.Сфера и шар в повседневной жизни_________________________________14-15

2.9.Применение сферы и шара в архитектуре____________________________16-22

2.10. Применение сферы и шара в геодезии______________________________23

2.11 Применение сферы и шара в астрономии и географии_________________24

2.12. Сфера и шар в искусстве_________________________________________25

Заключение___________________________________________________________25

Литература___________________________________________________________26


Актуальность выбранной темы.

На протяжении веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области наук. Множество ученых геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его “оболочкой”, носящей название сфера. Многие реальные объекты в физике, астрономии, биологии и других естественных науках имеют форму шара. Поэтому вопросам изучения свойств шара отводилась в различные исторические эпохи и отводится в наше время значительная роль.

Цель исследования: изучить геометрические тела шар и сферу, рассмотреть их применение в разных областях науки, в повседневной жизни, в природе, создать презентацию «Сфера и шар – обычные геометрические тела».

Задачи:

1. Собрать материал о шаре и сфере используя различные источники информации, в том числе Интернет-ресурсы.

2. Систематизировать материал о шаре и сфере.

4. Создать презентацию«Сфера и шар – обычные геометрические тела».

5. Представить работу на уроке геометрии при изучении темы «Сфера и шар».

Объект исследования: сфера и шар

Предмет исследования: элементы и свойства сферы и шара

Гипотеза: Шары нам нужны для того что бы делать наш мир более разнообразным и объёмным.

Методы: частично-поисковый, исследовательский, сравнительный анализ, синтез, практический.

Результат исследования: полученные знания нужны не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, архитекторам, а также при геодезических съёмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать её шарообразность, в повседневной жизни.

Научная новизна: теоретический материал представлен в форме доступной для понимания учащимися старших классов.

Практическая значимость: данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, на уроках при изучении тем «Сфера и шар».


Введение

На протяжении многих веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области науки. Стереометрия, как наука о фигурах в пространстве, неотъемлемо связана со многими из научных дисциплин. К таким дисциплинам относятся: математика, физика, информатика и программирование, а также химия и биология. В последних стоит проблема изучения микромира, который представляет собой сложнейшую комбинацию различных частиц в пространстве относительно друг друга. В архитектуре постоянно используются теоремы и следствия из стереометрии.

       Множество учёных геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его «оболочкой», носящей название сфера. Удивительно, но шар является единственным телом, обладающим большей площадью поверхности при объёме, равном объёму других сравниваемых тел, таких как куб, призма или прочие всевозможные многогранники. С шарами мы имеем дело ежедневно. К примеру, почти каждый человек пользуется шариковый ручкой в конец стержня которой вмонтирован металлический шар, вращающийся под действием сил трения между ним и бумагой и в процессе поворота на своей поверхности шар «выносит» очередную порцию чернил. В автомобильной промышленности изготавливаются шаровые опоры, являющиеся очень важной деталью в автомобиле и обеспечивающей правильный поворот колёс и устойчивость машины на дороге. Элементы машин, самолётов, ракет, мотоциклов, снарядов, плавательных судов, подвергающиеся постоянным воздействиям воды или воздуха, преимущественно имеют какие либо сферические поверхности, называемые обтекателями.

История изучения геометрических тел: шар, сфера

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова « сфайра» - мяч. При этом слово « шар» образовалось от перехода согласных сф в ш.

В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Сфера всегда широко применялась в различных областях науки и техники.

hello_html_94e4755.png

2.1. Понятие сферы и шара

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.


Тело, ограниченное сферой, называется шаром.


Дhello_html_7a7a701c.pngанная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий

через ее центр, называется диаметром сферы.

Центр, радиус, диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.

2hello_html_6d8a91d0.jpg.2. Уравнение сферы



  • Зададим прямоугольную систему координат Оxyz

  • Построим сферу c центром в точке C (x0;y0;z0)

  • и радиусом R

МС = (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2


  • МС = R , или МС2 = R2

следовательно уравнение

сферы имеет вид:

(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2




2.3. Взаимное расположение сферы и плоскости


Дано:

Сфера радиуса R с центром С (х0; у0; z0), точка М (х; у; z) лежит на сфере.

Чему равно расстояние МС?


Т. к. МС = R, то



hello_html_m621a9833.gif



hello_html_720c1961.gif

M


hello_html_m380287a5.gif

R


с

  • С ССС

hello_html_2a85b23d.gif


hello_html_6f1788b5.gif










Дано: плоскость α, сфера (С; R),

d - расстояние от центра С до плоскости α.

Введем систему координат, где точка С (x0;y0;z0). Составим уравнения сферы и плоскости α.

hello_html_m6f1f7e0.gif

z

Пhello_html_2461323f.gifhello_html_39ae460a.gifусть точка С лежит на оси z. Тогда ее координаты (0; 0; d).


Уравнение сферы:


Уравнение плоскости α: z = 0

Исследуем систему уравнений:

hello_html_39ae460a.gifhello_html_m233bf37a.gif



z = 0

hello_html_m7939f86e.gif


Тогда


  • В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…






1hello_html_m5d239fde.jpghello_html_m7939f86e.gif) d < R.

Тогда

уравнение окружности (О; r)

Сечение сферы плоскостью – окружность




2hello_html_298ea602.gif) d = R.

Тогда

Вhello_html_m60d8d909.jpgерно при

х = 0 и у = 0

Сфера и плоскость имеют одну общую точку.








3hello_html_m394dbca0.jpghello_html_m7939f86e.gif) d > R.

Тогда

не имеет решений.

Сфера и плоскость не имеют общих точек.









2.4. Касательная плоскость к сфере

hello_html_mf21b151.png

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.


Теорема. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.


Дано: сфера с центром О и радиусом R, α - касательная к сфере в точке А плоскость.

Доказать: OA hello_html_m5f092d01.gif а.

Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а, тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d < R. Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA hello_html_m5f092d01.gif а.


Докажем обратную теорему.

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.


Дано: сфера с центром О и радиусом OA, а, OA hello_html_m5f092d01.gif а.

Доказать: а – касательная плоскость.

Доказательство: Т.к. OA hello_html_m334164f1.gif а, то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.


2.5. Площадь сферы и объём шара

Площадь поверхности hello_html_m798bbae3.png и объём hello_html_m2c7c87be.png шара радиуса hello_html_m60a040c2.png определяются формулами:

  • hello_html_m4e286ed3.png

  • hello_html_333b942f.png

  • hello_html_m3d72fef0.png

Доказательство  

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке hello_html_1732ecbc.png. Уравнение окружности этого круга : hello_html_m1909bc73.png, откуда hello_html_m50c3f0c5.png.

Функция hello_html_m2060cfdd.png непрерывная, возрастающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

hello_html_m5d4e9f8c.png

Откуда hello_html_mc68b007.pngЧ. т. д.

  • hello_html_m2ef98f01.png

Доказательство 

hello_html_m4b149b6d.pngЧ. т. д.




Чhello_html_m616ac402.pngасть шара, [шар, сфера] осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется круг ABCD. Высотой шарового сегмента называется отрезок NM, т.е. длина перпендикуляра, восстановленного из центра N основания до пересечения с поверхностью шара. Точка M называется вершиной шарового сегмента.

Объем шарового сегмента выражается формулой:


V=π h2( R1/3h)


hello_html_464d2039.png

Шаровой слой — это часть шара [шар, сфера], заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Шаровой поясили Шаровая зона — это кривая поверхность шарового слоя. Круги ABC и DEF это основания шарового пояса. Расстояние между основаниямиON — это высота шарового слоя.

Объем шарового слоя выражается формулой:

V=1/6 π h3+1/2 π(r12+ r22) h

hello_html_m423e05fb.png

Шаровой сектор — это часть шара [шар, сфера], ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара.

Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу

шара:

V=1/3 R S=2/3 π R2 h

hello_html_134cdc50.jpg

2.6. Получение сферы

Сферу можно получить вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ










2.7. Нахождение сферы и шара в природе


Зhello_html_m4e8e560b.pngагадки природы — Шары-послания. Эти загадочные каменные образования идеально круглой формы были обнаружены в конце 1940-х годов в джунглях центрально американской Республики Коста-Рика. Шары имеют размеры от 10 см до 3-4 метров в диаметре. При аэросъемке выяснилось, что они разбросаны по поверхности земли не случайно, а составляют геометрические фигуры. Возможно даже, что шары не разбросаны, а разложены в виде огромной звездной карты; каждый шар — это звезда с соответствующим описанием.

Среди гипотез происхождения шаров есть только экзотические версии: от пришельцев до скульпторов Атлантиды. Есть версия и о том, что шары вырезали (в расчете на будущие дивиденды от туризма) скучающие нацистские мигранты, наводнившие Латинскую Америку после краха «третьего рейха». Естественными причинами объяснить обилие шаров и странные рисунки на них не удалось. В Казахстане при разработке песчаного карьера на достаточно большой глубине также были обнаружены несколько крупных экземпляров таких валунов… Об этой находке сообщала комиссия «Феномен»; увы, фотографий находок не сохранилось.


Хрустальный шарик. Макросъёмка. На ветке какого-то дерева лежит шар из стекла, в нём отражается окружающая его природа. Очень симпатичные жёлтые цветочки и зелёная сочная трава.     

hello_html_m69ad7d.jpg



hello_html_m28626038.gif





















Сhello_html_m794ef39d.jpgветящиеся шары

на фото в местах силы - результат распада урана или плазмоидная форма жизни?

Храм Гроба Господня и другие места Израиля
















Иhello_html_6976f104.jpgнтересное природное явление на берегу мичиганского озера сформировались тысячи правильных ледяных шаров


























Морские водоросли в виде необычных шаров

Странные шары появились на побережье Хэмптона, что на восточном побережье США, в июне 2002 года. Приливная волна стала выносить несметное число таких зеленоватых шаров — мягких, отдаленно напоминающих губку и размером с мячик для тенниса или гольфа. На расстоянии примерно 300 метров или больше весь песчаный пляж буквально был усеян такими шарами. Тут же начались споры— что это и откуда? В дебаты оказались вовлеченными и биологи маринисты, и отдыхающие на пляже, и случайные прохожие. Прежде никто не видел здесь ничего подобного.


hello_html_f572c54.jpg



















Природа боится симметрии, природа не знает идеальных геометрических фигур. Зато человек может заставить природу приобрести эти чуждые ей формы. Наглядный пример тому — творчество корейского художника Lee Jae-Hyo, который создает из стволов деревьев идеальные сферы

hello_html_m2227d92.jpg

























hello_html_m678fd25.jpg




















Тhello_html_m2b47feb1.jpghello_html_27b42e9a.jpgысячи небольших фиолетовых шариков странным образом оказались в центре пустыни в штате Аризона, США. Жители города Тусон Джеральдина Варгас и ее муж обнаружили необъяснимое скопление непонятных шаров пару недель назад во время прогулки по окрестностям. "Мы фотографировали природу пустыни, когда натолкнулись на это странное место... не понимаю, как мы сразу его не заметили? - рассказала Джеральдина журналистам. – Оно просто искрилось на солнце". Фотографы отправили фото со странными объектами своей знакомой зоологу, но она не смогла сказать, что же это такое, у нее даже не было никаких предположений на этот счет.









Шары из минералов.





hello_html_64cc83b4.jpg

hello_html_m18c496cb.jpg


Аметист.Бразилия.

Горный хрусталь.Южный.Челяб.обл.Продан.








Амазонит.Кольский п-ов.Продан.

hello_html_m344a6953.jpg


















2.8 Сфера и шар в повседневной жизни



Нhello_html_m5a89bbec.jpgа геометрический шар похожи глобус, футбольный мяч, новогодние игрушки.

hello_html_m283f9ca2.gifhello_html_e39e36b.jpghello_html_m3fd3c581.jpghello_html_b5bc92d.jpg









hello_html_m5e52c128.jpghello_html_m658aac85.jpg







Шар из пенопласта своими руками

Зорбинг (zorbing) – это один из самых модных экстремальных развлечений на сегодняшний день. Зорбинг позволит вам испытать новые, необычно яркие и мощные ощущения и встряхнуться от обыденности повседневной жизни.



hello_html_288899cb.jpg

























Что такое шар Зорб

Зhello_html_30691937.jpghello_html_25b0716f.jpgорб (ZORB) представляет из себя прозрачную сферу (шар) диаметром 3,2 метра внутри которой находится сфера диаметром 1,8 метра, в которой находится зорбонавт (пассажир зорба). Пространство между этими сферами наполняется воздухом, давлением которого сферы распираются между собой, а стропами, наоборот, удерживаются. Такая система очень хорошо амортизирует, сглаживает неровности трассы и делает катание безопасным.










2.9.Применение сферы и шара в архитектуре


hello_html_6190f11.jpg

Такой дом называется ВИГВАМ. Такие дома строят ИНДЕЙЦЫ.










Шары и полусферы из нержавеющей стали

hello_html_m165a9c41.jpg















hello_html_21bc9c1.jpg

hello_html_60bf8f59.jpg










Фонтан "Вращающийся шар" в Санкт-

Петербурге -







Современные дома

hello_html_606a37f4.jpg

























А если дом не просто на дереве, а ещё и в форме шара.

hello_html_2af2013e.jpg
















Это поселок из самых настоящих круглых домов.

hello_html_m1ae314aa.jpg








Сhello_html_5301bbd7.jpgовременные круглые дома
















hello_html_7f958d37.jpg


















hello_html_7103aaff.jpg
















hello_html_617871e7.jpg


















hello_html_49ff3284.jpg





























Монреальская Биосфера - выставочный павильон США на Экспо-67 в Канаде,

созданная архитектором Ричардом Фуллером.

hello_html_m7568c5e.jpg




















hello_html_66bd7c77.jpg

Отель в виде прозрачных шаров

Вhello_html_51bb19d.jpgо французском городе Рубе (Roubaix) в одном из парков открыли портативные гостиничные номера Hotel Bolha. Сделали это специально для людей, которые даже в центре городских джунглей желают побыть ближе к природе.
Концепцию пузыря придумал дизайнер Пьер Стефан Дюма. Такая продвинутая конструкция была создана с целью временного присоединения постояльцев к неизведанному. Ведь не многие могут себе позволить поспать под круглым потолком.





hello_html_m3f49af9d.jpg


Платье из шаров.
















Дачный офис Скоро весна (а там и лето) и многие начнут ездить на дачу отдыхать. 
Но иногда на даче нужно поработать (чтоб тебя!). Нет места где уединится?
Можно вот в таком вот небольшом шарообразном сооружение «Archipod»: 


hello_html_71411bda.jpg

















hello_html_536f79a6.jpgЭНЕРГОЭФФЕКТИВНОСТЬ в архитектуре. Умный Дом - молекула. 







hello_html_m68f094ee.jpgВ парке науки и техники La Vilette, построенном на месте скотобойни на восточной окраине Парижа, бросается в глаза гигантский шар, в зеркальной поверхности которого отражается парижское небо и окружающий пейзаж. На сегодняшний день это здание считается самым совершенным в мире сооружением сферической формы. Парижане называют его «Жеод» (Gеode). Это – панорамный

кинотеатр с самым большим в Европе экраном. дом-шар зеркало

hello_html_162ffe88.jpg

Такие шары из ниток можно просто подвесить к веткам дерева, если ваш праздник проходит на природе, или к потолку. А также ими можно оформить банкетный стол, дополнив композицию свечами и цветами.

 












hello_html_1cff5698.jpg









2.10. Применение сферы и шара в геодезии.


Картографические проекции

        отображения всей поверхности земного эллипсоида (См. Земной эллипсоид) или какую-либо её части на плоскость, получаемые в основном с целью построения карты.

         Масштаб. К. п. строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в М раз, например в 10 000 000 раз, получают его геометрическую модель —Глобус, изображение которого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1: М (в примере 1: 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. Т. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся поверхностей (См. Развёртывающаяся поверхность)), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т.п., свойственные всякой карте. Основной характеристикой К. п. в любой её точке является частный масштаб μ. Это — величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds на земном эллипсоиде к его изображению  на плоскости: hello_html_m524a8d17.pngμmin ≤ μ ≤ μmax, и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль некоторых линий на карте. Т. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в некотором осреднённом виде. Отношение μ/М называют относительным масштабом, или увеличением длины, разность hello_html_700feffa.pngМ = 1.


 1. Сети сферических координатных линий.

        


hello_html_mdc2cd3c.png



















2.11. Применение сферы и шара в астрономии и географии.


Сhello_html_m1694538.jpgфера и шар, так же как окружность и круг, рассматривали еще в глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки – СФЕРИКИ, изучающей расположенные на сфере фигуры.









Осуществляя кругосветные путешествия, мореплаватели заметили, что при возвращении в то же место наблюдается потеря или выигрыш целых суток, что было бы совершенно невозможно, если бы Земля имела форму диска.

Итак, доказательствами шарообразности Земли в настоящее время служат:

  1. Всегда кругообразная фигура горизонта в океане и в открытых низменностях или плоскогорьях;

  2. Кругосветные путешествия.

  3. Постепенное приближение или удаление предметов;



Иhello_html_m1db4c5cc.pngзучая различные географические карты, мы обнаружили, что в географии есть географические названия, связанные с шаром. Например, между Северным и Южными островами Новой Земли есть пролив, который соединяет Баренцево и Карское моря, который называется Маточкин Шар, или пролив между берегами острова Вайгач и материком Евразии – Югорский Шар. Мы думаем, что эти проливы названы шарами в силу того, что их размеры, форма дна напоминают шаровую поверхность.











2.12. Сфера и шар в искусстве

Математика Эшера

Кроме того, «игрой» с логикой пространства являются картины Эшера, на которых изображены различные «невозможные фигуры»; Эшер изображал их как отдельно, так и в сюжетных литографиях и гравюрах

hello_html_1e4d01dd.jpghello_html_1f78e5c5.jpg









Три сферы. 1946

hello_html_e18f356.jpg





Рука с отражающей сферой. 1935











Заключение


Думаю, что собранный мной материал и знания, полученные в ходе проделанной работы можно использовать на уроках геометрии, труда, в повседневной жизни, в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, а так же на внеклассных занятиях для расширения кругозора учеников.


Литература


  1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч.2. М. Учпедгиз, 1958. Андреев

  2. Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.2. – М: Просвещение, 1987. – 352с.

  3. Базылев В.Т. Геометрия. М: Просвещение, 1975.

  4. Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии. М: Просвещение, 1980. -240с.

  5. Егоров И.П. Геометрия. – М: Просвещение, 1979. – 256с.

  6. Егоров И.П. Основания геометрии. – М: Просвещение, 1984. – 144с.

  7. Задачник «Кванта»: Математика. Часть 1. / Под ред. Н.Б. Васильева. М: 1997.

  8. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве. М. Наука., 1976. – 408с.

  9. Энциклопедия элементарной математики. Кн.4 – Геометрия. М., 1963.

10.Интернет-ресурсы.



hello_html_49f90e62.gifhello_html_7ca7b2d0.gif



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 10.12.2015
Раздел Физика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1970
Номер материала ДВ-247971
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх