Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа + презентация на тему "Магический квадрат" ученика 7 класса

Исследовательская работа + презентация на тему "Магический квадрат" ученика 7 класса

  • Математика

Название документа исследовательская работа.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_6805cdcb.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_58d53235.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_27069183.gifhello_html_470dd447.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_m31e70a38.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_7c1e5f63.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_m6fbda31d.gifhello_html_6060db92.gifhello_html_6805cdcb.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_58d53235.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_27069183.gifhello_html_470dd447.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_m31e70a38.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_7c1e5f63.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_m6fbda31d.gifhello_html_6060db92.gifhello_html_6805cdcb.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_58d53235.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_27069183.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_470dd447.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_m31e70a38.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_7c1e5f63.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_m6fbda31d.gifhello_html_6060db92.gifhello_html_6805cdcb.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_58d53235.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_m6f8b8788.gifhello_html_27069183.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_470dd447.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_m31e70a38.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_7c1e5f63.gifhello_html_6060db92.gifhello_html_2e193ff6.gifhello_html_m6fbda31d.gifhello_html_1a47a95b.gifhello_html_m791807c4.gifhello_html_m2b675ee6.gifhello_html_m37bc21e0.gifhello_html_72fd1fd0.gifhello_html_2fee6bc0.gifhello_html_48cd7d1e.gifМуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение основная общеобразовательная школа №2 рабочего поселка Хор муниципального района имени Лазо Хабаровского края





Исследовательская работа

по математике

«Магические квадраты»








Выполнил: Рычагов Рудольф

ученик 7А класса

Руководитель: Ковалева И.К.

учитель математики






2015 г.

План


Введение

  1. История появления магических квадратов

  2. Способы заполнения магических квадратов

  3. Исследование множества решений магического квадрата.

  4. Практическая значимость

  5. Выводы

Используемые источники

Введение

Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил нам решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 33 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников нашего класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Задачу он решал перебором различных вариантов.

Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться исследовательской работой.

Тема исследования: заполнение магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов, и выяснить какими свойствами обладает множество решений магического квадрата.

Гипотеза:

1) для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это делать быстро;

2) для составления магического квадрата множество чисел должно обладать определенной закономерностью.

Задачи исследования:

  • Познакомиться с историей появления магических квадратов

  • изучить известные способы заполнения магических квадратов

  • исследовать множества чисел для составления магических квадратов 3 и 4 порядка.

Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Этапы исследования:

  1. знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

  2. обработка найденных методов

  3. эксперимент

  4. формулировка выводов

  5. оформление работы

Оборудование:

  • компьютер

  • проектор для демонстрации презентации

  • сопроводительная презентация

  • документ Microsoft Word с подготовленными шаблонами по различным методам.

  1. История появления магических квадратов


МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Согласно легенде, в Китае во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.



рис.1 рис.2

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры .

Основная терминология

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. В таких квадратах сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n  3. Зависимость постоянной квадрата от его порядка можно проследить с помощью таблицы.


Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3).

Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

рис.3

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.


  1. Способы заполнения магических квадратов


Магические квадраты нечетного порядка

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера (сиамский метод). Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.








рис.4

Для облегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения места заполнения следующей клетки, после края квадрата можно воспользоваться следующей схемой

Поставим 1 в среднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагонали вправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мы его переставляем в соответствующее поле в квадрат (см. рис.5).

Изучая различные источники, мы обратили внимание на то, что можно заполнять квадраты и в другом направлении и не обязательно 1 стоит в данной позиции.

Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5, б). По клеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5 ,в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.


Проанализировав данную схему заполнения по рисунку, мы пришли к следующему алгоритму.

  1. В первом квадрате размещаем числа от 1 до n (порядок квадрата), так, чтобы на побочной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

  2. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны. Числа в сроке и столбце не должны повторяться.

  3. Во втором квадрате размещаем последовательные числа, кратные порядку квадрата, начиная с 0, (количество элементов равно порядку квадрата) так, чтобы на главной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

  4. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны.

Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры


1. Метод достроения





*








*

*

*






0

0

0

0

0




*

0

0

0

0

0

*


*

*

0

0

0

0

0

*

*


*

0

0

0

0

0

*




0

0

0

0

0






*

*

*








*





1). Сначала исходный (пустой) квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом 0, а достроенные ячейки - символом *.







1








6

*

2






11

0

7

0

3




16

0

12

0

8

0

4


21

*

17

0

13

0

9

*

51


22

0

18

0

14

0

10




23

0

19

0

15






24

*

20








25






2). Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам сверху-вниз-направо целыми числами от 1 до 25 в натуральном порядке. Результат заполнения показан на следующем рисунке:




3).Каждое число, расположенное в фигуре вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку (на n клеток).







Магические квадраты четного порядка

Четно четные

Порядок которого равен степени числа 2

*

2

3

*

*

6

7

*

9

*

*

12

13

*

*

16

17

*

*

20

21

*

*

24

*

26

27

*

*

30

31

*

*

34

35

*

*

38

39

*

41

*

*

44

45

*

*

48

49

*

*

52

53

*

*

56

*

58

59

*

*

62

63

*

Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.

1). Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечаются диагональные элементы (например, символом *). Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. Результат заполнения недиагональных элементов квадрата 8-го порядка показан на следующем рисунке:

64

2

3

61

60

6

7

57

9

55

54

12

13

51

50

16

17

47

46

20

21

43

42

24

40

26

27

37

36

30

31

33

32

34

35

29

28

38

39

25

41

23

22

44

45

19

18

48

49

15

14

52

53

11

10

56

8

58

59

5

4

62

63

1

2). Отмеченные на шаге 1 диагональные элементы квадрата заполняют пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, а числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены.

Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260.

Метод Раус – Бола

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

Он начинается с того, что квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Затем выполняются перестановки чисел в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим. Сначала рассмотрим случай, когда после деления квадрата на четыре равные части, каждая из них становится квадратом четного порядка. Такой квадрат называется «четный – четный», Для примера возьмем квадрат 8го порядка. Правила построения четно-четного магического квадрата таковы:

1). Разделить заполненный числами от 1 до 82 квадрат на четыре равных квадрата порядка 4.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

2). В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить 2 (8=2*2*2) клетки ( всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок.

1

63

3

61

60

6

58

8

56

10

54

12

13

51

15

49

17

47

19

45

44

22

42

24

40

26

38

28

29

35

31

33

32

34

30

36

37

27

39

25

41

23

43

21

20

46

18

48

16

50

14

52

53

11

55

9

57

7

59

5

4

62

2

64

3). Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку.

4). Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260.



Четно нечетные


Диагональный метод.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Рассмотрим теперь случай, когда после деления квадрата на четыре равные части, каждая из них становится квадратом нечетного порядка. Такие квадраты называются «четно – нечетными».

Построение четно-нечетного магического квадрата производится аналогично построению четно-четного квадрата, но в этом случае применяется три типа перестановок чисел в клетках. Для примера возьмем квадрат 10*10.

1). Разделить заполненный числами от 1 до 100 квадрат на четыре квадрата порядка 5 осями симметрии.

+

+

-

*



+

+

-

*

*


+

+

-

-

*


+

+

+

-

*


+

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100


2). В левом верхнем квадрате порядка 5 выделить 3 группы клеток, пометив их знаками + (голубой цвет), - (желтый цвет) и * (розовый цвет) соответственно. В каждой строке и каждом столбце нужно выделить по 2 [10=2*5=2*(2*2+1)] клетки первой группы. Их можно расставить по главной диагонали и на ломаной диагонали. Клеток второго и третьего типа надо выделить по одной в каждой строке и каждом столбце. В качестве клеток второй и третьей групп можно взять клетки, расположенные на двух других ломаных диагоналях.

[Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края, такую диагональ образуют заштрихованные клетки]



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

3). Для клеток первой группы находим симметричные клетки относительно вертикальной оси, помечаем их тоже знаком + (голубой цвет), т. е. клеток, отмеченных знаком + (голубых) будет 10.



100

99

3

4

5

6

7

8

92

91

11

89

88

14

15

16

17

83

82

20

21

22

78

77

25

26

74

73

29

30

31

32

33

67

66

65

64

38

39

40

60

42

43

44

56

55

47

48

49

51

50

52

53

54

46

45

57

58

59

41

61

62

63

37

36

35

34

68

69

70

71

72

28

27

75

76

24

23

79

80

81

19

18

84

85

86

87

13

12

90

10

9

93

94

95

96

97

98

2

1

4). Содержимое каждой таких отмеченных клеток обмениваем с содержимым соответствующей ей центрально-симметричной клетки.






100

99

93

4

5

6

7

8

92

91

11

89

88

84

16

15

17

83

82

20

21

22

78

77

75

26

74

73

29

30

61

32

33

67

66

65

64

38

39

40

60

52

43

44

56

55

47

48

49

51

50

42

53

54

46

45

57

58

59

41

31

62

63

37

36

35

34

68

69

70

71

72

28

27

25

76

24

23

79

80

81

19

18

14

85

86

87

13

12

90

10

9

3

94

95

96

97

98

2

1











4). Содержимое каждой из 5 клеток, отмеченных знаком минус (желтый цвет), обмениваем с содержимым симметричной относительно горизонтальной оси клетки.

100

99

93

7

5

6

4

8

92

91

11

89

88

84

16

15

17

83

82

20

30

22

78

77

75

26

74

73

29

21

61

39

33

67

66

65

64

38

32

40

60

52

48

44

56

55

47

43

49

51

50

42

53

54

46

45

57

58

59

41

31

62

63

37

36

35

34

68

69

70

71

72

28

27

25

76

24

23

79

80

81

19

18

14

85

86

87

13

12

90

10

9

3

94

95

96

97

98

2

1























5). Содержимое каждой из 5клеток третьей группы, отмеченной * (розовый цвет) обмениваем с содержимым симметричной относительно вертикальной оси клетки.

После этих перестановок получится четно-нечетный магический квадрат с суммой, равной 505.





  1. Исследование множества решений магического квадрата.

Изучая литературу по теме, я сделал вывод, что с увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов, составленных из ряда натуральных чисел: 1, 2, 3, …, n2. Так, например, для 3 порядка – единственный, для 4 - 880, для 5 – приближается к четверти миллиона.

Изучив алгоритмы заполнения магических квадратов, мне захотелось экспериментировать: что произойдет, если вместо последовательности натуральных чисел попробовать использовать для построения магического квадрата другие последовательности рациональных чисел? Получится ли магическая сумма?

Вот некоторые магические квадраты, полученные мною в ходе эксперимента:

Эксперимент 1. Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности, в которой каждое следующее число больше предыдущего на 5 начиная с 5.

Построим квадрат размерностью 3 методом построения ромбовидной фигуры:




5




20


10


35


25


15


40


30




45








=65


20

45

10

=65


15

25

35

=65


40

5

30

=65


=65

=65

=65

=65





Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 65.


Квадрат размерностью 4 построим диагональным методом:



*

10

15

*

25

*

*

40

45

*

*

60

*

70

75

*








=170

80

10

15

65

=170

25

55

50

40

=170

45

35

30

60

=170

20

70

75

5

=170

=170

=170

=170

=170

=170



Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 170.

Вывод: из множества чисел данной последовательности можно составить магические квадраты.

Эксперимент 2. Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности чисел в которой каждое следующее больше предыдущего на 0,3 начиная с 0,3.




0,3




1,2


0,6


2,1


1,5


0,9


2,4


1,8




2,7








=4,5


1,2

2,7

0,6

=4,5


0,9

1,5

2,1

=4,5


2,4

0,3

1,8

=4,5


=4,5

=4,5

=4,5

=4,5


Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 4,5.


Квадрат размерностью 4 построим диагональным методом:



*

0,6

0,9

*

1,5

*

*

2,4

2,7

*

*

3,6

*

4,2

4,5

*








10,2

4.8

0,6

0,9

3,9

10,2

1,5

3,3

3,0

2,4

10,2

2,7

2,1

1,8

3,6

10,2

1,2

4,2

4,5

0,3

10,2

10,2

10,2

10,2

10,2

10,2



Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 10,2.

Вывод: из множества чисел данной последовательности можно составить магические квадраты.

Эксперимент 3. Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности чисел, в которой каждое следующее больше предыдущего на 1/7 начиная с -5/7.




-5/7




-2/7


-4/7


1/7


-1/7


-3/7


2/7


0




3/7








=-3/7


-2/7

3/7

-4/7

=-3/7


-3/7

-1/7

1/7

=-3/7


2/7

-5/7

0

=-3/7


=-3/7

=-3/7

=-3/7

=-3/7


Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны -3/7.


Квадрат размерностью 4 построим диагональным методом:



*

-4/7

-3/7

*

-1/7

*

*

2/7

3/7

*

*

6/7

*

8/7

9/7

*








=10/7

10/7

-4/7

-3/7

1

=10/7

-1/7

5/7

4/7

2/7

=10/7

3/7

1/7

0

6/7

=10/7

-2/7

8/7

9/7

-5/7

=10/7

=10/7

=10/7

=10/7

=10/7

=10/7



Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 10/7.

Вывод: из множества чисел данной последовательности можно составить магические квадраты.


Гипотеза: моя гипотеза о том, что множество чисел, из которых можно составить магический квадрат, должно обладать определенными свойствами подтверждается.

Магические квадраты могут заполняться множеством чисел последовательности, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа.

Такие последовательности в математике называют арифметическими прогрессиями.


Докажем это для магических квадратов размерностью 3 и 4. 

Возьмем последовательность чисел; a, a+d, a+2d, a+3d, …., a+(n^2-1)d. Построим квадрат размерностью 3 методом построения ромбовидной фигуры:




a




a+3d


a+d


a+6d


a+4d


a+2d


a+7d


a+5d




a+8d








= 3a+12d


a+3d

a+8d

a+d

= 3a+12d


a+2d

a+4d

a+6d

= 3a+12d


a+7d

a

a+5d

= 3a+12d


3a+12d

3 a+12d

3a+12d

= 3a+12d


Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 3a+12d.

Квадрат размерностью 4 построим диагональным методом:



*

a+d

a+2d

*

a+4d

*

*

a+7d

a+8d

*

*

a+11d

*

a+13d

a+14d

*








4a+30d

a+15d

a+d

a+2d

a+12d

4a+30d

a+4d

a+10d

a+9d

a+7d

4a+30d

a+8d

a+6d

a+5d

a+11d

4a+30d

a+3d

a+13d

a+14d

a

4a+30d

4a+30d

4a+30d

4a+30d

4a+30d

4a+30d



Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 4a+30d.


Вывод: Магические квадраты могут заполняться любыми числами, составляющими арифметическую прогрессию.




  1. Практическая значимость

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание любителей математических игр и развлечений. Много книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности.

Магические квадраты и их модификации используются как метод решения заданий, облекая их в занимательную форму. Эта форма может представлять собой необычные чертежи или увлекательные схемы. Такие приёмы особенно часто используют в своей работе учителя при работе с учащимися для закрепления навыков оперирования простыми числами, дробями, степенями, корнями и т.д. Эти таблицы стали основами многих заданий, развивающих логику.

До недавнего времени считалось, что магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, однако они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики. В настоящее время доказано, что магические квадраты и фигуры помогают осознать магию чисел Периодической таблицы химических элементов и матрицу ДНК.

Одной из современных модификаций магического квадрата, с которой знаком практически каждый школьник является популярная игра Судоку. Судоку от яп. 数独, дословно означает «числа - рядом». Эту головоломку активно публикуют газеты и журналы разных стран мира. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки.

Магические квадраты используют в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно узнать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат.

Понять удивительную красоту, содержащуюся в магических квадратах не всякому дано, но один раз осознав стройность чисел можно получить огромное удовольствие.



  1. Выводы.

Я очень много узнал нового, но на самом деле это ничтожно малая частица такой просторной и бесконечной науки, как математика.

В результате выполнения работы я сделал выводы:

  • Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

  • Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

  • Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

  • Из множества чисел арифметической прогрессии можно создавать разные магические квадраты любого порядка.

  • Магические квадраты – это удивительное, интересное и увлекательное занятие.

  • Заполнять магические квадраты несложно, но необходимо знать некоторые правила.

  • Главными чертами магических квадратов являются не только ясность, чёткость и логика, но и эстетичность, стройность и красота.

  • Законы квадратов отражают законы красоты.

Выполнив данную работу, я узнал много способов составления магических квадратов, историю их возникновения (что и побудило меня заняться исследовательской работой), а также много интересного из жизни математики и магических квадратов.

Использованные Интернет-ресурсы и литература:


  1. http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html

  2. http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm

  3. http://ru.wikipedia.org/wiki

  4. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.


Название документа магические квадраты.pptx

Тема исследования: Магические квадраты Выполнил: Рычагов Рудольф ученик 7А кл...
Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов, выяснить...
Задачи исследования: Познакомиться с историей появления магических квадратов...
Гипотеза: 1) для заполнения магического квадрата существуют специальные прие...
Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел в...
Согласно легенде, во времена правления императора Ию (ок. 2200 до н.э.) из во...
Альбрехт Дюрер Гравюра “Меланхолия” 1514 год 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 1
В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-...
Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка
 5 8 6 7 9 3 1 2 4
3 5 7 8 1 6 7 9 3 9 1 2 4
* 2 3 * 8 * * 5 12 * * 9 * 15 14 *
* 2 3 * 8 * * 5 12 * * 9 * 15 14 * 11 16 10 13 7 6 4 1
Исследование множества решений магического квадрата
Эксперимент 1 Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовате...
 25 40 30 35 45 15 5 10 20
15 25 35 40 5 30 35 45 15 45 5 10 20 75 75 75 75 75 75 75 75 Магический квадрат
* 10 15 * 25 * * 40 45 * * 60 * 70 75 *
Магический квадрат =170 80 10 15 65 =170 25 55 50 40 =170 45 35 30 60 =170 2...
Эксперимент 2 Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовате...
2,7 0,9 1,5 2,1 2,4 0,3 1,8 2,1 0,9 2,7 0,3 0,6 1,2 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4...
Магический квадрат 10,2 4.8 0,6 0,9 3,9 10,2 1,5 3,3 3,0 2,4 10,2 2,7 2,1 1,...
Эксперимент 3 Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовате...
3/7 -3/7 -1/7 1/7 2/7 -5/7 0 1/7 -3/7 3/7 -5/7 -4/7 -2/7 -3/7 -3/7 -3/7 -3/7...
Магический квадрат 10/7 10/7 -4/7 -3/7 1 10/7 -1/7 5/7 4/7 2/7 10/7 3/7 1/7 0...
Гипотеза: Магические квадраты могут заполняться множеством чисел последовател...
Магический квадрат 3a+12d a+3d a+8d a+d 3a+12d a+2d a+4d a+6d 3a+12d a+7d a...
Магический квадрат 4a+30d a+15d a+d a+2d a+12d 4a+30d a+4d a+10d a+9d a+7d 4a...
Вывод: Магические квадраты могут заполняться любыми числами, составляющими ар...
Практическая значимость Такие приёмы особенно часто используют в своей работе...
Практическая значимость В настоящее время доказано, что магические квадраты п...
Практическая значимость Одной из современных модификаций магического квадрата...
Практическая значимость Магические квадраты используют в нумерологии. Еще вел...
Практическая значимость Сейчас есть специальная программа, где вводится дата...
выводы Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Универсального сп...
выводы Понять удивительную красоту, содержащуюся в магических квадратах не вс...
Использованные Интернет-ресурсы и литература: http://cad.narod.ru/methods/cad...
1 из 39

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Тема исследования: Магические квадраты Выполнил: Рычагов Рудольф ученик 7А кл
Описание слайда:

Тема исследования: Магические квадраты Выполнил: Рычагов Рудольф ученик 7А класса Руководитель: Ковалева И.К. учитель математики Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение основная общеобразовательная школа № 2 рабочего поселка Хор муниципального района имени Лазо Хабаровского края 2015 г.

№ слайда 2 Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов, выяснить
Описание слайда:

Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов, выяснить какими свойствами обладает множество решений магического квадрата.

№ слайда 3 Задачи исследования: Познакомиться с историей появления магических квадратов
Описание слайда:

Задачи исследования: Познакомиться с историей появления магических квадратов изучить известные способы заполнения магических квадратов исследовать множества чисел для составления магических квадратов 3 и 4 порядка.

№ слайда 4 Гипотеза: 1) для заполнения магического квадрата существуют специальные прие
Описание слайда:

Гипотеза: 1) для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это делать быстро; 2) множество чисел для составления магического квадрата должно обладать определенной закономерностью.

№ слайда 5 Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.
Описание слайда:

Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

№ слайда 6 МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел в
Описание слайда:

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

№ слайда 7 Согласно легенде, во времена правления императора Ию (ок. 2200 до н.э.) из во
Описание слайда:

Согласно легенде, во времена правления императора Ию (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, и эти знаки известны под названием Ло Шу.

№ слайда 8 Альбрехт Дюрер Гравюра “Меланхолия” 1514 год 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 1
Описание слайда:

Альбрехт Дюрер Гравюра “Меланхолия” 1514 год 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 1

№ слайда 9 В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-
Описание слайда:

В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет.

№ слайда 10 Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка
Описание слайда:

Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12  5 8 6 7 9 3 1 2 4
Описание слайда:

5 8 6 7 9 3 1 2 4

№ слайда 13 3 5 7 8 1 6 7 9 3 9 1 2 4
Описание слайда:

3 5 7 8 1 6 7 9 3 9 1 2 4

№ слайда 14 * 2 3 * 8 * * 5 12 * * 9 * 15 14 *
Описание слайда:

* 2 3 * 8 * * 5 12 * * 9 * 15 14 *

№ слайда 15 * 2 3 * 8 * * 5 12 * * 9 * 15 14 * 11 16 10 13 7 6 4 1
Описание слайда:

* 2 3 * 8 * * 5 12 * * 9 * 15 14 * 11 16 10 13 7 6 4 1

№ слайда 16 Исследование множества решений магического квадрата
Описание слайда:

Исследование множества решений магического квадрата

№ слайда 17 Эксперимент 1 Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовате
Описание слайда:

Эксперимент 1 Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности, в которой каждое следующее число больше предыдущего на 5 начиная с 5.

№ слайда 18  25 40 30 35 45 15 5 10 20
Описание слайда:

25 40 30 35 45 15 5 10 20

№ слайда 19 15 25 35 40 5 30 35 45 15 45 5 10 20 75 75 75 75 75 75 75 75 Магический квадрат
Описание слайда:

15 25 35 40 5 30 35 45 15 45 5 10 20 75 75 75 75 75 75 75 75 Магический квадрат

№ слайда 20 * 10 15 * 25 * * 40 45 * * 60 * 70 75 *
Описание слайда:

* 10 15 * 25 * * 40 45 * * 60 * 70 75 *

№ слайда 21 Магический квадрат =170 80 10 15 65 =170 25 55 50 40 =170 45 35 30 60 =170 2
Описание слайда:

Магический квадрат =170 80 10 15 65 =170 25 55 50 40 =170 45 35 30 60 =170 20 70 75 5 =170 =170 =170 =170 =170 =170

№ слайда 22 Эксперимент 2 Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовате
Описание слайда:

Эксперимент 2 Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности чисел в которой каждое следующее больше предыдущего на 0,3 начиная с 0,3.

№ слайда 23 2,7 0,9 1,5 2,1 2,4 0,3 1,8 2,1 0,9 2,7 0,3 0,6 1,2 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4
Описание слайда:

2,7 0,9 1,5 2,1 2,4 0,3 1,8 2,1 0,9 2,7 0,3 0,6 1,2 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 Магический квадрат

№ слайда 24 Магический квадрат 10,2 4.8 0,6 0,9 3,9 10,2 1,5 3,3 3,0 2,4 10,2 2,7 2,1 1,
Описание слайда:

Магический квадрат 10,2 4.8 0,6 0,9 3,9 10,2 1,5 3,3 3,0 2,4 10,2 2,7 2,1 1,8 3,6 10,2 1,2 4,2 4,5 0,3 10,2 10,2 10,2 10,2 10,2 10,2

№ слайда 25 Эксперимент 3 Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовате
Описание слайда:

Эксперимент 3 Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности чисел, в которой каждое следующее больше предыдущего на 1/7 начиная с -5/7.

№ слайда 26 3/7 -3/7 -1/7 1/7 2/7 -5/7 0 1/7 -3/7 3/7 -5/7 -4/7 -2/7 -3/7 -3/7 -3/7 -3/7
Описание слайда:

3/7 -3/7 -1/7 1/7 2/7 -5/7 0 1/7 -3/7 3/7 -5/7 -4/7 -2/7 -3/7 -3/7 -3/7 -3/7 -3/7 -3/7 -3/7 -3/7 Магический квадрат

№ слайда 27 Магический квадрат 10/7 10/7 -4/7 -3/7 1 10/7 -1/7 5/7 4/7 2/7 10/7 3/7 1/7 0
Описание слайда:

Магический квадрат 10/7 10/7 -4/7 -3/7 1 10/7 -1/7 5/7 4/7 2/7 10/7 3/7 1/7 0 6/7 10/7 -2/7 8/7 9/7 -5/7 10/7 10/7 10/7 10/7 10/7 10/7

№ слайда 28 Гипотеза: Магические квадраты могут заполняться множеством чисел последовател
Описание слайда:

Гипотеза: Магические квадраты могут заполняться множеством чисел последовательности, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа. Такие последовательности в математике называют арифметическими прогрессиями.

№ слайда 29 Магический квадрат 3a+12d a+3d a+8d a+d 3a+12d a+2d a+4d a+6d 3a+12d a+7d a
Описание слайда:

Магический квадрат 3a+12d a+3d a+8d a+d 3a+12d a+2d a+4d a+6d 3a+12d a+7d a a+5d 3a+12d 3a+12d 3 a+12d 3a+12d 3a+12d

№ слайда 30 Магический квадрат 4a+30d a+15d a+d a+2d a+12d 4a+30d a+4d a+10d a+9d a+7d 4a
Описание слайда:

Магический квадрат 4a+30d a+15d a+d a+2d a+12d 4a+30d a+4d a+10d a+9d a+7d 4a+30d a+8d a+6d a+5d a+11d 4a+30d a+3d a+13d a+14d a 4a+30d 4a+30d 4a+30d 4a+30d 4a+30d 4a+30d

№ слайда 31 Вывод: Магические квадраты могут заполняться любыми числами, составляющими ар
Описание слайда:

Вывод: Магические квадраты могут заполняться любыми числами, составляющими арифметическую прогрессию.

№ слайда 32 Практическая значимость Такие приёмы особенно часто используют в своей работе
Описание слайда:

Практическая значимость Такие приёмы особенно часто используют в своей работе учителя при работе с учащимися для закрепления навыков оперирования простыми числами, дробями, степенями, корнями и т.д.

№ слайда 33 Практическая значимость В настоящее время доказано, что магические квадраты п
Описание слайда:

Практическая значимость В настоящее время доказано, что магические квадраты помогают осознать магию чисел Периодической таблицы химических элементов и матрицу ДНК.

№ слайда 34 Практическая значимость Одной из современных модификаций магического квадрата
Описание слайда:

Практическая значимость Одной из современных модификаций магического квадрата, с которой знаком практически каждый школьник является популярная игра Судоку.

№ слайда 35 Практическая значимость Магические квадраты используют в нумерологии. Еще вел
Описание слайда:

Практическая значимость Магические квадраты используют в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения.

№ слайда 36 Практическая значимость Сейчас есть специальная программа, где вводится дата
Описание слайда:

Практическая значимость Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат.

№ слайда 37 выводы Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Универсального сп
Описание слайда:

выводы Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Универсального способа заполнения магических квадратов нет. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка. Из множества чисел арифметической прогрессии можно создавать разные магические квадраты любого порядка. Магические квадраты – это удивительное, интересное и увлекательное занятие. Заполнять магические квадраты несложно, но необходимо знать некоторые правила. Главными чертами магических квадратов являются не только ясность, чёткость и логика, но и эстетичность, стройность и красота.

№ слайда 38 выводы Понять удивительную красоту, содержащуюся в магических квадратах не вс
Описание слайда:

выводы Понять удивительную красоту, содержащуюся в магических квадратах не всякому дано, но один раз осознав стройность чисел можно получить огромное удовольствие.

№ слайда 39 Использованные Интернет-ресурсы и литература: http://cad.narod.ru/methods/cad
Описание слайда:

Использованные Интернет-ресурсы и литература: http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm http://ru.wikipedia.org/wiki И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.

Краткое описание документа:

Исследовательская работа учащегося 7 класса для выступления на школьной НПК по теме "Магический Квадрат" и презентация к выступлению. В работе приводятся методы построения магических квадратов, историческая справка, проводится исследование закономерностей которыми обладают множества чисел для составления магического квадрата, практическая значимость данной темы для автора. Работа выполнена под руководством учителя математики Ковалевой И.К.

Автор
Дата добавления 11.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1603
Номер материала 304002
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх