исследовательская работа + презентация на тему "Магический квадрат" ученика 7 класса

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение  основная общеобразовательная школа №2 рабочего поселка Хор муниципального района имени Лазо Хабаровского края

Исследовательская работа

по математике

«Магические квадраты»

Выполнил: Рычагов Рудольф

ученик 7А класса

Руководитель: Ковалева И.К.

учитель математики

2015 г.

План

Введение

1.   История появления магических квадратов

2.   Способы заполнения магических квадратов

3.   Исследование множества решений магического квадрата.

4.   Практическая значимость

5.   Выводы

Используемые источники

Введение

Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил нам решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников нашего класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Задачу он решал перебором различных вариантов.

Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться исследовательской работой.

Тема исследования: заполнение магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов, и выяснить какими свойствами обладает множество решений магического квадрата.

Гипотеза:

1) для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это делать быстро;

2) для составления магического квадрата множество чисел должно обладать определенной закономерностью.

Задачи исследования:

-                   Познакомиться с историей появления  магических квадратов

-                   изучить известные способы заполнения магических квадратов

-                   исследовать множества чисел для  составления магических квадратов 3 и 4 порядка.

Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Этапы исследования:

1.      знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2.      обработка найденных методов

3.      эксперимент

4.      формулировка выводов

5.      оформление работы

Оборудование:

-                   компьютер

-                   проектор для демонстрации презентации

-                   сопроводительная презентация

-                   документ Microsoft Word с подготовленными шаблонами по различным методам.

1.                 История появления магических квадратов

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Согласно легенде, в Китае во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

  

рис.1                                                                            рис.2

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры  .

Основная терминология

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. В таких квадратах сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n² + 1)/2. Доказано, что n  3. Зависимость постоянной квадрата от его порядка можно проследить с помощью таблицы.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3).

Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

 

рис.3

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

2.                 Способы заполнения магических квадратов

Магические квадраты нечетного порядка

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера (сиамский метод). Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

 рис.4

Для облегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения места заполнения следующей клетки, после края квадрата можно воспользоваться следующей схемой

Поставим 1 в среднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагонали вправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мы его переставляем в соответствующее поле в квадрат (см. рис.5).

Изучая различные источники, мы обратили внимание на то, что можно заполнять квадраты и в другом направлении и не обязательно 1 стоит в данной позиции.

Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5, б). По клеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5 ,в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

 

Проанализировав данную схему заполнения по рисунку, мы пришли к следующему алгоритму.

1.                 В первом квадрате размещаем числа от 1 до n (порядок квадрата), так, чтобы на побочной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

2.                 Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны. Числа в сроке и столбце не должны повторяться.

3.                 Во втором квадрате размещаем последовательные числа, кратные порядку квадрата, начиная с 0, (количество элементов равно порядку квадрата) так, чтобы на главной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

4.                 Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны.

Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры

1. Метод достроения

				*
			*	*	*
		0	0	0	0	0
	*	0	0	0	0	0	*
*	*	0	0	0	0	0	*	*
	*	0	0	0	0	0	*
		0	0	0	0	0
			*	*	*
				*

1). Сначала исходный (пустой) квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом 0, а достроенные ячейки - символом *.

				1
			6	*	2
		11	0	7	0	3
	16	0	12	0	8	0	4
21	*	17	0	13	0	9	*	51
	22	0	18	0	14	0	10
		23	0	19	0	15
			24	*	20
				25

2). Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам сверху-вниз-направо целыми числами от 1 до 25 в натуральном порядке. Результат заполнения показан на следующем рисунке:

3).Каждое число, расположенное в фигуре вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку (на n клеток).

Магические квадраты четного порядка

 Четно четные

Порядок которого равен степени числа 2

*	2	3	*	*	6	7	*
9	*	*	12	13	*	*	16
17	*	*	20	21	*	*	24
*	26	27	*	*	30	31	*
*	34	35	*	*	38	39	*
41	*	*	44	45	*	*	48
49	*	*	52	53	*	*	56
*	58	59	*	*	62	63	*

Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.

1). Исходный  квадрат  делится  на     соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечаются диагональные элементы (например, символом *). Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. Результат заполнения недиагональных элементов квадрата 8-го порядка показан на следующем рисунке:

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

2). Отмеченные на шаге 1 диагональные элементы квадрата заполняют пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, а числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены.

Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260.

Метод Раус – Бола

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

 Он начинается с того, что квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n² в их естественном порядке. Затем выполняются перестановки чисел в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим. Сначала рассмотрим случай, когда после деления квадрата на четыре равные части, каждая из них становится квадратом четного порядка. Такой квадрат называется «четный – четный», Для примера возьмем квадрат 8^го порядка. Правила построения четно-четного магического квадрата таковы:

1). Разделить заполненный числами от 1 до 8² квадрат на четыре равных квадрата порядка 4.

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

2). В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить 2 (8=2*2*2) клетки ( всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок.

1	63	3	61	60	6	58	8
56	10	54	12	13	51	15	49
17	47	19	45	44	22	42	24
40	26	38	28	29	35	31	33
32	34	30	36	37	27	39	25
41	23	43	21	20	46	18	48
16	50	14	52	53	11	55	9
57	7	59	5	4	62	2	64

3). Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку.

4). Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260.

Четно нечетные

 Диагональный метод.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Рассмотрим теперь  случай, когда после деления квадрата на четыре равные части, каждая из них становится квадратом нечетного порядка. Такие квадраты называются «четно – нечетными».

  Построение четно-нечетного магического квадрата производится аналогично построению четно-четного квадрата, но в этом случае применяется три типа перестановок чисел в клетках. Для примера возьмем квадрат 10*10.

1). Разделить заполненный числами от 1 до 100 квадрат на четыре квадрата порядка 5 осями симметрии.

+	+	-	*
	+	+	-	*
*		+	+	-
-	*		+	+
+	-	*		+

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

2). В левом верхнем квадрате порядка 5 выделить 3 группы клеток, пометив их знаками + (голубой цвет), - (желтый цвет) и * (розовый цвет) соответственно. В каждой строке и каждом столбце нужно выделить по 2 [10=2*5=2*(2*2+1)]  клетки первой группы.  Их можно расставить по главной диагонали и на ломаной диагонали. Клеток второго и третьего типа надо выделить по одной в каждой строке и каждом столбце. В качестве клеток второй и третьей групп можно взять клетки, расположенные на двух других ломаных диагоналях.

 [Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края, такую диагональ образуют заштрихованные клетки]

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

3). Для клеток первой группы находим симметричные клетки относительно вертикальной оси, помечаем их тоже знаком + (голубой цвет), т. е. клеток, отмеченных знаком + (голубых)  будет 10.

100	99	3	4	5	6	7	8	92	91
11	89	88	14	15	16	17	83	82	20
21	22	78	77	25	26	74	73	29	30
31	32	33	67	66	65	64	38	39	40
60	42	43	44	56	55	47	48	49	51
50	52	53	54	46	45	57	58	59	41
61	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	75	76	24	23	79	80
81	19	18	84	85	86	87	13	12	90
10	9	93	94	95	96	97	98	2	1

4). Содержимое каждой таких отмеченных клеток обмениваем с содержимым соответствующей ей центрально-симметричной клетки.

100	99	93	4	5	6	7	8	92	91
11	89	88	84	16	15	17	83	82	20
21	22	78	77	75	26	74	73	29	30
61	32	33	67	66	65	64	38	39	40
60	52	43	44	56	55	47	48	49	51
50	42	53	54	46	45	57	58	59	41
31	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	25	76	24	23	79	80
81	19	18	14	85	86	87	13	12	90
10	9	3	94	95	96	97	98	2	1

4). Содержимое каждой из 5 клеток, отмеченных знаком минус (желтый цвет), обмениваем с содержимым симметричной относительно горизонтальной оси клетки.

100	99	93	7	5	6	4	8	92	91
11	89	88	84	16	15	17	83	82	20
30	22	78	77	75	26	74	73	29	21
61	39	33	67	66	65	64	38	32	40
60	52	48	44	56	55	47	43	49	51
50	42	53	54	46	45	57	58	59	41
31	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	25	76	24	23	79	80
81	19	18	14	85	86	87	13	12	90
10	9	3	94	95	96	97	98	2	1

  5). Содержимое каждой из 5клеток третьей группы, отмеченной * (розовый цвет) обмениваем с содержимым симметричной относительно вертикальной оси клетки.

После этих перестановок получится четно-нечетный магический квадрат с суммой, равной 505.

3.  Исследование множества решений магического квадрата.

Изучая литературу по теме, я сделал вывод, что с увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов, составленных из ряда натуральных чисел: 1, 2, 3, …, n². Так, например, для 3 порядка – единственный, для 4 - 880, для 5 – приближается к четверти миллиона.

Изучив алгоритмы заполнения магических квадратов, мне  захотелось экспериментировать: что произойдет, если вместо последовательности натуральных чисел попробовать использовать для построения магического квадрата другие последовательности рациональных чисел? Получится ли магическая сумма?

Вот некоторые магические квадраты, полученные мною в ходе эксперимента:

Эксперимент 1. Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности, в которой каждое следующее число больше предыдущего на 5 начиная с 5.

Построим квадрат размерностью 3 методом построения  ромбовидной фигуры:

		5
	20		10
35		25		15
	40		30
		45

				=65
	20	45	10	=65
	15	25	35	=65
	40	5	30	=65
	=65	=65	=65	=65

Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 65.

Квадрат размерностью 4 построим диагональным методом:

*	10	15	*
25	*	*	40
45	*	*	60
*	70	75	*

				=170
80	10	15	65	=170
25	55	50	40	=170
45	35	30	60	=170
20	70	75	5	=170
=170	=170	=170	=170	=170

Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 170.

Вывод: из множества чисел данной последовательности  можно составить магические квадраты.

Эксперимент 2. Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности чисел в которой каждое следующее больше предыдущего на 0,3 начиная с 0,3.

		0,3
	1,2		0,6
2,1		1,5		0,9
	2,4		1,8
		2,7

				=4,5
	1,2	2,7	0,6	=4,5
	0,9	1,5	2,1	=4,5
	2,4	0,3	1,8	=4,5
	=4,5	=4,5	=4,5	=4,5

Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 4,5.

Квадрат размерностью 4 построим диагональным методом:

*	0,6	0,9	*
1,5	*	*	2,4
2,7	*	*	3,6
*	4,2	4,5	*

				10,2
4.8	0,6	0,9	3,9	10,2
1,5	3,3	3,0	2,4	10,2
2,7	2,1	1,8	3,6	10,2
1,2	4,2	4,5	0,3	10,2
10,2	10,2	10,2	10,2	10,2

Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 10,2.

Вывод: из множества чисел данной последовательности  можно составить магические квадраты.

Эксперимент 3. Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности чисел, в которой каждое следующее больше предыдущего на 1/7 начиная с -5/7.

		-5/7
	-2/7		-4/7
1/7		-1/7		-3/7
	2/7		0
		3/7

				=-3/7
	-2/7	3/7	-4/7	=-3/7
	-3/7	-1/7	1/7	=-3/7
	2/7	-5/7	0	=-3/7
	=-3/7	=-3/7	=-3/7	=-3/7

Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны -3/7.

Квадрат размерностью 4 построим диагональным методом:

*	-4/7	-3/7	*
-1/7	*	*	2/7
3/7	*	*	6/7
*	8/7	9/7	*

				=10/7
10/7	-4/7	-3/7	1	=10/7
-1/7	5/7	4/7	2/7	=10/7
3/7	1/7	0	6/7	=10/7
-2/7	8/7	9/7	-5/7	=10/7
=10/7	=10/7	=10/7	=10/7	=10/7

Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 10/7.

Вывод: из множества чисел данной последовательности  можно составить магические квадраты.

Гипотеза: моя гипотеза о том, что множество чисел, из которых можно составить магический квадрат, должно обладать определенными свойствами подтверждается.

Магические квадраты могут заполняться множеством чисел последовательности, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа.

Такие последовательности в математике называют арифметическими прогрессиями.

Докажем это для магических квадратов размерностью 3 и 4. 

Возьмем последовательность чисел; a, a+d, a+2d, a+3d, …., a+(n^2-1)d. Построим квадрат размерностью 3 методом построения  ромбовидной фигуры:

		a
	a+3d		a+d
a+6d		a+4d		a+2d
	a+7d		a+5d
		a+8d

				= 3a+12d
	a+3d	a+8d	a+d	= 3a+12d
	a+2d	a+4d	a+6d	= 3a+12d
	a+7d	a	a+5d	= 3a+12d
	3a+12d	3 a+12d	3a+12d	= 3a+12d

Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 3a+12d.

 Квадрат размерностью 4 построим диагональным методом:

*	a+d	a+2d	*
a+4d	*	*	a+7d
a+8d	*	*	a+11d
*	a+13d	a+14d	*

				4a+30d
a+15d	a+d	a+2d	a+12d	4a+30d
a+4d	a+10d	a+9d	a+7d	4a+30d
a+8d	a+6d	a+5d	a+11d	4a+30d
a+3d	a+13d	a+14d	a	4a+30d
4a+30d	4a+30d	4a+30d	4a+30d	4a+30d

Суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны 4a+30d.

Вывод: Магические квадраты могут заполняться любыми  числами, составляющими арифметическую прогрессию.

4.  Практическая значимость

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание любителей математических игр и развлечений. Много книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности.

Магические квадраты и их модификации используются как метод решения заданий, облекая их в занимательную форму. Эта форма может представлять собой необычные чертежи или увлекательные схемы. Такие приёмы особенно часто используют в своей работе учителя при работе с учащимися  для закрепления навыков оперирования простыми числами, дробями, степенями, корнями и т.д. Эти таблицы стали основами многих заданий, развивающих логику.

До недавнего времени считалось, что магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, однако они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики. В настоящее время доказано, что магические квадраты и фигуры помогают осознать  магию чисел Периодической таблицы химических элементов и матрицу ДНК.

Одной из современных модификаций магического квадрата, с которой знаком практически каждый школьник является популярная игра Судоку. Судоку от яп. 数独, дословно означает «числа - рядом». Эту головоломку активно публикуют газеты и журналы разных стран мира. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки.

Магические квадраты используют в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно узнать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат.

Понять удивительную красоту, содержащуюся в магических квадратах  не всякому дано, но один раз осознав стройность чисел можно получить огромное удовольствие.

5.     Выводы.

Я очень много узнал нового, но на самом деле это ничтожно малая частица такой просторной и бесконечной науки, как математика.

     В результате выполнения работы я сделал выводы:

ü Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

ü Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

ü Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

ü Из множества чисел арифметической прогрессии можно создавать разные магические квадраты любого порядка.

ü Магические  квадраты  –  это  удивительное,  интересное  и увлекательное занятие.

ü Заполнять  магические  квадраты  несложно,  но  необходимо  знать некоторые правила.

ü Главными чертами магических  квадратов являются не  только ясность,  чёткость и логика, но и эстетичность, стройность и красота.

ü Законы квадратов отражают законы красоты. 

Выполнив данную  работу, я узнал много способов составления магических квадратов, историю их возникновения (что и побудило меня заняться исследовательской работой), а также много интересного из жизни математики и магических квадратов.

Использованные Интернет-ресурсы и литература:

1.   http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html

2.   http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm

3.   http://ru.wikipedia.org/wiki

4.   И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.

• 1 слайд

  Тема исследования:
  Магические квадраты
  Выполнил: Рычагов Рудольф
  ученик 7А класса
  Руководитель: Ковалева И.К.
  учитель математики
  Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
  основная общеобразовательная школа № 2 рабочего поселка Хор
  муниципального района имени Лазо Хабаровского края
  2015 г.
  

• 2 слайд

  Цели исследования:
  изучить способы заполнения магических квадратов, выяснить какими свойствами обладает множество решений магического квадрата.
  
  

• 3 слайд

  Задачи исследования:
  Познакомиться с историей появления магических квадратов
  изучить известные способы заполнения магических квадратов
  исследовать множества чисел для составления магических квадратов 3 и 4 порядка.
  
  

• 4 слайд

  Гипотеза:
  1) для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это делать быстро;
  2) множество чисел для составления магического квадрата должно обладать определенной закономерностью.
  
  

• 5 слайд

  Методы исследования:
  анализ литературы и Интернет-ресурсов,
  эксперимент.
  
  

• 6 слайд

  МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
  квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.
  
  

• 7 слайд

  Согласно легенде, во времена правления императора Ию (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, и эти знаки известны под названием Ло Шу.
  

• 8 слайд

  Альбрехт Дюрер
  Гравюра “Меланхолия”
  1514 год
  16
  3
  2
  13
  5
  10
  11
  8
  9
  6
  7
  12
  4
  15
  14
  1
  

• 9 слайд

  В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет.
  

• 10 слайд

  Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка
  

• 11 слайд

• 12 слайд

  5
  8
  6
  7
  9
  3
  1
  2
  4
  

• 13 слайд

  3
  5
  7
  8
  1
  6
  7
  9
  3
  9
  1
  2
  4
  

• 14 слайд

  *
  2
  3
  *
  8
  *
  *
  5
  12
  *
  *
  9
  *
  15
  14
  *
  

• 15 слайд

  *
  2
  3
  *
  8
  *
  *
  5
  12
  *
  *
  9
  *
  15
  14
  *
  11
  16
  10
  13
  7
  6
  4
  1
  

• 16 слайд

  Исследование множества решений магического квадрата
  

• 17 слайд

  Эксперимент 1
  Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности, в которой каждое следующее число больше предыдущего на 5 начиная с 5.
  
  

• 18 слайд

  25
  40
  30
  35
  45
  15
  5
  10
  20
  

• 19 слайд

  15
  25
  35
  40
  5
  30
  35
  45
  15
  45
  5
  10
  20
  75
  75
  75
  75
  75
  75
  75
  75
  Магический квадрат
  

• 20 слайд

• 21 слайд

  Магический квадрат
  

• 22 слайд

  Эксперимент 2
  Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности чисел в которой каждое следующее больше предыдущего на 0,3 начиная с 0,3.
  
  

• 23 слайд

  2,7
  0,9
  1,5
  2,1
  2,4
  0,3
  1,8
  2,1
  0,9
  2,7
  0,3
  0,6
  1,2
  4,5
  4,5
  4,5
  4,5
  4,5
  4,5
  4,5
  4,5
  Магический квадрат
  

• 24 слайд

  Магический квадрат
  

• 25 слайд

  Эксперимент 3
  Составить магические квадраты размерностью 3 и 4 из последовательности чисел, в которой каждое следующее больше предыдущего на 1/7 начиная с -5/7.
  

• 26 слайд

  3/7
  -3/7
  -1/7
  1/7
  2/7
  -5/7
  0
  1/7
  -3/7
  3/7
  -5/7
  -4/7
  -2/7
  -3/7
  -3/7
  -3/7
  -3/7
  -3/7
  -3/7
  -3/7
  -3/7
  Магический квадрат
  

• 27 слайд

  Магический квадрат
  

• 28 слайд

  Гипотеза:
  Магические квадраты могут заполняться множеством чисел последовательности, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа.
  Такие последовательности в математике называют арифметическими прогрессиями.
  
  

• 29 слайд

  Магический квадрат
  

• 30 слайд

  Магический квадрат
  

• 31 слайд

  Вывод:
  Магические квадраты могут заполняться любыми числами, составляющими арифметическую прогрессию.
  

• 32 слайд

  Практическая значимость
  Такие приёмы особенно часто используют в своей работе учителя при работе с учащимися для закрепления навыков оперирования простыми числами, дробями, степенями, корнями и т.д.
  

• 33 слайд

  Практическая значимость
  В настоящее время доказано, что магические квадраты помогают осознать магию чисел Периодической таблицы химических элементов и матрицу ДНК.
  

• 34 слайд

  Практическая значимость
  Одной из современных модификаций магического квадрата, с которой знаком практически каждый школьник является популярная игра Судоку.
  

• 35 слайд

  Практическая значимость
  Магические квадраты используют в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения.
  

• 36 слайд

  Практическая значимость
  Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения
  человека, а на экран выводится готовый магический квадрат.
  

• 37 слайд

  выводы
  Магический квадрат – древнекитайского происхождения.
  Универсального способа заполнения магических квадратов нет.
  Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.
  Из множества чисел арифметической прогрессии можно создавать разные магические квадраты любого порядка.
  Магические квадраты – это удивительное, интересное и увлекательное занятие.
  Заполнять магические квадраты несложно, но необходимо знать некоторые правила.
  Главными чертами магических квадратов являются не только ясность, чёткость и логика, но и эстетичность, стройность и красота.
  
  
  

• 38 слайд

  выводы
  Понять удивительную красоту, содержащуюся
  в магических квадратах не всякому дано,
  но один раз осознав стройность чисел
  можно получить огромное удовольствие.
  

• 39 слайд

  Использованные Интернет-ресурсы
  и литература:
  http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html
  
  http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm
  
  http://ru.wikipedia.org/wiki
  
  И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.
  

Краткое описание документа:

Исследовательская работа учащегося 7 класса для выступления на школьной НПК по теме "Магический Квадрат" и презентация к выступлению. В работе приводятся методы построения магических квадратов, историческая справка, проводится исследование закономерностей которыми обладают множества чисел для составления магического квадрата, практическая значимость данной темы для автора. Работа выполнена под руководством учителя математики Ковалевой И.К.