Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа "Применение оригами в геометрии"

Исследовательская работа "Применение оригами в геометрии"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

В математике есть своя красота,

как в живописи и поэзии.

Н.Е. Жуковский


Введение

Оригами – удивительное, загадочное слово. Практически каждый человек знаком с оригами, хотя не каждый из нас слышал это иностранное слово. Оригами буквально означает «бумажные поделки». Еще наши бабушки и дедушки делали из бумаги и картона самые различные вещицы, хотя само понятие им знакомо не было. Это были и бумажные игрушки: кораблики, самолетики, бумажные шляпы и кепки, защищающие голову от солнечных лучей, и оригинальные сувениры из бумаги.

С оригами можно знакомиться и повторять основные геометрические фигуры: треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник. Понятия: сторона, угол, вершина угла, диагональ, центр фигуры их свойства.

В геометрическом материале много общего с художественным восприятием мира, поскольку большое место в геометрии принадлежит образному мышлению. Искусство оригами как нельзя лучше подходит для решения данных задач. Отсюда объект исследования: искусство оригами. Еще в XIX веке немецкий педагог Ф.Фребель основал интегрированный курс обучения математике при помощи оригами, на основе которого можно улучшить и упрочить геометрические знания и умения.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что математическое образование является основным для людей многих профессий, поэтому большое внимание уделяется изучения основ арифметики, геометрии и алгебры. Особую актуальность приобретает проблема обучения элементам геометрии и повышение уровня математических знаний в целом.

Главная цель работы: узнать, возможно, ли применение возможностей оригами дляиспользования в математике и повседневной жизни.

Задачи:

  • изучить историю оригами;

  • выявить связь оригами и геометрии;

  • познакомиться с одним из разделов математики –оригаметрия;

  • расширить сферу применения математических знаний;

  • найти способы применения оригами в повседневной жизни;

  • убедиться в необходимости владения конкретными математическими знаниями для применения в практической деятельности.

Гипотезаисследования:считаю, что занятие оригами развивает творчество, интеллект, учит труду.

Практическая значимость. Искусство оригами помогает создавать разные изделия и применять эти знания в учебе.

Для проверки выдвинутой гипотезы, решения поставленных задач была разработана программа исследования, которая включала следующие методы: изучение литературных источников, поисковый, исследовательский, практический,анализ и обработка полученной информации.




























I.Из истории

    1. Оригами – искусство складывания бумаги.

Понятие «оригами» пришло из японского языка. Сами японцы и были основателями этого вида искусства. В буквальном переводе оно означает «сложенная бумага», так как «ори» переводится как «сложенный», а кама – «бумага». Японцы оригами понимают как «искусство целого листа», т. е. изначальное его условие – неразрывность листа бумаги, его целостность без всякого рода вмешательств, прибавлений и других действий по отношению к нему. Только сгибание или складывание листа.

Позднее китайцы переняли опыт оригами от своих соседей-японцев. Они тоже стали складывать из листов бумаги фигурки и поделки для храмовых обрядов и ритуалов. Это скорее всего объясняется общими традициями буддизма, который был распространен и в Древнем Китае, и в Древней Японии.

Истинно народным искусством оригами стало лишь в начале XII в. этот исторический период характеризуется тем, что бумага «вышла» за пределы стран-основательниц и стала известна большому кругу населения стран Азии и всего мира. Листы бумаги постепенно стали обесцениваться и становиться доступными широкому кругу людей. А вместе с этим в народ пошло и искусство оригами. Но первоначально бумажные фигурки и поделки оставались лишь предметами ритуалов и обрядов народов азиатских стран. Их изготавливали к свадебным торжествам, ими украшали дом во время пиршеств или иных праздничных мероприятиях и традиционных обрядах. Позднее искусством оригами стали пользоваться самураи. Они изобрели способ сворачивания листа бумаги таким образом, что лишь только посвященный в тайны оригами человек мог развернуть его, не испортив.

К началу XIV в. мода на оригами настолько захватила жителей стран Востока, что практически каждая зажиточная семья имела своего учителя-оригамиста, который обучал детей этому мастерству. Неумение выполнять поделки из бумаги считалось верхом невоспитанности. Любое образование теперь было немыслимым без знаний и владения техникой оригами.

Япония же, создавшая целую оригамную азбуку, основу бумажного мастерства, официально осталась родиной этого искусства. Именно здесь и были изобретены все классические модели бумажных фигурок, поделок, которые используются по всему миру и по сей день.

На Русь оригами пришло гораздо позже. В XIX в. одними из первых, кто научился

сгибать из листа бумаги различные фигурки, стали дети царя Николая II. Обучил их этому мастерству филолог из Кембриджа, которого пригласили для обучения наследника престола. Детям это занятие сразу же пришлось по душе. Еще долгое время оригами в России оставалось «детским искусством».

Умел складывать фигурки из бумаги и русский писатель Лев Толстой. В черновике к статье "Что такое искусство" он пишет: "Нынешней зимой одна мама научила меня делать из бумаги, складывая и выворачивая ее известным образом, петушков, которые, когда их дергаешь за хвост, махают крыльями. Выдумка эта от Японии. Я много раз делал этих петушков детям, и не только дети, но всегда все присутствующие большие, не знавшие этих петушков, и господа, и прислуга развеселялись и сближались от этих петушков, все удивлялись и радовались: как похоже на птиц эти петушки махают крыльями. Тот, кто выдумал этого петушка, от души радовался, что ему так удалось сделать подобие птицы, и чувство это передается, и потому, как ни странно сказать, произведение такого петушка есть настоящее искусство".

Восстановлению и возвращению оригами мир обязан известному мастеру-оригамистуАкираЙошизавы. Именно он после Второй мировой войны посвятил себя восстановлению утраченного и изобретению нового в искусстве оригами. Все свои знания и опыт он зафиксировал и отразил в точных чертежах, разработав условные знаки оригами.

Хорошо известна трагическая история японской девочки из Хиросимы, которая после атомной бомбардировки осталась сиротой, обреченной на умирание от лучевой болезни. В больничной палате девочка делала бумажных журавликов. В Стране восходящего солнца существует предание: если сложишь тысячу, то исполнится любое задуманное желание. Ведь птица эта обладает бессмертием. В японских домах не редкость увидеть огромные гирлянды разноцветных журавликов. Садако сложила 644 журавлика. До тысячи оставалось еще много. И узнав об этом, дети стали присылать в Японию бумажных птиц со всех континентов. В них - знак сострадания и милосердия...

1.2. Оригами - это математика?

С помощью оригами есть возможность показать, что математика не сухая наука, а красота и гармония.Оригами - это математика?

В наше время в Японии, США и других развитых странах обучение геометрии при помощи оригами практикуется во многих школах.

Если в прошлом математика применялась в довольно ограниченном числе областей жизни человека, будучи, следовательно, необходимой сравнительно небольшому числу специалистов, то в современную эпоху математика проникла во все те области, в которых практикуется рациональное мышление, и этот процесс, находящийся в постоянном развитии, требует соответствующей математической подготовки.


Простые базовые формы

Треугольник
pbf_triangle

Книга
pbf_book

Дверь
pbf_door

Воздушный змей
pbf_kite

Средние базовые формы

Блин
pbf_blinz

Рыба
pbf_fish

Двойной треугольник
pbf_waterbomb

Двойной квадрат
pbf_square


Видя эти формы мы понимаем, что на занятиях по математике при помощи оригами можно повторить следующие понятия:

горизонтальные, вертикальные, наклонные линии;

сложи квадрат разными способами, покажи смежные стороны, диагональ;

квадраты;

все виды треугольников.

На первом этапе в ходе изучения геометрии с использованием оригами знакомимся с основными геометрическими фигурами (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник), понятиями (сторона угол, вершина угла, диагональ, центр фигуры), их свойствами и учимся основам техники оригами.

На втором этапе развиваем систему знаний, умений и навыков, приобретенных на начальной стадии обучения. Работа по схемам, процесс складывания плоскостных фигур. Эта деятельность направлена на развитие восприятия, которое связано с различными операциями мышления. Складывая их в различных комбинациях, можно получить многогранники. При этом развивается пространственное воображение, что способствует успешному усвоению стереометрии в старших классах. Важность этой ступени состоит в том, что здесь особое место занимает метод решения задач на построение без помощи циркуля и линейки. Особая ценность этого метода в том, что он позволяет построить правильные многоугольники, построение которых с помощью циркуля и линейки затруднительно, а в некоторых случаях невозможно.

Таким образом, навыки, накопленные во время обучения на первом и втором этапах, позволят нам успешно обучаться на третьем этапе.

На третьей этапе изучения геометрии с использованием оригами ведется целенаправленная работа по формированию содержательного логико-математического мышления. Большое значение для развития воображения играет изготовление геометрических фигур, в которых прослеживается определенная закономерность расположения модулей, наглядное восприятие которых помогает понять эту особенность и справиться с геометрическими задачами. Сюда входят построения правильных, полуправильных и неправильных многогранников, их сечения, нахождение площадей боковых поверхностей и объемов геометрических тел.

1.3. Виды оригами.

Оригами могут быть плоскими и и объемными.hello_html_63c0f5e4.pnghello_html_34b48163.png



hello_html_6e495bca.pnghello_html_m7685403f.png









Простое оригами

Плоские оригами называют также односторонними оригами: предмет определяется только с одной стороны. Обычно такие изделия используются для аппликации. В этом случае используется клей.

Очень красивыми и эффектными являются аппликации в виде мозаики. Мозаика - это аппликация, элементы которой расположены вплотную друг к другу (детали могут прикладываться одна к другой или накладываться одна на другую). Мозаика может использоваться и для выполнения объемных конструкций. Простое оригами также может быть и объемным.

hello_html_m2c30c24.pnghello_html_m4aef7e96.png



Вывод: По схеме видно, какие геометрические фигуры и понятия мы будем применять: ромб, квадрат, диагонали, треугольник (схема №2).

Также если мы меняем линии сгиба, меняется изображение фигуры, проявляем фантазию.

Модульное оригами

Это вид объемного оригами. Готовятся одинаковые модули, которые затемвкладываются один в один. Клей не используется.hello_html_262aad3d.png

hello_html_m55d71c53.png




C:\Users\дом\Desktop\аттест 2015\20150429_085551.jpg






Вывод: По схеме видно, какие геометрические фигуры и понятия мы будем применять: прямоугольник, равнобедренный треугольник, высота, биссектриса, параллельные прямые, сгибание под углом 450.

Также из модулей можно сделать любые мотивы – малые и большие формы. Модули вкладываются друг в друга без клея. В зависимости от того, как их соединять между собой и какие размеры модулей использовать, можно получить ту или иную конструкцию.

II. Оригами в математике

2.1.Оригаметрия

Оригаметрия - это сочетание оригами и геометрии, которое несет в себе оригинальность другого подхода к геометрическим задачам.

В оригаметрии считается: а) роль прямых будут играть края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании; б) роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов. В настоящее время математическое образование является основным для людей многих профессий. Искусство оригами подходит для изучения геометрического материала.

Оригами можно использовать на занятиях по математике в таких заданиях, как: а) найти горизонтальные, вертикальные, наклонные линии; б) найти все квадраты; в) найти все треугольники; г) дать название изображениям; в) складывание квадрата, смежные стороны, диагональ.

2.2. Задачи

Рассмотрим примеры задач, решаемых методами оригами. Как правило, они проще и нагляднее, а относительная простота помогает убедиться в правильности классических утверждений, теорем и побуждает к дальнейшим исследованиям. Сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой! Например, при изучении темы «Замечательные точки треугольника», учащиеся убеждаются в том, что каждая тройка биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров треугольника пересекаются в одной точке, а потом свои убеждения пробуют подтвердить математически. Возможности перегибания листа бумаги велики, что обеспечивает решить большое разнообразие задач.

Любая оригамская задача состоит:

1. Из постановки задачи.

2. Из оригамского решения, проверки или способа построения.

3. Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Для примера решим несложную задачу1:Деление прямого угла

Откладывание угла в 30 или 60 градусов не представляет проблем. Достаточно построить на стороне квадрата равносторонний треугольник. Для этого сначала разделим квадрат вертикальной складкой на два равных прямоугольника. Затем проведем складку, которая переносит угол квадрата на отмеченную линию. angle

Угол в 15 градусов теперь можно получить деля полученные углы в 60 и 30 градусов пополам.
Задача2. Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла. [С. Н. Белим Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г., 66с.]При решении данной задачи методом оригами необходимо знание некоторых условных обозначений, принятых в оригами. Они приводятся в следующей таблице:


hello_html_m45e374e5.png


Линия сгиба "долиной", "на себя"

hello_html_264806c3.png






hello_html_4a6e3fb5.png



Стрелка сгиба "долиной", "на себя"

hello_html_683a4037.png

Совместить отмеченные точки

hello_html_m3d48277b.png

hello_html_m74c27dd2.png



Согнуть и разогнуть

hello_html_4c6dee59.png


Оригамское решение

hello_html_2cc1bf8f.png




1.Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.

2.Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба.

3.Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.

4.Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

Математическое обоснование: Используя чертеж рис. 5, можно записать:

hello_html_m44dfdda9.gifВАС – равносторонний, значит АВС=600.

ОВА=900-600=300, ABN=300, ОВА= ABN= NBC=300.

Итак, данным методом мы разделили угол квадрата на три равные части. Продолжением данной задачи является задача построения равностороннего треугольника в квадрате.

Задача3. Деление листа бумаги на 5частейhello_html_4a08d4f8.png




Деление стороны квадрата на четыре равные части. Для этого достаточно их поделить пополам, а затем, каждую из половинок снова пополам. Именно так происходит, когда мы складываем базовую форму дверь.

Как легко догадаться, деление квадрата на пять частей с помощью складывания представляет собой гораздо более сложную задачу. Ее решение изображено на рисунке.




Заключение

В заключение выделим наиболее существенные моменты. Оригами как основа различных направлений искусства является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии. Логика здесь выступает как средство подтверждения наглядности и практической значимости. Выполняя геометрические фигуры в технике оригами, знакомятся с новыми геометрическими понятиями, основными определениями и наглядно изучают закономерности поведения двухмерной плоскости в трехмерном пространстве. Правильно гласит великая китайская мудрость: я слышу и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и понимаю. В голове удерживаются только те знания, которые применяются на практике.

«Мышление начинается с удивления», - заметил 2500 лет назад Аристотель. Сухомлинский считал, что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг. А математика – замечательный предмет для удивления.

Именно это я попыталась показать в своей работе, исследуя связь оригами и геометрии и применение возможностей оригами для решения задач.Роешением следующей задачи явился вывод о том, что оригаметрия-

1.развивает способность контролировать с помощью мозга тонкие движения рук и пальцев;

2.улучшает пространственное воображение и умение мысленно оперировать с объемными предметами;

3.учит читать чертежи, по которым складываются фигуры;

4.знакомит на практике с основными геометрическими понятиями;

5.развивает творческие способности.

Темп современной жизни очень велик: одни дела в течение дня стремительно сменяются другими. И в повседневной суете очень важно находить время для любимых занятий. Изготовление изделий из бумаги – это творчество, возможность выразить себя в великолепных работах, обрести душевную гармонию и равновесие, внести разнообразие в интерьер своего жилища и радовать близких людей незабываемыми подарками.

На мой взгляд, применение на практике геометрических построений в оригами очень удобно, и это обязательно нужно применять на практике и учить школьников.







Литература


1. Афонькин, С. Ю., Капитонова, И. В. Оригами и геометрия – Чебоксары: ЧГУ, 1993. – 28 с.

2. Афонькин, С. Ю., Афонькина, Е. Ю. Все об оригами. – СПб: ООО «СЗКЭО «Кристалл»», 2004. – 272 с., ил.

3. Афонькин, С. Ю., Афонькина, Е. Ю. Оригами в вашем доме. – М.: Легкая промышленность, 1995. – 32 с.

4. . Афонькин, С. Ю., Афонькина, Е. Ю. Кусудамы – волшебные шары. – М.: Аким, 1997. – 64 с.

5. Белим, С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методами складывания (оригами). – М.: Аким, 1997. – 64 с.Уроки оригами в школе и дома: учебное пособие.

6. Выгонов, В. В. Мир оригами 1–2. – М.: Новая школа, 1996. – 56 с

7. Кочетков, Е., Шумакова, Ю. Мир бумаги. Цветы. – Ростов-на-Дону: Издательско-полиграфическое объединение «Южный регион», 1996.

8. Кошелев, В. М., Афонькин, С. Ю. Вырезаем и складываем. – СПб.: Кристалл, 1999. – 160 с.

9. .Оригами помогает геометрии. под ред. Н. И. Чиканцевой. – М.: МГПУ, 1995. – 30 с.

10. Журнал «Оригами. Искусство складывания из бумаги.

Ресурсы интернета

http://origamis.ru

http://www.vlasta-idea.ru

http://bebi.lv














Приложение 1

Пропедевтика геометрии через оригами на уроках математики в 5-6 классах

Рассмотрим где и как можно применить оригами на уроках математики.

Дополнение к тематическому планированию по математике для 5-6 классов.

Учебники: Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика. 5 класс. - М., Мнемозина, 2008.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика. 6 класс. - М., Мнемозина, 2007.


пара-графа


Тема


Применение оригами

Номера заданий, которые можно предварительно выполнить оригамским методом


Тема 1. Натуральные числа и шкалы



1.3

Плоскость. Прямая. Луч.

Введение в оригамометрию. Знакомство с первыми терминами. Плоскость – лист бумаги. Прямые – края листа и линии сгибов. Точки – вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листа.

80, № 81, №128,



Тема 4. Площади и объемы



4.18

Площадь. Формула площади прямоугольника.

Изучение свойств площади через интерактивные задачи с использованием моделей прямоугольника, квадрата.

740, № 772,

4.20

Прямоугольный параллелепипед.

Кусудама. Развертка. Изготовление моделей прямоугольника и куба по развертке.


4.21

Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Практическая работа: вычисление объема и площади поверхности модели параллелепипеда и куба.



Тема 5. Обыкновенные дроби



5.23

Доли. Обыкновенные дроби.


885,886,892,

893, № 925, № 932, № 953


Тема 8. Инструменты для вычислений и измерений



8.41

Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный угольник.

Изучение свойств углов через интерактивные задачи с использованием моделей прямоугольника, квадрата.

1622, №1623

8.42

Измерение углов. Транспортир

Методами оригами показать, что сумма углов треугольника равна 1800 , сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

1657, №1658,

1667

Приложение2.

Задача: С помощью перегибаний получите из квадрата правильный шестиугольник, правильный треугольник. (Правильный шестиугольник учащиеся получают вместе с учителем, повторяя его действия).

hello_html_6971cb7d.pnghello_html_m5754caf9.pnghello_html_6524d54b.pnghello_html_m25f2124f.png













hello_html_676f98c4.pnghello_html_233026d5.png







Задача: С помощью перегибаний правильного шестиугольника установите свойство его стороны, и вычислите величины углов.

Задача: Как можно вычислить площадь правильного шестиугольника? Произведите необходимые измерения и найдите эту площадь.



Содержание

Введение

Основная часть

  1. Из истории

    1. Оригами – искусство складывания бумаги.

    2. Оригами – это математика?

    3. Виды оригами.

  2. Оригами в математике

    1. Оригаметрия

    2. Задачи

Заключение

Литература

Приложение1. Пропедевтика геометрии через оригами на уроках математики в 5 – 6 классах

Приложение 2. Задачи на правильный шестиугольник

Приложение3. Оригами в быту.

Приложение 4. Мультимедиа презентация.



















Рецензия на исследовательскую работу

ученицы 8 класса

МЬОУ «Курумканская средняя общеобразовательная школа №2»

Белоусовой Анастасии

«Применение оригами при изучении геометрии»


Настоящая работа посвящена проблеме связи математики и искусства оригами. Объект данного исследования в школьном курсе изучается недостаточно. Поэтому обращение к данной теме является актуальным.

Работа носит исследовательский характер. В работе показана сочетание геометрии и оригами, которое несет в себе оригинальность подхода к геометрическим задачам. Чтобы проиллюстрировать применение оригами в геометрии, автор обращается к задачам. Практическая и теоретическая значимость исследования могут быть использованы в практике учителей математики, как на уроках, так и во внеклассной работе. Это придает работе новизну и содержательность.

Систематическая работа над применением оригами при геометрических построениях, позволяет развивать мышление учащихся, тонкие движения рук и пальцев, улучшает пространственное воображение и умение мысленно оперировать с объемными предметами. Учит читать чертежи. В результате исследования Белоусова Анастасия сумела раскрыть главную цель работы: применение возможностей оригами для использования в математике и повседневной жизни.

По итогам работа создана мультимедиа презентация, объемные фигуры.

Данная работа носит исследовательский характер и достойна представлению на научно – практической конференции «Шаг в будущее».



Научный руководитель Будаева Ц.Х.









57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 26.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1642
Номер материала ДВ-097399
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх