Исследовательская работа "Применение возможностей оригами для решения геометрических задач на построение отрезков и доказательство теорем"

МБОУ СОШ №23

с углубленным изучением отдельных предметов,

языков и культуры еврейского народа

Применение возможностей оригами для решения

геометрических задач на построение отрезков и доказательство теорем.

Выполнила:

 Попова Марина, ученица 8 класса Г

 Руководитель:

 Сличная Л.И., учитель математики

г. Биробиджан, 2016г.

Содержание

1) Введение

2) История появления оригами

3) Социологический опрос.

4)Исследовательская работа

5) Заключение

6) Литература

Введение

Многие удивляются, услышав слово «оригами». «А что это такое?» — спрашивают они. Между тем каждый человек наверняка хоть раз в жизни создавал самое простенькое изделие из квадратного листа бумаги — это кораблик или самолетик. А в те времена, когда в магазинах не было такого выбора соломенных шляп и панам, люди летом нередко сооружали себе «пилотку» из газеты. И бумажные кораблики, и пилотка сделаны по принципу «оригами». Оригами – древнее искусство складывания бумажных фигурок. Появление оригами тесно связано с изобретением техники изготовления бумаги в Китае, но наибольшее распространение оригами получило в Японии и стало значимой частью культурного наследия этой страны. Постепенно оригами распространилось по всему свету и завоевало популярность во многих странах.

Чаще всего люди воспринимают оригами просто как способ изготовления бумажных игрушек и украшений интерьера, и мало кто задумывается о том, что это древнее искусство имеет тесную связь с математикой. Разверните фигурку оригами и посмотрите на складки – вы увидите обилие многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей. Складыванье самой простой фигуры оригами включает в себя решение простейших геометрических задач на построение, таких, как построение перпендикуляра к данной прямой, построение биссектрисы угла и т.д. Все это меня очень заинтересовало. Я подумала, что с помощью оригами есть возможность показать, что математика не сухая наука, а красота и гармония.

Актуальность состоит в том что, оригами не только искусство, хобби, развивающая игра, но и наглядный способ решения многих геометрических задач.

Объект исследования – оригами.

Предмет исследования – математика.

Цель - исследование возможностей применения оригами для решения геометрических задач.

Задачи:

·                   Изучить историю происхождения оригами

·                   Систематизировать изученный материал

·                   Рассмотреть возможности оригами в решении геометрических задач на построение, доказательства некоторых теорем

Гипотеза- я считаю, что применение техники оригами, может визуально облегчить решение многих задач.

История появления оригами

Орига́ми (яп. 折り紙, букв.: «сложенная бумага») — вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в Древний Китай, где и была изобретена бумага. Но также есть версии что это искусство развивалось в Японии. Оригами стало значительной частью японских церемоний уже к началу периода Хэйан. Самураи обменивались подарками, украшенными носи, своего рода символами удачи, сложенными из бумажных лент. Сложенные из бумаги бабочки использовались во время празднования свадеб синто и представляли жениха и невесту.Однако, независимые традиции складывания из бумаги, хоть и не столь развитые, как в Японии, существовали среди прочего в Корее, Германии и Испании.

Существует определённый набор условных знаков, необходимых для того, чтобы зарисовать схему складывания даже самого сложного изделия. Бо́льшая часть условных знаков была введена в практику в середине XX века известным японским мастером Акирой Ёсидзавой (1911—2005).

Классическое оригами предписывает использование одного листа бумаги без применения клея и ножниц.

Социологический опрос.

Среди учащихся 8 и 9 классов я провела опрос. Для того что бы выяснить, знают ли они что такое оригами и где применяются возможности этого искусства. Получены следующие результаты.

1.                 Знаете ли вы что такое оригами?

Да - 93%, Нет -7%

2.                 Увлекались ли вы оригами?

Да - 9%, Нет - 50%, Иногда - 41%

3.                 Знаете ли вы об оригамных возможностях при решении геометрических задач?

Да -19%, Нет - 81%

Вывод: многие учащиесязнают, что такое оригами. Но очень малая часть детей этим увлекается. И лишь 19% знает о возможностях оригами при решении задач, что и определило цель моей работы.

Исследовательская работа

Я просмотрела учебники математики 5-6 классов и геометрию 7 класса на наличие упражнений, предусматривающих работу на перегибание бумаги в ходе процесса выполнения. Таких заданий в учебниках не было. И тогда я начала рассматривать задания, которые можно было бы выполнить оригамным методом.

В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами: треугольником, квадратом, трапецией и т.д., учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике. Американский педагог Ф. Фребель уже в середине XIX века заметил геометрическую особенность оригами и ввел его как учебный предмет в школе.

Оригами обладает мощным потенциалом в решении геометрических задач на построение. Вот некоторые из них, решаемые методами оригами:

1) построение биссектрисы угла;

 2) построение высоты треугольника;

3) построение медианы.

 При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.

Рассмотрим несколько задач на построение отрезков, длинны которых выражены через другие, известные отрезки и числа, с помощью оригами.

В традиционном курсе геометрии задачи на построение решаются при помощи циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести произвольную прямую, прямую, проходящую через данную точку, прямую, проходящую через две данные точки. При помощи циркуля можно отложить от данной точки отрезок на данной прямой или описать окружность. Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только «геометрию линейки», но и «геометрию циркуля», что обеспечивает возможность решения большого разнообразия задач;

Существует алгебраический метод решения задач на построение. Он состоит в том, что решение задач сводится к построению некоторого отрезка (или нескольких отрезков). Величину искомого отрезка выражают через величины известных отрезков с помощью формулы. Затем строят искомый отрезок по полученной формуле.

Теорема. Отрезок можно построить по известным отрезкам циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда длина этого отрезка выражается через длины известных отрезков и рациональные числа при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней.

Исследования.

Применение метода оригами для построения отрезков.

Рассмотрим сначала решение простых задач на построение отрезков с помощью оригами.

Задача 1. Дан квадратный лист бумаги со стороной а. Построить отрезки:

1) ; 2); 3)4)  ; 5)  ; 6)  .

Решение. 

1.                 a/2. Совместить две противоположные стороны квадрата, перегнуть лист. Получаем сгиб 1. От точки касания сгиба 1 и стороны до угла квадрата расстояние равно а/2 (рис. 1)

2.                 а/4.Повторить пункт 1, совместить сгиб 1 с параллельной ему стороной, перегнуть лист. Получаем сгиб 2. От угла и до сгиба 2 и от сгиба 2 до сгиба 1 расстояние равно а/4(рис. 2). 

. Сложить лист по диагонали, перегнуть лист. Получаем сгиб 3. Расстояние от одной вершины до другой на сгибе 3 равно (рис. 3).

3.         Повторить пункт 3, сложить лист по второй диагонали, перегнуть лист. Получаем сгиб 4. От точки пересечения сгибов 3 и 4 до любой из вершин квадрата расстояние равно(рис.4)

4.         Разделить одну сторону пополам. Расстояние между точкой сгиба и любой из вершин другой параллельной стороны и будет искомым (гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами а и а/2) (рис. 5).

5.    . Повторить пункт 5, затем перегнуть лист пополам, совмещая противоположные стороны, содержащие концы сгиба 5. Получаем сгиб 6 (рис. 6). От точки пересечения сгибов 5 и 6 до любой из вершин прямоугольника расстояние равно

Применение метода оригами для доказательства теорем.

Задача №1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Доказательство (с применением техники оригами)

1.      Наметим середину стороны ВС квадрата АВСD.

Согнем по линии так, чтобы точка D легла на линию сгиба.

2.      Согнем по ней и по намеченной линии разогнем. Сторону АВ совместим с отрезком АК, то есть угол А разделится на три равные части: угол ВАМ = угол NАК = угол КАD = 30°

3.      Сравним КD и АК, для этого совместим сторону DK с АК в результате чего точка D совместится с точкой М.

4.      Согнем по линии РМ, точка К совместимо с точкой А

Задача №2. Доказать, что сумма углов треугольника равна 180°

(Доказательство с помощью техники оригами)

Вырежем из бумаги треугольник любой формы и перегнем его сначала по линии АВ так, чтобы основание треугольника легло на себя. Перегнув затем треугольник по линиям DH и CQ так, чтобы точки Eи F попали в точку В, получим прямоугольник CQHD и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1,2,3) составляют в сумме два прямых.

Применение оригами в науке и жизни

Оригами имеет широкий диапазон применения: архитектура, математика, педагогика, психология, дизайнерство. Оригами находит применение и в других науках, а также широко используется в современных технологиях. Например, в 1970 году японским астрофизиком Корио Миурана основе техники жесткого оригами была разработана схема складывания «миура-ори», которая используется сегодня для развёртывания установок солнечных батарей на космических спутниках. Первоначально эта технология употреблялась для складывания бумажных документов,  карт местности, упаковки. Оригами - это одно из направлений арттерапии - возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства. Оригами - это уникальная возможность развития тонкой моторики (двигательной функций организма человека, объединяющей биохимические, физиологические и психологические системы), что особенно важно при воспитании детей, точнее для развития интеллекта. Оригами - идеальная дидактическая игра, развивающая фантазию и изобретательность, логику и пространственное мышление, воображение и интеллект. Пространственная трансформация плоского листа позволяет легко осваивать сложные математические понятия, решать задачи по геометрии в форме игры. Японская мудрость издревле гласит:«Великий квадрат не имеет пределов».

Попробуй простую фигурку сложить,

И вмиг увлечёт интересное дело.   (А. Е. Гайдаенко.)

Заключение

В результате исследовательской работы гипотеза была подтверждена. В ходе исследования я пришла к выводу о том, что оригами можно считать одним из способов решения математических задач. Закончив свою работу, я поняла, что оригами, как основа различных направлений искусства, является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии. В результате работы я увидела на некоторых примерах задач, что многие понятия курса геометрии гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригами. Оригами может помочь при выполнении геометрических построений, при решении задач и доказательстве теорем школьного курса геометрии. На мой взгляд, применение на практике оригами очень удобно, и это обязательно нужно применять при изучении геометрии и учить этому школьников.

Я думаю, что занятия оригами способствуют развитию пространственного воображения, глазомера, внимания, памяти, фантазии и творческого мышления.

Список литературы:

1.                С. Афонькин. Искусство складывания из бумаги // Оригами. Искусство складывания из бумаги. – 1997. – 9,10.

2.                С. Н. Белим Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998

3.                Всё про оригами - искусство складывания из бумаги [Электронный ресурс]. Адрес: www.origami.ru/

4.                О.А. Щеглова. Оригами. Волшебный мир бумаги. - Издательство: Владис, Рипол Классик, 2007.

5.                https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%B8