Исследовательская работа «Приёмы устного быстрого счёта»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №21»

 города Элисты

Научно – исследовательская работа на тему:

«Приёмы  устного

быстрого счёта»

Выполнила: ученица 6 «В» класса

                                         Бадмаева Алтана

                                                     Научный руководитель:

                                              учитель математики

Шакирова Наталья Владимировна

г. Элиста, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 2

Глава I. ИСТОРИЯ СЧЁТА.. 6

1.1. КАК ВОЗНИКЛИ ЧИСЛА.. 6

Глава II. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ.. 10

2.1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ.. 10

2.2. МЕТОД «РЕШЕТКИ». 11

2.3. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ.. 12

2.4. БЕЗ КАРАНДАША И БУМАГИ.. 13

Глава III. УСТНЫЙ СЧЕТ – ГИМНАСТИКА УМА.. 15

3.1. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ. 15

3.2. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.. 17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 24

ПРИЛОЖЕНИЕ №1. 25

ПРИЛОЖЕНИЕ №2. 26

ПРИЛОЖЕНИЕ №3. 27

ПРИЛОЖЕНИЕ №4. 27

 

 

 

 

ВЕДЕНИЕ

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам  необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса,  необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать. 

В наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники,  разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому я решила показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть важным, но и интересным занятием.

Тема моей исследовательской работы – «Приемы устного быстрого счета». Я выбрала  ее, т.к. считаю, что умение быстро устно считать повысит не только интерес к урокам математики, но и пригодится в жизни.

Целями исследования является:

    Найти методы быстрого устного счета;

    Диагностика уровня развития вычислительных навыков с использованием приемов быстрого счета;

Задачи исследования:

    Изучение способов быстрого устного счета;

    Исследовать, применяют ли школьники  приемы быстрого счета;

    Изучить приемы быстрого счета, которые можно использовать, упрощая вычисления;

    Проведение диагностики, изучение результатов исследования;

    Сделать выводы, по использованию данных видов устных упражнений;

    Составить памятку для учащихся 5-6 классов для применения приемов быстрого счета.

Объекты исследования:

    Приемы быстрого устного счета;

    Учащиеся 5 – 6 классов;

    Сведения о людях, которые имеют феноменальные способности быстрого счета (см. Приложение 4 «О феноменальных способностях людей-счетчиков»).

Предмет исследования: процесс вычислений.

Гипотеза исследования: повышение познавательного интереса к урокам математики в школе может быть достигнуто, если в обучение будут включены систематически проводящиеся разнообразные виды устных упражнений.

   При выполнении работы  были использованы следующие приемы и методы: опрос (анкетирование),  анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, практическая работа, наблюдения.

При работе над  докладом я пользовалась следующими методами:

ü поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

ü практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

ü анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность моего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием. Именно использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был  проведен тестовый опрос.

Я провела анкетирование среди учащихся 5 – 6 классов. Задавала учащимся простые вопросы. Зачем вообще нужно уметь считать? При изучении каких школьных предметов требуется правильный счет? Знают ли они приемы быстрого счета? Хотели бы научиться быстро считать устно? (Приложение I).  

В опросе приняло 137 учащихся 5 – 6 классов. Проанализировав результаты, я сделала вывод, что  большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики и технологии. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро считать.  (Результаты анкетирования отражены в диаграммах) (Приложение II).

Проведя статистическую обработку данных, я сделала вывод, что не все учащиеся знают приемы быстрого счета, поэтому необходимо сделать для учеников 5-6-х классов памятки с приемами быстрого счета, чтобы использовать их при выполнении вычислений.

Результаты анкетирования:

Вопрос	5 класс			6 классы			Всего
	да	нет	не знаю	да	нет	не знаю
Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?	40	23	_	65	9	-	137
Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?	60	3	_	72	2	_	137
Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?	20	43	_	27	47	_	137
А хотели бы узнать?	57	2	4	68	3	3	137

Сводная таблица анкетирования:

Вопрос	5, 6 классы
	да	нет	не знаю
Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?	105	32	-
Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?	132	5	_
Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?	47	90	_
А хотели бы узнать?	115	5	7

По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Глава I. ИСТОРИЯ СЧЁТА

1.1.          КАК ВОЗНИКЛИ ЧИСЛА

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.

       И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегах Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит:  «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…», пока не дойдёт до «ибон–али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого – нибудь другого».

Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор я рассказывала об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни – Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25 000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами–числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби. 

Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается,  что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.

Глава II. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

2.1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример:  умножим  47 на 35,

v запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;

v левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

v деление заканчивается, когда слева появится единица;

v вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;                           35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

v далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

2.2. МЕТОД «РЕШЕТКИ»

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал  в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

	2	5
1	1        2	3      0	6
5	0      6	1      5	3
	7	5

В своей  «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).   

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

ü   рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

ü   затем квадратные клетки делим по диагонали;

ü   вверху  таблицы записываем число 987;

ü   слева таблицы число 12;

ü   теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;

ü   после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;

ü   результат читаем по стрелке.

              

  Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

        Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

2.3. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении, которое придавали древние  этому способу выполнения  умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).

Умножали на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример:  8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

2.4. БЕЗ КАРАНДАША И БУМАГИ

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математики. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивлял своего отца.

Однажды в школе, Гауссу в то время было 10 лет, учитель предложил классу перечислить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса был готов ответ 1+2+3+…..+97+98+99+100=101*50=5050. Как он складывал числа от 1 до 100?

Группируем (1+100)+(2+99)+….=50 пар по 101, а сумма S=101*50.

Глава III. УСТНЫЙ СЧЕТ – ГИМНАСТИКА УМА

3.1. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

СЛОЖЕНИЕ

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

Сложение в уме двузначных чисел

Если цифра единиц в  прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы.  Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

    34+48=34+50-2=82;

    27+31=27+30+1=58.

Поразрядное сложение чисел

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.):

    16+38+27+86=(10+30+20+80)+(6+8+7+6)=140+27=167;

    359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

    456+298=400+200+50+90+6+8=754.

Прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды другого слагаемого:

    96+47=(96+40)+7=136+7=143,

    8375+473=((8375+400)+70)+3=(8775+70)+3=8845+3=8848.

Сложение путем округления

Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

    3916+991+1998=(4000+1000+2000)–(84+9+2)=

=7000–95=6905.

Сложение с использованием свойств действий с числами

Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:

    12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.

Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:

    549+94=549+(100–6)=549+100–6=643.

Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:

    504+497=500+4+500–3=1001.

Сложение десятичных дробей, путем поразрядного сложения, начиная с высших разрядов 

Отдельно сложить целые части, десятичные доли, а затем сложить полученные результаты:

    8,4+6,51=((8,4+6)+0,5)+0,01=(14,4+0,5)+0,01=14,9+0,01=14,91.

Вычитание числа меньше 100 из числа больше 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме. 134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

Поразрядное вычитание

    574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.

Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого:

    647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

Вычитание с использованием свойств действий с числами

     (973+747)-873=(973-873)+747=100+747=847;

    1093-(1494-907)=(1093+907)-1494=2000-1494=506.

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

    67-48=(67+1)-48-1=(68-48)-1=20-1=19;

    453-316=453–(313+3)=(453-313)-3=140-3=137.

Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих

Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

    824-396=824–(400-4)=(824-400)+4=424+4=428;

    395–98=(400–5)–(100–2)=400–100–5+2=297.

3.2. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Умножение на 4, 8,16 и т.д.

Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают:

    213*8=(213*2)*4=(426*2)*2=852*2=1704.

Умножение на 5, 50, 0,5

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:

    138*5=(138*10):2=1380:2=690.

Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2:

    87*50=(87*100):2=4350.

Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить на 2:

    360*0,5=360:2=180.

Умножение на 25, 2,5, 0,25

Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4:

    348*25=348*100:4=8700.

Чтобы умножить число на 2,5, нужно умножить его на 10 и полученное произведение разделить на 4:

    96*2,5=96*10:4=240.

Чтобы умножить число на 0,25, нужно разделить его на 4:

    196*0,25=196:4=49.

Умножение на 125, 12,5, 1,25, 0,125

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:

    32*125=32:8*1000=4000.

Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:

    24*12,5=24:8*100=300.

Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:

    64*1,25=64:8*10=80.

Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.

    16,8*0,125=16,8:8=2,1.

Умножение на 1,5 и на 15

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:

    24*1,5=24+12=36.

Чтобы умножить число на 15, нужно  исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

    129*15=129*10+1290:2=1290+645=1935.

Умножение на 11

1 способ. Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число:

    241*11=2410+241=2651.

2 способ. Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и  в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если  эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд:

    34*11=374, т.к. 3+4=7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,

    68*11=748, т.к. 6+8=14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

Умножение двузначного числа на 101 и на 10101

Самое простое правило: «припишите ваше число к самому себе». При умножении на число 101, 1001, 10101, число надо повторить дважды/трижды:

    57*101=5757,

    89*10101=898989.

Умножение на 9, 99 и 999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель:

    286*9=2860–286=2574,

    23*99=2300–23=2277,

    18*999=18000–18=17982.

Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания ко множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности

    8*318=8*(300+10+8)=2400+80+64=2544,

    7*196=7*(200-4)=1400–28=1372.

Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление:

    720:45=(720:9):5=80:5=16,

    9324:36=(9324:3):12=3108:12=259.

Деление на 0,5, 5, 50 и 500

Чтобы число разделить на 0,5; 5; 50 или 500, надо это число разделить на 1; 10; 100 или 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2:

    21600:50=21600:100*2=432,

    42400:5=42400:10*2=8480,

    214000:500=214000:1000*2=428,

    218:0,5=1218:1*2=436.

Деление на 25, 2,5, 0,25 

Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4:

    12100:25=12100:100*4=484.

Чтобы число разделить на 0,25, надо это число умножить на 4:

    31:0,25=31*4=124.

Чтобы число разделить на 2,5, надо это число разделить на 10 и умножить на 4:

    240:2,5=240:10*4=24*4=96.

Деление на 125, 12,5, 1,25, 0,125

Чтобы число разделить на 125; 12,5; 1,25; 0,125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000; 100; 10; 1 соответственно:

    4000:12,5 =4000:100*8=320,

    90:125 =9000:1000*8=72,

    18:1,25=144:10*8=14,4,

    11:0,125=11*8=88.

Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.
Например: 35²=1225, т.е. 3·4=12 и к 12 приписываем 25, получаем 1225. 

Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например:
52²= 2704, т.к. 25+2=28 и 2²=04;
58²= 3364, т.к. 25+8=33 и 8²=64.

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Необходимым условием успешной работы является владение культурой счета. Основу культуры счета составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только в практической деятельности.

Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов.

Описывая  старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружила и познакомилась с  более быстрыми и надежными способами вычислений.

 Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Результаты своей работы я оформила в памятку, которую предложила всем 5 – 6 классам. Возможно, что с первого раза не у всех  получится быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки быстрого счета.

Проведя статистическую обработку данных, были получены следующие результаты:

1.     Уметь считать нужно, потому, что это пригодится в жизни, считают 87% учащихся, чтобы хорошо учиться в школе – 65%, чтобы быстро решать – 84%, чтобы быть грамотным – 40% и не обязательно уметь считать – всего 2%.

2.     Навыки хорошего счета необходимы при изучении математики, считают 100% учащихся, а также при изучении физики – 95%, химии – 65%, информатики – 38%.

3.     Приемы быстрого счета знают 32%, не знают приемов быстрого счета – 68% учащихся.

4.     Применяют приемы быстрого счета 26% учащихся,  иногда применяют – 6%.

5.     Хотели бы  узнать приемы быстрого счета 94% учащихся.

Выводы:

·       Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.

·     В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара:  Издательский дом «Фёдоров», 1999г.

2.     Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996.

3.     Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений. //Начальная школа. – 1990, №6.

4.     Иванова Т. Устный счёт. // Начальная школа. – 1999, №7.

5.     Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

6.     Минских  Е.М. «От игры к знаниям»,  М., «Просвещение»,  1982г.

7.     Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.

8.     Свечников  А.А. Числа, фигуры, задачи.  М., Просвещение,  1977г.

Интернет-источники

1.     www.school.edu.ru

2.     www.ik.net/~stepanov/

3.     http://www.junior.ru/students/chukhua/shestoe%20chyvstvo.htm

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

Анкета №1

1.     Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

Да                               Нет                                        Не знаю

2.     а) Умеете  ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?

Да                               Нет                                        Не знаю

      б) Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий

    Да                               Нет                                        Не знаю

3.     А хотели бы узнать?

Да                               Нет                                        Не знаю

Анкета №2

1.    Зачем вообще нужно уметь считать?

2.    При изучении каких школьных предметов требуется правильный счет?

3.    Знают ли они приемы быстрого счета?

4.    Хотели бы научиться быстро считать устно?

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

1.    Зачем вообще нужно уметь считать?

2.    При изучении каких школьных предметов требуется правильный счет?

3.    Знают ли они приемы быстрого счета?

4.    Хотели бы научиться быстро считать устно?

ПРИЛОЖЕНИЕ №3

Памятка для 5 – 6 классов прилагается.

ПРИЛОЖЕНИЕ №4

«О ФЕНОМЕНАЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЯХ ЛЮДЕЙ-СЧЕТЧИКОВ»

Иногда встречаются лица с феноменальной способностью производить в уме математические действия буквально с астрономическими числами, рассчитывать день недели любого, сколь угодного далекого года, запоминать в прямой и обратной последовательности большое количество слов и цифр. В соответствующей обстановке это производит сильное эмоциональное воздействие на зрителей. Очевидцы рассказывают, что И.В.Курчатов – научный руководитель проекта по созданию первого советского атомного оружия – легко обходился без таблицы десятичных логарифмов, поскольку многие значения из нее помнил на память. Шахматисты высокого уровня довольно успешно играют вслепую на многих досках одновременно. Этим отличался, в частности, известный любителям шахмат знаменитый гроссмейстер М. Таль. Здесь имеет место благоприятное сочетание прирожденных особенностей мозга с длительной тренировкой.

Принципиально важно, что, несмотря на внешне трюковое проявление, реальность феномена быстрого счета оценивается по абсолютным показателям, проверка обмана достигается объективными приемами, а сами счетчики для демонстрации своих способностей, как правило, не предъявляют требований к созданию каких-то особых условий, кроме, пожалуй, тишины.

Ни одна из возможностей нашего мозга не кажется столь удивительной, как загадка чудо-счетчиков.

...В зрительном зале погас свет. На сцену, ярко освещенную огнями рампы, вышел человек в строгом черном костюме - не цирковой артист, не конферансье, не исполнитель популярных песенок. У него в руках мел и тряпка. Они как-то непривычны на сцене.

Эстрадный номер начинается.

- Назовите мне, пожалуйста, - обращается артист к зрителям. - многозначное множимое и многозначный множитель, и прошу вас найти вместе со мной их произведение.

- Один миллион пятьсот девяносто четыре тысячи триста двадцать три умножьте на три тысячи четыреста пятьдесят шесть, - просят из зала.

Проходит несколько секунд, и все читают на доске результат - 5 509 980 288.

Артист терпеливо ждет, пока зрители перемножат на бумаге числа. После этого он называет также все промежуточные результаты, полученные при умножении.

Вильям Клайн, человека-компьютер

Что же собой представляет это дарование? Никакое описание, никакой рассказ не могут дать о нем полного представления. Нужно присутствовать при живой демонстрации, чтобы понять, до какой степени справедлив эпитет "чудо".

Вот рассказ об эксперименте, проведенном одним из исследователей с мадемуазель Осака. Испытуемую просили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того же числа. Она делала это моментально. Затем предлагали извлечь корень шестой степени из 40 242 074 782 776 576. Она отвечала тотчас и без ошибок.

В 1927 году доктор Ости и математик Сент-Лаге экзаменовали слепого счетчика Луи Флери. Среди поставленных задач была следующая: дается число, нужно разложить его на куб некоторого числа и четырехзначное число.

Флери предложили число 707 358 209. Он размышлял 28 секунд и дал решение: 891 в кубе и 5236. Ему предложили 211717440. Ответ последовал через 25 секунд: 596 в кубе и 8704.

Арон Чиквашвили

В Ванском районе Западной Грузия живет Арон Чиквашвили. Он свободно манипулирует в уме многозначными числами. "Счетный механизм" Чиквашвилй не знает усталости и ошибок.

Как-то друзья решили проверить возможности чудо-счетчика. Задание было суровым: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча "Спартак" (Москва) - "Динамо" (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17 427 букв, 1835 слов. На проверку ушло... пять часов. Ответ оказался правильным.

39-летний Арон Чиквашвилй окончил юридический и экономический факультеты вуза.

Феноменальный дар к счету проявился у француза Лидоро в три года, когда он не умел еще ни читать, ни писать.

Среди чудо - счетчиков особенно большой популярностью пользуются задачи, в основе которых лежит календарное исчисление. Проносясь мысленно через века и тысячелетия, преодолевая трудности недесятичных соотношений (ведь неделя состоит из 7 дней, сутки из 24 часов, час из 60 минут и т. д.), они, за несколько секунд способны проделать сотни операций и сообщить, что 1 января 180 года была пятница. И все это делается с учетом високосных лет, смены календаря в 1582 году и т. д. Они, например, могут сказать, сколько секунд прошло со времени смерти Нерона до падения Константинополя. Однажды за беседой два счетчика Иноди и Дагбер, шутя, задавали друг другу вопросы такого рода: какой день недели будет 13 октября 28448723 года?

Некоторые задачи, которые люди-счетчики решают как бы шутя, всего за несколько секунд, по мнению математиков, потребовали бы многих месяцев обычного счета. После этого пришлось бы в течение длительного времени проверять полученные результаты или же прибегнуть к помощи электронной машины.

Какими же методами оперируют чудо-счетчики? Приходит ли "дар" с детства, в юности или приобретается, воспитывается в течение жизни?

Пытались объяснить эту способность исключительной памятью, тем, что психологи называют "гипермнезией". Конечно, до какой-то степени мы сталкиваемся здесь с проявлением поистине чудовищной памяти, но одной памятью не объяснить существа явления.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил своим рабочим в конце недели, прибавляя к каждодневному заработку плату за сверхурочные часы. Однажды, после того как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребенок, которому было едва три года, воскликнул:

- Папа, подсчет неверен! Вот какая должна быть сумма.

Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Несколько лет назад газеты сообщали о юном математическом феномене Бориславе Гаджански.

- Можешь ли ты, Борислав, извлечь корень двадцать второй степени из числа 348 517 368 454 361 458 872?

Мальчик на минуту задумывается: "Восемь".

- А теперь извлеки корень тридцать первой степени из числа 538 436 517 832 435 456 582.

Еще минута на размышление.

- Четыре.

В свои одиннадцать лет Борислав Гаджански из югославского города Зренянине отлично знал высшую математику в объеме программы вуза и без помощи карандаша и бумаги производил сложнейшие математические расчеты.

Р. Арраго

Проявляется ли этот дар очень рано или очень поздно, его появление всегда стихийно. Происходит молниеносное превращение. Обладатель дара иногда бывает "отсталым" во всех других областях, но среди цифр он чувствует себя как дома и быстро достигает фантастической виртуозности.

Что же происходит с чудо - счетчиком дальше?

Обычно их умение бесконечно совершенствуется вплоть до глубокой старости. Но бывает и так, что мало-помалу оно исчезает, по мере того как его обладатель получает обычное для всех детей образование. Например, Ампер стал одним из крупнейших ученых, но он потерял способность, к устному счету, по мере того как расширялись его познания в области классической математики. Наоборот, Гаусс и Эйлер соединяли вплоть до смерти обе стороны своей гениальности.

Интересно, что многие люди-счетчики не имели вообще никакого понятия, так они считают: "Считаем, и все! А как считаем, бог его знает". Такие ответы не удивительны. Некоторые из счетчиков были совсем необразованными, людьми. Англичанин Бакстон, счетчик-виртуоз, так никогда и не научился читать, не знал цифр. Американский негр счетчик Томас Фулер умер неграмотным в возрасте 80 лет.

Такие люди всегда очень интересовали психологов и математиков, которые старались выяснить, в чем секрет их способностей. Но объяснения, которые чудо - счетчики давали, пытаясь раскрыть свое умение, на первый взгляд казались странными, и даже очень.

Например, Урания Диамонди говорила - владеть цифрами ей помогает их цвет: 0 - белый, 1 - черный, 2 - желтый, 3 - алый, 4 - коричневый, 5 - синий, 6 - темно-желтый, 7 -ультрамарин 8 - серо-голубой, 9 - темно-бурый. Процесс вычисления представлялся ей в виде бесконечных симфоний цвета.

Монде и Кальбюрн ясно видели, как перед их глазами выстраиваются ряды цифр, начертанные чьей-то невидимой рукой. Их "прием" заключался в том, чтобы прочесть эту "волшебную" запись. Брат Урании, Перриклес Диамонди, говорил: "Цифры как бы скапливаются у меня в черепной коробке".

Очень "прост" метод Иноди. Ему казалось, будто вместо него считает чей-то голос, и, пока этот внутренний голос производит вычисления, сам он либо продолжает разговаривать, либо наигрывает на флейте. Морис Дагбер производит головокружительные вычисления, играя на скрипке.

Некоторое время назад во Франции, в Лилле, в присутствии авторитетного жюри из физиков, инженеров, кибернетиков, математиков и психологов Морис Дагбер вступил в спор с электронной выделительной машиной, производящей около миллиона операций в секунду.

Дагбер заявил, что признает себя побежденным лишь в том случае, если машина решит семь задач раньше, чем он десять...

Дагбер решил все 10 задач за 3 минуты 43 секунды, а электронная машина только за 5 минут 18 секунд!

Игорь Шелушков

Подобные соревнования дело непростое. В одном из подобных состязаний участвовали молодой счетчик-феномен Игорь Шелушков и электронная вычислительная машина "Мир".

Надо отдать должное таланту Шелушкова. Он блестяще выиграл соревнование, как и Дагбер во Франции.

Шакунтала Дэви

В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже опередила несколько вычислительных машин.

Она помогла индийским банкам выверить и свести миллиардные балансы, провела огромные расчеты, которые помогут при решении сложной для Индии демографической проблемы.

Некоторые чудо - счетчики подвергались научному обследованию. Иноди однажды был приглашен на заседание Французской академий наук. Отчет о заседании был дан математиком Дарбу. Ученые пришли к выводу, что Иноди использует некоторые классические приемы, которые он сам "переоткрыл". Одна из комиссий при академии, в которую, в частности, входили известные ученые Араго, Коши, исследовала Анри Монде. По свидетельству Коши, полуграмотный сын дровосека Монде применял бином Ньютона. К подобным выводам пришла академия и при эксперименте в 1948 году с Морисом Дагбером.

Арраго, Юзеф Приходько - математик-моменталист

Ученые считают, что дар феноменального счета в том виде, в каком он наблюдается у взрослых счетчиков, является в какой-то степени даром "воспитанным" (то есть приобретенным в результате систематических упражнений). Бродя по джунглям чисел, люди-счетчики зачастую находят приемы, которые дают им возможность сокращать вычисления.

Пожалуй, единственная научно - обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я.Трахтенбергом. Она известна под названием "Системы быстрого счета".

История ее создания необычная. В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета.

За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета.

После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность. Система Трахтенберга позволяет резко ускорить процесс выполнения операций умножения, деления, сложения, возведения в степень и извлечения корня.

Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит, ее можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладеть.